Interes Compuesto

InterésCompuesto

A. Cano M.

FórmulasBásicas

Monto ainteréscompuesto

Tasa deinterésefectiva (i)

Tasa deinterésnominal (j)

Cálculo delMonto (S)El FSC con n noentero

S aplicado a jcapitalizable m veces

Cálculo de P

Cálculo de i

Cálculo de n

Cálculo de I

Interés Compuesto

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ICYF

Matemática Financiera

InterésCompuesto

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Cálculo de P

Cálculo de i

Cálculo de n

Cálculo de I

Fórmulas Básicas

1 frecuencia de capitalización (f ): número de días delperíodo capitalizable.

2 Horizonte temporal (H): número de días de laoperación.

3 El número de períodos de capitalización en el año(m).

4 El número de períodos de capitalización (n) en elhorizonte temporal . Dado por el cociente H/f .

InterésCompuesto

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Cálculo de P

Cálculo de i

Cálculo de n

Cálculo de I

Monto a interés compuesto

Sea P con i por período de capitalización. Calculemos elmonto S al final de n períodos de capitalización.

n Capital Intereses Capital más Interésa principio en el período al final

1 P Pi P+Pi = P(1+ i)2 P(1+ i) P(1+ i) i P(1+ i)+P(1+ i) i = P(1+3 P(1+ i)2 P(1+ i)2 i P(1+ i)2 +P(1+ i)2 i = P(1+4 P(1+ i)3 P(1+ i)3 i P(1+ i)3 +P(1+ i)3 i = P(1+...

......

...n P(1+ i)n−1 P(1+ i)n−1 i P(1+ i)n−1 +P(1+ i)n−1 i = P(

Table: capitalización de intereses

InterésCompuesto

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Cálculo de P

Cálculo de i

Cálculo de n

Cálculo de I

S

Fórmula de S a interés compuesto:

S = P(1+ i)n (1)

donde:S = monto compuesto (también es costumbre designarlopor FV);P = capital (también es costumbre designarlo por PV);i = tasa;

InterésCompuesto

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Cálculo de P

Cálculo de i

Cálculo de n

Cálculo de I

Veamos un ejemplo

Ejemplo 1

Calcule el monto de un capital inicial de S/.1 000 colocadodurante 4 años a una tasa efectiva anual del 18%.Solución:S =? S = P(1+ i)n

P = 1000 S = 1000(1+0,18)4

n = 4 S = 1938,78i = 0,18

InterésCompuesto

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Cálculo de P

Cálculo de i

Cálculo de n

Cálculo de I

Tasa de interés efectiva (i)

Una tasa de interés es efectiva, cuando esta expresada enunidad de tiempo igual a la unidad de tiempo del período decapitalización. Tasa efectiva de interés es la que realmenteactúa sobre el capital de la operación financiera. Así, sontasas efectivas de interés:

1% am con capitalización mensual;

3% at con capitalización trimestral;

6% as con capitalización semestral; y

9% aa con capitalización anual.

InterésCompuesto

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Cálculo de P

Cálculo de i

Cálculo de n

Cálculo de I

Tasa de interés nominal (j)

Una tasa de interés es nominal cuando está expresada enla unidad de tiempo diferente de la unidad del período decapitalización;

36% aa con capitalización trimestral;

10% at con capitalización mensual;

10% as con capitalización anual.

InterésCompuesto

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Cálculo de P

Cálculo de i

Cálculo de n

Cálculo de I

Cálculo del Monto (S)

Ejemplo 2:

Un banco paga por los depósitos que recibe del público unatasa nominal mensual del 3% con capitalizacióntrimestral.¿Qué monto se habrá acumulado con un capitalinicial de S/.3 000 colocado durante 6 meses?Solución:S =? S = P(1+ i)n

P = 3000 S = 3000(1+0,09)2

n = 2trim. S = 3564,30i = 0,09 at

InterésCompuesto

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Cálculo de P

Cálculo de i

Cálculo de n

Cálculo de I

El FSC con n no entero

Ejemplo 3:

¿Qué monto deberá pagarse por un sobregiro bancario deS/.2 000 vigente desde el 24 al 30 de junio, si el bancocobra una tasa efectiva mensual del 5%?Solución:i = 0,05 tasa efectiva mensual ⇒ con capitalizaciónmensualH = 6 díasf = 30 díasS =? S = P(1+ i)

