UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA

FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO

TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Nº 1

MATEMÁTICA

NIVEL II Prof. Titular:

Prof. Carlos V. Federico

Prof. Titular:

Arq. Néstor Díaz

Prof. Adjunto:

Ing. Marcelo Fileni UNIDAD III - TP Nº 13

INTEGRALES Incluyen Teórica

Ejemplos reales de aplicación Ilustraciones Ejercicios resueltos

Ejercicios para realizar en clase Ejercicios optativos Preguntas teóricas

Bibliografía

Por consultas fechas y resultados de parciales matematica2fp@live.com.ar (ING. ORAZZI PEDRO – JTP)

Por consultas del T - MAD

gmcentorbi@gmail.com (ING. CENTORBI GUILLERMO – ACD) al_mat_fis@yahoo.com.ar (ALEJANDRO MOYANO – ACD)

AUTORÍA Y RECOPILACIÓN DE CONCEPTOS TEÓRICOS Y EJERCITACIÓN:

ING. ORAZZI A. PEDRO JTP

FAU

CU

AD

RIC

AS

– IN

TE

GR

AL

ES

– T

P13

TRABAJO PRACTICO # 13 INTEGRAL

FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN

Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], se define como función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho intervalo.

Es decir

F'(x) = f(x) para todo x de [a,b].

Por ejemplo:

La función sen x es una primitiva de cos x puesto que (sen x)' = cos x.

PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN

Primera propiedad

Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la función

F(x) + C es otra primitiva de f(x).

Demostración:

Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.

(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)

Segunda propiedad

Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas.

Demostración:

Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar a C.

Tercera propiedad

Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, si F(x) y G(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte.

Demostración:

1

Hay que recordar que si una función f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función f(x) es constante. Es decir, si f'(x) = 0, entonces f(x) = C.

Pues bien, si F(x) es una primitiva de f(x), F'(x) = f(x);

si G(x) es otra primitiva de f(x), G'(x) = f(x).

Restando miembro a miembro, F'(x) - G'(x) = (F(x) - G(x))' = f(x) - f(x) = 0, de donde se deduce que F(x) - G(x) = C.

INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN

Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza

Esta expresión se lee « integral de efe de equis diferencial de equis ».

Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),

Donde C representa una constante llamada constante de integración.

Notación de Leibniz

Leibniz fue quien uso la S alargada, f y la dx, para indicar la integral indefinida

Ejemplos de cálculo de primitivas

Recordando que la derivada del seno es el coseno, en la operación inversa, concluiríamos que la antiderivada del coseno es el seno.

Por lo tanto

Recordando que la derivada del logaritmo natural es el 1/x, en la operación inversa, concluiríamos que la antiderivada del 1/x es el del logaritmo natura .

2

Por lo tanto

INTEGRALES INMEDIATAS

De la derivación de funciones elementales se deducen sus correspondientes integrales llamadas inmediatas. Es necesario aprender estos resultados si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales menos sencillas.

3

Ejemplos de cálculo de integrales inmediatas

4

LINEALIDAD DE LA INTEGRAL

Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de las integrales:

Primera propiedad de las integrales

La integral de la suma de funciones, es igual a la suma de las integrales de las funciones.

La integral de la diferencia de funciones, es igual a la diferencia de las integrales de las funciones.

Segunda propiedad de las integrales

La integral del producto de una constante por una función, es igual al producto de la constante por la integral de la función.

Ejemplo de cálculo de integrales aplicando linealidad

= - cos x - 3 In |cos x| + C

5

INTEGRALES DEFINIDAS

Aunque será necesario definirla de forma esencialmente complicada, la integral viene a formalizar un concepto sencillo, intuitivo: el de área. Ahora ya no nos debe causar sorpresa el encontrarnos con que la definición de un concepto

6

intuitivo puede presentar grandes dificultades y ciertamente el 'área' no es ninguna excepción a esto...

