Introducción a la física guia de trabajos prácticos-Venier Fabián L..doc

CÁTEDRA DE FÍSICA. FACULTAD DE INGENIERÍA

Introducción a la FísicaGuía de trabajos prácticos

COMPILADOR: PROF. FABIAN L. VENIER

2013

Carreras de: Ingeniería Mecánica, Electricista, Química y Telecomunicaciones

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Introducción a la Física (Cód 413) 2013

Índice

Teoría de error............................................................................................................................3

Trabajo práctico de errores........................................................................................................15

Vectores....................................................................................................................................20

Dinámica...................................................................................................................................22

Cinemática................................................................................................................................28

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MAGNITUDES Y CANTIDADES FISICAS, MEDICIONES Y OPERACIONES

I.1. - MAGNITUDES Y CANTIDADES FÍSICAS

"La física es una ciencia experimental. Estudia los procesos del mundo físico y establece un cierto número limitado de leyes con las cuales se puede explicar la mayor variedad posible de los fenómenos observados y predecir el resultado de experiencias nuevas. Que sea ciencia experimental significa que los fenómenos en análisis deben observarse y medirse. Cualquier aseveración en física, la cual, o cuyas consecuencias lógicas, no sean comparables experimentalmente, carece de sentido" (Juan G. Roederer)

El proceso de medición es un proceso físico fundamental y punto de partida de toda teoría física y mediante el cual definimos una magnitud física y obtenemos como resultado la cantidad o valor de la magnitud. Por ejemplo: cuando medimos una longitud lo que hacemos es comparar el tamaño longitudinal de algo con otro algo que adoptamos como patrón. Mediante este proceso estamos definiendo la magnitud longitud, pues no hay mejor forma de definir una magnitud física que describiendo el proceso de medición, y además obtenemos una cantidad que surge de la comparación, la cual nos da una idea del tamaño de lo medido.

Con lo dicho tratamos de ir dando precisión al lenguaje haciendo una distinción de lo que significa magnitud y lo que significa cantidad. Así tenemos que longitud, fuerza, masa, temperatura, tiempo, etc. en general y en forma abstracta son magnitudes y que la longitud de algo determinado, la fuerza que un cuerpo ejerce sobre otro, que la masa de un cuerpo, etc., son cantidades específicas de esos "algo" o de esos cuerpos.

I.1.1.- Magnitudes y cantidades escalares

Las cantidades que pueden especificarse completamente mediante un número y una unidad y que por consiguiente sólo tienen magnitud se llaman escalares. Algunas cantidades físicas que son escalares son las de: masa, longitud, tiempo, densidad, energía y temperatura. Los escalares se pueden manejar mediante las reglas del álgebra ordinaria.

I.2. - El proceso de medición

I.2.1.- La operación de medir una cantidad

Medir una cantidad A, como dijimos, es compararla con otra cantidad U de la misma magnitud, a la que se llama unidad, elegida arbitrariamente por el operador de tal manera que:

A/U = X (número abstracto)

y así es posible expresar el valor de la cantidad

A = X . U (número real concreto)

I.2.2.- Los sistemas que intervienen en una medición

En el proceso de medición intervienen los siguientes sistemas:

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a) El sistema objeto: es la cantidad por medir.b) El sistema de medición: es el equipo o aparato de medición y la teoría en que se fundamenta su funcionamiento.c) El sistema de referencia: es la unidad empleada en la comparación.d) El sistema operador: es el que efectúa la medición y quien nos dirá que se han cumplido los criterios de operación.

Por ejemplo si deseamos medir la longitud de una varilla, el sistema objeto es la varilla por medir. El sistema de medición será, por ejemplo, una cinta métrica graduada en milímetros de la cual no es necesario que expliquemos la teoría en que se fundamenta su funcionamiento por su simplicidad. El sistema de referencia será el metro patrón y el sistema operador será la persona que realice la medición.

I.2.3.- La apreciación de un instrumento

Es la menor división de la escala del instrumento. Por ejemplo una cinta métrica dividida en milímetros tendrá una apreciación =1mm. En un cronómetro graduado en 1/100 de segundo la apreciación es =0,01 s.

I.2.4.- La estimación de una lectura

Es el menor intervalo que un operador puede estimar con la ayuda de la escala del instrumento. Por ejemplo supongamos que se desea medir la longitud de una pieza con una cinta métrica graduada en milímetros; se hace coincidir el cero de la cinta con una de los extremos de la pieza y se observa cual división de la cinta coincide con el otro extremo, pero al hacerlo puede suceder lo siguiente:

a)En este caso el observador no tiene ninguna línea que coincida con el extremo de la pieza por lo

tanto solo nos podrá informar que la medición es mayor que 9,7 y menor que 9,8 o en el mejor de los casos un buen observador nos podrá informar que la medición es menor que 9,76 y mayor que 9,74 o sea que el valor estará comprendido en el intervalo 9,74 < X < 9,76. Si se escoge 9,75 = X este observador tendrá una estimación de 0,01 y el anterior 0,1.

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b)En este caso el observador tiene una línea de la cinta que coincide con el extremo de la pieza por lo

tanto el observador leerá 13,6 ni 13,5 ni 13,7 inclusive ni 13,59 ni 13,61 sino 13,6. Pero ¿que sucedería si nosotros le dijéramos que la medida es de 13,599 o de 13,601?, él no nos podría negar puesto que no puede ver si realmente no es así, además si ampliamos el sector (c) se verá que los trazos de la regla ya superan ampliamente la centésima lo cual no nos permitirá hacer una medida tan precisa.

c)O sea que el observador solo podrá informarnos que la medida es 13,59 < X < 13,61. Si se dice que

es de 13,60 deberá decirse además que esta medida tiene una estimación de 0,01.

I.2.5.- Como se expresa una lectura

Si un observador realiza una medida Xi con una estimación significa que el valor de la cantidad medida pertenece al intervalo

(Xi - ; Xi + )

Suponiendo que el verdadero valor es X tendremos

(Xi - ) < X < (Xi + )

Es decir que el observador no podrá indicar que el valor de la cantidad es Xi ni que es X sino que según "su medición" el valor más probable de la cantidad X es:

X = Xi .

De acuerdo a esto la medición será mas precisa cuanto más pequeño sea el intervalo, es decir cuanto mas pequeño sea o sea la estimación de la lectura.

I.2.6.- El número de cifras de una lectura

Podemos decir, en principio, que la última cifra de una lectura ocupa el lugar de la cifra significativa de la estimación.

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Por ejemplo: supongamos que realizamos una medida con una estimación = 0,02; el observador podrá decir que su medida es por ejemplo

X = (12,43 0,02)y no

X = (12 0,02)Ni

X = (12,4 0,02)

Pues está desperdiciando información ni tampoco podrá decir

X = (12,4328 0,02)

Pues en este caso se toma información que no es sino producto de la imaginación pues mal nos podrá informar la cuarta cifra decimal si esta cometiendo un error sobre la segunda.

