Integrales Paramétricas.

Algún elemento de la integral es un parámetro.

Integrales paramétricas:

Ejemplos: Funciones Eulerianas, Transformada de Laplace,

,0

dxxfepL px

función de distribución normal,

,2

2

2

2

z

x

dxe

zP

Pueden ser integrales propias o impropias.

yxf ,

', yxf

a b x

b

adxyxf ,

xf

yg b x

b

ygdxxf

'yg

yxf ,

', yxf

yg1

x

yg

ygdxyxf

2

1

,

'1 yg '2 yg yg2

Ejemplos: ,2

1 dxexy ,5

2

2

ydxx .

2

2

y

y

yx dxe

1

Integrales Paramétricas.

Sea b

adxyxfyF ,,

con integrable en Rdcbaf ,,: .,, dcba

Proposición: (Continuidad) Si es continua en ,

entonces es continua en

f dcba ,, F .,dc

Dem: Por ser continua en compacto, es uniformemente

continua. Por tanto, tal que si f dcba ,,

00

,',',, yxyxd .',',ab

yxfyxf

entonces

Por otro lado,

.',',,,'''',',,222

yydyxyxdyyyyxxyxyxd

Por tanto, si entonces ', yyd .',,ab

yxfyxf

,',,',,

b

a

b

a

b

a abdxyxfyxfdxyxfyxf

,'',, yFyFdxyxfdxyxfb

a

b

a

Así,

Esto es,

y es continua. F 2

Integrales Paramétricas.

Sea b

adxyxfyF ,,

con integrable en Rdcbaf ,,: .,, dcba

Proposición: (Continuidad) Si es continua en ,

entonces es continua en

f dcba ,, F .,dc

Esto implica que

.,,lim,limlim000

b

a

b

a h

b

ahhdxyxfdxhyxfdxhyxfhyF

Ejemplo: 2

1.dxexy

.01

,01

21

22

1

2

1

yx

yy

eee

ydxeyF

yyxy

xy

.011

2limlim

2

0

2

0F

ee

y

ee yy

y

yy

y

3

Integrales Paramétricas.

Sea b

adxyxfyF ,,

con integrable en Rdcbaf ,,: .,, dcba

Proposición: (Derivación bajo el signo de la integral) Si es de

clase en un abierto que contenga a , entonces es

derivable en y

f

dcba ,, F

dc,

Dem:

1C

.,

,' dcydx

y

yxfyF

b

a

.

,,

b

adx

h

yxfhyxf

h

yFhyF

Por el teorema del valor medio, para todo fijo existe un tal que x

.

,,,

y

hyxf

h

yxfhyxf

1,0

b

ahhdx

y

hyxf

h

yFhyF ,limlim

00

Así,

.

,,lim

0

b

a

b

a hdx

y

yxfdx

y

hyxf

y

f

continua 4

Integrales Paramétricas.

Sea b

adxyxfyF ,,

con integrable en Rdcbaf ,,: .,, dcba

Proposición: (Derivación bajo el signo de la integral) Si es de

clase en un abierto que contenga a , entonces es

derivable en y

f

dcba ,, F

dc,

Interpretación geométrica:

1C

.,

,' dcydx

y

yxfyF

b

a

yxf ,

hyxf ,

a b x

yF

.,

ydxy

yxfyF

b

a

Ejemplo:

4

2 2.

1dx

yxyF

4

2 22.

2' dx

yx

yyF

5

Integrales Paramétricas.

Sea

yg

ygdxyxfyF

2

1

,,

con integrable en Rdcbaf ,,: .,, dcba

Proposición: (cuando los extremos de integración son

funciones) Si es de clase en un abierto que contenga a

y y son derivables en , entonces es

derivable en y

f dcba ,, F dc,

1C

.',',

,' 1122

2

1

ygyygfygyygfdxy

yxfyF

yg

yg

donde ,,,, 21 dcybaygyg

dc,21 gg

Dem: es composición de

Derivando la función compuesta y teniendo en cuenta que

v

udxyxfvuyG ,,,,

,1 ygu .2 ygv

F

,,

,,,,

,,yvf

v

vuyGyuf

u

vuyG

tenemos el resultado buscado. 6

Integrales Paramétricas.

x yg2 yg1 '1 yg '2 yg

yxf ,

yyg 1' yyg 2'

yygf ,1

yygf ,2

', yxf

x yg2 yg1 '1 yg '2 yg

yxf ,

', yxfInterpretación

geométrica:

Ejemplo:

1

2

22

.y

y

y dxxeyF

.4122'22

22 2

1

2

yyy

y

y yeeyydxxyeyF

7