Intentaremos solamente definir el área de algunas regiones muy especiales (figura 1): aquellas que están limitadas por el eje horizontal, las verticales por (a, 0) y (b, 0), y la gráfica de una función f tal que f (x) > 0, para todo x de [a, b]. Conviene denotar esta región por R(f, a, b) ...

figura 1 figura 2

El número que asignaremos eventualmente como área de R(f, a, b) recibirá el nombre de integral de f sobre [a, b]. En realidad, la integral se definirá también para funciones f que no satisfacen la condición f (x) > 0, para todo x de [a, b]. Si f es la función dibujada en la figura 2, la integral representará la diferencia entre las áreas de las regiones de sombreado claro y de sombreado fuerte.

Supongamos que una curva situada por encima del eje x representa la gráfica de la función y = f (x). Intentemos encontrar el área S de la superficie limitada por la curva y = f (x), el eje x y las rectas que, pasando por los puntos x = a y x = b, son paralelas al eje y.

Figura

Para resolver este problema se procede como sigue. Dividimos el intervalo [a, b] en n partes, no necesariamente iguales. Notamos la longitud de la primera parte por Δx1, la de la segunda por Δx2, y así sucesivamente hasta la última, Δxn. En cada parte elegimos los números x1, x2, ..., xn, y escribimos la suma

nn2211n x)(f...x)(fx)(fS Δξ++Δξ+Δξ=

7

Sn es evidentemente igual a la suma de las áreas de los rectángulos de la figura.

Cuanto más fina sea la subdivisión del segmento [a, b], más próxima se hallará Sn al área S. Si consideramos una sucesión de tales valores por división del intervalo [a, b] en partes cada vez más pequeñas, entonces la suma Sn tenderá a S.

La posibilidad de dividir el intervalo [a, b] en partes desiguales exige definir lo que entendemos por subdivisiones 'cada vez más pequeñas'. Suponemos no sólo que n crece indefinidamente, sino también que la longitud del mayor Δxi en la n-ésima subdivisión tiende a cero. Así:

∑=

→ΔΔξ=

n

1iii

0xmáxx)(flimS

i

Se llama integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b], y se nota por

∫b

adx)x()f

La expresión f (x)dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite inferior, y b, el límite superior.

SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INFINITESIMAL REGLA DE BARROW El teorema fundamental del cálculo pone todo a punto para encontrar un método que permita resolver las integrales definidas de un modo sencillo. Basta, para ello, con utilizar la importante consecuencia que de él se deriva y que se conoce como Regla de Barrow. Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y F(x) una función definida en [a,b], derivable y primitiva de f(x), es decir, F'(x) = f(x) para cualquier x Є (a, b), entonces

∫ −=b

a)a(F)b(Fdx)x(f

Este resultado es conocido, frecuentemente, por «segunda parte del teorema fundamental del cálculo». Es obligado hacer notar que, para resolver una integral definida de una función continua, basta con encontrar una primitiva de la función, sustituir en ella los límites de integración superior e inferior respectivamente y restar ambos valores. Claro es que, aunque la regla de Barrow dé un método para el cálculo de integrales definidas, no siempre es fácil encontrar las primitivas de una función.

8

Conviene observar también que como F(b) - F(a) es un número, es decir, no depende de la variable x, y que si F(x) es una primitiva de f(x), F(t) es una primitiva de f(t), f(u) es una primitiva de f(u), etc.,

Ejercicio: � Calcular el área encerrada por la curva y = x2, el eje de abscisas y las rectas x = 1 y x = 2. Resolución:

∫=2

12

B dxxS• El área de la región B es

• Puesto que ∫ =3

xdxx3

2 , aplicando la regla de Barrow,

37

31

38

3

1

3

2

3

xdxx332

2

1

32 =−=−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=∫

Propiedades de la integral definida

Si f (x) y g(x) son continúas en el intervalo de integración [a, b]:

1.

2.

3.

4.

5.

