Matemáticas para negocios 133

Introducción

El método dual-símplex, utilizado hasta ahora para resolver modelos de programación  lineal  en  su  forma  estándar,  ha  demostrado  ser  una  eciente herramienta en apoyo a la toma de decisiones basadas en resultados cuantitativos. Sin embargo, los problemas o casos a resolver no siempre se presentan de tal manera que puedan expresarse en la forma estándar y resolverse por el método dual-símplex, por lo que es necesario plantear una metodología para resolver estos casos. Se tiene un método aprovechando uno de los resultados del desarrollo de la programación lineal, el concepto de dualidad plantea que, asociado a todo problema de programación lineal, existe otro problema lineal llamado dual. En este capítulo se desarrolla la teoría y aplicación del método dual-símplex en la resolución de problemas y casos prácticos.

4.1.  Denición del problema

El problema de programación lineal dual que se dene a partir de un problema original  (primal),  comparte  con él  los mismos  coecientes  tanto de  la  función objetivo como de las restricciones, pero en diferente posición como más adelante se especicará. 

Por otra parte, es importante tener presente que:

• Si un problema tiene solución óptima y factible, el problema dual también la tiene. • Si un problema tiene solución factible pero no óptima, entonces el problema

dual no tiene solución factible.

A manera de síntesis, lo que se desea recuperar del análisis de dualidad es:

Cuando se tiene un modelo de programación lineal en el que el objetivo es minimizar, llamaremos a este modelo primal y obtendremos el modelo dual

134 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad

asociado que es un modelo de maximización, el cual puede resolverse con el método dual-símplex; y al obtener la solución del problema dual encontraremos la del modelo primal.

Existen otros aspectos importantes del análisis de dualidad que es necesario tener presentes, por ejemplo, para el modelo primal el objetivo es minimizar y las restricciones son del tipo ≥ (mayor o igual que), mientras que para el modelo dual el objetivo es maximizar y las restricciones son del tipo ≤ (menor o igual que). Lo anterior se ilustra en la Figura 4.1., donde se aprecian estas diferencias en las representaciones matriciales de los modelos.

Figura4.1. Problemasprimalydualasociadosaunmismoproblemareal.

Observe que el problema primal no se encuentra en la forma estándar necesaria para aplicar el método dual-símplex, y es por esto que se genera el problema dual. Además en el problema dual se empleta AT que es la matriz transpuesta de la matriz de coeficientes del sistema de restricciones.

De manera desarrollada los problemas se ven como:

Problema primal

min 1 1 2 2 n nZ c x c x c x= + + +

Sujeto a:

11 1 12 2 1 1n na x a x a x b+ + + ≥

21 1 22 2 2 2n na x a x a x b+ + + ≥

1 1 2 2m m mn n ma x a x a x b+ + + ≥

1 2, , , 0nx x x ≥

Mientras que el problema dual se verá en la forma estándar.

Zmin

=CXSujeto a: AX ≥ B X ≥ 0

Zmax

=BYSujeto a: ATY ≤ C Y ≥ 0

Primal Dual

Matemáticas para negocios 135

Problema dual

max 1 1 2 2 m mZ b y b y b y= + + +

Sujeto a:

+ + + ≤+ + + ≤+ + + ≤

+ + + ≤

11 1 21 2 1 1

12 1 22 2 2 2

13 1 23 2 3 3

1 1 2 2

...

m m

m m

m m

n n mn m n

a y a y a y c

a y a y a y c

a y a y a y c

a y a y a y c

1 2, , , 0my y y ≥

Cabe resaltar que si el modelo primal tiene n variables y m restricciones, el modelo dual tendrá m variables y n restricciones, como se puede observar en los problemas primal y dual desarrollados. La solución óptima de un problema corresponde a la solución del otro, como ya se ha mencionado, y de este resultado se desprende la siguiente sección.

Propiedad de las soluciones básicas complementarias

Cada solución básica óptima en el problema primal tiene una solución básica óptima complementaria en el problema dual, en donde los valores respectivos de las funciones objetivos son iguales, min maxZ Z= , y el valor de las restricciones del problema primal serán los coecientes de las variables articiales (yi ).

Esto quiere decir que los valores de las restricciones del modelo primal son los valores que se encuentran en el renglón R

0 en las columnas de las variables

artificiales de la tabla símplex del modelo dual.

