Integrales de lnea Katleen Daniela Gomez Rubio cd. 20132120902Mara Victoria Paredes Polanco cd. 20132121602

OBJETIVOS:1. Comprender y utilizar el concepto de curva suave a trozos.2. Expresar y evaluar una integral de lnea.3. Expresar y evaluar una integral de lnea de un campo vectorial.4. Expresar y calcular una integral de lnea en forma diferencial.

CURVAS SUAVES A TROZOS (O POR PARTES)Una propiedad clsica de los campos gravitatorios (o gravitacionales) es que, sujeto a ciertas restricciones fsicas, el trabajo realizado por la gravedad sobre un objeto que se mueve entre dos puntos en el campo es independiente de la trayectoria que siga el objeto. Una de las restricciones es que la trayectoria debe ser una curva suave a trozos (o por partes). Recurdese que una curva plana C dada por:r(t) = x(t)i + y(t)j, atbEs suave si:dx/dt y dy/dtSon continuas en [a, b] y no simultneamente 0 en (a, b). Similarmente una curva C en el espacio dada por r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, atb

Es suave si:dx/dt, dy/dt y dz/dtSon continuas en [a.b] y no simultneamente 0 en (a, b) . Una curva C suave a trozos (o por partes) si el intervalo [a, b] puede dividirse en un numero finito de subintervalos, en cada uno de los cuales C es suave.EJEMPLO 1Hallar una paremetrizacion suave a trozos de la grfica C que se muestra en la figura:

C1: x(t) = 0, y(t)= 2t, z(t)= 0, 0t1 C2: x(t)= 0, y(t)= 2, z(t)= 0, 1t2 C3: x(t)=1, y(t)= 2, z(t)= t -2 2t3Por tanto, C est dado por:2tj 0t1 r(t) =( t -1 )i + 2j 1t2 i+2j+ (t-2) k 2t3 Como C1,C2 y C3 son suaves, se sigue que C es suave a trozos.

INTEGRALES DE LINEAHasta ahora se ha estudiado varios tipos de integrales. En una integral simple

se integr sobre el intervalo [a.b].De manera similar, en las integrales dobles

se integr sobre la regin R del plano. Ahora se estudiara un nuevo tipo de integral llamada integral de lnea

en la que se integra sobre una curva C suave a trozos. Para introducir el concepto de una integral de lnea, considerese la masa de un cable de longitud finita, dado por una curva C en el espacio. La densidad ( masa por unidad de longitud) del cable en el punto (x,y,z) esta dada por f( x,y,z). Divdase la curva C mediante los puntos P0,P1,,Pn produciendo n subarcos como se muestra en la figura.

La longitud del i- esimo subarco est dada por si. A continuacin, se elige un punto (xi, yi,zi ) en cada subarco. Si la longitud de cada subarco es pequea, la masa total del cable puede ser aproximada por la suma

Masa del cable

Si denota la longitud del subarco mas largo y se hace que se aproxime a 0, parece razonable que el limite de esa suma se aproxime a la masa del cable. Esto lleva a la siguiente definicin:

Para evaluar una integral de lnea sobre una curva plana C dada por r(t)=x(t)i+y(t)j, se utiliza el hecho de que

ds= dt = dt

Para una curva en el espacio hay una frmula similar, como se indica en el teorema siguiente:

Obsrvese que si f(x,y,z)=1, la integral de lnea proporciona la longitud de arco de la curva C, as:

EJEMPLO 2.Evaluar

Donde C es el segmento de recta mostrado en la siguiente figura

Para empezar si expresa la ecuacin de la recta en forma paramtrica:

Supngase que C, es una trayectoria compuesta de las curvas suaves C1,C2,,Cn. Si f es continua en C, se puede mostrar que

Esta propiedad se explica en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3

Evaluar , donde C es la curva suave a trozos mostrada en la siguiente figura:

Para empezar, se integra, en sentido ascendente sobre la recta y =x, usando la parametrizacion siguiente.

En parametrizaciones dadas por r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k, es til recordar la forma de ds como

Lo anterior, se usa para el siguiente ejemplo.EJEMPLO 4.

Evaluar ds, donde C,es la curva representada por

EJEMPLO 5.Hallar la masa de un resorte que tiene la forma de una hlice circular

Donde la densidad del resorte es (x,y,z)=1+z

INTEGRALES DE LINEA DE CAMPOS VECTORIALESUna de las aplicaciones fsicas mas importantes de las integrales de lnea es la de hallar el trabajo realizado sobre un objeto que se mueve en un campo de fuerzas. Para ver como puede utilizarse una integral de lnea para hallar el trabajo realizado en un campo de fuerzas F, considerese un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria C en el campo, como se muestra en la siguiente figura.

Para determinar el trabajo realizado por la fuerza, solo necesita considerar aquella parte de la fuerza que actua en la direccin en que se mueve el objeto ( o en la direccin contraria). Esto significa que en cada punto C, se puede considerar la proyeccin F T del vector fuerza F sobre el vector unitario tangente T. En un subarco pequeo de longitud si, el incremento de trabajo es :i= (fuerza)(distancia)i[F(xi;yi,zi)T(xi;yi,zi)]siDonde, (xi;yi,zi) es un punto en el subarco i-esimo. Por consiguiente, el trabajo total realizado esta dado por la integral siguiente:

W= Esta integral de linea aparece en otros contextos y es la base de la definicion siguiente de integral de linea de un campo vectorial. En la definicin, observese que

EJEMPLO 6.Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas.

sobre una partcula que se mueve a lo largo de la hlice dada por r(t)= costi+sentj+tkdesde el punto (1,0,0) hasta el punto (-1,0,3) como se muestra en la siguiente figura.

INTEGRALES DE LINEA EN FORMA DIFERENCIALOtra forma normalmente utilizada de las integrales de lnea se deduce de la notacin de campo vectorial usada en integrales de lnea de campos vectoriales. Si F es un campo vectorial de la forma F(x,y)= Mi+Nj, y C esta dada por r(t)= x(t)i+y(t)j, entonces Fdr se escribe a menudo como Mdx + Ndy.

Esta forma diferencial puede extenderse a tres variables.

EJEMPLO 7.Sea C el circulo de radio 3 dado por

Evaluar la integral de lnea

EJERCICIOS PROPUESTOS

CONCLUSIONESLa integral de lnea tiene varias aplicaciones en el rea de ingeniera, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de lnea de un campo escalar.En matemtica, una integral de lnea o curvilnea es aquella integral cuya funcin es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama tambin INTEGRAL DE CONTORNO.Ejemplos prcticos de su utilizacin pueden ser: El clculo de la longitud de una curva en el espacio; El clculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una funcin (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva; Tambin para el clculo del trabajo que se realiza para mover algn objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que acten sobre el mismo.

BIBLIOGRAFIA

CALCULO 2 de varias variables. Ron Larson. Bruce Edwards. Novena edicin.