I.2.7.- El valor del cero en una lectura

En aritmética

9 = 9,0 = 9,00

pues los ceros a la derecha de la coma no son significativos. Pero en física

9 9,0 9,00

pues los ceros de la derecha de la coma nos informan que dicha medida fue realizada con una estimación del orden de los décimos y si no los tiene significará que la estimación esta en el orden de la unidad.

I.2.7.1.- Cifras significativas

De acuerdo a estos últimos puntos podemos hablar de cifras significativas y las que no lo son.Como definición diremos que las cifras significativas de una medición son todos los números de la cantidad hasta el número que coincide con la cifra significativa del error. Además no debemos tener en cuenta los ceros a la izquierda del número al contabilizar la cantidad de dígitos significativos de la medición pero si los de la derecha, como ya vimos. En realidad siempre deberíamos indicar la medición sin ceros a la izquierda. Por ejemplo. Si hacemos una medición de un objeto con un tornillo micrométrico y nos da el siguiente resultado: X = 0,00230m y la mínima división de la escala del instrumento es de una centésima de milímetro es decir = 0,00001m , la medición la podemos indicar como: X = (0,00230 0,00001)m ; pero lo correcto sería indicarlo así: X = (230 1).105m ; o bien X = (2,30 0,01)mm ; En estos últimos dos casos queda muy claro que la cantidad tiene tres cifras significativas.

I.2.8.- Los errores de medición

Naturalmente al efectuar una medición existen errores de diferentes tipos y naturaleza, por ejemplo, defectos del instrumento utilizado, influencia de la temperatura ambiente, estado y capacidad del

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observador, etc. trataremos de hacer una división de estos errores a los fines de su estudio y utilización y lo haremos según dos criterios diferentes:

1 De acuerdo a su naturaleza:

a) Errores de apreciación: Son aquellos que el observador estima que ha cometido al efectuar la lectura de una medida. Estos errores corresponden a los vistos anteriormente.

b) Errores casuales: Son errores que se producen involuntariamente y debido a que las observaciones pueden variar de un momento a otro como un hecho naturalmente humano.

c) Errores sistemáticos: Son debidos a fallas en el sistema de medición y siempre nos dará un valor distinto del verdadero ya sea por exceso o por defecto y siempre en uno de estos sentidos. Estos errores son imposibles de eliminar sino cambiando el sistema de medición.

2 De acuerdo a su significado:

a) Error absoluto: Es el que se adjudica a una medición independientemente del tamaño de la cantidad medida. Por ejemplo si medimos algo con una cinta métrica graduada en milímetros una sola vez y obtuvimos un valor de 0,972 m. estimando su apreciación en 0,001 m. este será el error absoluto de la medición. Si ahora medimos con la misma cinta otra cosa y leemos 0,013 m. nuestra estimación será la misma pues usamos el mismo operador e instrumento por lo tanto nuestro error también será 0,001 m. Como se puede ver, el error absoluto es independiente del tamaño de la cantidad.

b) Error relativo: Es la relación que existe entre el error absoluto y la medida efectuada. Es adimensional y depende del tamaño de la cantidad y nos da una idea de la precisión con que medimos. Utilizando el ejemplo anterior el error relativo de la primera medición será

r = 0,001 m./ 0,972m. = 0,001m.

y de la segunda

r = 0,001m. / 0,013m. = 0,08

Como puede verse, la primera medida tiene mas precisión que la segunda.

c) Error porcentual: No es otra cosa que el error relativo multiplicado por 100 y es muy útil pues estamos familiarizados a comparar porcentualmente y mediante esto obtenemos una idea inmediata de la precisión de la medición. En nuestros ejemplos: %1 = 0,1% y %2 = 8%

I.2.9.- Los errores de medición: (Ver página -21- ítem b. - hasta pag. -27- del libro MECANICA ELEMENTAL de Juan G.

Roederer, editorial EUDEBA, edición 1966) o cualquier otra edición en las cuales pueden no coincidir las páginas)

I.2.10.- Distribución de Gauss:(Ver pag. -28- ítem c.- hasta pag. 36 del mismo libro)

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I.2.11.- Propagación de errores: (Ver paginas -27- y -28- del mismo libro)

.2.9.- ERRORES DE MEDICIÓN. TEORIA DE ERRORES

Volvamos al proceso de medición y consideremos el valor numérico obtenido. Dijimos que es un número real. Un número real en el sentido matemático está representado por un número infinito de guarismos. Es evidente que esto no se obtiene como resultado de una medición. Hay un límite a priori dado por el instrumento o aparato de medición, en el cual aparece necesariamente un cierto límite de apreciación, dado por el mínimo valor distinguible en una medición.

Si por ejemplo se tiene una regla graduada en cm y mm, en la cifra que expresa el valor de una longitud dada, so1o estará asegurado el guarismo correspondiente al milímetro. Por ejemplo: en el valor "3,25633" no tendrían sentido las dos últimas cifras (33) (pues solo serían producto de la imaginación).

Si se repite una medición varias veces, el resultado expresado en cifras significativas dadas por la escala del instrumento, debería ser el mismo en cada caso, siempre que la magnitud por medirse se mantenga constante. Pero en general esto no sucede. Aun si en cada medición podemos asegurar a priori hasta un cierto número de guarismos, los valores obtenidos en mediciones consecutivas no suelen coincidir.

Consideremos un ejemplo; yo mido una cierta longitud cien veces con mucho cuidado, y obtengo los mismos va1ores numéricos en cada medición. Pero, ahora tomo unas copas de vino y vuelvo a hacer cien mediciones. ¿Volveré a obtener valores coincidentes en cada caso? Evidentemente no; la "borrachera" me impedirá ver nítidamente las líneas y los números de la regla, así como los confines del objeto que estoy midiendo. Si, por otra parte, tomo une regla muy corta y (sin estar borracho) mido la longitud de un objeto largo, tampoco obtendré el mismo resultado en todas las mediciones. Esto se debe a que en el proceso de transporte de la regla se cometen inevitablemente ciertos errores mecánicos.

Supongamos entonces que hemos hecho una serie de N mediciones de une misma cantidad, que han dado los valores numéricos xl, x2,..., xi,..., xN , todos ellos expresados en cifras significativas exclusivamente. ¿Qué hacemos con estos valores?. Vamos a plantearnos claramente el problema: tenemos una serie de N mediciones con N resultados en general diferentes. Sabemos, además, que la magnitud dada puede tener, en realidad, un solo valor numérico. ¿Cómo podemos "fabricar" de esos N valores uno solo que esté "lo más cerca posible" del "verdadero valor", al cual desconocemos? En términos más correctos: ¿Cómo podemos volcar la información dada por esos N números hacia uno solo, y que podamos adoptar como "el valor más probable de la cantidad"?

