Integrales Impropias

1

Recordemos que :

� Si f no es acotada sobre [a,b], entonces f no es integrable ( Riemann) sobre [a,b].

� Si f es continua sobre [a,b], entonces es integrable ( Riemann) sobre [a,b].

2

Definición

Sea f una función definida sobre un intervalo I.Diremos que f es localmente integrable sobre el intervalo I si f es integrable sobre cada subintervalo cerrado de I .

3

Ejemplo.

Sea f la función definida por ���( )f x1x

, x > 0.

Como f es continua en cada intervalo cerrado de ] ,0 �[, entonces f es localmente integrable allí

4

Definición.

Def. Si f es localmente integrable sobre [a,b[, con b�IR o bien +�, se define

d��a

b

( )f x x = lim�� -c b

d��a

c

( )f x x (*)

si el límite existe (finito).

5

Ejemplo 1 .- Sea ���( )f x1x2 , x > 0.

Se tiene que:� f es localmente integrable sobre [1,�[

� d�

�

1

c

1x2 x = ���1

1c

6

Como

lim��c ( )+ �

d��a

c

( )f x x = 1

Entonces,

d�

�

1

+ �

1x2 x = 1

7

Ejemplo 2 .- Sea ���( )f x1

���1 x , 0�� x < 1.

Como f es localmente integrable sobre [0,1[

d�

�

0

b

1

���1 xx = lim

�� -c 1d

�

�

0

c

1

���1 xx = 2

8

Notas

1.- Diremos que d��a

b

( )f x x es una Integral

Propia si : (a) El intervalo [a,b[ es finito,y (b) f es localmente integrable y acotadasobre [a,b[.

9

2.- Diremos que d��a

b

( )f x x es una Integral

Impropia si. (a) El intervalo [a,b[ no es finito.o bién (b) f es no acotada sobre [a,b[ .

10

3.- Si la integral es impropia y el límite

d��a

b

( )f x x = lim�� -c b

d��a

c

( )f x x

existe se dice que la integral es convergente ,en caso contrario se dice que la integral impropia es divergente.El valor límite (si existe se denomina Límite de Convergencia)

11

EjerciciosDecida si cada una de las integrales siguientes es o no convergente.

1.- d�

�

1

�

1

x2x 2.- d

�

�

1

�1xx

3.- d�

�

0

11���1 x

x 4.- d�

�

0

1� �1 x���1 x

x

12

Definiciones

13

Def.

Si f es localmente integrable sobre ]a,b], se define

d��a

b( )f x x = lim

�� +c ad�

�c

b( )f x x

Si el límite existe.

( Son válidos los comentarios de la nota anterior, cambiando [a,b[ por ]a,b]. )

14

Def.Si f es localmente integrable sobre [a, c[ U ]c, b], se define

d��a

b( )f x x = d�

�a

c( )f x x + d�

�c

b( )f x x

� Si las integrales de la derecha existen (finita), se

dice que d��a

b( )f x x converge, en caso contrario se

dice divergente

15

Def.Si f es localmente integrable sobre ]a,b[, se define

d��a

b( )f x x = d�

�a

�( )f x x + d�

��

b( )f x x

donde ���a � ��� b .Si las integrales de la derecha existen (finita) se dice

que d��a

b( )f x x converge, en caso contrario se dice

divergente.

16

Ejemplo

Calcular, si existe,

(a) d�

�

0

3

1( )���x 1 2/3 x, (b) d

�

�

1

�

1( )���x 1 2 x,

17

Solución .

d�

�

0

31

( )���x 1 2/3x = d

�

�

0

11

( )���x 1 2/3x + d

�

�

1

31

( )���x 1 2/3x

= 3 +3·21/3

18

Ejercicios

1.- Pruebe que d�

�

1

�

1

xpx converge si p > 1 y diverge si ���p 1 .

2.- Pruebe que d�

�

0

11

( )���1 x px converge si p < 1 y diverge si ���1 p .

3.- Pruebe que d�

�

1

�����

����

1x

����

����ln

1x

x diverge a �� .