A continuación se presenta el algoritmo para generar el modelo dual a partir del problema primal, para lo cual utilizaremos la tabla primal-dual.

4.2. Método dual-símplex

Tabla primal-dual

Partiendo de un modelo con el objetivo de minimizar, se utiliza la llamada tabla primal-dual para trasladar el problema a maximización y volver al uso del mismo algoritmo.

136 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad

Si tenemos el modelo primal de minimización:

Problema primal

min 1 1 2 2 n nZ c x c x c x= + + +

Sujeto a:

11 1 12 2 1 1n na x a x a x b+ + + ≥

21 1 22 2 2 2n na x a x a x b+ + + ≥ (1)

1 1 2 2m m mn n ma x a x a x b+ + + ≥

1 2, , , 0nx x x ≥

Para formar la tabla primal-dual se procede como sigue:

El tamaño de la tabla es de m+2 renglones y n+2 columnas. (n número de variables y m número de restricciones del problema primal).

1. La celda de la esquina superior izquierda se divide en dos con una diagonal, en la parte superior escribimos la palabra primal (min) y en la parte inferior dual (max).

2. En la celda de la esquina superior derecha se escribe el símbolo ≥ , mientras que en la primera columna en el último renglón se escribe el símbolo ≤ .

3. En la primera columna a partir del segundo renglón se escriben los nombres de las variables del problema dual (m variables articiales).

4. En el primer renglón se escriben los nombres de las variables del problema primal (n variables).

Matemáticas para negocios 137

  5.  Se escriben los coecientes de la función objetivo del modelo primal en el último renglón.

6. Se escribe cada uno de los coeficientes de las restricciones del problema primal en forma horizontal, ocupando los renglones de la tabla.

7. En la última columna se escriben las cantidades limitantes de las restricciones del modelo primal.

8. De esta tabla podemos obtener el modelo dual, lo único que debemos hacer es leer el modelo de manera vertical y los coecientes de la función objetivo se obtienen de la última columna.

Obtener el modelo dual asociado al problema:

min 1 2 35 8Z x x x= + + Sujeto a:

1 2 34 6 9x x x+ + ≥

1 2 37 3 2 7x x x+ + ≥

1 2, , , 0nx x x ≥

El problema primal tiene 3 variables y 2 restricciones, por lo tanto el problema dual tendrá 2 variables y 3 restricciones.

El tamaño de la tabla es de 2 2 4+ = renglones y 3 2 5+ = columnas para este caso.

1. La celda de la esquina superior izquierda se divide en dos con una diagonal, en la parte superior escribimos la palabra primal (min) y en la parte inferior dual (max).

2. En la celda de la esquina superior derecha se escribe el símbolo ≥ , mientras que en la primera columna en el último renglón se escribe el símbolo ≤ .

3. En la primera columna a partir del segundo renglón se escriben los nombres de las variables del problema dual (2 variables articiales).

Ejemplo 1

138 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad

4. En el primer renglón se escriben los nombres de las variables del problema primal (3).

  5.  Se escriben los coecientes de la función objetivo del modelo primal en el último renglón.

6. Se escribe cada uno de los coeficientes de las restricciones del problema primal en forma horizontal, ocupando los renglones de la tabla.

7. En la última columna se escriben las cantidades limitantes de las restricciones del modelo primal.

Matemáticas para negocios 139

8. De esta tabla podemos obtener el modelo dual, lo único que debemos hacer es leerlo de manera vertical y los coecientes de la función objetivo se obtienen de la última columna.

El resultado obtenido es el modelo dual con el objetivo de maximizar y, así como las restricciones del tipo ≤ (menor igual que).

max 1 29 7Z y y= + Sujeto a:

1 27 5y y+ ≤

1 24 3 8y y+ ≤

1 26 2 1y y+ ≤

1 2 3, , 0y y y ≥

El modelo dual obtenido consta de 2 variables y 3 restricciones, sin contar la restricción de no negatividad, como se había previsto.

Si bien se ha obtenido el modelo dual asociado a un modelo primal, esto no es suciente  para  resolver  el  problema;  entonces,  es  necesario  resolver  el modelo dual por el método dual-símplex, y para ejemplicar esto se muestra el siguiente ejemplo hasta la obtención del modelo de programación lineal apoyándonos en la propiedad de las soluciones básicas complementarias.

