INTEGRACIÓN DE DISCIPLINAS EN INGENIERÍA MECÁNICA MEDIANTE MATEMÁTICA COMPUTACIONAL

Alicia M. Tinnirello 1, Eduardo A. Gago 2 y Matías F. Romero 3

1,2,3 Laboratorio Multidisciplinar e Informático de Ciencias Básicas – Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Rosario

Zeballos 1341, Rosario, Argentina correo-e: eagago@gmail.com

RESUMEN

El carácter multidisciplinar de las carreras de ingeniería debe considerarse como una clave para asegurar que los estudiantes incorporen el conocimiento de una manera significativa para ser utilizados en el desarrollo del ciclo correspondiente a las tecnologías básicas y aplicadas y en el proceso de enseñanza y aprendizaje de matemática.

El trabajo actual describe los cambios metodológicos implementados en la asignatura Cálculo Avanzado en la carrera Ingeniería Mecánica, que consideramos innovadores, y que están destinados a integrar distintas disciplinas, con un enfoque basado en la complejidad de los sistemas de transmisión de calor y su relación con los modelos matemáticos involucrados, para introducir a pequeños grupos de estudiantes en actividades de investigación y para ampliar el espectro de nuevos conocimientos.

Los llamados laboratorios virtuales han surgido en el área de la educación en ingeniería como una alternativa potencial a los laboratorios tradicionales. Este nuevo sistema de aprendizaje es posible gracias a la capacidad que ofrecen los recientes avances tecnológicos que nos permiten resolver en forma simbólica y también numérica cada sistema en estudio, que puede ser representado por un modelo matemático y diseñado utilizando modelos de simulación, estas ventajas actuales se utilizan en el proceso de enseñanza en varias disciplinas de las carreras de Ingeniería.

Este cambio en el contexto de aprendizaje de las ciencias tiene como objetivo poner énfasis en la interpretación de los diversos parámetros de los sistemas en estudio, utilizando herramientas de cálculo simbólico; y la generación de un campo de trabajo colaborativo; permitiendo la formación de capacidades básicas que impactan en la formación multidisciplinar del estudiante.

Esta presentación incluye la planificación, el análisis y la selección de contenidos en el estudio de modelos relacionados con la transmisión de calor y flujo de fluidos empleando una plataforma de simulación multifísica donde las Matemáticas y los sistemas de Física variados promueven y facilitan la conceptualización de modelos complejos.

Palabras Claves: Enseñanza multidisciplinar, transmisión del calor, matemática computacional.

1. INTRODUCCIÓN

La ingeniería se encuentra altamente matematizada, es decir elementos cada vez más complejos

aportados por la ciencia matemática, son cada día más útiles en aplicaciones concretas, en las

realizaciones industriales; siendo la clave del rápido traslado de los resultados teóricos al campo

tecnológico el explosivo avance computacional, que no puede ser ignorado, en consecuencia, por

la enseñanza.

Los avances tecnológicos de los últimos años han producido un fuerte impacto en Educación,

ampliando los escenarios educativos. Los campus físicos se cambian o se complementan por otros

de carácter virtual, las relaciones dentro de la comunidad se desarrollan preferentemente en

formato no presencial y no siempre de forma síncrona. La presencia de campus físicos y campus

virtuales para desarrollar los procesos de enseñanza aprendizaje, dan lugar a los “nuevos

ambientes educativos”. En estos ambientes no solo aparece un cambio espacio–temporal sino

también en las responsabilidades, las tareas, materiales, actividades y evaluaciones. En definitiva,

las decisiones sobre el qué, cuándo, dónde, cómo o cuánto enseñar transforman las concepciones

tradicionales de los ambientes educativos [1]. Los espacios de trabajo virtual complementan el

trabajo del aula real. Los entornos exploratorios, los sistemas de modelización, las simulaciones y

los laboratorios virtuales, permiten a los alumnos verificar hipótesis, explorar relaciones dinámicas

en estos entornos, mostrar un mismo elemento en diversos contextos, analizar escenarios

variables y tomar decisiones [2].