4.- Pruebe que d��0

1( )ln x x converge a -1.

19

Notas.

20

(i)Si ( )f x �� 0 sobre [a,b[ y f es continua en [a,b[

entonces d��a

b( )f x x converge, o bien diverge a +�.

21

(ii) Si ���( )f x 0 sobre [a,b[, y f es continua en [a,b[

entonces d��a

b( )f x x converge, o bien diverge a -�.

22

Criterios de

Convergencia

23

ComparaciónSean f , g son funciones localmente integrables sobre [a, b[ tales que

0 ��f(x) � g(x)

entonces

a) Si d��a

b( )g x x converge, entonces d�

�a

b( )f x x converge.

b) Si d��a

b

( )f x x diverge, entonces d��a

b

( )g x x diverge

24

Ejemplo.

1. Estudiar la convergencia de d�

�

1

�

e( )�x2

x

2. Pruebe que d�

�

1

�

1

� �x2 1x converge

25

EjerciciosPruebe que :

a) d�

�

1

�

� �1x

1x2 x diverge

b) d�

�

0

1� �2 ( )sin � x

( )���1 x px converge si p < 1 y diverge si p �����

26

Comparación en el límite

Supongamos que:� f y g son funciones localmente integrable sobre

[a, b[,� g(x) �0 y ���0 ( )f x sobre algún intervalo

[c, b[ de [a, b[ ,

� ���lim�� -x b

( )f x( )g x

M

Entonces,27

i.

Si 0 < M< � , entonces

d��a

b( )f x x y d�

�a

b( )g x x

convergen o divergen juntas.

28

ii.

Si M= � y d��a

b( )g x x = �,

entonces d��a

b( )f x x = �

29

iii)

Si M= 0 y d��a

b( )g x x converge, entonces

d��a

b( )f x x tambien converge.

30

Ejemplos1.- Pruebe que

d�

�

3

�

1

���e( )2 x

10 exx

converge

31

Sol.

Se sabe que d�

�

3

�

1

e( )2 x x es convergente

y como lim��x �

���e( )2 x

10 ex

e( )2 x = 1

entonces d�

�

3

�

1

���e( )2 x

10 exx converge

32

(2) Estudie la convergencia de la integral

d�

�

6

�

1

���x 5x

33

Puesto que d�

�

6

�

1

xx diverge

y

lim��x �

1 ���x 5

x = 1.

entonces d�

�

6

�

1

���x 5x diverge

34

(3) (Ejercicio)

Pruebe que d�

�

1

�

1

x ���x2 1x converge.

35

Una aplicación

36

Función Gamma

Def.- La función ! definida sobre ]0, �[mediante

( )! t = d��

0

�

e-u ut-1 u

se denomina Función Gamma.

37

Propiedades.-

1.- Para t > 0 , d��

0

�

e-u ut-1 u es convergente.

Dem.2.- Para t > 0, ( )! � �t 1 = t ( )! t

Dem.3.- Para n " IN , ( )! � �n 1 = !n

38

Dem.De (2)

( )! � �n 1 = n ( )! n= n ( )���n 1 ( )! ���n 1= !n ( )! 1

pero ( )! 1 = d��

0

�

e-u u0 u = 1

luego,( )! � �n 1 = !n

39

(La función Gamma generaliza a la función Factorial)

40

Ejemplos.-

Calcule:

d�

�

0

�

e( )�xx4 x d

�

�

0

�

e( )�3 x

x5 x

d�

�

0

�

5( )�4 x2

x

41

Solución

1.- d�

�

0

�

e( )�xx4 x = ( )! 5 = 4!

42

2.- d�

�

0

�

e( )�3 x

x5 x =

1 d�

�

0

�

e( )�y �

���

����y3

5

y

3 =

����

����

13

6

( )! 6 = !5

36

43

3.- d�

�

0

�

5( )�4 x2

x = d�

�

0

�

e( )( )�4 x2 ( )ln 5

x =

1 d�

�

0

�

e( )�yy

����

�����

12x

4 ln5

44

=

����

����!

12

4 ln5

45

_____________________

46