Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos...
Transcript of Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos...
![Page 1: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/1.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes deConservación
Ramón G. Plaza
IIMAS-FENOMEC, UNAM
Curso Avanzado de Ecuaciones DiferencialesPosgrado en Ciencias Matemáticas
http://www.fenomec.unam.mx/ramon/LeyesConservacion-2011-2.html
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 2: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/2.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
Motivación¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
Otros ejemplosEstructura del curso
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Bibliografía
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 3: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/3.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
Sistema de leyes de conservación
ut +
d∑
j=1
f j(u)xj = 0, (SLC)
donde,
(x, t) ∈ Rd × [0,+∞),
u ∈ Ω ⊂ Rn,
f j ∈ C2(Ω,Rn), j = 1, . . . ,d,
d ≥1,n ≥ 1.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 4: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/4.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
Sistema de leyes de conservación
ut +
d∑
j=1
f j(u)xj = 0, (SLC)
donde,
(x, t) ∈ Rd × [0,+∞),
u ∈ Ω ⊂ Rn,
f j ∈ C2(Ω,Rn), j = 1, . . . ,d,
d ≥1,n ≥ 1.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 5: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/5.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
Terminología:
Rn ∋ u = variables conservadas o estados
f j = funciones de flujo
Ω = conjunto de estados admisibles
n ≥ 1 = número de cantidades conservadas
d ≥ 1 = dimensión del espacio físico
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 6: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/6.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
Particularidades:
Práctica: gran cantidad de modelos tienen la forma de un (SLC).
Teoría: resolver el problema de Cauchy esmuydifícil.
Las soluciones relevantes son, generalmente, discontinuas.
Se carece de una teoría matemática satisfactoria: falta deunicidad.
Se requieren criterios adicionales para seleccionar soluciones“físicamente relevantes”
Para sistemas en varias dimensiones espaciales prácticamente nose sabenada.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 7: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/7.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
Particularidades:
Práctica: gran cantidad de modelos tienen la forma de un (SLC).
Teoría: resolver el problema de Cauchy esmuydifícil.
Las soluciones relevantes son, generalmente, discontinuas.
Se carece de una teoría matemática satisfactoria: falta deunicidad.
Se requieren criterios adicionales para seleccionar soluciones“físicamente relevantes”
Para sistemas en varias dimensiones espaciales prácticamente nose sabenada.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 8: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/8.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
Particularidades:
Práctica: gran cantidad de modelos tienen la forma de un (SLC).
Teoría: resolver el problema de Cauchy esmuydifícil.
Las soluciones relevantes son, generalmente, discontinuas.
Se carece de una teoría matemática satisfactoria: falta deunicidad.
Se requieren criterios adicionales para seleccionar soluciones“físicamente relevantes”
Para sistemas en varias dimensiones espaciales prácticamente nose sabenada.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 9: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/9.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
Particularidades:
Práctica: gran cantidad de modelos tienen la forma de un (SLC).
Teoría: resolver el problema de Cauchy esmuydifícil.
Las soluciones relevantes son, generalmente, discontinuas.
Se carece de una teoría matemática satisfactoria: falta deunicidad.
Se requieren criterios adicionales para seleccionar soluciones“físicamente relevantes”
Para sistemas en varias dimensiones espaciales prácticamente nose sabenada.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 10: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/10.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
Particularidades:
Práctica: gran cantidad de modelos tienen la forma de un (SLC).
Teoría: resolver el problema de Cauchy esmuydifícil.
Las soluciones relevantes son, generalmente, discontinuas.
Se carece de una teoría matemática satisfactoria: falta deunicidad.
Se requieren criterios adicionales para seleccionar soluciones“físicamente relevantes”
Para sistemas en varias dimensiones espaciales prácticamente nose sabenada.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 11: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/11.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
Particularidades:
Práctica: gran cantidad de modelos tienen la forma de un (SLC).
Teoría: resolver el problema de Cauchy esmuydifícil.
Las soluciones relevantes son, generalmente, discontinuas.
Se carece de una teoría matemática satisfactoria: falta deunicidad.
Se requieren criterios adicionales para seleccionar soluciones“físicamente relevantes”
Para sistemas en varias dimensiones espaciales prácticamente nose sabenada.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 12: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/12.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
Historia (incompleta)
Ecuaciones de Euler para dinámica de gases.
Condiciones de salto (Rankine-Hugoniot); ondas de “choque”.