≥

≤

140 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad

Resolver el siguiente modelo de programación obteniendo el modelo dual y aplicando el método dual-símplex.

min 1 212 7Z x x= + Sujeto a:

1 24 2 80x x+ ≥

1 23 4 90x x+ ≥

1 2, 0x x ≥

La tabla dual está dada por:

Entonces, el modelo dual de maximización es:

max 1 280 90Z y y= + Sujeto a:

1 24 3 12y y+ ≤

1 22 4 7y y+ ≤

1 2, 0y y ≥

Ahora se utiliza el método dual-símplex para resolver el modelo dual. La tabla inicial de este modelo es:

Ejemplo 2

Matemáticas para negocios 141

El primer elemento pivote de la tabla inicial es:

Con operaciones entre renglones se obtiene la siguiente tabla:

Como en el renglón asociado a la función objetivo todavía se encuentran coecientes negativos, no se ha completado el proceso, por lo que se identica un nuevo pivote en la tabla obtenida.

El nuevo pivote se encuentra en:

De manera similar con el primer pivote, con operaciones básicas entre renglones se resuelve la tabla símplex:

En  esta  iteración,  todos  los  coecientes  del  renglón  de  la  función  objetivo son no negativos, es decir, mayores o iguales a cero, por lo que el proceso del método dual-símplex ha concluido. Cabe recordar que estamos resolviendo un

142 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad

problema primal-dual, por lo que la solución del modelo primal se obtiene del valor de los coecientes asociados a las variables de holgura que den el renglón de la función objetivo.

Es decir:

Por lo que al transferir la solución de la tabla símplex a las variables originales del problema primal se tiene:

Con la transferencia de la solución de la tabla a las variables del problema primal concluye la aplicación del método dual-símplex primal-dual.

El desarrollo de tres estrategias de un proceso administrativo de fondos de inversión a largo plazo causa costos de 1, 3 y 2 millones de pesos por año de procesamiento, respectivamente. Cada estrategia genera 10, 20 y 40 millones en benecios por año, en el mismo orden, y se requiere un nivel mínimo de 800 millones en benecios para que el negocio sea conveniente a los inversionistas. Por último se sabe que la diferencia entre el triple de la duración de la estrategia con costo de 3 millones menos la duración de la estrategia de 2 millones debe ser de por lo menos 10 años. ¿Cuál es la duración óptima de cada estrategia que garantiza los benecios esperados y minimiza los costos de administración? • Para  resolver  este  problema,  primero  identicamos  que  el  objetivo  del 

planteamiento es minimizar el importe de los costos totales. • Las restricciones están relacionadas con el nivel mínimo de benecios y la 

duración de cada estrategia.

Ejemplo 3

Matemáticas para negocios 143

Con lo anterior podemos denir las variables de decisión como:

1 :x = Duración en años de la estrategia I.

2 :x = Duración en años de la estrategia II.

3 :x = Duración en años de la estrategia III.

A partir de esta denición el modelo de programación lineal primal es:

min 1 2 33 2Z x x x= + + Sujeto a:

1 2 310 20 40 800x x x+ + ≥ (1) Restricción de la utilidad mínima.

2 33 10x x− ≥ (2) Restricción de la duración de las estrategias II y III.

1 2 2, , 0x x x ≥ (3) Condición de no negatividad.

La tabla dual está dada por:

Entonces, el modelo dual de maximización es:

max 1 2800 10Z y y= + Sujeto a:

110 1y ≤

1 220 3 3y y+ ≤

1 240 2y y− ≤

1 2 3, , 0y y y ≥

144 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad

Ahora se utiliza el método símplex para resolver el modelo dual. La tabla inicial de este modelo es:

El primer elemento pivote de la tabla inicial es:

Con operaciones entre renglones se obtiene la siguiente tabla:

Como en el renglón asociado a la función objetivo todavía se encuentran coecientes negativos, no se ha completado el proceso, por lo que se identica un nuevo pivote en la tabla obtenida.

El nuevo pivote se encuentra en:

Matemáticas para negocios 145

De manera similar con el primer pivote, con operaciones básicas entre renglones se resuelve la tabla símplex:

En esta iteración todos los coecientes del renglón de la función objetivo son no negativos, es decir, mayores o iguales a cero, por lo que el proceso del método símplex ha concluido. Cabe recordar que estamos resolviendo un problema dual, por lo que la solución del modelo primal  se obtiene del valor de  los coecientes asociados a las variables de holgura que den el renglón de la función objetivo.