∫ =a

a0dx)x(f

∫ ∫−=b

a

a

b(fdx)x(f dx)x

∫ dx)∫ =b

a

b

ax(fcdx)x(cf siendo c una constante

[ ] ∫ ∫∫ ±=±b

a

b

a

b

ax(gdx)x(fdx)x(g)x(f dx)

dx)x∫∫ ∫ =±b

a

c

a

b

c(fdx)x(fdx)x(f cuando a<c<b

9

Ejemplos

1. Sea f (x) = c, una constante, y f (x) = cx; tendremos

2. Sea f (x) = x y f (x) = 1/2 x2 ; tendremos

3. Sea f (x) = x3 y f (x) = 1/4 x4; tendremos

ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS

Si f y g son funciones continuas en [a,b] y f(x) ≥ g(x) para todo x Є [a,b] el área de la región limitada por las curvas y = f(x) y y= g(x), esta dada por la siguiente integral:

)

dx))x

ab(ccxcdxb

a

b

a−==∫

2250

225x

21xdx

5

025

0=−==∫

2041

481x

41dxx

3

143

13 =−==∫

∫ −b

a(g)x(f(

Pasos a seguir para el cálculo de las áreas

Para calcular el área que queda determinada entre dos curvas debemos:

1) Hallar las intersecciones de las funciones que delimitan el recinto del que se desea calcular el área.

2) Dividir el intervalo total en subintervalos utilizando como extremos las abscisas u ordenadas de las intersecciones halladas según corresponda.

3) Integrar dentro de cada subintervalo para obtener cada subárea.

10

Área=

ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

• Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

• Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Ejemplos:

• es una ecuación diferencial ordinaria, donde y f(x) es la variable

dependiente, la variable independiente e es la derivada de con respecto a .

• La expresión es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita.

La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial.

ORDEN DE LA ECUACIÓN

Se llama orden de la ecuación al orden de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. Ejemplo:

•

11

Es una ecuación diferencial de orden 2, ya que la derivada de mayor orden que aparece en ella es de ese orden.

• y'' + y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden.

GRADO DE LA ECUACIÓN

Se llama grado de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden. La ecuación debe tener una forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

• Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma

Ejemplos:

6239

6

6

2

2

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+ x

dxyd

dxdyx

dxyd Orden 6, grado 9

3

7

7

2 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

dxydy

dxdy Orden 7, grado 3

TIPOS DE SOLUCIONES

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación. Hay dos tipos de soluciones:

1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc.). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, este recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0) recibe el nombre de condición Inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelamiento de fenómenos físicos. En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo grado debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.

La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

donde t es el tiempo y x es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Dentro de los problemas típicos que se pueden expresar de manera directa

mediante integrales y complementarios al problema básico de “área bajo la

curva” se tienen:

• Área entre curvas.

• Sólidos de revolución.

• Longitud de curvas.

• Centroides de figuras planas.

• Momentos de Inercia de cuerpos planos.

El objetivo de la presente sección es estudiar cada una de esas diferentes

aplicaciones y se comenzará con la aplicación más común y que a su vez

motivó los conceptos básicos de la integral: el área bajo la curva.

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ÁREA ENTRE LA CURVA Y EL EJE X

EN EFECTO, YA LO HEMOS SEÑALADO, INTEGRAL NO ES LO MISMO QUE ÁREA, YA

QUE EL CONCEPTO DE INTEGRAL ES REALMENTE UN CONCEPTO MUCHO MÁS

AMPLIO Y QUE SE PUEDE APLICAR A INFINIDAD DE SITUACIONES. Por otro lado,

realizando las correcciones necesarias respecto de los valores negativos que

pueda tomar una función en un intervalo la integral calcula perfectamente el

área entre el eje x y una curva dada.

Pero el concepto de área se puede ampliar a espacios delimitados entre diversas

curvas en el plano, estudiemos ahora esa generalización.

ÁREA ENTRE CURVAS

La integral representa la acumulación de las pequeñas variaciones en una

situación dada, por ello podemos responder a la pregunta: Si se tiene una curva

¿Cuánto mide? ¿Cómo la mido? ¿Qué son las pequeñas variaciones en ese

caso?

LONGITUD DE UNA CURVA

La integral como concepto nace alrededor del cálculo numérico, por lo que

muchas de las integrales que se nos presentan en la vida cotidiana ni tan siquiera

son planteadas analíticamente; sin embargo, eso no las hace inútiles; ¡por el

contrario! El potencial analítico de la integral se logra ante la simplicidad del

concepto ¡no deja de ser una suma!!!!!

Pero ahora con las computadoras, esas sumas las podemos hacer de manera

muy eficiente.