Circa 1947: Courant, Friedrichs.
Crucial: artículo de Lax (CPAM, 1957): matematización de(SLC).
Ecuación escalar: Lax (1957), Oleinik (1963), Kruzkov (1970)(existencia y unicidad de soluciones entrópicas).
Esquema de Glimm (1970’s): primer resultado de existencia parasistemas.
Bressan (1990’s): Existencia con aproximación viscosa.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 13: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/13.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
Ecuaciones de Navier-Stokes compresible
ρt + divx(ρv) = 0,
(ρv)t + divx(ρv⊗ v) + ∇xp = divx
(
µ(divxu)I +
+ λ(∇xu + (∇xu)⊤))
,
(ρ(e+ 12|v|
2))t + divx(
(e+ 12|v|
2)ρv + pv)
= µdivx((divxv)v)+
+ λdivx(
(∇v + (∇v)⊤)v)
+
+ κ∆θ.(CNS)
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 14: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/14.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
R3 ∋ (v1, v2, v3)
⊤ = v− campo de velocidades
0< ρ− densidad de masa
0< e− densidad de energía interna
p(ρ,e) = p− presión termodinámica
0< θ − temperatura
0< λ,µ, κ− coeficientes de viscosidad y conductividad térmica
Ecuación de estado:p = p(ρ,e)
Segunda ley:
θdS= de−pρ2dρ.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 15: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/15.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
R3 ∋ (v1, v2, v3)
⊤ = v− campo de velocidades
0< ρ− densidad de masa
0< e− densidad de energía interna
p(ρ,e) = p− presión termodinámica
0< θ − temperatura
0< λ,µ, κ− coeficientes de viscosidad y conductividad térmica
Ecuación de estado:p = p(ρ,e)
Segunda ley:
θdS= de−pρ2dρ.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 16: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/16.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
R3 ∋ (v1, v2, v3)
⊤ = v− campo de velocidades
0< ρ− densidad de masa
0< e− densidad de energía interna
p(ρ,e) = p− presión termodinámica
0< θ − temperatura
0< λ,µ, κ− coeficientes de viscosidad y conductividad térmica
Ecuación de estado:p = p(ρ,e)
Segunda ley:
θdS= de−pρ2dρ.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 17: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/17.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
Ecuaciones de Euler (sistema hiperbólico)
ρt + div (ρv) = 0,
(ρv)t + div (ρv⊗ v) + ∇p = 0,
(ρ(e+ 12|v|
2))t + div ((e+ 12|v|
2)ρv + pv) = 0,
(E)
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 18: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/18.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
Generalización
ut +d
∑
j=1
f j(u)xj =d
∑
i,j=1
(Bij (u, ε)uxj )xi , (VSLC)
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 19: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/19.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
¿Por qué el estudio del sistema hiperbólico?
En ciertos regímenes la viscosidad es despreciable
El término de disipación no estabiliza los algoritmos numéricos
El entendimiento de la “estructura hiperbólica” es crucialen elestudio de las ecuaciones con viscosidad
Desde el punto de vista matemático: ¡es un reto!
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 20: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/20.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
¿Por qué el estudio del sistema hiperbólico?
En ciertos regímenes la viscosidad es despreciable
El término de disipación no estabiliza los algoritmos numéricos
El entendimiento de la “estructura hiperbólica” es crucialen elestudio de las ecuaciones con viscosidad
Desde el punto de vista matemático: ¡es un reto!
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 21: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/21.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
¿Por qué el estudio del sistema hiperbólico?
En ciertos regímenes la viscosidad es despreciable
El término de disipación no estabiliza los algoritmos numéricos
El entendimiento de la “estructura hiperbólica” es crucialen elestudio de las ecuaciones con viscosidad
Desde el punto de vista matemático: ¡es un reto!
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 22: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/22.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
¿Por qué el estudio del sistema hiperbólico?
En ciertos regímenes la viscosidad es despreciable
El término de disipación no estabiliza los algoritmos numéricos
El entendimiento de la “estructura hiperbólica” es crucialen elestudio de las ecuaciones con viscosidad
Desde el punto de vista matemático: ¡es un reto!
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 23: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/23.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
Motivación¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
Otros ejemplosEstructura del curso
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Bibliografía
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 24: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/24.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
Flujo de tráfico (modelo de Lighthill-Whitham-Richards)
ρt + q(ρ)x = 0,
q(ρ) = ρumax(1− ρ/ρmax) .
