Integración de Funciones Racionales - Teoría

5.6. INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES 359

5.6. Integracion de funciones racionales

Se llaman funciones racionales a las que vienen definidas por el cocientede dos polinomios. C

Pm(x)Pn(x)

dx

5.6.1. Integracion de fracciones elementales

Se denominan fracciones simples (o elementales) a las fracciones racionalesde los cuatro tipos siguientes:

I.1

x− aII.

1(x− a)n

III.Ax + B

x2 + px + qIV.

Ax + B

(x2 + px + q)n

siendo x2 + px + q irreducible.Las siguientes integrales racionales son inmediatas:C 1

x− adx = ln |x− a|+ C

Cf ′(x)f(x)

dx = ln |f(x)|+ CCdx

(x− a)n=C

(x− a)−ndx =(x− a)−n+1

−n + 1+ C =

−1(n− 1)(x− a)n−1

+ CC 11 + x2

dx = arc tg x + C

Integrales del tipo:C 1x2 + px + q

dxC

Ax + B

x2 + px + qdx siendo x2 + px + q = 0

En el trinomio cuadrado del denominador se separa el cuadrado perfecto delbinomio.

Ejemplo 5.54. Hallar la integralC 1

x2 + 4x + 13dx

Solucion. Expresamos el denominador como el cuadrado de un binomio,

x2 + 4x + 13 = (x + 2)2 − 4 + 13 = (x + 2)2 + 9

de donde,Cdx

x2 + 4x + 13=C

dx

(x + 2)2 + 9=

19

Cdx�

x + 23

�2

+ 1=

=39

C 1/3 dx�x + 2

3

�2

+ 1=

13

arc tgx + 2

3+ C

360CAPITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS

Ejemplo 5.55. Hallar la integralC 1

2x2 − 4x + 10dx

Solucion. Expresamos el denominador como el cuadrado de un binomio,sacando previamente 2 factor comun,

2x2 − 4x + 10 = 2[x2 − 2x + 5] = 2[(x− 1)2 − 1 + 5] = 2[(x− 1)2 + 4]

de donde,Cdx

2x2 − 4x + 10=

12

Cdx

(x− 1)2 + 4=

18

Cdx�

x− 12

�2

+ 1=

=28

C 1/2 dx�x− 1

2

�2

+ 1=

14

arc tgx− 1

2+ C

Ejemplo 5.56. Hallar la integralC 3x + 2

x2 − 4x + 8dx

Solucion. Esta integral es del tipo ln + arc tg. Para ello buscamos en el nu-merador la derivada del denominador 2x− 4 y luego separamos en dos inte-grales; la primera es un ln y en la segunda buscamos el arc tg, expresandoel denominador como el cuadrado de un binomio,C (3x + 2) dx

x2 − 4x + 8= 3

C (x + 2/3) dx

x2 − 4x + 8=

32

C 2x + 4/3x2 − 4x + 8

dx =

=32

C 2x− 4 + 4 + 4/3x2 − 4x + 8

dx =32

C 2x− 4x2 − 4x + 8

dx +32

C 16/3 dx

(x− 2)2 + 4=

=32

ln |x2 − 4x + 8|+ 4C 1/2 dx�

x− 22

�2

+ 1=

=32

ln(x2 − 4x + 8) + 4 arc tgx− 2

2+ C

5.6.2. Integracion de funciones racionales con ayuda del de-sarrollo en fracciones simples.

Al integrar una funcion racional se deben seguir los siguientes pasos:

1. Division de los polinomios.- Si el grado del numerador es mayor o igualque el del denominador, la primera operacion es efectuar la division.

P (x) Q(x)R(x) C(x)


De donde, aplicando la prueba de la division, resulta:

P (x) = Q(x) · C(x) + R(x) → P (x)Q(x)

= C(x) +R(x)Q(x)

Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales; la primera esinmediata por ser la integral de un polinomio, y la segunda es masfacil que la inicial ya que el grado de R(x) es inferior que el de Q(x).C

P (x)Q(x)

dx =C

C(x) dx +C

R(x)Q(x)

dx

2. Factorizacion del denominador. Pueden darse los siguientes casos:

a) El denominador tiene solo raıces reales simples.

b) El denominador tiene solo raıces reales, aunque alguna de ellases multiple.

c) Entre las raıces del denominador las hay complejas simples, al-guno de los factores es un polinomio de segundo grado irreducible.

d) Entre las raıces del denominador las hay complejas multiple, al-guno de los factores es un polinomio de segundo grado irreducibleque se repite.

