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IntegracionAplicaciones de la integral definida

Integracion

Dpto. Matematica AplicadaUniversidad de Malaga

M. Atencia & I. P. Cabrera Integracion

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DefinicionPropiedades de la integralRelacion entre el calculo diferencial y el calculo integralCalculo de primitivasIntegrales impropias

Resumen

1 IntegracionDefinicionPropiedades de la integralRelacion entre el calculo diferencial y el calculo integralCalculo de primitivasIntegrales impropias

2 Aplicaciones de la integral definidaAreasVolumenesLongitudes y superficies


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Motivacion

Calculo de areas planas limitadas por la grafica de una funcionacotada positiva y el eje OX en un cierto intervalo [a, b].


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Aproximacion al area

Si se divide el intervalo [a, b] ensubintervalos, se obtienen unosrectangulos inscritos dentro de laregion y unos rectanguloscircunscritos que se extienden fuerade la region.

El area de la region es un numeroreal comprendido entre la suma delas areas de los rectangulosinscritos y la suma de las areas delos rectangulos circunscritos.


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Particion de un intervaloDado un intervalo [a, b], se llama particion de [a, b] a uncoleccion finita de puntos del intervaloP = {a = x0, x1, . . . , xn = b} tales quea = x0 < x1 < · · · < xn = b.Es usual denotar por ∆xk a la longitud del k-esimosubintervalo determinado por la particion, esto es,

∆xk = xk − xk−1

Sea f : [a, b]→ R una funcion acotada. Entonces, para cadaparticion P = {a = x0, x1, . . . , xn = b} y para cadak = 1, 2, . . . , n, existen, por estar f acotada en cada[xk−1, xk ], los elementos

f¯k

= inf{f (x) : x ∈ [xk−1, xk ]} y

fk = sup{f (x) : x ∈ [xk−1, xk ]}M. Atencia & I. P. Cabrera Integracion

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Sumas inferioresDefinicion

Se llama suma inferior de f correspondiente a la particion P y sedesigna por L(P, f ) al numero real

L(P, f ) =n∑

k=1

f¯k∆xk


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Sumas superioresDefinicion

Se llama suma superior de f correspondiente a la particion P y sedesigna por U(P, f ) al numero real

U(P, f ) =n∑

k=1

fk∆xk


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Integral inferior y superior

El conjunto {L(f ,P) : P es particion de [a, b]} esta acotadosuperiormente por cualquier suma superior.

El conjunto {U(f ,P) : P es particion de [a, b]} esta acotadoinferiormente por cualquier suma inferior.

Definicion

La integral inferior de f en [a, b]∫ ba f es la mayor de las sumas

inferiores

Definicion

La integral superior de f en [a, b];∫ ba f es la menor de las sumas

inferiores.


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Funcion integrable

Definicion

Se dice que una funcion f acotada sobre [a, b] es integrable en elsentido de Riemann en [a, b] si la integral inferior y la integralsuperior de f en [a, b] coinciden.

En tal caso, a este numero comun se le denomina integral de f en[a, b] y se representa por

∫ ba f .∫ b

af =

∫ b

af =

∫ b

af


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Integral como lımite de sumas de Riemann

Definicion

Dada una funcion continua f : [a, b]→ R, se considera unaparticion P = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b} y una eleccion depuntos en ella E = {x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n} donde cada x∗k ∈ [xk−1, xk ].Se llama suma de Riemann de f asociada a la particion P y a laeleccion de puntos E a

S(f ,P,E ) =n∑

k=1

f (x∗k )∆xk


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Integral como lımite de sumas de Riemann

Una suma de Riemann supone unaaproximacion al area limitada por lagrafica de f y el eje OX , pues cadasumando representa el area de unrectangulo de base ∆xk y altura f (x∗k ).

