Introducción al Análisis de Fourier
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Introducción al Análisis de Fourier
Transformada de Fourier
Dr. Wilfrido Gómez Flores
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Introducción• Las series de Fourier están limitadas al tratamiento de funciones
periódicas con periodo T �nito.
• Para funciones no periódicas, la transformada de Fourier asume
que su periodo T → ∞.
(a) Onda periódica de�nida por la función coseno. (b) Onda aperiódicade�nida por la función chirp.
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De�nición
Considérese la serie compleja de Fourier:
f(t) =
∞∑n=−∞
cnejnω0t, con cn =
1
T
∫ T/2
−T/2f(t)e−jnω0t dt, (1)
donde ω0 =2πT y el espacio entre armónicos adyacentes es
∆ω = (n+ 1)ω0 − nω0 = ω0 =2π
T. (2)
Espectro de amplitud de un tren de pulsos rectangulares con T = 1/4.
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De�nición• Sustituyendo cn en la serie compleja de Fourier se tiene
f(t) =
∞∑n=−∞
[1
T
∫ T/2
−T/2f(t)e−jnω0t dt
]ejnω0t,
=
∞∑n=−∞
[∆ω
2π
∫ T/2
−T/2f(t)e−jnω0t dt
]ejnω0t,
=1
2π
∞∑n=−∞
[∫ T/2
−T/2f(t)e−jnω0t dt
]∆ωejnω0t. (3)
• Cuando T → ∞, entonces∞∑
n=−∞⇒
∫∞−∞, ∆ω ⇒ dω, nω0 ⇒ ω,
tal que (3) se convierte en
f (t) =1
2π
∫ ∞
−∞
[∫ ∞
−∞f (t) e−jωt dt
]ejωt dω. (4)
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De�nición
A partir de (4), el par de transformadas de Fourier son
F (ω) = F [f (t)] =
∫ ∞
−∞f (t) e−jωt dt, (5)
y
f (t) = F−1 [F (ω)] =1
2π
∫ ∞
−∞F (ω) ejωt dω, (6)
donde F es el operador de la transformada de Fourier, y F−1 repre-
senta el operador de la inversa de la transformada de Fourier.
La transformada de Fourier es una integral de transformación del
dominio del tiempo al dominio de la frecuencia y asume que una
función no periódica es una función periódica con periodo T → ∞.
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De�nición
• Forma polar de la función compleja F (ω):
F (ω) = |F (ω)| ejϕ(ω), (7)
donde |F (ω)| y ϕ(ω) son la magnitud y la fase del espectro:
|F (ω)| =√Re2[F (ω)] + Im2[F (ω)], y (8)
ϕ(ω) = tan−1
(Im[F (ω)]
Re[F (ω)]
). (9)
• También, se tiene que
|F (−ω)| = |F (ω)| y ϕ(−ω) = −ϕ(ω).
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Ejemplo 1
Encontrar la transformada de Fourier para el pulso rectangular:
f(t) =
1, |t| < τ2
0, |t| > τ2
F (ω) =
∫ ∞
−∞f(t)e−jωt dt =
∫ τ/2
−τ/2e−jωt dt,
= − 1
jωe−jωt
∣∣τ/2−τ/2
=1
jω
(ejω
τ2 − e−jω τ
2
),
=2
ωsin
(ωτ
2
)= τ
sin(ω τ
2
)ω τ
2
= τsinc(ωτ
2
).
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Ejemplo 1
Espectros de Fourier del pulso rectangular: (a) magnitud y (b) fase.
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Ejemplo 2
Encontrar la transformada de Fourier de la función exponencial:
f(t) =
e−αt, t > 0,
0, t < 0.
F (ω) =
∫ ∞
−∞f(t)e−jωt dt =
∫ ∞
0e−αte−jωt dt,
=
∫ ∞
0e−(α+jω)t dt = − 1
α+ jωe−(α+jω)t
∣∣∣∞0,
=1
α+ jω.
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Ejemplo 2
Espectros de Fourier de la función exponencial: (a) magnitud y (b) fase.
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Propiedades
Linealidad: Si F1(ω) = F [f1(t)] y F2(ω) = F [f2(t)], entonces
F [a1f1(t) + a2f2(t)] = a1F1(ω) + a2F2(ω), (10)
donde a1 y a2 son constantes.
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Propiedades
Escalamiento en el tiempo: Si F (ω) = F [f(t)], entonces
F [f(at)] =1
|a|F(ωa
), (11)
donde a es una constante.