Sea X el número que adoptamos como "valor más probable" de 1a cantidad. Las diferencias X-x i = i;. se llaman "desviación de cada medición" respecto de X. Tendremos N desviaciones 1 , 2 , ... , i. , ... , N

. Serán, en general, números positivos y negativos. La suma algebraica 1 +2 +...+N no tendrá mucho significado físico. Incluso puede ser cero, aun siendo grandes los i , si los valores positivos y negativos de los i se compensan mutuamente. En cambio, la suma de los cuadrados, o suma de "desviaciones cuadráticas"

12 + 2

2 +... + N2 = i

2.Será una cantidad más representativa, que nos dará una idea global de cómo fluctúan los valores medidos x i

a1rededor de X.Es evidente que esa suma depende del valor que elijamos para X :

i2 = (X-xi)2 = NX2-2X xi+xi

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Obtenemos una función cuadrática de X , que pasa por un mínimo para un cierto valor de X . Con esta expresión encontramos la posibilidad para un criterio "razonable" (por ahora convencional) para definir el "valor más probable de una cantidad" obtenido a partir de N mediciones individuales x i . Elegimos como tal al valor de X que haga mínima la suma cuadrática de las desviaciones. Esto es lo más razonable que se puede hacer por ahora; más adelante quedará totalmente justificado.

O sea, X debe satisfacer la siguiente condición de extremo:

d/dx i2 = 0

O sea:

d/dx (NX2-2X xi+xi2) = 2NX-2xi = 0

X = xi/N...(1.2)

(Promedio aritmético de les xi ).E1 promedio aritmético de los valores xi es entonces lo que elegimos como "va1or más probab1e" o

"valor más razonable" de la cantidad en cuestión. Es el valor (único) que hace mínima la suma cuadrática de las desviaciones.

Volvamos a esa suma cuadrática i . Esta cantidad tiene el inconveniente de que su valor no solo depende de las fluctuaciones, sino también del número total de observaciones N.

Efectivamente, es fácil comprender que esta suma de sumandos positivos puede ser arbitrariamente grande, aun para muy pequeños valores de i , con tal de ser el número de sus sumandos (N)suficientemente grande.

Para independizarnos de este número ocasional N, definimos la cantidad llamada "varianza":

v = i2/N

que es el promedio de las desviaciones cuadráticas, y que ahora sí solo depende de la forma en que los datos individuales fluctúan alrededor del promedio, siendo independiente del número total de observaciones. Las dimensiones físicas de v no son las de los datos originales, puesto que estos figuran elevados al cuadrado. Por lo tanto, se introduce la raíz cuadrada de la varianza:

= v = (X-xi)2/N...(1.3)

que tiene las mismas dimensiones que X (por ejemplo: una longitud, si las x i son longitudes), y que por lo tanto se puede comparar numéricamente con X . nos da una idea cabal y precisa de la mayor o menor fluctuación o dispersión, en forma global de los va1ores de x i alrededor del promedio X . se llama “dispersión o error estándar de cada medición” (Otras denominaciones: error cuadrático medio, desviación o fluctuación estándar de cada dato, etc.) Obsérvese que = 0, solo si cada uno de los i es nulo, o sea, si todos 1os va1ores de xi son iguales entre sí. Tal como la varianza, depende solo del proceso de medición en sí.

La cantidad = /X se llama error o desviación relativa de cada medición; 100 / X se llama error porcentual de cada medición. Obsérvese que el error relativo, que no tiene dimensiones, es una cantidad que nos representa la forma numérica más intuitiva posible del concepto de "error" o dispersión. Efectivamente, cuando decimos que un error dado es del 10 % , tenemos con ello una información sobre 1a calidad de la

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medición, que es totalmente independiente de lo que estamos midiendo. Ello no ocurre con el error estándar absoluto: si decimos que en la medición de una longitud el error estándar es de 10 cm, ello puede representar una medición excelente, si la longitud que se mide es de centenares de metros, pero puede significar una medición “mala” ,si el objeto medido tiene solo 20 cm. El error relativo, asimismo, permite una comparación de la calidad de mediciones de diferentes magnitudes entre sí.

Supongamos que hemos obtenido un promedio X da una seria de mediciones x l,...,xN . Hagamos ahora otra serie de N mediciones en las mismas condiciones que la anterior, obteniendo los valores x’i,...,x’N . El promedio X de esta segunda serie no tiene por qué coincidir con el de la primera.

X’ X

Tampoco las desviaciones estándar y ’ serán idénticas, aunque su orden de magnitud siempre será el mismo puesto que representan una característica del proceso de medición en sí, que ,por hipótesis, es el mismo en ambas series. En general, los promedios X’ , X’’ , ... , X i ,..., XM .obtenidos a través da M series de mediciones con N valores cada una, fluctuarán alrededor de un promedio general, o "promedio de los promedios", de valor

X = Xi /M = ( x’i /N + x’’i/N +...+ xMi /N)/M = x (sumatoria de todas las x) / MN (total de

mediciones)

La dispersión de esos promedios, considerados como datos individuales de una serie de valores, será:

= (X - Xi)2 / M... (1.4)

Ésta es la dispersión standard de cada promedio de las series de mediciones. Lo importante es que se puede demostrar que para los casos de errores casuales de medición esta dispersión o error estándar vale

= / N = i2 / N2

...(1.5)

Esta relación es en realidad aproximada, pero se convierte en igualdad para N suficientemente grande. es la dispersión estándar en una de las M series de mediciones (ya dijimos que el orden de magnitud de las i es el mismo en cada serie). Esto tiene una importancia práctica fundamental: permite predecir 1a fluctuación del promedio de une serie de N mediciones, sin necesidad de volver a realizar más series de mediciones. En la expresión (1.4) es necesario hacer N.M mediciones. En la expresión (1.5) bastan las N mediciones de una sola serie. Para evitar confusiones y por razones prácticas, se conviene en definir como "error estándar del promedio" directamente a la cantidad (y no a la (1.4)).

Recuérdese que era la dispersión estándar de cada medición, y que era independiente de N. Evidentemente, depende de N, y siempre e s menor que .

Físicamente, da el orden de magnitud con el cual podemos esperar que el promedio ha de fluctuar alrededor del "verdadero valor" de la magnitud en cuestión, en caso de que se hicieren más series de mediciones. El significado más preciso del error estándar del promedio lo daremos en 1.c.

A este respecto nos falta aclarar un punto importante. Según la expresión (1.5) = /N y su interpretación física, se desprende que cuanto más mediciones hacemos (mayor sea N ), tanto más se acercará el promedio al verdadero valor (pues tanto menor será su fluctuación ). Pero esto requiere necesariamente una comprobación experimental. Efectivamente, si por algún medio conocemos a priori el valor exacto de una magnitud dada, se comprueba experimentalmente que el promedio X tiende a

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confundirse con el va1or exacto de 1a magnitud, si N tiende a infinito. Esto da ahora "carta de ciudadanía" al uso del promedio como ente representativo del valor más probable de una magnitud.