Es decir:

Por lo que al transferir la solución de la tabla símplex a las variables originales del problema primal se tiene:

Lo cual signica que la solución del problema primal está dada por:

1 0x = años de la estrategia I.

2 8.571x = años de la estrategia II.

3 15.714x = años de la estrategia III. Con un costo total mínimo de min $57,143,000.00Z =

146 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad

En la siguiente sección se aplica este método al entorno de los negocios y posteriormente se presenta una sección de ejercicios.

4.3. Aplicaciones al entorno de los negocios

Cuando ya se conoce el método dual-símplex como un algoritmo útil para resolver modelos de programación lineal, los cuales de manera original tienen como objetivo minimizar, es momento de comenzar a pensar en el entorno donde es posible encontrar problemas con modelos como el descrito previamente. Uno de ellos es el entorno de los negocios, ya que de manera natural, cuando se trate de costos de producción, de ventas o de administración, precisamente nos encontramos en la necesidad de llevar a cabo todos los procesos y actividades de la empresa al menor costo posible, cumpliendo con ciertos niveles mínimos, por ejemplo, de productividad.

La descripción anterior muestra una alta correspondencia con lo que en la sección previa denominamos problema primal, es decir, un problema con objetivo de minimizar y restricciones del tipo ≥ (mayor igual que). A continuación se presentan un ejemplo y varios ejercicios de aplicación a los negocios.

Para el eciente desempeño de las actividades de una empresa comercializadora de bienes raíces, se han cuanticado para los departamentos los costos de ventas y administración en $10,500.00 y $12,000.00 respectivamente. Mientras que para una casa los mismos costos ascienden a $18,000.00 y $10,000.00, respectivamente. La utilidad que reporta cada departamento es de $150,000.00 y de $300,000.00 para cada casa.

La empresa desea reducir al nivel mínimo posible el importe de sus costos totales manteniendo una utilidad de al menos $18,000,000.00, así como la necesidad de que la cantidad de departamentos vendidos a lo menos sea el doble de casas vendidas. ¿Cuál es la combinación óptima de departamentos y casas que se deben comercializar? y, ¿cuál es el importe de los costos totales con el nivel de ventas calculado?

• Para  resolver  este  problema,  primero  identicamos  que  el  objetivo  del planteamiento es minimizar el importe de los costos totales de la empresa.

• Y que las restricciones están relacionadas con el nivel mínimo de utilidades y la cantidad de departamentos y casas vendidas.

Ejemplo 4

Matemáticas para negocios 147

Con lo anterior podemos denir las variables de decisión:

1 :x = La cantidad de departamentos vendidos.

2 :x = La cantidad de casas vendidas.

A partir de esta denición el modelo de programación lineal primal es:

( ) ( )min 1 210,500 12,000 18,000 10,000Z x x= + + + Sujeto a:

1 2150,000 300,000 18,000,000x x+ ≥ (1) Restricción de la utilidad mínima.

1 22 0x x− ≥ (2) Restricción de la cantidad de ventas.

1 2, 0x x ≥ (3) Condición de no negatividad.

Nota que los costos totales son la suma de los costos de ventas y de administración para cada inmueble, además, como se trata de minimizar costos, los datos de la utilidad se emplean como una restricción.

La tabla dual está dada por:

Entonces, el modelo dual de maximización es:

max 118,000,000Z y= Sujeto a:

1 2150,000 22,500y y+ ≤

1 2300,000 2 28,000y y− ≤

1 2, 0y y ≥

148 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad

Ahora se utiliza el método símplex para resolver el modelo dual. La tabla inicial de este modelo es:

El primer elemento pivote de la tabla inicial es:

Con operaciones entre renglones se obtiene la siguiente tabla:

Como en el renglón asociado a la función objetivo todavía se encuentran coecientes negativos, no se ha completado el proceso, por lo que se identica un nuevo pivote en la tabla obtenida.