Para una particion P de [a, b] en n subintervalos, la norma||P|| de la particion es el maximo de las longitudes de lossubintervalos ∆x1, . . . ,∆xn.Al considerar particiones cuyas normas sean cada vez maspequenas, intuitivamente, las correspondientes sumas deRiemann se acercan al area

A = lim||P||→0

S(f ,P,E ) =

∫ b

af (x) dx


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Funciones integrables

Toda funcion continua en un intervalo cerrado y acotado esintegrable

Toda funcion con un numero finito de discontinuidades en unintervalo cerrado y acotado es tambien integrable

Toda funcion monotona (creciente o decreciente) en unintervalo cerrado y acotado es integrable.


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Propiedades de la integral

1) Si f y g son integrables en [a, b], entonces f + g es integrableen [a, b] y ∫ b

a(f + g) =

∫ b

af +

∫ b

ag .

2) Si f es integrable en [a, b], para cualquier α ∈ R, se tiene queαf es integrable en [a, b] y∫ b

aαf = α

∫ b

af .


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3) Si f es integrable en [a, b] y f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b],entonces ∫ b

af ≥ 0.

4) Si f es integrable en [a, b] y f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b],entonces ∫ b

af ≤

∫ b

ag .


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5) Sean a < c < b ∈ R. Una funcion f es integrable en [a, b] si ysolo si f es integrable en [a, c] y f es integrable en [c , b]. Ental caso, ∫ b

af =

∫ c

af +

∫ b

cf .

6) Para toda funcion f integrable,∫ aa f = 0 para todo a ∈ R

7)∫ ba f = −

∫ ab f para cualesquiera a, b ∈ R


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Integral indefinida

Dada f una funcion integrable en [a, b], se sabe que f esintegrable en [a, x ] para todo x ∈ [a, b], por tanto existe

∫ xa f .

Se define la integral indefinida de f en [a, b] como la funcionF : [a, b]→ R dada por

F (x) =

∫ x

af


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Teorema fundamental del Calculo

Teorema (Primer teorema fundamental del Calculo)

Sea f una funcion integrable en [a, b] y sea F (x) =∫ xa f . Si f es

continua en x ∈ [a, b], entonces F es derivable en x y ademas

F ′(x) = f (x)


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Primitiva de una funcion

Se dice que g es una primitiva de f en [a, b] si g es continuaen [a, b], derivable en (a, b) y g ′(x) = f (x) para todox ∈ (a, b).

Toda funcion continua en [a, b] tiene una primitiva que esF (x) =

∫ xa f , segun el Teorema Fundamental del Calculo.

Si g es una primitiva de f en [a, b], entonces otra funcion h esprimitiva de f si y solo si h = g + K siendo K un numero real.

Se designa por∫f (x)dx = g(x) + K


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Regla de Barrow

Teorema

Si f es una funcion continua en [a, b] y g es una primitiva de f en[a, b] entonces ∫ b

af (x)dx = g(b)− g(a).


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Integrales inmediatas

Para α 6= −1,∫xαdx = xα+1

α+1 + K ;∫1x dx = ln |x |+ K ;∫exdx = ex + K ;

Para a > 0, a 6= 1,∫axdx = ax

ln a + K ;∫senx dx = − cos x + K ;∫cos x dx = senx + K ;∫

11+x2 dx = arctan x + K ;∫

1√1−x2

dx = arcsenx + K ;∫ −1√1−x2

dx = arccos x + K ;∫(1 + tan2x)dx =

∫1

cos2xdx = tanx + K ;


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Metodo de sustitucion

Sea φ una funcion derivable y con derivada continua y f continua.Si F es una primitiva de f , entonces F ◦ φ es una primitiva de(f ◦ φ) · φ′. Como consecuencia,∫ b

af (φ(x))φ′(x)dx =

∫ φ(b)

φ(a)f (u)du = F (φ(b))− F (φ(a))

Dicho de otro modo, si se denota por t = φ(x), se tiene que∫f (φ(x))φ′(x)dx =

∫f (t)dt


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Metodo integracion por partes

Dadas f , g derivables y con derivada continua, se tiene que∫f ′g = fg −

∫fg ′.

