Definicion Matematica de Intervalos Musicales

Jose Antonio Montero Aguilar

2009-01-03

Resumen

En el presente artıculo se pretende referir a los intervalos musicales vistosdesde un punto fısico y matematico. Se comienza haciendo referencia a ladefinicion tradicional de intervalo musical, y explicando algunas formas dereferirse a estos, posteriormente se presenta con la parte numerica de losintervalos y como se obtienen algunos numeros interesantes a partir de ellos.

1. Teorıa Tradicional de Intervalos Musiales

1.1. Definicion de intervalos musicales

Un intervalo musical se puede definir cualitativamente como la diferenciade “altura” o “afinacion” entre dos notas, cuantitativamente se puede ver devarias formas:

Cantidad de Semitonos entre dos notas: Basandose en la escala cromaticacontando las notas entre las dos que definen el intervalo.

Cantidad de Notas: Basado en la escala natural, tomandose como primera1

la nota mas grave del intervalo y a partir de ahi asignandole cierto gradoa la nota aguda.

Relacion Entre sus Frecuencias: Si se define una nota como una canti-dad de vibraciones por segundo, podemos definir un intervalo como elcociente entre la frecuencia de la nota aguda y la frecuencia de la notagrave2.

Ası, Do y Fa forman un intervalo de grado 4, al ser de 5 semitonoses una cuarta justa cuyo cociente es de 4

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1.2. Clasificacion de los Intervalos

Para clasificar a los intervalos se puede partir de varias formas. En lscursos clasicos de teorıa musical se inicia con la claseficiacion armonica, peroen este caso, al ser esta la mas compleja se quedara para el final.

Se dice que un intervalo es simple si comprende menos de una octavay complejo si exede la misma. Los intervalos complejos son analogos a lossimples, ası pues, una novena es una segunda de la octava, y adquiere todoslos atributos de un intervalo de segunda (los cuales veremos posteriormente),la treceava es analoga a la sexta y la quinceava es analoga tanto a la octavacomo a la tonica.Por comodidad, de ahora en adelante nos referiremos unicamente a los inter-valos simples, ya que como ya se dijo, los compuestos son analogos.

1Se puede tomar la nota aguda, pero en este caso el intervalo se llamara invertido y secontara hacia atras.

2El inverso del cociente sera en este caso el intervalo invertido

1

Un intervalo es armonico si las notas que lo componen suenan simul-taneamente y melodico si suenan una despues de la otra.

Se llaman intervalos complementarios aquellos que sumados formanuna octava. Una quinta y una cuarta son complementarios Notese que loscinco grados de la quinta y los cuatro de la cuarta se resuelven en 8 grados yno en 9, ya que el quinto grado de la quinta es a la vez el primero de la cuarta.

En lo que respecta a la clasificacion armonica, los intervalos se puedenclasificar en dos grupos: los tonales, los cuales son la primera, la cuarta, laquinta, y la octava; y modales los cuales comprenden a la segunda, la tercerala sexta y la septima.

Los tonales tiene un unico valor justo, los modales por su parte puedenser mayores o menores, ambos grupos pueden ser aumentados o dis-minuıdos3.

Para determinar el tipo de intervalo se puede partir de la escala mayor,la cual esta formada por puros intervalos mayores y justos con respecto a latonica, y posteriormente seguir la siguientes reglas:

El menor es un semitono mas pequeno que el mayor.

El aumentado es un semitono mas grande que el mayor o el justo, segunsea el caso, y un tono mas grande que el menor.

El disminuıdo es un semitono mas pequeno que el menor o el justo,segun el caso, y un tono mas pequeno que el mayor.