El nuevo pivote se encuentra en:

Matemáticas para negocios 149

De manera similar con el primer pivote, con operaciones básicas entre renglones, se resuelve la tabla símplex:

En esta iteración todos los coecientes del renglón de la función objetivo son no negativos, es decir, mayores o iguales a cero, por lo que el proceso del método símplex ha concluido. Cabe recordar que estamos resolviendo un problema dual, por lo que la solución del modelo primal se obtiene del valor de los coecientes asociados a las variables de holgura que dan el renglón de la función objetivo. Es decir:

Por lo que al transferir la solución de la tabla símplex a las variables originales del problema primal se tiene:

Lo cual signica que la solución del problema primal está dada por:

1 60x = departamentos vendidos.

2 30x = de casas vendidas. Con un costo total mínimo de min $2,190,000.00Z =

A continuación se presenta un conjunto de ejercicios para resolver y practicar la aplicación del método dual-símplex.

150 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad

Ejercicios

1. = +min 1 26 12Z x x Sujeto a:

+ ≥1 22 3 26x x

+ ≥1 25 20x x

2. = +min 1 216 10Z x x Sujeto a:

+ ≥1 23 5 7x x

+ ≥1 22 1 5x x

+ ≥1 24 2 9x x

3. min 1 2 36 8 12Z x x x= + + Sujeto a:

1 2 36 4 3 60x x x+ + ≥

1 2 33 2 6 20x x x+ + ≥

1 2 3, , 0x x x ≥

4. min 1 2 37 8 6Z x x x= + + Sujeto a:

1 2 36 4 3 100x x x+ + ≥

1 2 33 2 9 60x x x+ + ≥

1 2 3, , 0x x x ≥

5. min 1 2 312 8 9Z x x x= + + Sujeto a:

1 2 310 8 9 10x x x+ + ≥

1 2 311 2 2 60x x x+ + ≥

1 2 35 10 3 30x x x+ + ≥

1 2 3, , 0x x x ≥

Resuelve los siguientes problemas e interpreta los resultados indicando la decisión que se debe tomar para alcanzar el objetivo.

6. Un colegio privado en planeación estima que los costos por gestión escolar de cada alumno de nivel medio es de $7,400.00 y de $9,500.00 para uno de nivel superior. El colegio espera iniciar actividades con al menos 1,250 inscritos en total y requiere de ingresos mínimos de $26,000,000.00, los cuales obtendrá con las utilidades de $26,000.00 y $32,000.00 por alumno

Matemáticas para negocios 151

inscrito en el nivel medio y nivel superior, respectivamente. El propósito de resolver este escenario en la etapa de planeación es que, apoyado en los resultados cuantitativos, se determine la cantidad óptima de inscritos en cada nivel académico y se estime el monto mínimo de los costos del colegio.

  7.  Los costos por manejo de cuentas en una  institución nanciera dependen del tipo de servicios que ofrece. En la siguiente tabla se presenta información de las diferentes cuentas que ofrece la institución:

Cuenta Costo por manejo ($) Comisión por manejo ($)

Tipo I 360 478

Tipo II 318 424

Tipo III 376 400

La institución debe manejar un mínimo de 87 cuentas del tipo I y del tipo III en cualquier combinación, y garantizar comisiones mínimas de $68,298.00. ¿Cuál es la combinación óptima del tipo de cuentas que la institución debe manejar?

8. Tres productos diferentes (A, B y C) que maneja una compañía tienen una demanda mínima de 1,000, 500 y 250 unidades respectivamente. Por otra parte, se conoce que los costos de producción correspondiente a cada producto es de $100.00, $125.00 y $124.00, además que debido a regulaciones externas, la producción del producto A debe ser al menos el doble de la producción conjunta de B y C. Con este escenario establece las condiciones para minimizar los costos, satisfaciendo las demandas dadas.

9. Considera que se desea realizar una inversión y que existe todo el capital disponible para tal negocio. Sin embargo, para acceder a tres instrumentos diferentes de inversión A, B y C, la agencia solicita un monto mínimo a invertir en el instrumento A de $70,000.00, además de que exige que la inversión en el instrumento C sea al menos el doble que la cantidad total invertida en los instrumentos A y B.

La inversión genera un costo administrativo de 6%, 3% y 5% respecto a la cantidad invertida en cada instrumento y cada uno rinde 25%, 45% y 30% respecto a la cantidad invertida. Si se requiere obtener un monto por rendimientos de más de $85,000.00 y un total mínimo por costos administrativos, ¿cuáles son las cantidades que deben invertirse en cada tipo de instrumento?

