INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES RECTANGULARES

z

Ancho=Xi – Xi-1 = ∆xi

Altura = f(Xi)

Area = ∑i=1

n

f (Xi )∆ Xi

INTEGRAL DOBLE MEDIANTE SUMAS DE RIEMAN

El tipo mas simple de región cerrada en R2 es la región rectangular cerrada D= [a,b] x [c,d].

Sea f: [a,b]x[c,d] R una función continua sobre el rectángulo: D= [a,b] x [c,d], daremos las consideraciones necesarias para definir a la integral doble de funciones definidas en regiones rectangulares.

Xi-1 xi

F(Xi)

Definición 1) Partición de un rectángulo

Al conjunto P = P1 x P2 = {(xi, yj): xi E P1, yj E P2} se llama partición de D= [a,b] x [c,d], donde P1 es una partición de [a,b]

P1 = {a = X0, X1,X2,…,Xn = b}

y P2 es una partición de [c,d]

P2 = { c= Y0,Y1, Y2,…, Ym = d }

Ejemplo 1. Sea D= [0,10] x [0,8]. Si P1 = { 0, 1, 2, 3,…,10} y P2 = { 0,1, 2, 3,…,8} son particiones de [0,10] y [0,8] respectivamente, entonces P = P1 x P2 es una partición del conjunto D.

Definición 2) Norma de Partición

ǁPǁ = max { l P1 l, l P2 l} se llama norma de la partición P.

Definición 3) Suma de Riemann

Sea Rij =

Uno de los rectángulos originados por la partición P.

Mij = Sup { f (x,y): (x,y) E Rij

mij = inf { f (x,y): (x,y) E Rij

Se define la suma superior de Riemann a:

Uf (P) = ∑ ∑ Mij ∆xi ∆xj

Se define la suma inferior de Riemann a:

Lf (P) = ∑ ∑ mij ∆xi ∆xj

(x,y): x E [ xi-1 , xi ], y E [ yj-

1 , yj ]

n

i=1

m

j=1

n m

i=1 j=1

Definicion 3) Integrable Riemann

La función f(x,y) es integrable Riemann sobre el rectángulo D si f es acotada sobre D, y si existe un único numero I tal que

Lf (P)≤ I ≤ Uf (P), ᵿ P de D

I = ∫ ∫ f(x,y) dA = lim ∑ ∑Mij ∆xi ∆xj = lim ∑ ∑mij ∆xi ∆xj

Teorema 1

Si f es continua en el rectángulo D, entonces f es integrable en sobre D.

Ejemplo 2

Hallar ∫ ∫D dxdy, D = [a,b] x [c,d]

Solución

La función se define,

F (x,y) = 1 ᵿ (x,y) ε D.

Sean P1= {x0, x1, …, xn} y P2 = {y0, y1, …, ym} particiones de [a,b] y [c,d] respectivamente, entonces

P = P1 x P2 es una partición de [a,b] x [c,d]

Mij = 1, mij = 1

Entonces

n nm m

i = 1 j= 1 i = 1 j = 1

n m

Uf (P) = ∑ ∑ A(Rij) = Area (D)

Lf (P) = ∑ ∑ A(Rij) = Area (D)

Por lo tanto

∫ ∫D f(x,y) dxdy = Area(D)

Ejemplo 3.

Hallar ∫ ∫D (x+y) dxdy, D = [1,6] x [1,3]

Solución

La función se define por f(x,y) = x+ y

P1 : xi = 1+5in , ∆xi =

5n

, i= 0,1,2,….,n

P2: yj = 1+2 jm

, ∆yj = 2m

, j= 0,1,2,….,m

P= P1 x P2 es una particion del conjunto D. Entonces

F(xi , yj ) = xi + yj = (1+5in

) + (1+ 2 jm

)

a) Haciendo recorrer j,

∑j=1

n

(2+ 5in

+2 jm

) 2m

= 2m

[ 2m + 5in

m + 2m(m+1)2m

] = 4 + 10in

+ 2(m+1)m

i=1 j=1

i=1 j=1

n m

b) Haciendo recorrer i,

∑i=1

n

(6+ 10 in

+ 2m

) 5n

= 5n

[6n + 10n(n+1)2n

+ 2nm

] = 30+ 25 +25n

+ 10m

I =∫∫D (x+ y) dA = limn , m→∞

∑i=1

n

∑j=1

m

(2+ 5 in

+ 2 jm

) 2m5n= limn ,m→∞

55+ 25n

+10m

=55❑