ρ = no. de autos en una carretera,(x, t) ∈ R × [0,+∞).u = umax(1− ρ/ρmax) velocidad de los autos en cada punto(x, t).
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 25: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/25.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
Flujo de tráfico (modelo de Lighthill-Whitham-Richards)
ρt + q(ρ)x = 0,
q(ρ) = ρumax(1− ρ/ρmax) .
ρ = no. de autos en una carretera,(x, t) ∈ R × [0,+∞).u = umax(1− ρ/ρmax) velocidad de los autos en cada punto(x, t).
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 26: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/26.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
Ecuaciones de agua poco profunda
ηt + (ηu)x + (ηv)y = 0,
(ηu)t + (12gη2 + ηu2)x + (ηv)y = 0,
(ηv)t + (ηuv)x + (12gη2 + ηv2)y = 0,
.
η − profundidad del agua
R2 ∋ (u, v) − campo de velocidades
(x, y, t) ∈ R2 × [0,+∞)
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 27: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/27.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
Ecuaciones de agua poco profunda
ηt + (ηu)x + (ηv)y = 0,
(ηu)t + (12gη2 + ηu2)x + (ηv)y = 0,
(ηv)t + (ηuv)x + (12gη2 + ηv2)y = 0,
.
η − profundidad del agua
R2 ∋ (u, v) − campo de velocidades
(x, y, t) ∈ R2 × [0,+∞)
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 28: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/28.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
Materiales hiperelásticos
∂tUij − ∂xj Vi = 0, i, j = 1,2,3
∂tVi −
3∑
j=1
∂xj
∂W∂Uij
= 0, i = 1,2,3.
(x, t) ∋ R3 × [0,+∞),
X(x, t) − variable lagrangiana (deformación + I)
R3×3+ ∋ U,Uij =
∂Xi
∂xj− gradiente de deformación
R3 ∋ V,Vj =
∂Xj
∂t− velocidad local
W : R3×3+
→ R+ − función de densidad de energía.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 29: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/29.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
Materiales hiperelásticos
∂tUij − ∂xj Vi = 0, i, j = 1,2,3
∂tVi −
3∑
j=1
∂xj
∂W∂Uij
= 0, i = 1,2,3.
(x, t) ∋ R3 × [0,+∞),
X(x, t) − variable lagrangiana (deformación + I)
R3×3+ ∋ U,Uij =
∂Xi
∂xj− gradiente de deformación
R3 ∋ V,Vj =
∂Xj
∂t− velocidad local
W : R3×3+
→ R+ − función de densidad de energía.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 30: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/30.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
Magnetohidrodinámica
ρt +
3∑
j=1
(ρvj)xj = 0
(ρvi)t + div(ρviv) + (p + 12|~B|2)xi − div(Bi~B) = 0, i = 1,2,3
(12ρ|v|
2 + ρe+ 12|~B|2)t + div(1
2vρ|v|2 + vρe+ pv+ ~E× ~B) = 0,
~Bt + ∇× ~E = 0,
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 31: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/31.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
R3 ∋ (v1, v2, v3)
⊤ = v− campo de velocidades
0< ρ− densidad de masa
0< e− densidad de energía interna
p(ρ,e) = p− presión termodinámica
R3 ∋ (E1,E2,E3) = ~E− campo eléctrico
R3 ∋ (B1,B2,B3) = ~B− campo magnético
Ecuación de estado:p = p(ρ,e)
Las leyes de Gauss en forma de divergencia constituyen restriccionesa los campos.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 32: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/32.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
R3 ∋ (v1, v2, v3)
⊤ = v− campo de velocidades
0< ρ− densidad de masa
0< e− densidad de energía interna
p(ρ,e) = p− presión termodinámica
R3 ∋ (E1,E2,E3) = ~E− campo eléctrico
R3 ∋ (B1,B2,B3) = ~B− campo magnético
Ecuación de estado:p = p(ρ,e)
Las leyes de Gauss en forma de divergencia constituyen restriccionesa los campos.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 33: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/33.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
El sistemap
vt − wx = 0,
wt + p(v)x = 0,
(x, t) ∈ R × [0,+∞), dondep : R → R, p′(v) < 0. Ejemplos:dinámica de gases (caso isentrópico, formulación lagrangiana), barraelástica dimensional, ecuación de onda nolineal (conψx = v, ψt = w),
ψtt + p(ψx)x = 0,
velocidadc =√
−p′(ψx) (Fermi-Pasta-Ulam).