○
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Propiedades
Desplazamiento en el tiempo: Si F (ω) = F [f(t)], entonces
F [f(t− t0)] = e−jωt0F (ω). (12)
○
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Propiedades
Desplazamiento en la frecuencia: Si F (ω) = F [f(t)], entonces
F [f(t)ejω0t] = F (ω − ω0). (13)
○
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Propiedades
Dualidad: Si F (ω) = F [f(t)], entonces
F [f(t)] = F (ω) ⇒ F [F (t)] = 2πf(−ω). (14)
(a) Transformada de un impulso unitario y (b) transformada de un nivelde corriente continua (DC) unitario.
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Propiedades
• Diferenciación en el tiempo: Si F (ω) = F [f(t)], entonces para
la n-ésima derivada de f(t) se tiene:
F [f (n)(t)] = (jω)nF (ω). (15)
• Integración en el tiempo: Si F (ω) = F [f(t)], entonces
F[∫ t
−∞f(t)dt
]=
F (ω)
jω+ πF (0)δ(ω). (16)
• Inversión: Si F (ω) = F [f(t)], entonces
F [f(−t)] = F (−ω) = F ∗(ω). (17)
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Propiedades
• Modulación: si F [f(t)] = F (ω), entonces
F [f (t) cos (ω0t)] =1
2[F (ω + ω0) + F (ω − ω0)] . (18)
• Teorema de Parseval: si F [f(t)] = F (ω), entonces∫ ∞
−∞|f(t)|2dt = 1
2π
∫ ∞
−∞|F (ω)|2dω, (19)
donde la cantidad |F (ω)|2 se denomina espectro de energía.
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Propiedades: teorema de convolución
Operador útil para describir el comportamiento de un sistema lineal
invariante en el tiempo:
g(t) = f(t) ∗ h(t) =∫ ∞
−∞f(τ)h(t− τ)dτ, (20)
donde f(t) es la señal de entrada, h(t) es la respuesta al impulso del
sistema, y g(t) es la señal de salida.
○
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Propiedades: teorema de convolución
• La transformada de Fourier de la convolución es:
F [f(t) ∗ h(t)] =∫ ∞
−∞f(τ)
[∫ ∞
−∞h(t− τ)e−jωtdt
]dτ. (21)
• De acuerdo con la propiedad de desplazamiento en el tiempo:∫ ∞
−∞h(t− τ)e−jωtdt = e−jωτH(ω). (22)
• Sustituyendo (22) en (21):
F [f(t) ∗ h(t)] =∫ ∞
−∞f(τ)e−jωτH(ω)dτ,
= H(ω)
∫ ∞
−∞f(τ)e−jωτdτ = H(ω)F (ω).(23)
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Propiedades: teorema de convolución
El teorema de convolución establece que una convolución en el domi-
nio del tiempo equivale al producto de dos transformadas de Fourier
en el dominio de la frecuencia:
F [f(t) ∗ h(t)] = H(ω)F (ω), (24)
donde F (ω) y H(ω) son las transformadas de Fourier de f(t) y h(t),
respectivamente.
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Propiedades: teorema de convolución
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Propiedades: sumario
Propiedad Función en tiempo Función en frecuencia
Linealidad a1f1(t) + a2f2(t) a1F1(ω) + a2F2(ω)
Escalamiento f(at) 1|a|F
(ωa
)Desplazamiento en tiempo f(t− t0) e−jωt0F (ω)
Desplazamiento en frecuencia f(t)ejω0t F (ω − ω0)
Diferenciación en tiempo f (n)(t) (jω)(n)F (ω)
Integración en tiempo∫ t−∞ f(t)dt F (ω)
jω + πF (0)δ(ω)
Modulación f(t) cos(ω0t)12 [F (ω + ω0) + F (ω − ω0)]
Inversión f(−t) F (−ω) ó F ∗(ω)
Dualidad F (t) 2πf(−ω)
Teorema de Parseval∫∞−∞ |f(t)|2 dt 1
2π
∫∞−∞ |F (ω)|2 dω
Teorema de convolución f1(t) ∗ f2(t) F1(ω)F2(ω)
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Funciones especiales: impulso unitario
• El impulso unitario, o función delta de Dirac, se de�ne como
δ(t) =
∞, t = 0,
0, t = 0,tal que
∫ ∞
−∞δ(t) dt = 1. (25)
• La función δ(t) representa un pulso idealizado que en la práctica
solo puede ser aproximado:
δϵ(t) =
1ϵ , −1
2ϵ < t < 12ϵ,
0, otro caso,(26)
lo cual indica que si ϵ → 0, entonces δϵ(t) ≈ δ(t).