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Es verdad que la motivación del la integración lo fue el concepto geométrico de

área, pero ya hemos concluido que en realidad la podemos emplear en

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cualquier situación que se pueda representar por el producto de dos cantidades

y el volumen es uno de esos casos, veamos los siguientes cuerpos geométricos y

como la integral nos auxilia a calcular volúmenes.

SUPERFICIES Y SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

En los cuerpos físicos ocurren muchos fenómenos asociados a su geometría,

dentro de esos fenómenos se presenta la ocurrencia de la masa, el peso y por

tanto los efectos de la atracción gravitatoria, observemos ahora dos conceptos

físicos necesarios para el estudio de cantidades físicas como las mencionadas.

CENTROIDES

MOMENTOS DE INERCIA

Las aplicaciones de la integral son muy amplias y en este apartado se han

presentado algunas de las más comunes, y con este estudio se amplia el

panorama para que en nuestra visión de la naturaleza, en los actos que nos

rodean todos los días, observemos como la acumulación es un hecho cotidiano.

La APLICACIÓN DE CÁLCULO INTEGRAL en el desarrollo de algunas áreas de la ciencia es fundamental, encontrándose aplicaciones en diferentes ramas, por ejemplo, EN ELECTROMAGNETISMO EN EL CÁLCULO DE LA CARGA TOTAL, LEY DE GAUSS; otra aplicación es el caso del TRABAJO TANTO ELÉCTRICO (TRABAJO ELÉCTRICO, POTENCIAL ELÉCTRICO, EL POTENCIAL DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA) COMO MECÁNICO, PODEMOS DEDUCIR ALGUNAS ECUACIONES CLÁSICA DE LA MECÁNICA, TAL COMO LAS ECUACIONES UTILIZADAS EN ALGUNOS MOVIMIENTOS CON ROTACIÓN; EN LA TERMODINÁMICA, EN EL CASO DEL CÁLCULO DE LA ENTROPÍA; LA ESTADÍSTICA CON APLICACIONES QUE VAN DESDE LA DEMOSTRACIÓN DE POR QUÉ LA FUNCIÓN GAUSSIANA ES NORMAL

EN GENÉTICA

Los polímeros de ADN deben funcionar como un motor molecular que convierte la energía química en la fuerza mecánica. Ellos muestran, usando un ensayo de una sola molécula basado en la elasticidad del diferencial ADN que genera la fuerza mecánica durante una razón limitada de pasos y que el motor puede trabajar contra una tensión máxima de 34 np.

Las estimaciones del trabajo mecánico de la entropía hechas por la muestra de la encima T7 que el polímero de ADN la cual organiza que dos planillas basan en

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el sitio de la polimerazión durante cada ciclo catalizador. Nosotros también encontramos un aumento del 100-pliegue fuerza-inducido en el exonucleolisis sobre 40 np.

Nosotros medimos el polímero T7 (DNAp) activado por el uso de una trampa óptica, en el lenguaje utilizado para compara la ADN (DNA), los estados single-stranded (ss) y double stranded (ds) ADN difiere en longitud para alguna tensión dada, la conversión entre estas formas cambian la tensión de las moléculas.

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BIBLIOGRAFIA

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Paraninfo, 1988. 9º ed. • Garcia, A., López A., y otros : Análisis Matemático en una variable. Editorial

CLAGSA, 1994. 2º ed. • Garcia, A., y otros : Estadística I y II. UNED, 1995. • Garcia, J. : Algebra Lineal y Geometría. Editorial MARFIL, 1989. • Krasnov, Kiseliov, Makarenko, Shikin : Matemáticas Superiores 1 y 2. Editorial

MIR, 1994. • Kudriávtsev, Kutásov, Chejlov, Shabunin : Integrales y Series. Editorial MIR,

1992. • Larson, Hostetler, Edwards : Cálculo y Geometría Analítica 1 y 2. McGRAW-

HILL, 1996. 5ºed. • Martínez Salas, J. : Elementos de Matemáticas. Editorial Lex Nova, 1992. 10º

ed. • Narvaiza, J.L., y otros : Estadística Descriptiva y Probabilidad. DESCLEE DE

