Integral indefinida

1. Integración

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas

funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones

derivables F(x) tales que: F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

2. Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee: integral de f de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: ∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

3. Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la

función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

4. Tabla de integrales

a, e, k, y C son constantes; u(x) es una función y u'(x) su derivada.

En adelante, escribiremos u y u'. Entendamos que esto no es más que un abuso de notación con el fin de

simplificar la misma.

Si u(x) = x, u'(x) = 1, tenemos una tabla de integrales simples:

5. Integrales inmediatas

Integral de una constante

La integral de una constante es igual a la constante por x.

Integral de cero

Integral de una potencia

Ejercicios

6. Integrales logarítmicas y exponenciales

6.1 Integrales logarítmicas

6.2 Integrales exponenciales

Ejercicios

Integrales trigonométricas

Fórmulas

Ejercicios

7. Integrales trigonométricas inversas

Fórmulas

Ejercicios

Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente.

Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.

Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para obtener uno en el denominador.

Dentro del binomio al cuadrado multiplicaremos por su raíz cuadrada de 4/3.

8. Integración por partes

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando

la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Caso 1

En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la x como u.

Caso 2

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

Caso 3

Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1.

Caso 4

Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una

ecuación.

Pasamos la integral del 2º miembro al 1º.

Sumamos las integrales y multiplicamos en los dos miembros por 4/13.

Sacamos factor común e3x.

9. Integrales racionales

En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no

fuera así se dividiría.

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el

denominador en factores.

Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales:

Caso 1: Integrales racionales con raíces reales simples

La fracción puede escribirse así:

Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o

dando valores a x.

Ejemplo

Se efectúa la suma:

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador.

Caso 2: Integrales racionales con raíces reales múltiples

La fracción puede escribirse así:

Ejemplo

Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al denominador y otro más.

Caso 3: Integrales racionales con raíces complejas simples

La fracción puede escribirse así:

Esta integral se descompone en una de tipo logarítmico y otra de tipo arcotangente.

Ejemplo

Hallamos los coeficientes realizando las operaciones e igualando coeficientes:

10. Integración por sustitución o cambio de variable

Método de sustitución

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo

que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inical:

Ejemplo

Cambios de variables usuales

1.

2.

3.

4.

5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, elcambio

de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.

6. Si es par:

7. Si no es par:

Ejemplos

1

2

3

4

5

6