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Funciones especiales: impulso unitario
(a) Conforme su anchura se aproxima a cero, su amplitud se aproxima ain�nito, mientras que su área bajo la curva permanece constante en unvalor unitario. (b) Por practicidad, la amplitud de la función impulso serepresenta por su área en vez de su verdadera altura.
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Funciones especiales: impulso unitario
La transformada de Fourier de un impulso unitario es:
F [δ(t)] =
∫ ∞
−∞δ(t)e−jωtdt = e−jωt
∣∣t=0
= 1, (27)
lo cual indica que su densidad espectral es uniforme en todo el inter-
valo de frecuencia.
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Funciones especiales: impulso unitario
Transformada de Fourier de una función impulso desplazada t0:
F [δ(t− t0)] = 1 · e−jωt0 = e−jωt0 , (28)
esto es una exponencial compleja cuya su magnitud es unitaria.
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Funciones especiales: constantes
• La transformada de Fourier de una constante A se puede derivar
de F [δ(t)] = 1 y de la propiedad de dualidad:
F [1] = 2πδ(−ω) = 2πδ(ω). (29)
• Por consiguiente: F [A] = A2πδ(ω).
La única frecuencia que se relaciona con un valor constante es ω = 0.
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Funciones especiales: escalón unitario
Función escalón unitario:
u(t) =
1, t > 0,
0, t < 0,y
du(t)
dt= δ(t).
De acuerdo con la propiedad de diferenciación en el tiempo:
F [δ(t)] = jωF (ω),
donde F (ω) = F [u(t)]; por tanto, si F [δ(t)] = 1, entonces
1 = jωF (ω) ⇒ F (ω) =1
jωpara ω = 0. (30)
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Funciones especiales: escalón unitario
Función signo:
sgn(t) =
+1, t > 0,
−1, t < 0,
la cual se aproxima como:
fα(t) =
e−αt, t > 0,
−eαt, t < 0,con α > 0.
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Funciones especiales: escalón unitario
• La transformada de Fourier de fα(t) es:
F [fα(t)] = −F[eαt
]+ F
[e−αt
]= − 1
α− jω+
1
α+ jω,
=−(α+ jω) + (α− jω)
α2 + ω2= − 2jω
α2 + ω2,
• Cuando α → 0, fα(t) ≈ sgn(t); por tanto,
F [sgn(t)] ≈ lımα→0
F [fα(t)] = lımα→0
(− 2jω
α2 + ω2
)= −2j
ω=
2
jω.
• Debido a que u(t) = 12(1 + sgn(t)), entonces
F [u(t)] =1
2F [1] +
1
2F [sgn(t)] = πδ(ω) +
1
jω. (31)
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Funciones especiales: escalón unitario
Magnitud de la transformada de Fourier del escalón unitario.
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Funciones especiales: funciones periódicas
Si f(t) = 1 y F [1] = 2πδ(ω), entonces de acuerdo con la propiedad
de desplazamiento en la frecuencia se tiene
F [1 · ejω0t] = 2πδ(ω − ω0). (32)
○
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Funciones especiales: funciones periódicas
• La transformada de Fourier de f(t) = cos(ω0t) es:
F [f(t)] =1
2
∫ ∞
−∞
(ejω0t + e−jω0t
)e−jωt dt,
=1
2
∫ ∞
−∞e−j(ω−ω0)t dt+
1
2
∫ ∞
−∞e−j(ω+ω0)t dt,
= π [δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)] . (33)
• La transformada de Fourier de f(t) = sin(ω0t) es:
F [f(t)] =1
2j
∫ ∞
−∞
(ejω0t − e−jω0t
)e−jωt dt,
=1
2j
∫ ∞
−∞e−j(ω−ω0)t dt− 1
2j
∫ ∞
−∞e−j(ω+ω0)t dt,
= jπ [δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)] . (34)
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Funciones especiales: funciones periódicas
(a) Transformada de Fourier de una función coseno. (b) Transformada deFourier de una función seno.
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Funciones especiales: sumario
f(t) F (ω)
δ(t) 1
δ(t− t0) e−jωt0
A A2δ(ω)
u(t) πδ(ω) + 1jω
u(t+ τ)− u(t− τ) 2 sin(ωτ)ω
sgn(t) 2jω
cos(ω0t) π[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)]
sin(ω0t) jπ[δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)]
e−αtu(t) 1α+jω
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