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 34: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/34.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
El sistemap
vt − wx = 0,
wt + p(v)x = 0,
(x, t) ∈ R × [0,+∞), dondep : R → R, p′(v) < 0. Ejemplos:dinámica de gases (caso isentrópico, formulación lagrangiana), barraelástica dimensional, ecuación de onda nolineal (conψx = v, ψt = w),
ψtt + p(ψx)x = 0,
velocidadc =√
−p′(ψx) (Fermi-Pasta-Ulam).
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 35: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/35.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Motivación¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
Otros ejemplosEstructura del curso
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Bibliografía
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 36: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/36.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Introducción: Generalidades
Ecuaciones de campo
Ejemplos
Convección nolineal
Definición desolución débil.Pérdida de unicidad.
Condiciones de salto de Rankine-Hugoniot
Hiperbolicidad
Sistemas simetrizables
Definición de entropía
Aproximación viscosa
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 37: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/37.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Introducción: Generalidades
Ecuaciones de campo
Ejemplos
Convección nolineal
Definición desolución débil.Pérdida de unicidad.
Condiciones de salto de Rankine-Hugoniot
Hiperbolicidad
Sistemas simetrizables
Definición de entropía
Aproximación viscosa
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 38: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/38.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Introducción: Generalidades
Ecuaciones de campo
Ejemplos
Convección nolineal
Definición desolución débil.Pérdida de unicidad.
Condiciones de salto de Rankine-Hugoniot
Hiperbolicidad
Sistemas simetrizables
Definición de entropía
Aproximación viscosa
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 39: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/39.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Introducción: Generalidades
Ecuaciones de campo
Ejemplos
Convección nolineal
Definición desolución débil.Pérdida de unicidad.
Condiciones de salto de Rankine-Hugoniot
Hiperbolicidad
Sistemas simetrizables
Definición de entropía
Aproximación viscosa
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 40: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/40.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Introducción: Generalidades
Ecuaciones de campo
Ejemplos
Convección nolineal
Definición desolución débil.Pérdida de unicidad.
Condiciones de salto de Rankine-Hugoniot
Hiperbolicidad
Sistemas simetrizables
Definición de entropía
Aproximación viscosa
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 41: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/41.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Introducción: Generalidades
Ecuaciones de campo
Ejemplos
Convección nolineal
Definición desolución débil.Pérdida de unicidad.
Condiciones de salto de Rankine-Hugoniot
Hiperbolicidad
Sistemas simetrizables
Definición de entropía
Aproximación viscosa
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 42: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/42.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Introducción: Generalidades
Ecuaciones de campo
Ejemplos
Convección nolineal
Definición desolución débil.Pérdida de unicidad.
Condiciones de salto de Rankine-Hugoniot
Hiperbolicidad
Sistemas simetrizables
Definición de entropía
Aproximación viscosa
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 43: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/43.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Introducción: Generalidades
Ecuaciones de campo
Ejemplos
Convección nolineal
Definición desolución débil.Pérdida de unicidad.
Condiciones de salto de Rankine-Hugoniot
Hiperbolicidad
Sistemas simetrizables
Definición de entropía
Aproximación viscosa
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 44: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/44.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Introducción: Generalidades
Ecuaciones de campo
Ejemplos
Convección nolineal
Definición desolución débil.Pérdida de unicidad.
Condiciones de salto de Rankine-Hugoniot
Hiperbolicidad
Sistemas simetrizables
Definición de entropía
Aproximación viscosa
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 45: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/45.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Ecuación de Burgers no viscosa
ut +(
12u2)
x = 0.
Condición inicial:
u0(x) = e−x2/ω
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 46: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/46.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
x
Sol
ució
n u
(a) Ecuación de Burgers no viscosa
t = 0t = 0.1t = 0.2t = 0.3t = 0.4
Figura:(a) Solución a la ecuación de Burgers no viscosa con condición inicial
u0 = e−x2/ω.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 47: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/47.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
x
t
(b) Características
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
t
(c) Trayectorias de la malla en (x,t)
Figura:(b) Curvas “características” que se intersectan. (c) Mallaen(x, t).