En la formación del Ingeniero Mecánico deben contemplarse conocimientos básicos indispensables

para abordar el análisis y resolución de sistemas complejos, que involucran una Matemática

superior donde se desarrollen métodos analíticos, cualitativos y numéricos capaces de resolver

modelos matemáticos diversos que describan algún sistema o fenómeno de la vida real. El proceso

de modelización se articula mediante una red de componentes de especificidad determinada,

donde el alumno está sometido a la toma constante de decisiones que lo llevarán a obtener la

conceptualización del mismo [3]. Basados en estas premisas, distintas experiencias innovadoras

fueron implementadas en las aulas de Cálculo Avanzado, en la carrera de Ingeniería Mecánica,

donde la mediación entre el contenido de la asignatura y las respuestas esperadas del grupo de

estudiantes, fue dada mediante la incorporación paulatina, en el desarrollo de los temas y en los

talleres realizados en el laboratorio sobre diversas aplicaciones tecnológicas y en el uso de

plataformas virtuales de aprendizaje.

Durante los últimos años, las estrategias metodológicas implementadas tuvieron cada una

características propias y diferenciadas en cuanto a las actividades y resultados logrados, pero

integradas en el sentido de los aportes realizados a la formación en ingeniería.

2. MOTIVACIÓN Y OBJETIVOS

En recientes investigaciones se destaca la importancia de enfatizar relaciones entre los desarrollos

matemáticos y los contenidos planificados en los departamentos de carrera de Ingeniería con el

propósito de lograr las competencias necesarias para darles significados a los temas de

matemática para la modelización de sistemas complejos [4].

Integrar la matemática computacional con las áreas tecnológicas en el curriculum de Ingeniería e

incorporar nuevos estilos de trabajo a partir de principios organizadores que permitan vincular los

saberes y darles sentido, transformando lo que generan las fronteras disciplinarias, es el objetivo

principal de la propuesta implementada.

Es imprescindible comprender en profundidad procesos de cambios iniciados a partir de las

potencialidades que ofrecen los distintos recursos computacionales en la construcción del

conocimiento, resultando de suma importancia indagar la implementación de estrategias áulicas

que permitan a partir de la relación matemática-informática, articular las disciplinas básicas con las

tecnológicas [5,6].

Para facilitar en los alumnos la construcción de los saberes necesarios para el manejo de lo

complejo: diseñar e implementar aplicaciones que involucren la resolución de sistemas

diferenciales algebraicos y utilizar la computación simbólica y los métodos gráficos avanzados se

organizaron distintas propuestas integradoras para presentar aplicaciones desde la cátedra de

Cálculo avanzado.

3. DESARROLLO DE LA EXPERIENCIA

Dado que una de las competencias matemáticas es el modelado de sistemas, los estudiantes

deben ser capaces de analizar e interpretar diferentes modelos en temas aplicados, no se espera

que produzcan nuevos desarrollos pero deben lograr conectar los conocimientos adquiridos con

diferentes herramientas que permitan la resolución y validación de situaciones ante escenarios

cambiantes.

Para ello se organizan actividades comenzando por el desarrollo de talleres, donde diferentes

propuestas con software específico son presentadas a los alumnos, utilizando material digitalizado

en el campus virtual, luego se brinda información sobre la bibliografía y otras fuentes de búsqueda

que complementen el material de estudio e investigación sobre las propuestas presentadas.

Se forman grupos de alumnos de tres o cuatro integrantes, y la clase se estructura de manera que

en primera instancia los estudiantes analizan el material bibliográfico y los trabajos de investigación

que se encuentran disponibles y que están relacionados con el tema, para luego analizar los casos

propuestos, y así concretar la simulación del tema en estudio.

Los docentes y becarios asignados al laboratorio, guían en todo momento la experiencia, tratando

de ser un nexo entre las elecciones y apreciaciones de los alumnos y los debates que se generan

en la clase, permitiendo que las comisiones trabajen en forma autónoma.

A continuación, y a modo de ejemplo, se presentan algunos de los temas desarrollados en los

talleres mencionados los que poseen un grado de complejidad creciente y dan origen a los trabajos

prácticos de investigación requeridos para la aprobación de la asignatura.