BROUWER , 1998. • Piskunov, N. : Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Limusa, 1991. • Purcellodnev, E.J. y Varberg, D. : Cálculo con Geometría Analítica. Prentice-

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1997. 9º ed. • Swokowski, E.W. y Cole, J.A. : Cálculo. Int. Thomson-Editores, 1999. 3º ed. • Swokowski, E.W. y Cole, J.A. : Trigonometría. Int. Thomson-Editores, 1997. 8º

ed. • Vavílov, Mélnikov, Oléjnik, Pasichenko : Álgebra. Editorial MIR, 1993. • Vavílov, Mélnikov, Oléjnik, Pasichenko : Ecuaciones y Desigualdades.

Editorial MIR, 1993. • Vavílov, Mélnikov, Oléjnik, Pasichenko : Principios del Análisis. Editorial MIR,

1993. • Vodnev, V., y otros : Fórmulas Matemáticas Fundamentales. Euro-OMEGA,

1995. • Mocholi, M., Sala, R. : Programación Lineal. Tebar Flores, S.L., 1993.

• Vizmanos, J.R. y Anzola, M. : serie Algoritmo. Editorial SM, 1998. • Vizmanos- Anzola-Primo : serie Funciones. Editorial SM, 1995. • González, F. y Villanova, J. : Curso práctico de matemáticas. Editorial

EDUNSA, 1990. • Lazcano, I. y Barolo, B. : Matemáticas. Editorial Edelvives, 1992. • Larrauri, A. : Matemáticas de FP. Editorial Larrauri, 1990 • Internet: Sitios educacionales relativos a la materia.

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PARTE PRÁCTICA TRABAJO PRACTICO # 13 EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 1: Resolver la integral indefinida

∫ √x ( x + 2 ) dx = ∫ ( x1/2 .x + x1/2 2 ) dx = ∫ x3/2 dx + 2 ∫ x1/2 dx = 2/5 x5/2 + 4/3. x3/2 + C

Ejemplo 2 : Resolver la integral Definida y hallar tambien su area . Graficar.

∫ sen x dx = - cos x ] = - cos 2π – ( - cos 0 ) = - 1 – ( -1 ) = 0

Area : ∫ sen x dx = | ∫ sen x dx|+ | - ∫ sen x dx | = | - cos π - ( - cos 0 ) | + | cos π – cos 2π | =

= | - ( -1) – (-1) | + | -1 – 1 | = 4

Ejercicio 3 : Hallar el área encerrada entre f(x) = x3 y g(x) = x

Para determinar sus limites de integración tenemos que encontrar sus puntos de intersección entre las dos curvas, igualando las funciones:

x3 = x ↔ x3 - x = ↔ x ( x2 – 1 ) = 0 los puntos son x = 0 y x2 = 1 es decir x = ±1

Según la grafica en el intervalo [-1, 0] el area esta bajo el eje x, debemos tomarla en valor absoluto y con su sino negativo:

A( - ) = | - ∫-10( x – x3 ) dx | = | - ( x 2/2 – x4 /4) | ] -1 0 = | - ( 0 – 0 ) + (-1)2/ 2 – (-1)4/4 | = ¼

A(+ ) =| 0∫1 (x – x 3) dx | = | x 2/2 – x4 /4 ]0 1 | = |(1/2 – ¼ ) – ( 0- 0 ) | = ¼

Área total = ¼ + 1/4 = ½

Ejemplo 4 : Resolver la ecuación diferencias con su solución general y particular ( para x = 2 y = 1 ) a variables separadas

dy/dx – e x – y

dy/dx = ex / ey ↔ eydy = exdx

Una vez separadas las variables según sus diferenciales, aplicamos integral a ambos miembros de la igualdad

∫ ey dy = ∫ ex dx

18

ln y = ln x + C

Como C es una constante, podemos hacerle corresponder ln k = C. reemplazando:

ln y = ln x + ln k = ln (x.k) ↔ y = k.x Solución. General

Solución particular reemplazando los valores de x e y, así obtenemos el valor de la constante K :

1 = k 2 → k = ½

y = ½ x Solución particular

19

TRABAJO PRACTICO # 13 EJERCICIOS PARA RESOLVER EN CLASE 1.- Calcular las siguientes integrales indefinidas.