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 48: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/48.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Ley de conservación escalar en una dimensión
Existencia local
Condiciones de entropía: Lax, Oleinik, condición de entropíageneralizada
Caso convexof ′′ > 0: la fórmula de Lax
Decaimiento a ondasN
Problema de Riemann
Panorámica de la teoría de Kruzkov-Oleinik
Ejemplos: Burgers, tráfico, Buckley-Leverett
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 49: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/49.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Ley de conservación escalar en una dimensión
Existencia local
Condiciones de entropía: Lax, Oleinik, condición de entropíageneralizada
Caso convexof ′′ > 0: la fórmula de Lax
Decaimiento a ondasN
Problema de Riemann
Panorámica de la teoría de Kruzkov-Oleinik
Ejemplos: Burgers, tráfico, Buckley-Leverett
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 50: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/50.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Ley de conservación escalar en una dimensión
Existencia local
Condiciones de entropía: Lax, Oleinik, condición de entropíageneralizada
Caso convexof ′′ > 0: la fórmula de Lax
Decaimiento a ondasN
Problema de Riemann
Panorámica de la teoría de Kruzkov-Oleinik
Ejemplos: Burgers, tráfico, Buckley-Leverett
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 51: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/51.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Ley de conservación escalar en una dimensión
Existencia local
Condiciones de entropía: Lax, Oleinik, condición de entropíageneralizada
Caso convexof ′′ > 0: la fórmula de Lax
Decaimiento a ondasN
Problema de Riemann
Panorámica de la teoría de Kruzkov-Oleinik
Ejemplos: Burgers, tráfico, Buckley-Leverett
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 52: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/52.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Ley de conservación escalar en una dimensión
Existencia local
Condiciones de entropía: Lax, Oleinik, condición de entropíageneralizada
Caso convexof ′′ > 0: la fórmula de Lax
Decaimiento a ondasN
Problema de Riemann
Panorámica de la teoría de Kruzkov-Oleinik
Ejemplos: Burgers, tráfico, Buckley-Leverett
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 53: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/53.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Ley de conservación escalar en una dimensión
Existencia local
Condiciones de entropía: Lax, Oleinik, condición de entropíageneralizada
Caso convexof ′′ > 0: la fórmula de Lax
Decaimiento a ondasN
Problema de Riemann
Panorámica de la teoría de Kruzkov-Oleinik
Ejemplos: Burgers, tráfico, Buckley-Leverett
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 54: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/54.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Ley de conservación escalar en una dimensión
Existencia local
Condiciones de entropía: Lax, Oleinik, condición de entropíageneralizada
Caso convexof ′′ > 0: la fórmula de Lax
Decaimiento a ondasN
Problema de Riemann
Panorámica de la teoría de Kruzkov-Oleinik
Ejemplos: Burgers, tráfico, Buckley-Leverett
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 55: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/55.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Ecuación de Burgers no viscosa
Figura:Ecuación de Burgers, datos iniciales oscilatorios. Decaimiento a una ondaN. Cortesía: Randy LeVeque.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 56: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/56.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Ecuación de Burgers no viscosa
Figura:Ecuación de Burgers, datos iniciales oscilatorios. Decaimiento a una ondaN. Cortesía: Randy LeVeque.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 57: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/57.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Ecuación de Burgers no viscosa
Figura:Ecuación de Burgers, datos iniciales oscilatorios. Decaimiento a una ondaN. Cortesía: Randy LeVeque.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 58: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/58.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Sistemas en una dimensión
Hiperbolicidad; sistemas lineales
Nolinealidad genuina y degeneración lineal
Ondas de rarefacción e invariantes de Riemann
Ondas de choque y discontinuidades de contacto
Solución al problema de Riemann: el teorema de Lax
El teorema de representación
Ejemplo: las ecuaciones de Euler
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 59: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/59.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Sistemas en una dimensión
Hiperbolicidad; sistemas lineales
Nolinealidad genuina y degeneración lineal
Ondas de rarefacción e invariantes de Riemann
Ondas de choque y discontinuidades de contacto
Solución al problema de Riemann: el teorema de Lax
El teorema de representación
Ejemplo: las ecuaciones de Euler
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 60: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/60.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Sistemas en una dimensión
Hiperbolicidad; sistemas lineales
Nolinealidad genuina y degeneración lineal
