INTERPOLACIÓN LINEAL

Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre valores conocidos. El método más común empleado para este propósito es la interpolación polinomial.

Recuérdese que la fórmula general de un polinomio de n-ésimo orden es:

    (1)

  Para n + 1 puntos, existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden o menor que pasa a través de todos los puntos. Por ejemplo, hay sólo una línea recta (es decir un polinomio de primer orden) que conecta dos puntos. El polinomio de interpolación consiste en determinar el único polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los n + 1 puntos dados. Este polinomio proporciona una fórmula para calcular los valores intermedios.

    Aunque existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los n + 1 puntos, existen una gran variedad de fórmulas matemáticas mediante las cuales se puede expresar este polinomio. En esta unidad se estudian dos técnicas alternativas que están bien condicionadas para implementarse en una computadora. Estos son los polinomios de Newton y de Lagrange.

La fórmula más simple de interpolación es la de conectar dos puntos con una línea recta. Este método, llamado Interpolación Lineal, se muestra en la figura 1.

Fig. 1

Usando triángulos semejantes, se tiene:

(2)

Que se puede reordenar como:

(3)

La cuál es la fórmula de interpolación lineal. La notación f1(X) indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese que además de representar la pendiente de la línea que conecta los dos puntos, el término [ f(X1) - f(X2) ] / (X1 - X2) es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada. En general, entre más pequeño sea el intervalo entre los puntos, más exacta será la aproximación.

INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA

Una estrategia que mejora la aproximación del valor buscado es la de introducir cierta curvatura en la línea que conecta a los puntos. Si se dispone de tres puntos lo anterior se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado también polinomio cuadrático o parábola). Una manera conveniente para este caso es:

(4)

Nótese que aunque la ecuación (4) parezca diferente de la ecuación general de un polinomio (1), las dos ecuaciones son equivalentes.

Esto se puede demostrar si se multiplican los términos de la ecuación (4) y obtener:

(5)

o, agrupar términos:

(6)

en donde:

(7)

De esta manera, las ecuaciones (1) y (4) son fórmulas alternativas equivalentes del único polinomio de segundo grado que une a los tres puntos.

Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes. Para b0, se usa la ecuación (4) con X = X0, y se obtiene

b0 = f(X0) (8)

sustituyendo la ecuación (8) en la ecuación (4) y evaluando en X = X1 se obtiene:

(9)

Y por último, las ecuaciones (8) y (9) se sustituyen en la ecuación (4), y se evalua ésta en X = X2 y se obtiene:

(10)

Nótese que, al igual que en el caso de interpolación lineal, b1 aún representa la pendiente de la línea que une los puntos X0 y X1. Por lo tanto, los primeros dos términos de la ecuación (4) son equivalentes a la interpolación de X0 a X1, como se especificó anteriormente en la ecuación (3). El último término, b2(X-X0)(X-X1), introduce la curvatura de segundo orden en la fórmula.

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE LAS DIFERENCIAS FINITAS DE NEWTON

El análisis de interpolación lineal se puede generalizar en el ajuste de un polinomio de n-ésimo orden a los n+1 puntos. El polinomio de n-ésimo orden es:

(11)

Como se hizo anteriormente con las interpolaciones lineales y cuadráticas, se usan los puntos en la evaluación de los coeficientes b0, b1, ... , bn.

Se requieren n + 1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo orden: X0, X1, ... , Xn.

Usando estos datos, con las ecuaciones siguientes se evalúan los coeficientes:

b0 = f (X0)

b1 = f [X1, X0]

b2 = f [X2, X1, X0] (12)

...

bn = f [X n, Xn-1, ..., X1, X0]

En donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas finitas.

Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita se representa generalmente como:

(13)

La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de dos primeras diferencias divididas finitas, se expresa generalemte como:

(14)

De manera similar, la n-ésima diferencia dividida finita es:

(15)

Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes de la ecuación (12), los cuales se sustituyen en la ecuación (11), para obtener el polinomio de interpolación:

f n (X) = f(X0) + (X-X0) f[X1, X0] + (X-X0)(X-X1) f[X2, X1, X0] +...+ (X-X0)(X-X1)...(X-Xn-1) f[Xn, Xn-1,...,X1, X0]

(16)

Al cual se le llama Polinomio de Interpolación con Diferencias Divididas de Newton.