Se propone el análisis de distintos procesos de transferencia de calor presentados en ingeniería

mecánica y que se entrenen en el uso de las plataformas de simulación multifísica, en nuestro caso

el programa COMSOL Multiphysics. Mostrando las ventaja del módulo CFD (Computacional Fluid

Dynamics) para resolver las ecuaciones diferenciales parciales que describen los distintos

procesos de flujo de calor utilizando el método de elementos finitos.

Las ecuaciones de Navier-Stokes (N-S) modelan el comportamiento de cualquier tipo de fluido

mediante la conservación de tres cantidades, a saber: masa, cantidad de movimiento y energía.

Estos modelos no se utilizaban en simulaciones, dadas su alta complejidad computacional, en su

lugar se utilizaron modelos de flujo potencial y posteriormente descripciones Eulerianas. Conforme

la tecnología de las computadoras fue evolucionando, estos modelos comenzaron a utilizarse cada

vez con más frecuencia hasta resultar natural hoy en día simular complejos sistemas en donde los

fluidos son resueltos por una formulación de N-S [7, 8].

FI.uuuI.uuT

3

2 (1)

0 u. (2)

pVhp WQQTk.T.uC (3)

Las ecuaciones de N-S (ecuaciones 1, 2 y 3) conforman un sistema de ecuaciones diferenciales en

derivadas parciales (PDE) no lineales, es por ello que (a excepción de casos muy simples) no se

tienen soluciones analíticas conocidas. La necesidad de una resolución numérica resulta evidente,

luego grandes esfuerzos se han realizado y se siguen realizando con el objetivo de mejorar las

soluciones obtenidas tanto en tiempo como en precisión.

4. INVESTIGACION DE CASOS

En primera instancia se analiza un caso sencillo de transferencia de calor para presentar una EDP

característica en el estudio de este tipo de sistemas para luego abordar sistemas más complejos

que involucran el proceso de transferencia de calor en sólidos de diferente geometría. En una

primera etapa se considera un sistema de dos placas planas, luego dos cilindros concéntricos y

finalmente el flujo de fluidos en tuberías. El análisis de estos tres sistemas completa un trabajo de

investigación integrador considerado como un proyecto inicial para futuras aplicaciones.

4.1 Ecuación diferencial de la conducción del calor

Si se considera una varilla delgada de longitud L , ubicada a lo largo del eje x y si )t,x(u es la

función de temperatura en cada punto de la misma en cualquier instante t ; y considerando que la

temperatura en una sección transversal A , es la misma para todos sus puntos; dependiendo

solamente de su posición en x . Si a una placa de material sólido homogénea (densidad constante

), calor específico c y conductividad térmica k está comprendida entre dos secciones ubicadas

en x y xx , y no hay fuentes de calor en su interior, ni escapa calor al medio (aislada), la

ecuación de calor unidimensional que modela al sistema es:

2

2

x

u

t

u

(4)

, y tal que el coeficiente c

k

se denomina difusividad térmica.

La forma bidimensional de la Ecuación (4) es:

2

2

2

2

y

u

x

u

t

u (5)

, y su expresión tridimensional es la Ecuación (6):

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

t

u (6)

Para encontrar una solución a la EDP se especifican además condiciones iniciales (CI) y

condiciones de frontera (CF). Las CI denotan la distribución de temperatura en el instante inicial

( 0t ) y en el caso unidimensional tendría la forma )x(f),x(u 0 . Las CF indican las restricciones

que deben satisfacer la función de temperatura o sus derivadas, en los bordes o fronteras de la

región. Así, resolver una EDP, sujeta a CI y CF, constituye un problema con valores en la frontera

(PVF).

Luego de conceptualizar las EDP que modelan un proceso de transferencia de calor se dan

respuesta a las inquietudes presentadas por los alumnos y se coordinan las acciones para analizar

el proceso en paredes planas.

4.2. 1er Análisis: Transferencia de calor en paredes planas

El primer caso que se analiza es el de transferencia de calor por conducción a través de dos placas

planas de distintos materiales. Un sencillo caso que permite a los alumnos introducirse en el tema y

que facilita la utilización de la tecnología CFD.