152 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad

10. Para trasladar tres materias primas, M1 , M

2 y M

3 , necesarias en un proceso

industrial se tienen que cubrir los siguientes costos: $90.00, $60.00 y $30.00 por tonelada de materia prima respectivamente, mientras que los requerimientos de materia prima son:

• La cantidad total de los tres tipos de materia prima sea mayor a las 55 ton. • La cantidad de M

1 al menos sea dos veces la cantidad conjunta de M

2 y M

3

más 10 ton.

    ¿Qué  combinación  de  materia  prima  minimiza  los  costos  bajo  estas condiciones?

Autoevaluación

1. Todo problema real tiene asociado:

a) Tres modelos de programación lineal. b) Dos o más modelos de programación lineal. c) Dos modelos de programación lineal. d) Un solo modelo de programación lineal.

2. Se utiliza para obtener el modelo dual:

a) Tabla inicial. b) Tabla símplex. c) Tabla primal dual. d) Tabla de valores.

3. Si el problema primal tiene 2 variables y 4 restricciones, el modelo dual tendrá:

a) 2 variables y 4 restricciones. b) 4 variables y 4 restricciones. c) 2 variables y 2 restricciones. d) 4 variables y 2 restricciones.

Matemáticas para negocios 153

4. El método dual-símplex se utiliza para resolver modelos de programación lineal donde:

a) El objetivo es minimizar y las restricciones son del tipo ≥ . b) El objetivo es maximizar y las restricciones son del tipo ≥ . c) El objetivo es minimizar y las restricciones son del tipo ≤ . d) El objetivo es maximizar y las restricciones son del tipo ≤ .

5. ¿Cuál es la tabla primal dual del siguiente modelo?

= + +min 1 2 37 8 10Z x x x Sujeto a: + + ≥1 2 3 10x x x

+ + ≥1 2 35 3 2 15x x x

≥1 2 3, , 0x x x

a)

b)

c)

154 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad

d)

6. Obtén la tabla primal dual del siguiente modelo:

min 1 2 3100 200 300Z x x x= + + Sujeto a:

1 2 35 10 15 20x x x+ + ≥

1 3 30x x+ ≥

1 2 50x x+ ≥

1 2 3, , 0x x x ≥

a)

b)

c)

Matemáticas para negocios 155

d)

7) Obtén la tabla primal dual del siguiente modelo

min 1 2 3125 175 150Z x x x= + +

Sujeto a: 1 1,500x ≥ 2 800x ≥ 3 500x ≥

( )1 2 32 0x x x− + ≥ 1 2 3, , 0x x x ≥

a)

b)

156 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad

c)

d)

8. Resuelve el siguiente modelo de programación lineal con el método dual-símplex:

min 12 15Z x y= + Sujeto a: 5 12 117x y+ ≥

9 6 60x y+ ≥

, 0x y ≥

a) 9.65x = ; 0.23y = ; min 147.58Z = b) 0.3x = ; 10y = ; min 147.58Z = c) 0.23x = ; 9.65y = ; min 147.58Z = d) 10x = ; 0.3y = ; min 147.58Z =

Matemáticas para negocios 157

9. Resuelve el modelo:

min 1 2 310 12 17Z x x x= + + Sujeto a: 1 100x ≥ 2 50x ≥ 3 25x ≥ 1 2 3, , 0x x x ≥

a) 1 50x = ; 2 50x = ; 3 50x = ; min 2,025Z = b) 1 100x = ; 2 50x = ; 3 50x = ; min 2,025Z = c) 1 50x = ; 2 25x = ; 3 100x = ; min 2,025Z = d) 1 100x = ; 2 50x = ; 3 25x = ; min 2,025Z =

10. Los costos de manejo de cuentas de tres inversiones (A, B y C) son $100.00, $120.00 y $ 170.00, respectivamente. Estas inversiones se encuentran bajo las siguientes condiciones:

• El índice de rendimiento de cada una es de 10, 12 y 15 puntos por unidad monetaria invertida, por lo que al determinar la cantidad a invertir se debe obtener un puntaje total de por lo menos 1,000 puntos.

• El índice de eciencia comercial es de 3, 1 y 2 puntos por unidad monetaria en  inversión, respectivamente, y se espera una eciencia  total de por  lo menos 500 puntos.