∫ dx

∫ dx12∫ − dxx )25sen3(

∫ xdx4∫ +− dxxx )11sen2( 3

∫ − dxx )54( 3

∫ +− dxxx )110cos4(

∫ − dxx )32(∫ ++ xx 10)(cos15( 23 dxx)

∫ + dxxx )511( 8

∫ −++ xxx 210(cos15( 5 dx))2

∫ ++ dxxxx

)15( 7

325

∫ + dxx )30sen2cos15(

∫−

∫ ++ dxx

xxx )82(

3

x 52

∫ ++ dxxx

xx

xx 5( 3 )2

3 44

dxxxx 23 )2(43

∫ dx1

∫ − dxex x )16sec2( 2

x 43

∫ ++ dxxx e )3

sec98( 2x

∫ ++ xx5

560sen8( 32 dxex

)4

∫ +− dxex x )5cos43(

∫ +−++− dxxexx x )5/1125sec2cos( 32

∫ dxx

++x

xx )1(

65

52

3 ∫ ++ dxxx )3

sec98( 2 e x

∫ −− dxe )2

20sec3812(2

2

∫ − dxxx

33 )23(

∫ +− dxex x )5cos43(∫ + dx

xxx 25 )

4(

20

2.- Calcular las siguientes integrales definidas.

∫ −7

2

)35( dxx

∫ −+5

1

5 )14( dxxx

4

∫ −+1

39 )326( dxxxx

2

∫1

dxx

∫ +0

dxx

x4

9 6

∫ +4

3 )8( dxx1

3x

∫ 4 )1( dxx +3

2 x

∫ +2

)4

2( dxx

x3 3

9 x

∫4

8 )(x−5 75 6 dxxx

+2/

)cos6TT

dxx

TT

∫0

(sen x

∫ +O

dxxx )cos4(sec2

∫ +5

48 )

56( dxxxex

∫ +9

2

)1( dxxx

x

21

Ejercicio 3

En la función definida gráficamente por:

se sabe que = 8 y = 6. Halle:

a)

Indique qué representa.

B) Cuanto vale el area entre a y c? Indique en un grafico el sector que representa.

Ejercicio 4

Halle el área encerrada por las curvas y = x2 + 4x e y = 6x - x2 .

y = x2 + 4x

y = 6x - x2

Ejercicio 5

a) Calcule

b) Determine el área de la región comprendida entre la curva y = sen x, el eje x y las

Rectas x =-π/2 y x = π/2

c) Analice por qué no se obtiene el mismo resultado en a) y b).

22

Ejercicio 6

Escriba la integral definida que proporciona el área de la región (no calcule el valor del área)

Ejercicio 7

Grafique la región limitada por las curvas y calcule el área determinada por ambas.

a) y = x2 con la recta y = 2x + 3

b) el eje de abscisas, la recta y = x + 1 y la recta x = 4

c) el eje de abscisas, la curva y = x2 + 1 y la recta x = 2

Ejercicio 8

Indique el orden y el grado de las siguientes ecuaciones diferenciales

1. dxdyxy

dxyd

dxdyx 623 3

2

9

95 +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

2. 2

2

2

3

3

2 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

dxydxy

dxyd

3. ydx

ydxdxdyxxy 4

42 232 =−

4. 8

3

3425 936 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−

dxdyx

dxydyyx

23

Ejercicio 9

Calcular las siguientes ecuaciones diferenciales, por el método de variables separables

1. dxdyxy =6

2. 016/ =− yy 3. 0155 /2 =− yyy 4. 0)2( 5/ =−− yxy 5. 0)3)(2(/ =+−− xxy Ejercicio 10 Encontrar las soluciones generales y particulares de las siguientes ecuaciones diferenciales, satisfaciendo las condiciones de bordes de cada caso. 1. condiciones de borde: x = 5, y = 3 0143 2/ =+−− xxy 2. condiciones de borde: x = 2, y = 1 032/ =− xyy TRABAJO PRACTICO # 13 EJERCICIOS OPTATIVOS

