Interacción y el Principio de Cruce

Factorial

Glenn Méndez Ortiz

MATH 6400

Dr. B. García

Introducción

Diseños con estructura de tratamiento

factorial te proveen la información necesaria

para medir la interacción entre dos grupos de

condiciones que influencian tu respuesta.

El concepto de interacción es uno de los

más importantes en ciencias porque es la parte

de cómo las cosas trabajan.

1. Cruce Factorial y el Diseño Factorial

Básico de Dos Maneras

Si quieres dos o más grupos de condiciones

en el mismo experimento y quieres estudiar

cómo interactúan, tu diseño debe incluir todas

las posibles combinaciones de las condiciones.

Dos grupos de tratamientos son cruzados si

todas las combinaciones posibles de tratamiento

ocurren en el diseño. El diseño es llamado

factorial de dos maneras y tiene una estructura

de tratamiento factorial.

Ejemplo de engordar cerdos:Es natural pensar que añadir vitaminas a la dieta de los

cerdos puede hacerlos engordar de forma rápida. Pero

ellos tienen bacterias en sus intestinos que pueden

prevenir el uso de las vitaminas. Por lo tanto, podemos

añadir antibióticos a la dieta de los cerdos para controlar

las bacterias.

Los factores en las filas y en las columnas están cruzados: cada combinación

posible está presente.

Antibióticos

0 mg 40 mg

B 12 0 mg 1: Control 3: Antibióticos

5 mg 2: B 12 4: Ambos

Factores Básicos y Compuestos

Reservamos la palabra “tratamiento” para

condiciones que puedes asignar.

Un factor es compuesto si sus niveles vienen de

cruzar otros dos (o más) factores.

x =

Primer Factor Básico (Filas)

Segundo Factor Básico(Columnas)

Factor Compuesto(Columnas)

Diseño Factorial Básico de Dos

Maneras “Qué Haces”

Si tus condiciones vienen de cruce factorial y puedes asignarlas usando un recurso de posibilidad, consigues el experimento completamente aleatorio de dos maneras.

Experimento Completamente Aleatorio de Dos Maneras

• Las combinaciones de tratamiento vienen del cruce de dos factores de tratamiento básico.

• Las combinaciones de tratamiento son asignados a unidades completamente al azar.

• Para balance, cada combinación de tratamiento es asignada al mismo número de unidades.

• Si quieres medir interacción en un diseño de dos maneras, tienes que tener más de una observación por celda.

Aquí presentamos aleatorización completa con el

ejemplo de los cerdos:

Respuesta: Promedio de

peso ganado en libras.

Combinación de

Tratamientos: 4 dietas

Unidades

Experimentales: 12 cerditos

Diseño de

Aleatorización Completa: Asignar al azar una dieta a cada

cerdito, con cada dieta a 3 cerditos.

Factor de Estructura del Diseño Factorial

Básicos de Dos Maneras: “Qué Consigues”

Cada Diseño Factorial Básico de Dos Maneras

tiene tres factores estructurales:

1. Factor del primer tratamiento

2. Factor del segundo tratamiento

3. Interacción

Antibióticos0 mg 40 mg

0 mg 1.30 1.051.19 1.001.08 1.04

5 mg 1.26 1.521.21 1.561.19 1.54

B 12

Antibióticos

0 mg 40 mg

B 12 0 mg 1.19 1.03

5 mg 1.22 1.54

Peso ganado (lbs.) de cerdos

Promedios de dietas

Promedio mayor: 1.245

Forma Reducida

1. Punto de Referencia: Promedio Mayor

2. Dietas: Promedio separado para cada uno de los

grupos de las 4 dietas.

3. Error Residual: Comparar los valores observados

individualmente.

Forma Expandida:

Factor

Factor

0 mg

5 mg

Averages

1.11

1.38

0 mg 40 mgAverages

1.205(0 mg)

1.285(40 mg)

3. B 12 X Antibióticos . (Interacción)

PromedioMayor Vitamina B 12 Antibióticos Interacción Error Residual

Diseño completamente aleatorio de dos maneras

2. Interacción y la Gráfica de

Interacción

Interacción de cómo una diferencia de diferencias

Una manera de medir el efecto de los antibióticos

es restando: promedio con antibióticos – promedio

sin antibióticos.

Para los cerdos que recibieron antibióticos sin

vitaminas B 12 obtuvieron un 0.16 de peso ganado

por día. Y los que recibieron antibióticos y B 12

aumentaron su peso por 0.32 al día. Promedio con B

12 – Promedio sin B 12.

Antibióticos Diferencia

0 mg 40 mgProm. con - Prom

sin

B 12 0 mg 1.19 1.03 -0.16

5 mg 1.22 1.54 0.32

En los cerdos que no recibieron antibióticos y sí

vitaminas B 12 casi no vimos efecto. En los cerdos

que recibieron antibióticos y vitaminas B 12 vemos

media libra ganada por día.

Antibióticos

0 mg 40 mg

B 12 0 mg 1.19 1.03 Cada diferencia es igual

5 mg 1.22 1.54 al promedio con B 12 -

Diferencia 0.03 0.51 promedio sin B 12

La Estructura de Interacciones

Factor 1: B 12 , a dos niveles (0 mg y 5 mg)

Factor 2: Antibióticos, a dos niveles

(0 mg y 40 mg)

Respuesta: Promedio diario de peso ganado en libras.