3. Descomponer la fraccion en fracciones simples.

La determinacion de los coeficientes se puede hacer por dos metodos:

1. Identificando los coeficientes de los terminos del mismo grado de x.

2. Dando valores arbitrarios a x.

NOTA: En todo momento debemos comprobar si la fraccion que vamos aintegrar es o no una fraccion elemental, o la derivada de un ln.

Ejemplo 5.57. Hallar la integralC 2x3 + 3x2 − 6x− 12

x2 − 4dx

Solucion. Efectuamos la division de los polinomios,

2x3 + 3x2 − 6x− 12 x2 − 4−2x3 + 8x 2x + 3

3x2 + 2x− 12−3x2 + 12

2x

→ 2x3 + 3x2 − 6x− 12x2 − 4

= 2x + 3 +3x

x2 − 4


Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales, que en este casoambas resultan inmediatas; la primera por ser polinomica, y la segunda porser la derivada de un logaritmo.C

2x3 + 3x2 − 6x− 12x2 − 4

dx =C

(2x+3) dx+C

2x

x2 − 4dx = x2 +3x+ln |x2−4|+C

Ejemplo 5.58. Hallar la integralC 2x3 − 5x2 − 4x + 13

x2 − 4x + 4dx


2x3 − 5x2 − 4x + 13 x2 − 4x + 4−2x3 + 8x2 − 8x 2x + 3

3x2 − 12x + 13−3x2 + 12x− 12

1

Por consiguiente, aplicando la prueba de la division, resulta:

2x3 − 5x2 − 4x + 13x2 − 4x + 4

= 2x + 3 +1

x2 − 4x + 4

Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales, que en este casoambas resultan inmediatas; la primera por ser polinomica, y la segunda porser elemental.C 2x3 − 5x2 − 4x + 13

x2 − 4x + 4dx =

C(2x + 3) dx +

C 1x2 − 4x + 4

dx =

= x2 + 3x +C 1

(x− 2)2dx = x2 + 3x− 1

x− 2+ C

(a) El denominador tiene solo raıces reales simples.

p(x)q(x)

=p(x)

(x− x1)(x− x2) · · · (x− xn)=

A

x− x1+

B

x− x2+ · · ·+ N

x− xn

Ejemplo 5.59. Hallar la integralC

x2 + 3x− 4x2 − 2x− 8

dx


x2 + 3x− 4 x2 − 2x− 8−x2 + 2x + 8 1

5x + 4→ x2 + 3x− 4

x2 − 2x− 8= 1 +

5x + 4x2 − 2x− 8


Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales, la primera es in-mediata, por ser polinomica, pero la segunda no.C

x2 + 3x− 4x2 − 2x− 8

dx =C

1 dx +C 5x + 4

x2 − 2x− 8dx = x + I1

Para calcular la segunda integral factorizamos el denominador y descom-ponemos la fraccion en fracciones simples.

x2 − 2x− 8 = 0→ x =2±√4 + 32

2=

2± 62

=�

4−2

de donde resulta,

5x + 4x2 − 2x− 8

=5x + 4

(x− 4)(x + 2)=

A

x− 4+

B

x + 2=

A(x + 2) + B(x− 4)(x− 4)(x + 2)

Los coeficientes los calculamos dando valores a x,

x = 4 → 24 = 6A → A = 4x = −2→ −6 = −6B → B = 1

Con lo cual resulta,

I1 =C 5x + 4

x2 − 2x− 8dx =

C 4x− 4

dx +C 1

x + 2dx = 4 ln |x− 4|+ ln |x + 2|

de donde, Cx2 + 3x− 4x2 − 2x− 8

dx = x + 4 ln |x− 4|+ ln |x + 2|+ C

(b) El denominador tiene solo raıces reales, aunque alguna de ellases multiple.

p(x)q(x)

=p(x)

(x− x1)(x− x2)3=

A

x− x1+

B

x− x2+

C

(x− x2)2+

D

(x− x2)3


x4 − x3 − x− 1x3 − x2

dx


x4 − x3 − x− 1 x3 − x2

−x4 + x3 x

−x− 1→ x4 − x3 − x− 1

x3 − x2= x +

−x− 1x3 − x2

Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales, la primera inmediata,por ser polinomica, y la segunda no.C

x4 − x3 − x− 1x3 − x2

dx =C

x dx +C −x− 1

x3 − x2dx =

x2

2+ I1


Para calcular la segunda integral factorizamos el denominador y descom-ponemos la fraccion en fracciones simples.