Tomando la notacion diferencial, es decir, du = u′(x)dx , laformula de integracion por partes se puede escribir∫

udv = uv −∫

vdu


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Integracion de funciones racionales

Calculo de primitivas de cocientes de polinomios, es decir∫ p(x)

q(x)

donde p(x), q(x) son polinomios con coeficientes reales.

Usando la division de polinomios, se puede reducir el problema alcaso en que el grado de p(x) es menor que el grado de q(x).

1)∫

1(x−a)dx = log |x − a|+ K

2)∫

1(x−a)n dx = 1

(1−n)(x−a)1−n + K , para n > 1.

3) In =∫

1(x2+1)n

dx = 2n−32n−2 In−1 + x

2(n−1)(x2+1)n−1 + K , utilizando

el metodo de sustitucion y la integracion por partes.

4)∫

dx((x−r)2+s2)n

=∫

1(t2+1)n

dx con el cambio de variable

t = x−rs .


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Sea∫ p(x)

q(x) donde el polinomio q(x) solo posee raıces realesr1, r2, . . . , rn de multiplicidades α1, α2, . . . , αn respectivamente.

Descomponer la funcion racional en fracciones simples:

p(x)

q(x)=

A11

x − r1+

A12

(x − r1)2+ · · ·+ A1α1

(x − r1)α1+ · · ·

· · ·+ An1

x − rn+ · · ·+ Anαn

(x − rn)αn

Utilizar 1) y 2) y la aditividad de la integral respecto de lasuma.


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Sea∫ p(x)

q(x) donde el polinomio q(x) posee raıces complejasconjugadas z1, z1, . . . , zm, zm con multiplicidades β1, . . . , βm.

Como cada termino del tipo(x − zi )(x − zi ) = x2 − 2Re(zi )x + |zi |2 = (x − bi )

2 + ciEntonces,

p(x)

q(x)=

B11x + C11

(x − b1)2 + c1+

B12x + C12

((x − b1)2 + c1)2+· · ·+

B1β1x + C1β1

((x − b1)2 + c1)β1+

+ · · ·+Bmβmx + Cmβm

((x − bm)2 + cm)βm.


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Integracion de funciones racionalesPara resolver

∫Ax+B

((x−r)2+s2)ndx , se procede del siguiente modo:

Para n = 1:∫Ax + B

(x − r)2 + s2dx =

∫Ax

(x − r)2 + s2dx+

∫B

(x − r)2 + s2dx =

=A

2ln((x − r)2 + s2) +

Ar + B

sarctan

x − r

s

Para n > 1,∫Ax + B

((x − r)2 + s2)ndx =

∫A(x − r) + Ar + B

((x − r)2 + s2)ndx =

=−A

2(n − 1)((x − r)2 + s2)n−1+ (Ar + B)

∫dx

((x − r)2 + s2)n


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Integracion de funciones trigonometricas

Integrales del tipo∫R(senx cos x)dx con R una funcion racional,

se reducen a una integral racional con el cambio tan x2 = t.

Con dicho cambio, se realizan las siguiente sustituciones:

senx = 2t1+t2

cosx = 1−t2

1+t2

dx = 2dt1+t2


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Integracion de funciones trigonometricas

Otros cambios de variable que tambien reducen la integral a unaintegral racional:

Si R es una funcion impar en sen x se resuelve con el cambiocos x = t.

Si R es una funcion impar en cos x , se resuelve con el cambiosen x = t.

Si R es una funcion par en sen x y en cos x , se resuelve con elcambio tan x = t.


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Generalizaciones de la integral

Se han considerado funciones acotadas definidas en intervaloscerrados y acotados. No obstante, se presentan situaciones en lasque no se verifican algunas de estas condiciones:

Que el dominio de integracion sea una semirrecta.