El enfoque único de COMSOL basado en el uso de ecuaciones diferenciales parciales (EDP),

utilizando como resolución el método de los elementos finitos, consiste en una técnica que

sustituye el problema diferencial por uno algebraico equivalente [9].

La transferencia de calor se realiza a través de dos paredes de espesores 300, y .m,350 y cuyas

conductividades térmicas son Km

Wk 121 y

Km

Wk 52 , respectivamente. Las temperaturas

exteriores consideradas son KT 3501 y KT 2732 y los coeficientes peliculares utilizados son

Km

Whh

221 10 .

El módulo de transferencia de calor que posee el programa permite realizar los cálculos y gráficas

del transporte de energía en sólidos por conducción. La distribución de temperatura provista por el

programa se observa en la Figura 1.

Figura 1: Distribuciones de temperatura de las placas

Una vez que los estudiantes determinan la geometría del sistema y fijan las condiciones límite,

obtienen el perfil de temperaturas en función del espesor de la pared, como se puede observar en

la Figura 2.

Figura 2: Distribuciones de temperatura de las placas

4.3. 2do Análisis: Transferencia de calor a través de elementos cilíndricos

En este caso la transferencia de calor se realizará a través de dos cilindros concéntricos. Los

cilindros tienen un espesor de .m,150 , sus conductividades térmicas son Km

Wk 41 en el cilindro

exterior y de Km

Wk 52 en el cilindro exterior. La temperatura exterior es KT 3931 y la

temperatura del centro es KT 2832 , los coeficientes de película son Km

Wh

21 20 y

Km

Wh

22 5000 .

En la Figura 3 se observan los datos correspondientes a la evolución de los valores de las

temperaturas que se originan en el proceso, y los perfiles de temperatura en función del radio.

En la Figura 4 se observa que el flujo de calor no es constante, y la gráfica permite ver la situación

para distintos radios.

Figura 3: Perfiles de temperatura

Figura 4: Flujo de calor

Luego, y dentro de este caso, los alumnos deciden analizar una interesante problemática que se

presenta en el ámbito ingenieril. Se plantean el caso de colocar capas aislantes en la superficie

cilíndrica del tubo con el propósito de encontrar un prototipo que minimice el costo económico para

el diseño del tubo.

(a) (b)

Figura 5: (a) Perfiles de temperatura, (b) curvas de nivel para los gradientes de temperatura

En la Figura 5 (a), hay una gráfica comparativa en los perfiles de temperatura para determinar el

objetivo que se propusieron los alumnos, y se observa que la figura del medio es la más

conveniente para no desperdiciar material.

En la Figura 5 (b) se muestran las curvas de nivel para los gradientes de temperatura que se

corresponden con la Figura 5 (a), con los correspondientes vectores que indican la dirección del

flujo de calor.

En la Figura 6, hay una gráfica comparativa del flujo de calor respecto a la aislación más ventajosa

que tendría la tubería, y también observan que la figura del medio es la más conveniente.

Figura 6: Flujo de calor en la tubería

4.4. 3er. Análisis: Flujo Laminar en Tuberías

Los estudiantes consideran para este caso un fluido incompresible isotérmico de densidad

31

m

.kg y cuya viscosidad es seg..Pa510 que ingresa a una tubería de .m5 de longitud y

.m,20 de radio y una con velocidad de entrada uniforme de seg

m,,v 010 .

Definida la geometría del sistema y las condiciones de contorno, el programa resuelve la ecuación

de N-S para estado estacionario y flujo unidireccional.

Los resultados más significativos se muestran en las siguientes gráficas:

En la Figura 7 (a), observan la distribución de velocidades en la primera porción de la tubería, en

donde se infiere el perfil parabólico característico del flujo laminar. Las zonas azules indican los

lugares en donde el fluido va perdiendo velocidad y las zonas rojas indican los lugares en donde se

acelera el fluido.

En la Figura 7 (b), los alumnos determinan la distribución de velocidad del sistema pero realizando

un análisis de forma tridimensional.

