Integrales Triples

27 de abril de 2010

Integrales Triples

Integrabilidad de funciones continuas:

Teorema

Toda funcion f (x , y , z) continua en un paralelepıpedoR = [a, b]× [c , d ]× [e, j ] ⊂ R3, es integrable sobre R.

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Propiedades

(1) Linealidad: si f = f (x , y , z), g = g(x , y , z),∫∫∫R

[f + g ] dxdydz ==

∫∫∫R

f · dxdydz +

∫∫∫R

g · dxdydz

(2) Homogeneidad:∫∫∫R

α · f (x , y , z)dxdydz = α ·∫∫∫

R

f (x , y , z)dxdydz

(3) Monotonıa: si f (x , y , z) ≤ g(x , y , z) sobre R,∫∫∫R

f (x , y , z)dxdydz ≤∫∫∫

R

g(x , y , z)dxdydz

(4) Aditividad: si Ri , i = 1, . . . ,m son paralelepıpedos con interioresdisjuntos dos a dos, f es acotada e integrable sobre cada Ri , yQ = R1 ∪ · · · ∪ Rm es un paralelepıpedo, entonces f es integrablesobre Q, y:∫∫∫

Q

f (x , y , z)dxdydz =m∑

i=1

∫∫∫Ri

f (x , y , z)dxdydz

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Sentido/Interpretacion

Geometrico:∫∫∫

R1 · dxdydz = Vol(R).

Fısico:∫∫∫

Rf (x , y , z)dxdydz es la suma de todas las contribuciones

(en un cierto sentido fısico: masa, potencial, etc.) de los elementospuntuales que conforman R.

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Calculo Practico

Teorema

(Teorema de Fubini) Sea f (x , y , z) una funcion continua sobre unparalelepıpedo R = [a, b]× [c , d ]× [e, j ] ⊂ R3. Entonces,∫∫∫

Rf (x , y , z)dxdydz =

∫ b

x=a

[∫ d

y=c

[∫ j

z=ef (x , y , z)dz

]dy

]dx =

=∫∫∫

Rf (x , y , z)dxdydz =

∫ d

y=c

[∫ b

x=a

[∫ j

z=ef (x , y , z)dz

]dx

]dy =

=∫∫∫

Rf (x , y , z)dxdydz =

∫ d

y=c

[∫ j

z=e

[∫ b

x=af (x , y , z)dx

]dz

]dy =

= · · ·

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Generalizacion

Ω

X

Y

Z

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Generalizacion

Ω

X

Y

Z

Paralelepıpedo R

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Generalizacion

Definimos la funcion:

f (x , y , z) =

f (x , y , z) si (x , y , z) ∈ Ω

0 si (x , y , z) ∈ R3 − Ω

y de ese modo, por definicion,∫∫∫Ω

f (x , y , z)dxdydz =

∫∫∫R

f (x , y , z)dxdydz

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Generalizacion

Se puede probar que la definicion anterior no depende de R (y por lotanto, que la integral sobre un dominio cualquiera Ω ⊂ R3 esta biendefinida).

Las propiedades de linealidad, homogeneidad, monotonıa, aditividadse tienen igualmente.

La interpretacion geometrica es la misma:∫∫∫Ω

1 · dxdydz = Vol(Ω) !!!!

El sentido fısico es el mismo.

Para su calculo practico: PIZARRA.

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Cambio de Variable

Definicion

Dada una aplicacion (transformacion) de clase C1 en un abierto D ⊂ R3,T : D ⊂ R3 7−→ R3, definida por

T (u, v ,w) = (x(u, v ,w), y(u, v ,w), z(u, v ,w))

llamamos jacobiano de T al determinante

J =

∣∣∣∣∣∣∂x∂u

∂x∂v

∂x∂w

∂y∂u

∂y∂v

∂y∂w

∂z∂u

∂z∂v

∂z∂w

∣∣∣∣∣∣Ejemplos: PIZARRA

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Cambio de Variable

Teorema

Sea T : D ⊂ R3 → T (D) ⊂ R3 una transformacion biyectiva quetransforma la region D del espacio (u, v ,w) en la region T (D) del espacio(x , y , z), de clase C1 y cuyo jacobiano no se anula en D. Entonces,∫∫∫

T (D)f (x , y , z)dxdydz =

=∫∫∫

Df (x(u, v ,w), y(u, v ,w), z(u, v ,w)) · |J| · dudvdw

Observaciones:

(1) El teorema es analogo a dos variables.

(2) Como en dos variables, la transformacion debe estar en la formax = x(u, v ,w), y = y(u, v ,w), z = z(u, v ,w).

(3) Basta con que las condiciones se tengan en el interior de D (sinincluir la frontera).

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