Que el dominio de integracion sea un intervalo acotado,peroque en cualquier entorno de uno de los extremos del intervalola funcion no este acotada.

En cualquier otro caso que no este incluido en los dosanteriores, subdividiendo convenientemente el intervalo deintegracion se llega a alguno de los dos tipos anteriores.


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Integrales impropias de primera especie

Definicion

Sea f : [a,+∞)→ R donde a ∈ R y f integrable en [a, t] paratodo t ∈ R. Se llama integral impropia de f en [a,+∞)∫ +∞

af (x)dx = lim

t→+∞

∫ t

af (x)dx

cuando exista y sea finito.

Si el lımite anterior no existe o es +∞ o −∞, se dice que laintegral impropia es divergente o que no converge.


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Definicion

Sea f : (−∞, b]→ R, b ∈ R y f integrable en [t, b] para todot ∈ R. Se llama integral impropia de f en (−∞, b]∫ b

−∞f (x)dx = lim

t→−∞

∫ b

tf (x)dx


Si el lımite anterior no existe o es +∞ o −∞, se dice que laintegral impropia es divergente o que no converge.


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Definicion

Sea f : R→ R integrable en [A,B] para todo A,B ∈ R, siendoA < B. Se dice que existe

∫ +∞−∞ f , cuando, para todo c ∈ R

existen∫ c−∞ f (x)dx y

∫ +∞c f (x)dx .

En tal caso,∫ +∞

−∞f (x)dx =

∫ c

−∞f (x)dx +

∫ +∞

cf (x)dx


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Integrales impropias de segunda especie

Definicion

Sea f : [a, b)→ R integrable en [a, t], para todo t ∈ R tal quea < t < b.Se define la integral impropia de f en [a, b) como∫ b

af (x)dx = lim

t→b−

∫ t

af (x)dx



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Definicion

Sea f : (a, b]→ R integrable en [t, b], para todo t ∈ R tal quea < t < b.Se define la integral impropia de f en (a, b] por∫ b

af (x)dx = lim

t→a+

∫ b

tf (x)dx



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Definicion

Sea f : (a, b)→ R integrable en [A,B] para todo A,B ∈ R tal quea < A < B < b.Se dice que existe la integral impropia de f en (a, b) cuando paratodo c ∈ R existan las integrales impropias en (a, c] y [c, b).En tal caso se define∫ b

af (x)dx =

∫ c

af (x)dx +

∫ b

cf (x)dx


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AreasVolumenesLongitudes y superficies

Resumen

1 IntegracionDefinicionPropiedades de la integralRelacion entre el calculo diferencial y el calculo integralCalculo de primitivasIntegrales impropias

2 Aplicaciones de la integral definidaAreasVolumenesLongitudes y superficies


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Area bajo una curva

Area: lımite de suma de Riemann.

El incremento de area debido alrectangulo representativo en x es:

∆A = f (x) ∆x

El area total es aproximadamente la suma de los rectangulos:

A ≈x=b∑x=a

∆A =x=b∑x=a

f (x) ∆x

Al llevar la suma al lımite, aparece la integral:

A = lim∆x→0

x=b∑x=a

f (x) ∆x =

∫ b

af (x) dx


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Area entre dos curvas

Area del rectangulo negro:

∆A1 = (g(x)− f (x)) ∆x

Area del rectangulo verde:

∆A2 = (f (x)− g(x)) ∆x

Hallar el corte x = c y sumar por separado las dos regiones:

A ≈x=c∑x=a

(g(x)− f (x)) ∆x +x=b∑x=c

(f (x)− g(x)) ∆x

Al llevar la suma al lımite, aparece la integral:

A =

∫ c

a(g(x)− f (x)) dx +

∫ b

c(f (x)− g(x)) dx


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Area entre tres curvas

Tener en cuenta las dos regiones:

A =

∫ 1

0x2 dx +

∫ 2

1(2− x) dx

Tambien se pueden tomar rectangulos horizontales:

∆A = ((2− y)−√y) ∆y

Al llevar la suma al lımite, aparece la integral sobre y :

A =

∫ 1

0((2− y)−√y) dy


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Volumenes elementalesVolumen con:

Seccion de area A constante.