(a) (b)

Figura 7: (a) Distribución de velocidades en 2D, (b) Distribución de velocidades en 3D

Con las múltiples opciones que tienen del programa se pueden graficar los perfiles de velocidades

en distintas secciones de la tubería, como se muestra en la Figura 8 (a), permitiendo ver

claramente cómo se va desarrollando el perfil parabólico del flujo laminar. En la figura 8 (b)

muestran cómo va aumentando la velocidad en el centro de la tubería.

(a) (b)

Figura 8: (a) Perfil transversal de velocidades para diversas secciones a lo largo de la tubería (b)

Perfil longitudinal de velocidades en el centro del tubo.

5. RESULTADOS DE LA EXPERIENCIA

Las estrategias implementadas en el tema EDP y sus aplicaciones han permitido establecer líneas

de estudio de cierta complejidad en los estudiantes, logrando no sólo la conceptualización de los

mismos si no además profundizar e integrar conceptos matemáticos, despertando el interés de los

estudiantes en la investigación científica y sus recientes desarrollos.

6. CONCLUSIONES

La planificación, análisis y selección de los contenidos de esta presentación, como de los

sucesivos trabajos realizados durante el segundo semestre de cursado se realizan en virtud de

propuestas que presentan los alumnos con la guía de los docentes y becarios. Se valoró la

importancia de conectar disciplinas pero también de presentar nuevas formas de aprendizaje

motivadas por la utilización de tecnologías para descubrir y resolver modelos matemáticos de difícil

resolución analítica, como son las EDP de N-S.

Esta forma de aprendizaje genera un ambiente académico de gran movilidad, despertando el

interés de los alumnos en líneas de trabajo interdisciplinar, y permite incorporar recursos humanos

en los grupos de docencia e investigación, logrando la formación de jóvenes profesionales con

espíritu crítico y competencias para integrar conocimientos que propicien cambios significativos en

la enseñanza en Ingeniería.

4. REFERENCIAS

[1] García Aretio, L., Ruíz, M., Domínguez, D. De la Educación a Distancia a la Educación Virtual.

Editorial Ariel (Grupo Planeta), Barcelona, 2007.

[2] Azinian, H. Las tecnologías de la información y la comunicación en las prácticas pedagógicas:

manual para organizar proyectos. Ediciones Novedades Educativas, Buenos Aires, 2009.

[3] Posada Álvarez, R. Formación Superior Basada en Competencias, Interdisciplinariedad y

Trabajo Autónomo del Estudiante. Revista Iberoamericana de Educación, Volumen 35, Número

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[4] Bischof, G., Bratschitsch, E., Casey, A., Rubesa, D. Facilitating Engineering Mathematics

Education by Multidisciplinary Projects. Journal of American Society for Engineering Education,

pp. 1-14, 2007.

[5] Rosen, M. Engineering Education: Future Trends and Advances. Proceedings of the 6th.

WSEAS International Conference on Engineering Education, pp.44-52, 2009.

[6] Raichman, S., Sabulsky, G., Totter, E. (Coords), Orta, M., Verdejo, P. Estrategias para el

Desarrollo de Innovaciones Educativas Basadas en la Utilización de Tecnologías de la

Información y Comunicación. En: Estrategias para el uso de tecnologías de información y

comunicación en los procesos de aprendizaje, Editor: Innova Cesal, México, pp. 19-34, 2013.

[7] Tinnirello, A., Gago, E., D’Alessandro, L., Dádamo, M. Virtual Instruments Integrating

Mathematical Modeling for Engineering Education. Proceedings of 9th annual International

Conference of Education, Research and Innovation, pp. 255-264, 2016.

[8] Tinnirello, A., Gago, E., Valentini, M. Design and Simulation of Mechanical Equipment by Design

Tools and Multiphysics Platforms. Proceedings of 8th. International Conference of Education,

Research and Innovation, pp. 789-797, 2015.

[9] Montes Alzate, R. Aplicación del programa COMSOL Multiphysics en la Ingeniería Mecánica.

Proyecto de Grado. Universidad Tecnológica Pereira - Facultad De Ingeniería Mecánica. pp.14,

2015.