3Algunos cursos antiguos consideran el sobreaumentado y el subdisminuido peroactualmente no se utilizan

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1.3. Tabla de Intervalos

Nombre del Intervalo Grado SemitonosPrimera justa / unısono 1 0Primera aumentada 1 1Segunda disminuida 2 0Segunda menor 2 1Segunda mayor 2 3Segunda aumentada 2 4Tercera disminuida 3 2Tercera menor 3 3Tercera mayor 3 4Tercera aumentada 3 5Cuarta disminuida 4 4Cuarta justa 4 5Cuarta aumentada 4 6Quinta disminuida 5 6Quinta justa 5 7Quinta aumentada 5 8Sexta disminuida 6 7Sexta menor 6 8Sexta mayor 6 9Sexta aumentada 6 10Septima disminuida 7 9Septima menor 7 10Septima mayor 7 11Septima aumentada 7 12Octava disminuida 8 11Octava justa 8 12

1.4. Inversion de Intervalos Musicales

Todo intervalo simple se presta para ser invertido, en caso de que no seasimple basta quitar octavas a a nota aguda. El objetivo de invertir un inter-valo consiste en hacerlo mas simple para ser decifrado.El proceso de inversion de un intervalo consiste en bajar una octava la notaaguda o subir la nota grave. Notese que no tiene sentido hablar de inversionde intervalos de octava o unısonos.

Las regrlas de inversion en intervalos diatonicos son las siguientes:

3

El grado de cualquier intervalo y el grado de su inversion siempre suman9

La inversion de intervalos mayores siempre da como resultado un inter-valo menor (y viceversa); la inversion de intervalos aumentados siempreda intervalos disminuıdos (y viceversa); los intervalos justos, al ser in-vertidos siguen siendo justos.

Por ejemplo, Tomemos un Sol grave y un Mi agudo, siendo naturales losdos forman un intervalo de sexta mayor, segun las reglas antes dichas, paraque sumen 9, el intervalo de la inversion debe de ser una tercera, y como eloriginal es mayor, la inversion debe ser menor, lo cual es claro, ya que de mia sol hay 3 semitonos y segun la tabla de la seccion 1.3 es un intervalo detercera menor.

Cabe destacar que la inversion de un intervalo es siempre coplementariaal intervalo original.

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2. Teorıa Numerica de Intervalos

2.1. Introducion

Antes de comenzar a hablar de numeros es importante dejar en claroalgunos conceptos, por ejemplo, el cırculo de quintas, es un ciclo que, siempezamos de una nota cualquiera y nos vamos a su quinta justa, y posterior-mente a la quinta justa de esta y ası sucesivamente, despues de 12 intervaloshabremos recorrido todas las notas.

Do → Sol → Re → La → Mi → Si → Fa# → Do# → Sol# → Re# →La#→ Fa→ Do

En la seccion 1.1 se hablo de definir una intervalo como un cociente de fre-cuencias de onda, para poder hablar en terminos numericos, debemos definira la nota como una frecuencia de nota. Para hacerlo, partiremos de que lanota La central (el La de la octava que se encuentra en el centro del piano)emite una frecuentcia de onda de 440Hz, posteriormente se definiran algunasotras notas a partir de esta.

2.2. Definicion de un intervalo como cociente de onda

Desde la antiguedad, los musicos de diferetes partes del mundo pudieronobservar que los numeros y la musica tiene una estrecha relacion, pero elprimero en darle una explicacion congruente y copmpleta fue Pitagoras.

Pitagoras construyo el monocordio el cual era un instrumento que con-sistıa en una sola cuerda que vibraba y un puente que permitıa acortar lacuerda. Pitagoras se dio cuenta que cuando ponıa el puente en la mitad dela cuerda, dejando vibrar solo la mitad de esta, se producıa un sonıdo agrad-able en relacion con el sonido producido al dejar vibrar toda la cuerda y lollamo diapason. sto le llamoa tanto la atencion que empezo a experimentary descubrio dos sonidos agradables mas: el diatesseron producido al dejarvibrar 3

4de la cuerda; y el diapenta producido al dejar vibrar 2

3.

Posteriormente dedujo que podıa asociar la relacion entre dos de lossonidos producidos como la relacion de las longitudes, obteniendose ası que elintervalo formado por dos notas se puede ver como un ociciente relacionadocon la longitud de una cuerda que produce los sonidos y por lo tanto con lasvibraciones por segundo que emite tal cuerda.

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2.3. Afinacion Pitagotica

Con los conocimientos de pitagoras y usando la ventaja de que el circulode quintas recorre toda la escala, se pudo establecer una relacion numericaentre los intervalos, contando cuantas quintas se tienen que recorrer desde lanota grave del intervalo, hasta la aguda, obteniendo un intervalo dado por:(

3

2

)q

Donde q es el numero de quintas necesarias.