• Es requisito de la agencia de inversiones que el importe de inversión en A más el doble de la inversión en C sea mínimo de $250.00.

Con esta información indica las cantidades a invertir en A, B y C, así como el monto total de los costos de manejo de cuentas.

a) 1 0x = ; 2 0x = ; 3 62.5x = ; min 23,125Z = b) 1 125x = ; 2 0x = ; 3 0x = ; min 23,125Z = c) 1 125x = ; 2 0x = ; 3 62.5x = ; min 23,125Z = d) 1 0x = ; 2 125x = ; 3 62.5x = ; min 23,125Z =

158 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad

Respuestas a los ejercicios

1. =1 10x ; =2 2x ; min 84Z =

2. =1 2.5x ; 2 0x = ; min 36.14Z = 40

3. 1 10x = ; 2 0x = ; 3 0x = ; min 60Z =

4. 1 16x = ; 2 0x = ; 3 1.33x = ; min 120Z =

5. 1 5.4x = ; 2 0.3x = ; 3 0x = ; min 67.2Z =

6. Las variables de decisión son:

1x = Cantidad de inscritos en nivel medio.

2x = Cantidad de inscritos en nivel superior.

min 1 27,400 9,500Z x x= + Sujeto a: 1 2 1,250x x+ ≥

1 226,000 32,000 26,000,000x x+ ≥ 1 2, 0x x ≥

1 1,250x = inscritos en nivel medio y 2 0x = inscritos en nivel superior, con un costo mínimo de min 9,250,000Z = . Es decir, el colegio deberá iniciar operaciones sólo en el nivel medio.

7. Las variables de decisión son:

1x = Cantidad de cuentas Tipo I a manejar.

2x = Cantidad de cuentas Tipo II a manejar.

3x = Cantidad de cuentas Tipo III a manejar.

min 1 2 3360 318 376Z x x x= + + Sujeto a:

1 2 3478 424 400 68,298x x x+ + ≥ 1 3 87x x+ ≥ 1 2 3, , 0x x x ≥

Matemáticas para negocios 159

1 87x = cuentas Tipo I, 2 63x = cuentas Tipo II y 3 0x = cuentas Tipo III, con un importe mínimo de min 51,354.00Z = . Es decir, la institución nanciera deberá manejar sólo cuentas Tipo I y II.

8. Las variables de decisión son:

1x = Cantidad de unidades Tipo A, a producir.

2x = Cantidad de unidades Tipo B, a producir.

3x = Cantidad de unidades Tipo C, a producir.

min 1 2 3100 125 124Z x x x= + + Sujeto a: 1 1,000x ≥ 2 500x ≥ 3 250x ≥

( )1 2 32 0x x x− + ≥ 1 2 3, , 0x x x ≥

1 1,500x = unidades Tipo A, 2 500x = unidades Tipo B y 3 250x = unidades Tipo C, con un importe mínimo de min 243,500.00Z =

9. Las variables de decisión son:

1x = Cantidad a invertir en el instrumento A.

2x = Cantidad a invertir en el instrumento B.

3x = Cantidad a invertir en el instrumento C.

min 1 2 30.06 0.03 0.05Z x x x= + + Sujeto a:

1 2 30.25 0.45 0.30 85,000x x x+ + ≥ 1 70,000x ≥ 1 2 32 2 0x x x− − + ≥ 1 2 3, , 0x x x ≥

1 70,000x = a invertir en el instrumento A, 2 24,285.72x = a invertir en el instrumento B y 3 188,571.44x = a invertir en el instrumento C, con un importe mínimo de costos de administración de min 14,357.14Z =

160 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad

10. Las variables de decisión son:

1x =Cantidad a transportar de M1.

2x = Cantidad a transportar de M2.

3x =Cantidad a transportar de M3.

min 1 2 390 60 30Z x x x= + + Sujeto a:

1 2 3 55x x x+ + ≥

( )1 2 32 10x x x− + ≥

1 2 3, , 0x x x ≥

1 40x = ton a transportar de M1, 2 0x = ton a transportar de M

2 y 3 15x = ton

a transportar de M3, con un importe mínimo de costos de transporte de

min 4,050.00Z =

Respuestas a la autoevaluación

1. c) 2. c) 3. d) 4. a) 5. b) 6. d) 7. a) 8. c) 9. d) 10. c)