Interacción: La diferencia en promedio de peso ganado debido a antibióticos es diferente dependiendo de que si la B 12 está presente o no.

Gráfica de Interacción para los Datosde los Cerdos

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

No Antibióticos Antibióticos

No B12

B12

3. Descomposición y ANOVA (Análisis de

Varianza) para el Diseño de Dos Direcciones

Utilizaremos lo que los estadísticos llaman “codificar” para

cambiar la escala de respuesta en el ejemplo de los cerditos.

Cada observación es igual a “1 . algo ”. Dejamos fuera los 1’s y

multiplicamos cada decimal restante por 100. En vez de medir en

libras estaremos midiendo en centésimas de libras por encima de 1

libra.

Datos Originales

Antibióticos0 mg 40 mg

0 mg 1.3 1.05

B 12 1.19 1

1.08 1.04

5 mg 1.26 1.52

B 12 1.21 1.56

1.19 1.54

El codificar los datos de los cerditos hace que

los diseños sean más fáciles de ver.

Datos Codificados

Antibióticos

0 mg 40 mg

0 mg 30 5

B 12 19 0

8 4

5 mg 26 52

B 12 21 56

19 54

Promedio de las Celdas

19 3

22 54

Descomposición

Descomposición para los datos codificados

de los cerdos.

Paso 1. Descomponga cada valor observado en

promedio de celda más el residual.

30 5

19 0

8 4

26 52

21 56

19 54

19 3

19 3

19 3

22 54

22 54

22 54

11 2

0 -3

-11 1

4 -2

-1 2

-3 0

Paso 2. Descomponer el promedio de las celdas en

cuatro partes, en dos pasos:

a. Usa la tabla del promedio de las celdas para

calcular los promedios de los dos factores

básicos, luego el promedio mayor, y luego los

efectos principales estimados ( = Promedio del

factor – promedio mayor).

Antibióticos Filas

0 mg 40 mg Total Prom Efecto

0 mg 19 3 22 11 -13.5

5 mg 22 54 76 38 13.5

Total 41 57 98

Prom 20.5 28.5 24.5 Promedio Mayor

Efecto -4 4

C

O

L

B 12

b. Interacción. Calcular ajuste principal =

promedio mayor más el efecto para el factor

básico 1 más el efecto para el factor básico 2;

entonces el efecto de interacción = promedio de

celdas – ajuste parcial.

Promedio Mayor

24.5 24.5

24.5 24.5

Efecto del Antibiótico

-4 4

-4 4

Efecto de B 12

-13.5 -13.5

13.5 13.5

Ajuste Parcial

7 15

34 42+ + =

Efecto de Interacción Estimado

Promedio de Celdas

19 3

22 54

Ajuste Parcial

7 15

34 42

Efecto de Interacción

12 -12

-12 12- =

Descomposición completa

Obs30 519 08 4

26 5221 5619 54

PromedioMayor

24.5 24.524.5 24.524.5 24.524.5 24.524.5 24.524.5 24.5

B 12-13.5 -13.5-13.5 -13.5-13.5 -13.513.5 13.513.5 13.513.5 13.5

Antibióticos

-4 4

-4 4

-4 4

-4 4

-4 4

-4 4

Interacción12 -1212 -1212 -12-12 12-12 12-12 12

Residual

11 2

0 -3

-11 1

4 -2

-1 2

-3 0

= + + + +

Grados de Libertad

Hay tres formas en que puedes

encontrar grados de libertad (g1):

contando números libres, por la regla

general basada en factores de adentro y de

afuera o por formulas de atajo para el

Diseño Factor Básico de Dos Maneras.

Grados de Libertad para Diseño

Balanceado de Dos Direcciones

Factor Grados de Libertad

Punto de Referencia 1

Cada factor básico número de niveles – 1

Interacción (grados de libertad para el primer

factor) x (grados de libertad para el

segundo factor)

Error de chance (número de celdas) x (número de

observaciones por celda – 1)

Grados de Libertad para los Datos de los

Cerdos: Contando Números Libres

gl Mayor = 1 ,

gl B 12 = (2 – 1) = 1 ,

gl Anti = (2 – 1) = 1 ,

gl Inter = (2 – 1) (2 – 1) = 1 ,

gl Res = 4 (3 – 1) = 8

Medidas Cuadradas, Desviación Estándar y Pruebas - F

Ejemplo: La Desviación Estándar y la Suposición de Normalidad para los Datos de los Cerdos

Calcularemos un estimado para la Desviación Estándar de los errores de chance y verificaremos la suposición de normalidad comparando los residuos con la Desviación Estándar estimada.

MSRes = SSRes = 290 = 36.25dfRes 8

SD = √MSRes = √36.25 = 6.02

Tabla de Análisis de Varianza para los Datos Codificados de los Cerdos

FuenteSuma de

Cuadrados gl Media Cuadrada Razón FValor de la

tablaPromedio Mayor 7,203 1 7,203B 12 2,187 1 2,187 60.33 5.32Antibióticos 192 1 192 5.30 5.32Interacción 1,728 1 1,728 47.67 5.32Residual 290 8 36.25Total 11,310 12

--l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l--

DE DE----------------------------l-----------------------------

10 de 12, ó 83%

DE DE DE DE-----------------------l---------------------------l---------------------------l-----------------------

12 de 12, ó 100%

0 5 10-5-10

Bibliografía

George W. Cobb (1998) Introduction to Design and Analysis of Experiments. Springer