Pero esto realmente nos darıa un cociente relacionado con el intervalodado por una nota grave y una mucho muy aguda, ya que el circulo de quintassupera muy facilmente las octavas (dos quintas ya es mas de una octava)entonces para poder definir los intervalos simples es necesario establecerlo dela siguiente forma: (

3

2

)q

2o

Donde q es el numero de quintas necesarias para llegar, y o el numero deoctavas que se recorren

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2.4. Intervalos Mayores Dados como Cociente

Nombre del Intervalo Quintas Octavas Valor como Cociente

Unısono 0 0 1

Segunda Mayor 2 19

8

Tercera Mayor 4 281

64

Cuarta Justa -1 -14

3

Quinta Justa 1 13

2

Sexta Mayor 3 127

16

Septima Mayor 5 2243

128

2.5. Intervalos complementarios e Inversion de Inter-valos

En la seccion 1.2 se definio que un par de intervalos son complementariossi la suma de ellos forma la octava, y por lo mencionado en la seccion 2.3 sepuede deducir que el sumar dos intervalos equivalea multiplicar sus cocientes.Por otro lado se sabe que la octava en cociente es el 2, entonces:

Definicion 1 Dado un intervalo ab

y otro cd

se dice que los intervalos soncomplementarios sı y solo sı (a

b

) ( c

d

)= 2 (1)

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En la seccion 1.1 se hablo sobre el concepto de intervalo invertido comocociente, y en la 1.4 se profundizo sobre el tema de inversion de intervalos,ahora, con los conocimientos dados sobre los cocientes podemos deducir unaforma de invertir estos intervalos.

Supongamos que de una nota A mas grave que una nota B hay un inter-valo I dado por el cociente:

I =k

l

Se sabe que un intervalo siempre es complementario a su inversion, entoncesusando (1) con un simple despeje podemos ver que el intervalo invertido I−1

de I sera:

I−1 =2l

k(2)

2.6. Valor del Tono y del Semitono

Por la tabla de la seccion 1.3 podemos ver que el tono es equivalente auna segunda mayor, y por la tabla de la seccion 2.4 podemos ver que unasegunda mayor esta dada por 9

8entonces pordemos definir al intervalo de un

tono T como:

T =9

8

Por otro lado es facil deducir que el semitono S es el intervalo invertido de unintervalo de septima mayor, entonces usando (2) lo podemos definir como:

S = 2

(128

243

)=

256

243

8

3. Un Par de Numeros Interesantes

3.1. Coma Pitagorica

Si se toma el circulo de quintas y se le da una vuelta, s ehabran recorrido12 quintas y aparentemente regresado a la nota inicial. Visto en numeros sepuede ver tal intervalo como: (

3

2

)12

Por otro lado, tambien se recorrieron en total 7 octavas, regresando tambiena la nota inicial, con el intervalo:

(2)7

Aparentemente estos dos numeros deberıan ser el mismo, ya que reprecen-tan el mismo intervalo, pero no lo son, entonces el intervalo que marca esadiferencia se llama Coma Pitagorica o Cp dad por:

Cp =

(3

2

)12

(2)7 =531441

524288≈ 1,0136

3.2. Coma de Mercator

Similar a la Coma Pitagorica, consiste en continuar el circulo de quintashasta que se llegue a las 53, lo que son aparentemente 31 octavas menos 1nota, pero numericamente se ve lo siguiente:

CM =

(3

2

)53

(2)31 =2151372563

2147483648≈ 1,00209

Por lo que se puede observar que las 53 quintas son apenas un poco mas quelas 31 octavas.

Este numero es muy importante, ya que sirve para corregir esas pequenasdiferencias sin alterar de forma notable la afinacion del instrumento,el pro-cedimiento consiste en repartir esa pequena diferencia de intervalo entre las217 notas que corresponden a las 53 quintas, obteniendo ası las 31 octavasdefinidas en el sistema temperado4.

4Sistema estandarizado para la afinacion de los instrumentos

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