EJERCICIO 1: Verificar que F(x) y G(x) son las primitivas de f(x) :

a) ∫ ( x – 2 )2 dx F(x) = 1/3 x3 – 2x + 4x -2 G(x) = 1/3( x – 2 )3 + 4

b) ∫ ( x – 1) dx F(x) = x – lnx – 2 G(x) = ( x = 1) - ln x

x

EJERCICIO 2: Verificar las propiedades de linealidad de la integral indefinida:

a) ∫ ( 2x + 1) dx = e) ∫ 2 sen x dx =

b) ∫ ( x - 4 )2 dx = f) ∫ ( sec2 x – 3 cos x ) dx =

c) ∫ ( 2x2 – x + 1 ) / x dx = g) ∫ ( 3/x - √x ) dx

24

EJERCICIO 3: Resolver Las siguientes integrales indefinidas:

1. 1. ∫ ( x – 3 )3 dx 6. ∫ ( 2 sen t + 4t ) dt

2. 2. ∫ ( √ x3 + 2x2 – 1 ) dx 7. ∫ ( -6senx + 9cosx ) dx

3. 3. ∫ ( z – 2 ) (z + 2 ) dz 8. ∫ (tg 2x + 1 ) dx

4. 4. ∫ 3x2 ( x – 1 ) dx 9. ∫ t (√t5 + 2t4 - 3 ) dt

5. 5. ∫ ( ex - 1 / x4 ) dx 10. ∫ - 4 sen z dz

EJERCICIO 4: Resolver las integrales definidas:

1. ∫ [ ( x – 1 )2+ 1] dx 2. ∫ | x - 4 | dx 3. ∫ x3 dx

Limite Sup: 2, Limite inf. 1 Limite Sup: 5, Limite inf. 2 Limite Sup: 1, Limite inf. -1

EJERCICIO 5: Representar gráficamente las integrales del ejercicio 4 y calcular las áreas bajo la curva y el eje x.

EJERCICIO 6 : Hallar las áreas comprendidas entre las funciones:, representar y hallar sus limites de integración

a) F(x) = 4x2 y G(x) = x + 3 b) F(x) = 1/ x G(x) = - 4x + 5

EJERCICIO 7: Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) (y ll )3 – 2x y l + ( x – 1 ) y ll = 0 b) 2(dy2 /d2x) - xy (dy / dx )5= 0

EJERCICIO 8: Resolver las ecuaciones diferenciales, mediante el método de variables separadas, dando su solución general y particular según las condiciones:

a) x y dy/ dx – 5 = 0 para x = e y = 0

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b) 2x dy/dx – dy/dx – (2x – 1) 2 y = 0 para x = 1 y = 1

c) 3xy/ y dy/dx + √x = 0 para x = 4 y = e

Ejercicio 9

Grafique la región limitada por las curvas y calcule el área determinada por ambas.

a) y2 = 4x con la recta y = 2x - 4

b) y = x2 con la recta y = 3 - 2x

c) y = 4 - x2 con la recta y = x + 2

Ejercicio 10

Halle el valor de las áreas sombreadas.

Obtenga conclusiones teniendo en cuenta que la suma de las áreas de las dos regiones coincide con el área del cuadrado de medida de lado una unidad.

TRABAJO PRACTICO # 13 PREGUNTAS TEÓRICAS ORIENTATIVAS 1.- A que se define integral indefinida? 2.- Escriba la notación de Leibniz para la integral indefinida, indicando que significa cada uno de sus términos. De 2 ejemplos de integral indefinida. 3.- Explique linealidad de la integral indefinida. 4.- Escriba la tabla de integrales indefinidas y de 1 ejemplos de cada una de ellas. 5.- Definición de la integral definida.

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6.- Definición del área debajo de una curva. 7.- Definición de integral definida. 8.- Explique el teorema de evaluación de la integral definida. 9.- Escriba por lo menos 5 propiedades de la integral definida. 10.- A que se define ecuación diferencial? 11.- A que se define ecuación diferencial ordinaria? 12.- Definir orden y grado de una ecuación diferencial, y de 2 ejemplos. 13.- A que se define solución general de una ecuación diferencial? De 1 ejemplo. 14.- A que se define solución particular de una ecuación diferencial? De 1 ejemplo.