Hf

P = 2000 S = 2000(1+0,05)630

S = 2019,61

InterésCompuesto

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Cálculo de P

Cálculo de i

Cálculo de n

Cálculo de I

S aplicado a j capitalizable m veces en un plazodeterminado durante n períodos

Ejemplo 4:

Calcular el monto a pagar dentro de 4 meses por unpréstamo bancario de S/.8 000 a una tasa nominal anualdel 36% capitalizable mensualmente.Solución:j = 0,36 tasa nominal anual con capitalización mensual⇒ m = 12S =? S = P

(

1+ jm

)n

P = 8000 S = 8000(

1+ 0,3612

)4

n = 4 S = 9004,07

InterésCompuesto

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Cálculo de P

Cálculo de i

Cálculo de n

Cálculo de I

S aplicado a j capitalizable m veces en un plazodeterminado durante n períodos

Ejemplo 4:

La empresa Audio S.A. compró enel Banco Latex unCertificado de Depósito (CDP) por el importe de S/.5 000 aun año de vencimiento, ganando una tasa nominal anualdel 36% con capitalización trimestral, el cual tuvo queredimirlo al fin del octavo mes. ¿Cuál será el monto queoriginará dicha inversión?.Solución:j = 36% tasa nominal anual con capitalización trimestral⇒ m = 4

S =? S = P(

1+ jm

)Hf

P = 8000 S = 5000(

1+ 0,364

)83

H = 8 S = 6291,79f = 3

InterésCompuesto

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Cálculo de P

Cálculo de i

Cálculo de n

Cálculo de I

Cálculo de P

De la fórmula:S = P(1+ i)n (2)

despejamos P:P = S (1+ i)−n (3)

InterésCompuesto

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Cálculo de P

Cálculo de i

Cálculo de n

Cálculo de I

Cálculo de P

Ejemplo 4:

El 6 de abril la empresa Pert descontó en el BancoMercante un pagaré cuyo valor nominal fue de S/.8 000 ysu vencimiento el 5 de junio. Calcule el importe abonadopor el banco a Pert, considerando una tasa nominal del36% anual con capitalización mensual.Solución:j = 0,36 tasa nominal anual con capitalización mensualm = 12

P =? P = S(

1+ jm

)

−n

S = 8000 P = 8000(

1+ 0,3612

)

−2

n = 2 P = 7540,77

InterésCompuesto

A. Cano M.

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Cálculo de P

Cálculo de i

Cálculo de n

Cálculo de I

Cálculo de i


despejamos i:

i =

(

SP

)1n

−1 (5)

InterésCompuesto

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Cálculo de P

Cálculo de i

Cálculo de n

Cálculo de I

Cálculo de i

Ejemplo 4:

¿A qué tasa efectiva mensual un capital de S/.1 000 sehabrá convertido en un monto de S/.1 100 si dicho capitaloriginal fue colocado a 3 meses?Solución:i =? i =

(

SP

)1n−1

P = 1000 i =(

11001000

)13−1

S = 1100 i = 0,0322801155n = 3 i = 3,23% efectivo mensual

InterésCompuesto

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Cálculo de P

Cálculo de i

Cálculo de n

Cálculo de I

Cálculo de n


despejamos i:

n =log(S/P)log(1+ i)

(7)

InterésCompuesto

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Cálculo de P

Cálculo de i

Cálculo de n

Cálculo de I

Cálculo de n

Ejemplo 5:

¿En qué tiempo se duplicará un capital a una tasa efectivadel 3% mensual?Solución:n =? n = log(S/P)

log(1+i)

S = 2 n = log(2/1)log(1+0,03)

P = 1 n = 23,44977772 mesesi = 0,03 n = 23,44977772×30 = 703 días

InterésCompuesto

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Cálculo de P

Cálculo de i

Cálculo de n

Cálculo de I

Cálculo de I

De las fórmulas:S = P+ I (8)

yS = P(1+ i)n (9)

tenemos que:I = S−P

Reemplazando SI = P [(1+ i)n

−1] (10)

InterésCompuesto

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Cálculo de P

Cálculo de i

Cálculo de n

Cálculo de I

Cálculo de I

Ejemplo 6:

Calcule el interés compuesto ganado en un trimestre poruna inversión de S/.3 000, colocado a una tasa nominal del18% anual con capitalización bimestral.Solución:j = 18% tasa nominal anual con capitalización bimestralm = 2I =?P = 3000

n = 3/2

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