Ondas de rarefacción e invariantes de Riemann
Ondas de choque y discontinuidades de contacto
Solución al problema de Riemann: el teorema de Lax
El teorema de representación
Ejemplo: las ecuaciones de Euler
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 61: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/61.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Sistemas en una dimensión
Hiperbolicidad; sistemas lineales
Nolinealidad genuina y degeneración lineal
Ondas de rarefacción e invariantes de Riemann
Ondas de choque y discontinuidades de contacto
Solución al problema de Riemann: el teorema de Lax
El teorema de representación
Ejemplo: las ecuaciones de Euler
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 62: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/62.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Sistemas en una dimensión
Hiperbolicidad; sistemas lineales
Nolinealidad genuina y degeneración lineal
Ondas de rarefacción e invariantes de Riemann
Ondas de choque y discontinuidades de contacto
Solución al problema de Riemann: el teorema de Lax
El teorema de representación
Ejemplo: las ecuaciones de Euler
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 63: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/63.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Sistemas en una dimensión
Hiperbolicidad; sistemas lineales
Nolinealidad genuina y degeneración lineal
Ondas de rarefacción e invariantes de Riemann
Ondas de choque y discontinuidades de contacto
Solución al problema de Riemann: el teorema de Lax
El teorema de representación
Ejemplo: las ecuaciones de Euler
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 64: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/64.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Sistemas en una dimensión
Hiperbolicidad; sistemas lineales
Nolinealidad genuina y degeneración lineal
Ondas de rarefacción e invariantes de Riemann
Ondas de choque y discontinuidades de contacto
Solución al problema de Riemann: el teorema de Lax
El teorema de representación
Ejemplo: las ecuaciones de Euler
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 65: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/65.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Modelo de tráfico (luz verde)
Figura:Modelo de tráfico de Lighthill-Whitham-Richards. Luz verde: condicioninicial 1 (left), 0 (right). Onda de rarefacción. Cortesía:Randy LeVeque.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 66: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/66.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Modelo de tráfico (luz verde)
Figura:Modelo de tráfico de Lighthill-Whitham-Richards. Luz verde: condicioninicial 1 (left), 0 (right). Onda de rarefacción. Cortesía:Randy LeVeque.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 67: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/67.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Modelo de tráfico (luz roja)
Figura:Modelo de tráfico de Lighthill-Whitham-Richards. Luz verde: condicioninicial 0 (left), 1 (right). Onda de choque. Cortesía: RandyLeVeque.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 68: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/68.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Modelo de tráfico (luz roja)
Figura:Modelo de tráfico de Lighthill-Whitham-Richards. Luz verde: condicioninicial 0 (left), 1 (right). Onda de choque. Cortesía: RandyLeVeque.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 69: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/69.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Perfiles viscosos
Ejemplo: Burgers con viscosidad y la transformación deHopf-Cole.
Existencia de perfiles viscosos escalares
Estabilidad (caso escalar)
Perfiles para sistemas: método de Koppell y Howard
Criterio de admisibilidad de Majda-Pego
Estabilidad (parte I): el método de diagonalización de Goodman
Estabilidad (Parte II): estimaciones tipo Kawashima
Panorámica del teorema de Liu; ondas de difusión
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 70: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/70.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Perfiles viscosos
Ejemplo: Burgers con viscosidad y la transformación deHopf-Cole.
Existencia de perfiles viscosos escalares
Estabilidad (caso escalar)
Perfiles para sistemas: método de Koppell y Howard
Criterio de admisibilidad de Majda-Pego
Estabilidad (parte I): el método de diagonalización de Goodman
Estabilidad (Parte II): estimaciones tipo Kawashima
Panorámica del teorema de Liu; ondas de difusión
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 71: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/71.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Perfiles viscosos
Ejemplo: Burgers con viscosidad y la transformación deHopf-Cole.
Existencia de perfiles viscosos escalares
Estabilidad (caso escalar)
Perfiles para sistemas: método de Koppell y Howard
Criterio de admisibilidad de Majda-Pego
Estabilidad (parte I): el método de diagonalización de Goodman
Estabilidad (Parte II): estimaciones tipo Kawashima
Panorámica del teorema de Liu; ondas de difusión
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 72: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/72.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Perfiles viscosos
Ejemplo: Burgers con viscosidad y la transformación deHopf-Cole.