En resumen, a medida que aumenta el número de mediciones N en una serie, el rango de fluctuación que se espera para el promedio, dado por , estará cada vez más restringido, y por lo tanto el valor del promedio X tenderá cada vez más a confundirse con el "verdadero valor". Ésa es la razón por la cual el valor de una magnitud se conoce tanto mejor cuanto más mediciones se realizan.

En cambio, un aumento de N (esto se llama "un aumento de la estadística") no afecta en nada a la fluctuación de cada dato. Esta fluctuación está definida exclusivamente por el proceso de medición en sí. , en cambio, está definido por el proceso de medición y la estadística (N) . En particular, puede ser muy grande (grandes fluctuaciones de los datos individuales); no obstante, el promedio puede estar muy bien definido, con tal de que sea pequeño (o sea N grande). Un individuo "tremendamente borracho" (gran ) puede hacer una medición muy precisa, con tal de medir un número suficientemente grande de veces (pequeño ).

El resultado numérico de una serie de mediciones se indica en la forma X , o sea, por ejemp1o; 3,794 0,039 . Para indicar la unidad, se escribe; (3,794 + 0,035) m.

La cantidad /X se llama error relativo del promedio, y 100 /X se llama error porcentual del promedio.

Aparece aquí la cuestión del número de cifras significativas en el promedio y en . Las del promedio estarán dadas evidentemente por el error estándar . Si en el ejemplo anterior 0,039 son todas cifras significativas del error estándar, no tendría sentido expresar el promedio con más de tres cifras decimales.

Pero, ¿cómo determinamos las cifras significativas del error estándar? Para ello habría que determinar el "error del error", o sea el orden de fluctuación que esperamos para la expresión de . Para ello hay una fórmula. No la vamos a dar; nos limitaremos a dar le "receta práctica", de que se suelen tomar dos guarismos para el error del promedio.

Sea ahora una magnitud f, función de otras x,y, z, ... ,las cuales están medidas con errores x, y , z, ..... . Se puede demostrar que, en primera aproximación, la dispersión estándar de la magnitud f es, en función de las dispersiones x, y , ... :

= (f/x x)2 + (f/y y)2 + (f/z z)2 + ......(1.6)y su error del promedio: = /Nx.Ny.Nz....

Donde Nx , Ny , ... son e1número de mediciones de x,y,... .

Una forma más cómoda, pero menos aproximada Para , es; = f/x x + f/y y + f/z z + ......(1.6’) (Suma de valores absolutos).

Apliquemos esta relación para una función potencial del tipo

f= x y z ... = x-1 y z + x y-1 z + x y z-1 + ...

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Dividiendo por f obtenemos la dispersión relativa = /f , que aparece ligada a las dispersiones relativas de las variab1es independientes en la forma sencil1a, lineal:

= x + y + z + ...

Finalmente consideremos el caso de que tengamos que hacer el promedio de varios valores, cada uno de error estándar diferente.

En ese caso, evidentemente no le podemos "llevar el mismo apunte" a un dato que tenga un error del 50% que a uno que solo tenga un error del 1%. Para calcular el valor más probable se procede mediante el método de los "promedios pesados". Se asigna un "peso estadístico" (un número positivo) a cada dato, que en alguna forma mida el "grado de confianza" que le tenemos. Si cada dato tiene entonces su peso estadístico pi , "el promedio pesado" es:

X = p1x1 + p2x2 + ... + pNxN / p1 + p2 + ... + pN = pixi / pi

Para obtener los valores de pi no podemos dar una regla general. Depende del problema particular. Si por ejemplo disponemos de los errores de cada x i , podemos tomar como pi números proporcionales a la inversa del error de cada dato (o una potencia de la inversa).

REGLA PRÁCTICA APROXIMADA PARA LA PROPAGACIÓN DE ERRORES

Como vimos si tenemos una magnitud f , función de otras x,y, z, ... ,las cuales están medidas con errores x, y , z, ..... . Se puede demostrar que, en primera aproximación, la dispersión estándar de la magnitud f es, en función de las dispersiones x, y , ... :

= (f/x x)2 + (f/y y)2 + (f/z z)2 + ......(1.6)y su error del promedio: = /Nx.Ny.Nz....Donde Nx , Ny , ... son e1número de mediciones de x,y,... .

Una forma más cómoda, pero menos aproximada Para , es; = f/x x + f/y y + f/z z + ......(1.6’) (suma de valores absolutos).De todas maneras, esta última ecuación resulta compleja y poco práctica a la hora de aplicarla. Pero, a partir de ella podemos obtener alguna regla práctica que nos permita obtener un error aproximado de una magnitud función de otras. Veamos algunos casos

Error de la suma: Si tenemos una cantidad suma de otras, el error de la cantidad suma es igual a la suma de los errores de los sumandos. Ej. :

A = B + C ; A = B + C

Error de la resta: Si tenemos una cantidad diferencia de otras dos, el error de la diferencia es igual a la suma de los errores de los diferendos.

A = B – C ; A = B + C

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Error del producto: Si tenemos una cantidad producto de otras, el error relativo del producto es igual a la suma de los errores relativos de los multiplicandos. Ej.:

A = B x C ; A/A = B/B + C/C

Error del cociente: Si tenemos una cantidad cociente de otras dos, el error relativo del cociente es igual a la suma de los errores relativos del divisor y del numerador. Ej.:

A = B / C ; A/A = B/B + C/C

Error de la potenciación: Si tenemos una cantidad que es potencia enésima de otra, el error relativo de esta cantidad es igual al exponente multiplicado por el error relativo de la base. Ej.:

A = Bn ; A/A = n B/B

Error de la radicación: La radicación la podemos transformar en una potencia donde el exponente es un fraccionario por lo tanto se utiliza la misma regla que para la potenciación.

Por supuesto que faltan muchas otras funciones, pero con estas y sus combinaciones podemos obtener en forma aproximada los errores de una cantidad función de otras.

Veamos un ejemplo: Supongamos que queremos de terminar el valor de la aceleración de la gravedad en un punto de la tierra mediante la medición del desplazamiento y del tiempo de un cuerpo en caída libre. Sabemos que: g = 2 y / t2 Si medimos a y una sola vez con un error absoluto y y a t, también una sola vez, con un error absoluto t, aplicando

= f/x x + f/y y + f/z z + ... que ahora será g = g/y . y + g/t . t y como:

g/y = 2/t2 y g/t = -4 y/t3 reemplazando tenemos: g = 2/t2 . y + 4 y/t3 . t dividiendo ambos miembros por g tenemos:

g/g = 2 t2/2yt2 . y + 4 y t2/2yt3 . t simplificando g/g = y/y + 2 . t/t

Ahora bien: Usando las reglas prácticas que dimos anteriormente haremos:

2 y = A y t2 = B de manera que g = A/B Como es un cociente g/g = A/A + B/B y como A/A = 2/2 + y/y por ser un producto, pero como 2 no tiene error quedará A/A = y/y y como B/B = 2 . t/t por ser una potenciación , reemplazando tenemos:

g/g = y/y + 2 . t/t

Como vemos para casos sencillos los resultados son los mismos.