x3 − x2 = x2(x− 1)

de donde resulta,

−x− 1x3 − x2

=−x− 1

x2(x− 1)=

A

x+

B

x2+

C

x− 1=

Ax(x− 1) + B(x− 1) + Cx2

x2(x− 1)


x = 0→ −1 = −B → B = 1x = 1→ −2 = C → C = −2x = 2→ −3 = 2A + B + 4C → −3 = 2A + 1− 8→ 2A = 4→ A = 2

Con lo cual resulta,

I1 =C −x− 1

x3 − x2dx =

C 2x

dx+C 1

x2dx+

C −2x− 1

dx = 2 ln |x|− 1x−2 ln |x−1|

de donde,Cx4 − x3 − x− 1

x3 − x2dx =

x2

2+ 2 ln |x| − 1

x− 2 ln |x− 1|+ C

(c) Entre las raıces del denominador las hay complejas simples, al-guno de los factores es un polinomio de segundo grado irreducible.

p(x)

q(x)=

p(x)

(x − x1)(x − x2)2(ax2 + bx + c)=

A

x − x1+

B

x − x2+

C

(x − x2)2+

Mx + N

ax2 + bx + c

Ejemplo 5.61. Hallar la integralC 8x2 + 6x + 6

x3 − 3x2 + 7x− 5dx

Solucion. Factorizamos el denominador y descomponemos la fraccion en frac-ciones simples.

1 -3 7 -51 1 -2 5

1 -2 5 0

x3 − 3x2 + 7x− 5 = (x− 1)(x2 − 2x + 5)

x2 − 2x + 5 = 0→ x =2±√4− 20

2Sin solucion.

De donde resulta,

8x2 + 6x + 6x3 − 3x2 + 7x− 5

=8x2 + 6x + 6

(x− 1)(x2 − 2x + 5)=

A

x− 1+

Mx + N

x2 − 2x + 5=

=A(x2 − 2x + 5) + (Mx + N)(x− 1)

(x− 1)(x2 − 2x + 5)



x = 1→ 20 = 4A→ A = 5x = 0→ 6 = 5A−N → N = 5A− 6 = 25− 6 = 19x = 2→ 50 = 5A + 2M + N → 50 = 25 + 2M + 19→ 2M = 6→M = 3

Con lo cual resulta,C 8x2 + 6x + 6x3 − 3x2 + 7x− 5

dx =C 5

x− 1dx+

C 3x + 19x2 − 2x + 5

dx = 5 ln |x− 1|+ I1

Para calcular la integral I1 siempre seguimos el siguiente procedimiento: Enprimer lugar expresamos la parte literal del denominador como el cuadradode un binomio y al binomio le llamamos t,

x2 − 2x + 5 = (x− 1)2 − 1 + 5 = (x− 1)2 + 4

Con lo cual resulta la siguiente integral,

I1 =C 3x + 19

x2 − 2x + 5dx =

C 3x + 19(x− 1)2 + 4

dx =

�x− 1 = t

dx = dt

�=C 3t + 22

t2 + 4dt =

Para resolver esta integral separamos la parte literal de la parte numerica;con la parte literal buscamos un ln y con la numerica un arc tg

=C 3t

t2 + 4dt +

C 22t2 + 4

dt =32

C 2t

t2 + 4dt +

224

C 1t2/4 + 1

dt =

=32

ln |t2 + 4|+ 224· 2

C 1/2(t/2)2 + 1

dt =32

ln |t2 + 4|+ 11 arc tgt

2=

=32

ln |x2 − 2x + 5|+ 11 arc tgx− 1

2con lo cual, resultaC 8x2 + 6x + 6

x3 − 3x2 + 7x− 5dx = 5 ln |x−1|+ 3

2ln |x2−2x+5|+11 arc tg

x− 12

+C

(d) Entre las raıces del denominador las hay complejas multiple, al-guno de los factores es un polinomio de segundo grado irreducibleque se repite.Estas integrales se resuelven buscado una formula recurrente, o mediante elmetodo de Hermite.Metodo de Hermite. Consiste en tratar todas las raıces como si fueransimples y anadir un termino complementario que es la derivada respecto de xde un cociente en el que el denominador se obtiene multiplicando los factoresde raıces multiples elevados a su exponente disminuido en una unidad y el


numerador es un polinomio de grado una unidad menos que el denominadorresultante.C

p(x)q(x)

dx =C

p(x)(x− x1)(x− x2)2(ax2 + bx + c)(dx2 + ex + f)2

dx

p(x)q(x)