Existencia de perfiles viscosos escalares
Estabilidad (caso escalar)
Perfiles para sistemas: método de Koppell y Howard
Criterio de admisibilidad de Majda-Pego
Estabilidad (parte I): el método de diagonalización de Goodman
Estabilidad (Parte II): estimaciones tipo Kawashima
Panorámica del teorema de Liu; ondas de difusión
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 73: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/73.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Perfiles viscosos
Ejemplo: Burgers con viscosidad y la transformación deHopf-Cole.
Existencia de perfiles viscosos escalares
Estabilidad (caso escalar)
Perfiles para sistemas: método de Koppell y Howard
Criterio de admisibilidad de Majda-Pego
Estabilidad (parte I): el método de diagonalización de Goodman
Estabilidad (Parte II): estimaciones tipo Kawashima
Panorámica del teorema de Liu; ondas de difusión
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 74: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/74.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Perfiles viscosos
Ejemplo: Burgers con viscosidad y la transformación deHopf-Cole.
Existencia de perfiles viscosos escalares
Estabilidad (caso escalar)
Perfiles para sistemas: método de Koppell y Howard
Criterio de admisibilidad de Majda-Pego
Estabilidad (parte I): el método de diagonalización de Goodman
Estabilidad (Parte II): estimaciones tipo Kawashima
Panorámica del teorema de Liu; ondas de difusión
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 75: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/75.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Perfiles viscosos
Ejemplo: Burgers con viscosidad y la transformación deHopf-Cole.
Existencia de perfiles viscosos escalares
Estabilidad (caso escalar)
Perfiles para sistemas: método de Koppell y Howard
Criterio de admisibilidad de Majda-Pego
Estabilidad (parte I): el método de diagonalización de Goodman
Estabilidad (Parte II): estimaciones tipo Kawashima
Panorámica del teorema de Liu; ondas de difusión
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 76: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/76.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Perfiles viscosos
Ejemplo: Burgers con viscosidad y la transformación deHopf-Cole.
Existencia de perfiles viscosos escalares
Estabilidad (caso escalar)
Perfiles para sistemas: método de Koppell y Howard
Criterio de admisibilidad de Majda-Pego
Estabilidad (parte I): el método de diagonalización de Goodman
Estabilidad (Parte II): estimaciones tipo Kawashima
Panorámica del teorema de Liu; ondas de difusión
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 77: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/77.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Omisiones notables:
Sistemas con relajación, “radiativos” (acoplamiento elíptico),modelos visco-capilares, etc.
Métodos numéricos
Ondas de choque no clásicas⇒ transiciones de fase
Esquema de Glimm
Compacidad compensada (sistemas de 2× 2)
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 78: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/78.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
Motivación¿Qué es un sistema de leyes de conservación?Hidrodinámica
Otros ejemplosEstructura del curso
IntroducciónLey de conservación escalar en una dimensiónSistemas en una dimensiónPerfiles viscosos
Bibliografía
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 79: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/79.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
Textos generales
EVANS, L.C. Partial Differential Equations,Graduate Studies inMathematics vol. 19, A.M.S., 1998.
RENARDY, M. Y ROGERS, R.C.An Introduction to PartialDifferential Equations, Springer-Verlag, 2004.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 80: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/80.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
Textos sobre Leyes de Conservación
SMOLLER, J.Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations,Springer-Verlag, Second ed., 1994.
DAFERMOS, C.M. Hyperbolic conservation laws in continuumphysics, Springer-Verlag, Third ed., 2010.
SERRE, D. Systems of Conservation Laws 1: Hyperbolicity,entropies, shock waves, Cambridge University Press, 1999.
LAX , P.D.Hyperbolic Systems of Conservation Laws and theMathematical Theory of Shock Waves, SIAM, 1973.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 81: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/81.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
Material adicional
L IU , T.-P-. Hyperbolic and Viscous Conservation Laws, SIAM,2000.
WHITHAM , G.B. Linear and Nonlinear Waves, Wiley, 1974.
COURANT, R. Y FRIEDRICHS, K.O. Supersonic Flow andShock Waves, Wiley, 1948.
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación
![Page 82: Introducción a Sistemas Hiperbólicos de Leyes de Conservación · Motivación Otros ejemplos Estructura del curso Bibliografía ¿Qué es un sistema de leyes de conservación? Hidrodinámica](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022040408/5eb8bc1e5a612926c27ca28a/html5/thumbnails/82.jpg)
MotivaciónOtros ejemplos
Estructura del cursoBibliografía
¡Bienvenidos!
Ramón G. Plaza Introducción a Leyes de Conservación