MEDICIONES Y ERRORES

1. Considerando la figura de este ejercicio:

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a) ¿Cómo expresaría usted la longitud de la barra AB?

b) ¿Cuál es el número correcto de esta medida? ¿Y cuál el número aproximado?

2. Defina: ¿qué son las cifras significativas de una medida?

3. Una persona sabe que el resultado de una medición debe expresarse únicamente con los guarismos significativos.

Si esta persona afirma que la velocidad de un automóvil es de 123km/h:a) ¿Qué cifras observa en el velocímetro (números correctos)?b) ¿Cuál fue el número que se apreció en forma aproximada (número dudoso)?

4. La temperatura de una persona se midió con el empleo de dos termómetros distintos, siendo los resultados 36.80C y 36.800C.a) ¿Cuál es el número dudoso de la primera medición?b) En la segunda medida, ¿el número 8 es correcto o dudoso?

5. Recordando las “reglas del redondeo”, escriba las mediciones siguientes, con sólo tres guarismos significativos.

a) 422.32cm2 b) 3,428g c) 16,l5s

6. Una persona desea efectuar la siguiente adición, de modo que el resultado solamente tenga números significativos:

27.48cm + 2.5cm

a) ¿Qué cantidad permanecerá inalterada?b) ¿Cómo deberá escribirse la otra?e) ¿Cuál es la suma total?

7. Para efectuar la multiplicación

342.2 x 1.11

diga primero:a) ¿Cuál de los factores tiene el menor número de guarismos significativos?b) ¿Con cuántos números debemos expresar el resultado?c) Escriba el producto de la multiplicación con sus cifras significativas.d) ¿Sería conveniente escribir 379,8 como resultado de esta multiplicación? ¿y 379,84?

8. ¿Cuántos números significativos hay en cada una de las medidas siguientes?a) 702cm

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b) 36.00kg c) 0.00815md) 0.05080litro

9. Al medir la longitud de una carretera se obtuvo 56km.a) ¿Cuál es el número dudoso en esta medición?b) ¿Convendría escribir tal medida como 56000m?c) ¿Cuál es la forma de expresar esta cantidad en metros, sin dejar dudas en cuanto a los guarismos

significativos?

10.El volumen de un cono está dado por la expresión

A x hV =

3Donde A es el área de su base y h, su altura. Para un cono dado tenemos que A 0,302m2 y h = 1,020m.

a) ¿Con cuántas cifras debe expresarse el volumen de este cono?b) Exprese correctamente el resultado.

11.Un estudiante desea hacer una medición de la distancia del trayecto de su dormitorio hasta el edificio de física de su universidad. Para ello tiene el odómetro de su automóvil, que mide con una exactitud de décima de milla. (a) Hace un recorrido y el odómetro marca 0,4mi, ¿qué puede decir acerca de la distancia que hay, y en especial, con cuántas cifras significativas? (b) Un día, sin tener nada que hacer, hace 100 viajes redondos completos, y su odómetro marca 41,4mi. Ahora, ¿cuál diría que es la distancia? ¿Concuerda este resultado con el de la parte (a)? (c) Un amigo duda de la medición del estudiante y, después de pensarlo, el estudiante no está seguro si hizo 99, 100 ó 101 viajes. ¿Cómo debe modificar su resultado de la distancia?

12. Una buena aproximación a es 22/7. ¿Qué error porcentual tiene este resultado? ¿En cuánto es mejor (o peor) la aproximación 355/113?

13.La fuerza F que obra sobre una masa m que se mueve a una velocidad v por una trayectoria circular de radio r tiene como magnitud F=mv2/r. Se mide la masa y el resultado es 0.00535kg. el radio es 0.3 m y la velocidad es 1,1m/s. Calcule la magnitud de la fuerza. Tenga cuidado con el número de cifras significativas.

14.Una caja rectangular tiene ancho w = (1.25 ± 0.03)m, largo l = (0.5 ± 0.1)m, y alto h (0.137 ± 0.028)m. ¿Cuál es el volumen con el número apropiado de cifras significativas y con incertidumbre?

15. Desea usted determinar su densidad (masa/unidad de volumen) mediante dos mediciones: pesándose en una báscula digital, y sumergiéndose en un tanque de agua, que tiene una escala en centímetros en sus lados verticales, con la que anotará el ascenso en el nivel del agua. El área de la superficie del agua en el tanque es 1,0m2. La báscula digital determina el peso en libras, con intervalos de 0,5lb, y no puede usted leer el nivel del agua con una exactitud mayor que 0,5cm. Suponga que la indicación del peso es 140,5lb, y que el nivel del agua sube de 130cm a 135cm. ¿Cuál es su densidad? Exprese su resultado como valor central con error porcentual.

16. Si el lector desea conocer el área de un círculo con una exactitud de 5%, ¿con qué exactitud debe medir el diámetro del círculo?

17. Con un calibre se ha medido 10 veces una longitud, obteniéndose los siguientes datos:

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x1=12,6mm, x2=12,6mm, x3=12,5mm, x4=12,5mm, x5=12,6mm, x6=12,4mm, x7=12,5mm, x8=12,5mm, x9=12,6mm, x10=12,5mm

Determine: a) El valor más probable, b) la varianza, c) la dispersión estándar de cada medición, y d) exprese el resultado con el error correspondiente.

SOLUCIÓN PROBLEMAS DE MEDICIONES Y ERRORES

1) a) x = 2,7cm 0,1cm ; x = ( 2,7 0,1 )cm

b) 2 es correcto; 7 es aproximado (estimado)

2) Todas hasta la primera estimada, sin tener en cuenta los ceros a la izquierda.

3) a) 1 y 2 ; b) 3

4) a) 8 ; b) 8 es correcto, 0 es dudoso

5) a) 422cm ; b) 3,43g ; c) 16,1s o 16,2s

6) a) 2,5 ; b) 27,5 c) s = (30,0 0,2)cm

7) a) 1,11 ; b) tres c) P = 342,2 x 1,11 = 379,842

P = (0,1/342,2 + 0,01/1,11). 379,842 = 3,533 3,5

P = ( 379,8 3,5)

d) Si en este caso porque el error tiene excepcionalmente dos cifras significativas porque dio con cinco la segunda de lo contrario no. Por ejemplo si el error hubiese dado una cifra entera o la redondeamos a una sola cifra como ser 4 tendremos P = (380 4) entonces no tiene sentido poner 379,8 y mucho menos 379,84.