Altura h.

V = (A) h

Casos particulares:

Cilindro: V =(π r2

)h Ortoedro: V = (l d) h


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Secciones conocidas

En cada x hay un area conocida A(x).

El area A(x) da lugar a un volumenelemental de altura infinitesimal:

∆V ≈ A(x) ∆x

Volumen total aproximado: suma.

V ≈x=b∑x=a

A(x) ∆x

Lımite de la suma: integral.

V =

∫ b

aA(x) dx


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Metodo de discos

⇓

Volumenes de revolucion

Se crean al girar una region en torno a uneje: las secciones son cırculos.

Para un rectangulo representativo en x , elincremento de volumen es un fino disco:

∆V ≈ π r2 ∆x r = f (x)

El volumen total es el lımite de la sumade los volumenes:

V =

∫ b

aπ(f (x)

)2dx


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Metodo de arandelas

⇓

Si el eje de giro no limita la region, seforma una cavidad.

Para un rectangulo representativo en x , elvolumen es una corona circular:

∆V ≈(π R2 − π r2

)∆x

R = f (x) r = g(x)


V =

∫ b

aπ

((f (x)

)2−(g(x)

)2)

dx


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Volumenes de revolucion en torno al eje y

∆V ≈ π r2 ∆y

r = x = f −1(y)

V =

∫ b

aπ(f −1(y)

)2dy

∆V ≈ π(R2 − r2

)∆y

R = x = f −1(y) r = x = g−1(y)

V =

∫ b

aπ

((f −1(y)

)2−(g−1(y)

)2)

dy


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Eje de giro distinto de los ejes coordinados

EJE: y = c

∆V ≈ π r2 ∆x

r = f (x)− c

V =

∫ b

aπ (f (x)− c)2 dx

EJE: x = c

∆V ≈ π(R2 − r2

)∆y

R = x = f −1(y) r = c

V =

∫ b

aπ

((f −1(y)

)2−(c)2)

dy


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Metodo de capas

⇓

Al girar el rectangulo representativo entorno a un eje paralelo, genera un tubohueco.

Al rectificar la pared del tubo, se tiene unortoedro de volumen:

∆V ≈ 2π r h∆x r = x h = f (x)


V =

∫ b

a2π x f (x) dx


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Volumenes de revolucion1 Esboza graficamente la region y el eje.2 Determina variable de integracion y rectangulo caracterıstico:

Rectangulo vertical, variable x , region con techo y suelo biendefinidos.Rectangulo horizontal, variable y , si la region tiene paredeslaterales bien definidas.A veces son posibles las dos.

3 Determina el metodo:Discos si el eje y el rectangulo son perpendiculares.Capas si el eje y el rectangulo son paralelos.A veces son posibles los dos.

4 Etiqueta en el grafico las longitudes de interes:Radios en el metodo de discos.Radio y altura en el metodo de capas.

5 Plantea la integral y resuelve.


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Longitud de una curva

Para un segmento recto representativoen x , el incremento de longitud es:

∆s ≈√

(∆x)2 + (∆y)2

=

√1 +

(∆y

∆x

)2

∆x

El lımite de la fraccion ∆y∆x es la

derivada:

s =

∫ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx


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Superficie de revolucion

⇓

Al girar el rectangulo, genera untronco de cono.

Al rectificar la pared del tronco, setiene un rectangulo de area:

∆A ≈ l ∆s

l = 2π r r = f (x)

∆s =

√1 +

(∆y

∆x

)2

∆x

El lımite de la suma es la integral:

A =

∫ b

a2π f (x)

√1 + (f ′(x))2dx


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