=A

x− x1+

B

x− x2+

Mx + N

ax2 + bx + c+

Px + Q

dx2 + ex + f+

+d

dx

8Rx2 + Sx + T

(x− x2)(dx2 + ex + f)

9de donde,C

p(x)q(x)

dx =C

A

x− x1dx +

CB

x− x2dx +

CMx + N

ax2 + bx + cdx+

+C

Px + Q

dx2 + ex + fdx +

Rx2 + Sx + T

(x− x2)(dx2 + ex + f)

Nota. Debemos observar lo siguiente:

1. Como el termino complementario es una derivada no necesitamos in-tegrarlo.

2. Las raıces simples no aparecen en el denominador del termino comple-mentario.

Esquematicamente el metodo de Hermite se puede recordar de la siguienteforma:

p(x)q(x)

=>&

todas las raıcescomo simples

'+

d

dx

./0 polinomio de gradoel que resulte en el denominador -1

producto de factores multiples,eleados a su exponente -1

123Ejemplo 5.62. Calcular,

Cdx

(1 + x2)2

Solucion. Dado que x2 +1 = 0 no tiene raıces, se trata de una raız complejade multiplicidad 2. Con lo cual, aplicamos el metodo de Hermite y resulta:

1(1 + x2)2

=Mx + N

1 + x2+

d

dx

6Ax + B

1 + x2

7Derivamos el cociente y sumamos las fracciones,

1(1 + x2)2

=Mx + N

1 + x2+

A(1 + x2)− 2x(Ax + B)(1 + x2)2

=

=(Mx + N)(1 + x2) + A(1 + x2)− 2x(Ax + B)

(1 + x2)2

5.7. INTEGRACION DE EXPRESIONES TRIGONOMETRICAS 367

calculamos los coeficientes dando valores a x

x = 0 → 1 = N + Ax = 1 → 1 = (M + N)2 + 2A − 2(A + B)x = −1 → 1 = (−M + N)2 + 2A + 2(−A + B)x = 2 → 1 = (2M + N)5 + 5A − 4(2A + B)

�� N + A = 12M + 2N + 2A − 2A − 2B = 1−2M + 2N + 2A − 2A + 2B = 110M + 5N + 5A − 8A − 4B = 1

��N + A = 12M + 2N − 2B = 1−2M + 2N + 2B = 110M + 5N − 3A − 4B = 1

�� 3a + 2a

4a − 2 · 2a

�� A = 1 − N2M + 2N − 2B = 14N = 2 → N = 1/26M + N − 3A = −1

�� A = 1/22M − 2B = 0N = 1/26M − 3A = −3/2

��A = 1/2B = MN = 1/26M = 0

�� A = 1/2B = 0N = 1/2M = 0

��luego,C

dx

(1 + x)2=C 1/2 dx

1 + x2+C

d

dx

61/2 x

1 + x2

7dx =

12

arc tg x +x

2(1 + x2)+ C

5.7. Integracion de expresiones trigonometricas

5.7.1. Integracion de potencias de funciones trigonometricas

Consideremos integrales del tipo:Csenm x cosn x dx

existen dos casos para los que se puede resolver la integral,

1. Si alguno de los exponentes es un numero impar y positivo, se separauno para el diferencial y el resto se transforma en el contrario, mediantela formula fundamental de la trigonometrıa sen2 x + cos2 x = 1, yal contrario se le llama t. El segundo coeficiente puede ser cualquiernumero real.

Por ejemplo, si m = 2k + 1 , entonces,

sen2k+1 x = sen2k x · sen x = (sen2 x)k sen x = (�

1− cos2 x)k sen x

2. Si los dos exponentes son pares positivos, se van rebajando los gradoscon las siguientes formulas trigonometricas.

sen2 α =1− cos 2α

2cos2 α =

1 + cos 2α

2


sen3 x cos2 x dx

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