8) a) 3 ; b) 4 ; c) 3 ; d) 4

9) a) 6 ; b) no c) 5,6 . 104m

10) a) Como regla general, 3 porque debe tomarse el número de menor cifras significativas pero si hacemos la operación puede darnos una mas dependiendo del valor del error.

b) V = 0,302 x 1,020 / 3 = 0,10268 ;

P = ( 0,001/0,302 + 0,001/1,020) 0,10268 = 4,4 . 10-4 = 0,0004 V = (0,1027 0,0004)m3

11) a) 0,4mi ; 1 cifra significativa

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b) 0,414mi ; 3 cifras significativas

c) 0,410 < 0,414 < 0,418 ; X = ( 0,414 0,004)mi

12) 1 = 22/7 = 3,142857143 ; = 3,1415922654

1 = - 1 = 1,26.10-3 ; 1% = 1 x 100 = 0,1%

2 = 355/113 = 3,14159292 ;

1 = - 2 = 2,67.10-7 ; 2% = 2 x 100 = 0,00003

13) F = m v2/r = 0,00535 x 1,12/ 0,3 = 0.021578333

F = ( 2 v/v + m/m + r/r) . F F= (2.0,1/1,1 + 0,00001/0,00535 + 0,1/0,3) 0,021578 = 0,01

F = (0,02 0,01)N

14) V = 1,25 x 0,5 x 0,137 = 0,085625 ;

V = (0.03/1,25 + 0,1/0,5 + 0,028/0,137) 0,085625 = 0,035

V = (0,086 0,035)m3

15) m = 140,5lb 0,5lb = 63730,8g 226,8g = (63,7 0.2).103g

A = 1,0 m2 0,1 m2 = 10000 cm2 100 cm2 = (100 1).102 cm2

H = 135 – 130 = 5 cm ; H = H1 + H2 = 0,5 + 0,5 = 1 H = ( 5 1) cm = ( 0,5 0,1).101 cm

= m/A.H = 63,7.103 g /100.102 cm2 . 0,5.101 cm = 1,274 g/cm3

= (0,2/63,7 + 1/100 + 1/5). 1,274 = 0,27154 0,3

= ( 1,3 0,3)g/cm3

16) A = . 2/4 ; A% = A . 100 / A ; A/A = 2 / ; % = A%/2 = 2,5%

17) Xi(mm) i = X – Xi(mm) i2(mm2)

12,6 -0,07 0,0049

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12,6 -0,07 0,004912,5 0,03 0,000912,5 0,03 0,000912,6 -0,07 0,004912,4 0,13 0,016912,5 0,03 0,000912,5 0,03 0,000912,6 -0,07 0,004912,5 0,03 0,0009

Xi = 125,3 i2 = 0,041

X = Xi/N = 125,3 mm/10 = 12,53mm

= i2/N = 0,041 mm2/10 = 0,0041mm2

= = 0,0041 mm2 = 0,064mm

= / N = 0,064 mm/ 10 = 0,02mm

X = (12,53 0,02)mm

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VECTORES

1. Dos vectores a y b tienen magnitudes iguales, digamos diez unidades. Están orientados como se muestra en la figura y su suma vectorial es r. Encontrar (a) las componentes de r sobre el eje de las x y de las y; (b) la magnitud de r; y (c) el ángulo que forma r con el eje de las x.

Rta: a) rx = 1,58; ry = 12,07; b) la magnitud de r es 12,17; c) = 82,54º

2. Dados dos vectores a = 4i – 3j y b = 6i + 8 , encontrar la dirección y magnitud de a, de b, de a + b, de a – b y la magnitud, de b – a.

Rta: a) a = 5unidades; a = 306,87º ; b = 10unidades; b= 53,13º; a+b = 11,18 unidades; a+b = 26,57º; a-b = 11,18 unidades; a-b = 259,69º; b-a = 11,18 unidades; b-a = 79,69º

3. Una partícula experimenta tres desplazamientos consecutivos en un plano, como sigue: 4,0m al suroeste, 5,0m al este, 6,0m en una dirección a 60° al norte del este. Escoger el eje de las y apuntando al norte y el de las x dirigido al este para obtener (a) las componentes de cada desplazamiento, (b) las componentes del desplazamiento resultante, (c) la magnitud, dirección y sentido del desplazamiento resultante y (d) el desplazamiento que se requeriría para regresar la partícula al punto de partida.

Rta: a) Ax = -2,83m; Bx = -5,00m; Cx = 3,00m; Ay = -2,83m; By = 0,00; Cy = 5,20m; b) Dx = 5,17m; Dx

=2,37m; c) D = 5,69m; = 24,58º4. Encontrar la suma de los vectores de desplazamiento c y d cuyas componentes en kilómetros

según tres direcciones perpendiculares son:Cx= 5,0, Cy= 0, Cz= -2,0; dx= -3,0, dy= 4,0, dz= 6,0

Rta: R = 6m x = 70,5º; y = 48,2º; z = 48,2º5. Las dimensiones de un cuarto son 10pies x 12pies x 14pies. Una mosca que sale de una esquina

llega a la esquina diagonalmente opuesta. (a) ¿Cuál es la magnitud de su desplazamiento? (b) ¿Podría ser la longitud de su trayectoria menor que esta distancia? ¿Podría ser mayor? ¿Podría ser igual? (c) Escoger un sistema de coordenadas adecuado y calcular las componentes del vector de desplazamiento en ese marco de referencia.

Rta: a) D = 21pies c) Dx = 12pies; Bx = 10pies; Cx = 14pies; d)6. En el problema 5, si la mosca no volara sino que caminara, ¿cuál sería la longitud de la trayectoria

más corta que pudiera seguir?

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7. Utilícese el sistema acostumbrado (derecho) de ejes de coordenadas xyz. Dado el vector a en la dirección positiva del eje de las y, y la cantidad escalar d; (a) ¿Cuál es la dirección y sentido de a x b? (b) ¿Cuál es la dirección y sentido de b x a? (c) ¿Cuál es la dirección y sentido de b/d? (d) ¿Cuál es la magnitud de a.b?

8. En el sistema de coordenadas de la figura demostrar que:

y

9. En el sistema derecho de coordenadas de la figura, demostrar que:

y

10. El producto escalar en notación del vector unitario. Representemos dos vectores en función de sus coordenadas así:

y

Demostrar analíticamente que:

11. Aplicando la definición de producto escalar y el hecho de que

, obtener el ángulo entre dos vectores dados por

y .12. El producto vectorial en notación del vector unitario. Demostrar analíticamente que:

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Dinámica

1. Sobre un cuerpo de masa m obran dos fuerzas F1 y F2 como se muestra en la figura. Si m=5.0 Kg, F1=3.0 N, y F2=4.0 N, encontrar el vector de aceleración del cuerpo.

