Integrales y Areas
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INTEGRALES
ANTIDERIVADA
Ejercicios 1. Encuentra tres antiderivadas, F1(x), F2(x) y F3(x), y la antiderivada más general la siguiente función. Verifícala derivando.
f(x) = 4x 2. Encuentra tres antiderivadas, F1(x), F2(x)
y F3(x), y la antiderivada más general la siguiente función. Verifícala derivando. f(x) = sec² x
3. Encuentra tres antiderivadas, F1(x), F2(x) y F3(x), y la antiderivada más general la siguiente función. Verifícala derivando.
f(x) = cos 2x 4. Calcula la siguiente integral indefinida y
verifica su resultado derivando. ò4x³ dx
5. Calcula la siguiente integral indefinida y verifica su resultado derivando.
ò(4x + 7) dx
INTEGRAL INDEFINIDA
Ejercicios
1. Evalúa la siguiente integral: ò(2x + 3)² dx
2. Evalúa la siguiente integral: òx² (3x - 2)² dx
3. Evalúa la siguiente integral: ò(3 - x ) dx
4. Evalúa la siguiente integral: ò(3/x²) dx
5. Evalúa la siguiente integral:
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ò(x - 1)(x + 2)(2x -3) dx
EJERCICIOS:
1. ( )dxxxx∫ +++ 523423
11. ( ) dxxx 233∫ +
2. ( )dxxx∫ −−2
23 12. ( ) dxx2
31∫ −
3. ( )dxxx∫ +−3
32 13. ( ) dxxx 22
34∫ −
4. dxx
xx∫
+−
2
2
1 14. ( ) 2
23
1 xx∫ −
5. ( ) dxxa3
∫ + 15. dxx∫ −13
6. ( ) dxx2
3
2∫ − 16. ∫ − dxx32
7. ∫ 3x
dx 17. ( ) dxx
31
232∫ +
8. ( )∫ − xdxx2
1 18. ( ) xdxx2
41∫ −
9. ( ) xdxx∫ −12
19. ( )( ) dxxxx 122
−−∫
10. ( ) dxx∫ −22
1 20. ( )( ) dxxx −−∫ 223
PROBLEMAS
1. Hallar el área limitada por la curva 2xy = el eje x y las ordenadas en los puntos
3,1 == xx
y
2
3
1
3
33
1
2
3
26
3
1
3
27
3
3
mx
xdxxA
=−=
== ∫
x 1 3
2. Hallar el área comprendida entre el eje x y la parábola 2
4 xxy −=
La curva dada corta el eje x en los puntos 0=x y 4=x que serán los límites de integración.
y
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( )
( )( )
03
4042
32
4
44
3
2
4
0
34
0
2
4
0
4
0
24
0
2
−−−=
−
−=−= ∫ ∫∫
xx
dxxxdxdxxxA
2
3
32
3
6432 m=−=
0 1 2 3 4 x
3. Hallar el área comprendida entre la parábola 2
28 yyx −+= , el eje y y las rectas 3,1 =−= yy en este caso dividimos el área
en franjas horizontales por lo tanto al área pedida será: y
( )
] ] 2
3
1
33
1
23
1
3
1
3
23
1
2
3
92
38
3828
my
yy
yyydyyyA
=
−+
−+=−+=
−
−−
−−∫
3
-1 x
4. Hallar el área limitada por la parábola 672
+−= xxy , el eje x y las rectas
2=x y 6=x
El área pedida es
( )
2
6
2
236
2
2
3
56
62
7
367
m
xxx
dyxxA
=
+−−=+−−= ∫
y 1 2 6 x
5. Hallar el área comprendida entre la curva xxxy 8623
+−= y el eje x la
curva corta el eje x .
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4,2,0 === xxx y
( ) ( )
4
2
23
42
0
23
4
234
2
2
0
23
424
424
8686
+−−
+−=
+−−++−= ∫∫
xxx
xxx
dxxxxdxxxxA
0 2 4 x
2
844 mA =+=
6. Hallar el área comprendida entre la parábola 2
4 yx −= y el eje y
la parábola corta el eje x en el punto (4,0) y al eje y en los puntos (0,2) y (0,-2).
y Empleando franjas horizontales hay simetría en las 2 áreas debido al corte en
0 4 x
-2
( ) ( )
2
2
0
3
2
0
22
2
2
3
32
342
424
my
y
dyydyy
=
−=
−=− ∫∫−
7. Hallar el área comprendida entre la parábola xy 42
= y la recta 42 −= xy la recta corta
a la parábola en los puntos (1,-2) y (4,4) y
2
4
2
32
4
2
9124
2
4
1
2
12
myy
y
dyyA
=
−+=
−+=
−
−∫ 4 (4,4)
1
0 4 x -2 (1,-2)
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8. Hallar el área comprendida entre las parábolas 2
6 xxy −= e xxy 22
−= ; las parábolas
se cortan en los puntos (0,0) y (4,8) El área perdida es: y
( ) ( )xxxx 2622
−−−
xxy 22
−=
8 (4,8)
( ) 2
4
0
324
0
2
3
64
3
2428 mxxdxxx =
−=−∫ (0,0)
26 xxy −=
4 x
EJERCICIOS Hallar el área limitada por las curvas y rectas que se indican:
1. 2xy = si, ,0=y ,2=x 5=x
2. 3xy = si, ,0=y ,1=x 3=x
3. 2
4 xxy −= si, ,0=y ,1=x 3=x
4. 2
1 yx += si, 10=x
5. yyx 432
+= si, 0=x
6. 2
9 xx −= si, 3+= xy
7. ( ) dxx∫ +2
12
8. ( ) dxx∫ −−
1
13
9. dxx∫1
0
2
10. ( ) dxxx∫ −−5
0
21
11. ( )dxxx∫−−
1
1
2
12. ( )dxxx∫ −−−
4
1
2432
13. ( ) dxxx∫ −−−
2
2
2524
14. ( ) dxx∫ −−
3
3
25
2
22
28
26
xx
xxxx
−=
+−−=
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