Rta: a = 1,0m/s2; = 63,4º2. Un bloque de masa M recibe la acción de una fuerza a lo largo de una superficie horizontal

sin rozamiento por intermedio de una cuerda de masa m, como se ve en la figura. Se aplica una fuerza F en un extremo del cable. (a) Encontrar la aceleración del bloque y del cable. (b) Encontrar la fuerza que ejerce la cuerda sobre el bloque. (c) Demostrar que la cuerda se cuelga aunque sólo sea en una proporción imperceptible. (d) ¿Cuál será la tensión de la cuerda en el punto medio.

3. Dos bloques están en contacto en una mesa sin rozamiento. Se aplica una fuerza horizontal a un bloque como se ve en la figura. (a) Si m1= 2,0kg, m2= 1,0kg, y F= 3,0N, encontrar la fuerza de contacto entre los dos bloques. (b) Demostrar que si se aplica la misma fuerza a m2 en lugar de hacerlo a m1, la fuerza de contacto entre los dos bloques es de 2,0N, que no es igual al valor encontrado en (a) Explicar por qué.

Rta: a) a = 1,0m/s2; b) F = 1,0N; c) F = 2,0N4. Tres bloques están unidos entre sí como se muestra en la figura en una mesa horizontal sin

rozamiento y se les jala hacia la derecha con una fuerza T3 = 60N. Si m1 = 10kg, m2 = 20kg y m3 = 30kg, encontrar las tensiones T1 y T2. Piense en una analogía con cuerpos que son jalados en tándem, por ejemplo una locomotora que jala a un tren con vagones acoplados.

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Rta: a) T1 = 10N; b) T2 = 30N5. Una esfera cargada de masa 3.0 x 10-4kg está suspendida de una cuerda. Sobre la esfera

obra una fuerza eléctrica horizontal de manera que la cuerda forma un ángulo de 37° con la vertical cuando está en reposo. Encontrar (a) la magnitud de la fuerza eléctrica y (b) la tensión en la cuerda.

Rta: a) Fe = 2,21x10-3N; b) T = 3,68x10-3N6. Un bloque de masa m = 43,8kg, descansa en un plano inclinado liso que forma un ángulo

de 30° con respecto a la horizontal, el cual está unido, mediante una cuerda que pasa por una polea pequeña sin rozamiento, con un segundo bloque de masa m2 = 29.2kg suspendido verticalmente (ver figura). (a) ¿Cuál es la aceleración de cada cuerpo? ¿Cuál es la tensión en la cuerda?

Rta: a) a = 1,17m/s2; b) T = 251,9N7. Un mono de 10kg está trepando por una cuerda sin masa, amarrada por su otro extremo a

una masa de 15kg, pasando la cuerda sobre la rama de un árbol (sin rozamiento). (a) Explicar cuantitativamente cómo tendría que subir el mono por el cable para lograr levantar del suelo la masa de 15kg. (b) Si después que la masa ha sido levantada del suelo, el mono deja de trepar y se prende de la cuerda, ¿cuál sería ahora su aceleración y la tensión de la cuerda?

Rta: a) a > 4,9m/s2; b) a´ = 1,17m/s2; T´ = 117,6N8. Un elevador, que pesa 26700N, es jalado hacia arriba mediante un cable con una

aceleración de 1,22m/s2. (a) ¿Cuál es la tensión del cable? (b) ¿Cuál es la tensión cuando el elevador está acelerado hacia abajo a razón de 1,22m/s2?

Rta: a) T = 30024N; b) T´ = 23376,21N9. Una plomada que está suspendida del techo de un tren de ferrocarril funciona como

acelerómetro. (a) Deducir la fórmula general que relaciona la aceleración horizontal a del

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tren con el ángulo θ que forma la plomada con la vertical. (b) Calcular la aceleración cuando θ = 20°. Calcular a θ cuando a = 0,152m/s2.

Rta.: a) ; b) 3,66m/s2; 8.9º10. Un bloque triangular de masa M, con ángulos de 30°, 60° y 90° descansa sobre el lado 30°-

90° sobre una mesa horizontal. Un bloque cúbico, de masa m, descansa sobre el lado 60°- 30° (ver figura). (a) ¿Qué aceleración horizontal a debe tener M con relación a la mesa para que m se quede fija con respecto al bloque triangular, suponiendo que no haya rozamiento en los contactos? (b) ¿Qué fuerza horizontal F debe aplicarse al sistema para lograr ese resultado, suponiendo que la mesa no tiene rozamiento? (c) Suponiendo que no se aplica ninguna fuerza a M y que ambas superficies de contacto carecen de rozamiento. Describir el movimiento resultante.

Rta: a) a = 5,66m/s2; b) F = 5,6611. Una plataforma de ferrocarril va cargada con cajas de embalaje que tienen un coeficiente

de rozamiento estático con el piso de 0,25. Si el tren se va moviendo a razón de 48,3km/h, ¿cuál será la mínima distancia en que puede detenerse sin que resbalen las cajas?

Rta.: 36,6m12. Un estudiante trata de determinar los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre

una caja y un tablón. Coloca la caja sobre el tablón y gradualmente levanta éste. Cuando la inclinación con la horizontal es de 30°, la caja comienza a resbalar y desliza 4,0m sobre el tablón en 4 segundos. Explique cómo puede determinar los coeficientes mediante estas observaciones.

Rta.: μs = 0,58; μk = 0,5213. Un bloque de acero de 44,5N descansa sobre una mesa horizontal. El coeficiente de

rozamiento estático entre el bloque y la mesa es de 0,50. (a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza horizontal capaz de hacer que el bloque comience a moverse? (b) ¿Cuál es la magnitud de una fuerza que obrando hacia arriba con un ángulo de 60° con respecto a la horizontal haga que el bloque comience a moverse? (c) Si la fuerza obra hacia abajo con un ángulo de 60° con la horizontal, ¿hasta qué tamaño máximo puede tener para que no ponga al bloque en movimiento?

Rta: a) F = 22,25N; b) F = 23,84N; c) F = 332,15N14. Una fuerza horizontal F de 53,4N empuja un bloque que pesa 22,2N contra una pared

vertical. (ver figura). El coeficiente de rozamiento estático entre la pared y el bloque es de 0,60 y el coeficiente de rozamiento cinético es de 0,40. Supóngase que el bloque no se está

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moviendo inicialmente. (a) ¿Comenzará a moverse el bloque? (b) ¿Cuál es la fuerza que la pared ejerce sobre el bloque?

Rta: a) F < 37N para empezar a moverse; b) Fp/b = 62,27N; º15. Un bloque de 4,0kg está colocado sobre otro de 5,0kg. Para hacer que el bloque superior

resbale sobre el inferior, debe aplicarse una fuerza horizontal de 12N sobre el bloque superior (ver figura). Suponga que la mesa no tiene rozamiento y encuentre (a) la máxima fuerza horizontal F que se puede aplicar al bloque inferior para que los bloque se muevan juntos y (b) la aceleración resultante de los bloques.

Rta: a) Con F = 27N los cuerpos no deslizan; b) a = 3m/s2

16. El bloque B de la figura pesa 712N. El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la mesa es de 0.25. Encontrar el máximo peso del bloque A para que el sistema este en equilibrio.

Rta.: 178N17. En la figura, A es un bloque de 44,5N y B otro bloque de 22,2N (a) Determinar el mínimo

peso (bloque C) que debe colocarse sobre A para evitar que resbale, si µk, entre A y la

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mesa, es de 0,20. (b) El bloque C se levanta repentinamente de A. ¿Cuál es la aceleración del bloque A, si µk, entre A y la mesa, es de 0,20?

Rta: a) FT/Cmin = 65N para que el bloque A no resbale; b) a = 1,98m/s2

18. El mango de un estropajo de piso, de masa m, forma un ángulo θ con la vertical. Llamemos µk al coeficiente de rozamiento cinético entre el estropajo y el piso, y µs al coeficiente de rozamiento estático entre el estropajo y el piso. No se tome en cuenta la masa del mango. (a) Determinar la magnitud de la fuerza F en la dirección del mango, que se requiere para hacer deslizar al estropajo con velocidad uniforme sobre el piso. (b) Demostrar que si θ es menor que cierto ángulo θ0, el estropajo no se puede hacer resbalar por el piso por grande que sea la fuerza que se le aplique en la dirección del mango. (c) ¿Cuál es el ángulo θ0?

Rta.: a) ; b)

19. El cuerpo B pesa 445N y el cuerpo A 142N (ver figura). Si se conocen µs = 0,56 y µk = 0,25, (a) encontrar la aceleración del sistema si B está inicialmente en reposo, y (b) ¿cuál será la aceleración si B está inicialmente en movimiento?

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Rta: a) a = 0m/s2; b) a = 1,57m/s2

20. Un bloque de 35,6N y otro de 71,2N están unidos entre sí por medio de una cuerda y resbalan por un plano inclinado cuyo ángulo es de 30°. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque de 35,6N y el plano es de 0,10; el coeficiente de rozamiento entre el bloque de 71,2N y el bloque es de 0,20. Encontrar (a) la aceleración de los bloques y (b) la tensión de la cuerda, suponiendo que es el bloque de 35,6N el que dirige. (c) Describir el movimiento si los dos bloques se intercambian.

Rta: a) a = 3,48m/s2; b) T = 2,32N; c) a = 3,48m/s2

21. Un bloque de masa m resbala en un canal en forma de escuadra como se muestra en la figura. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el material de que está hecho el canal es µk, obtener la aceleración del bloque.

Rta.: 22. Un avión de 22200N hace un rizo a una velocidad de 322km/h. Obtener (a) el radio del

máximo rizo circular que es posible y (b) la fuerza que obra sobre el avión en la parte inferior de este rizo.

Rta.: a) 823m; b) 22250N

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23. Una curva circular de carretera está proyectada para vehículos moviéndose a 64,4km/h. (a) Si el radio de la curva es de 122m, ¿cuál es el ángulo adecuado de peraltado de la carretera? (b) Si la curva no está peraltada, ¿cuál es el mínimo coeficiente de rozamiento entre las llantas y la carretera para evitar que los vehículos se deslicen a esa velocidad?

Rta.: a) 15º; b) 0,2724. Sobre una plataforma giratoria lisa y horizontal se coloca una pequeña moneda. Se

observa que la plataforma efectúa tres revoluciones en 3,14s. (a) ¿Cuál es la rapidez de la moneda cuando se mueve sin resbalar a una distancia de 5,0cm del centro de la plataforma? (b) ¿Cuál es la aceleración (en magnitud y en dirección) de la moneda en (a)? (c) ¿Cuál es la fuerza de fricción que actúa sobre la moneda en (a) si la moneda tiene una masa de 2,0g? (d) ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática entre la moneda y la plataforma si la moneda resbala de la plataforma cuando está a más de 10cm del centro de aquella?

Rta.: (a) 30cm/s. (b) 180cm/s2, Radialmente hacia adentro. (c)3,6x10 -3N. (d) 0,37 25. Un tranvía antiguo da vuelta a una esquina en una vía no peraltada. Si el radio de la vía es

de 9,15m y la velocidad del tranvía, de 16,1km/hr, ¿qué ángulo formarán con la vertical las agarraderas de mano que van colgando sueltas? ¿Obra alguna fuerza sobre esas agarraderas? De ser así, ¿es una fuerza centrípeta o una fuerza centrífuga? ¿Dependen sus respuestas del marco de referencia que escoja?

Rta.: 18º26. (a)¿Cuál es el mínimo radio de un círculo en el cual pueda ir un ciclista si su velocidad es de

29km/hr y el coeficiente de rozamiento estático entre las llantas y el pavimento es de 0,32? (b) Bajo estas condiciones, ¡cuál es el máximo ángulo de inclinación con la vertical que puede tomar el ciclista sin caer?

Rta.: a) 20,7m; b) 18º27. Una masa m colocada sobre una mesa sin rozamiento está unida a una masa M

suspendida mediante una cuerda que pasa por un agujero en la mesa (ver figura). Encontrar las condiciones (v y r) en las cuales debe girar m para que M quede en reposo.

Rta.:

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28. Un pequeñísimo cubo de masa m se halla en el interior de un embudo (ver figura) que gira alrededor de un eje vertical a una razon constante de υ revoluciones por segundo. La pared del embudo forma un ángulo θ con la horizontal. El coeficiente de fricción estática entre el cubo y el embudo es μ y el centro del cubo está a una distancia r del eje de rotación. Halle (a) los valores mayor y (b) menor de υ para los cuales el cubo no se moverá respecto al embudo.

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Cinemática 1. Una partícula se mueve a lo largo de una línea horizontal y tiene las siguientes

posiciones en los diversos tiempos indicados:

x (metros) 0,080 0,050 0,040 0,050 0,080 0,130 0,680t (seg) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 10,0

(a) Hacer una gráfica de la distancia (no de la posición) en función del tiempo. (b) Encontrar la velocidad media de la partícula en los intervalos de 0,0 a 1,0s, de 0,0 a

2,0s, de 0,0 a 3,0s, de 0,0 a 4,0s. (c) Encontrar la pendiente de la curva trazada en la parte a en los puntos t = 1,0, 2,0,

3,0, 4,0 y 5,0. (d) Hacer la gráfica de la pendiente en función del tiempo. (¿En qué unidades está la

pendiente?) (e) Mediante la curva de la parte d determinar la aceleración de la partícula en los

tiempos t = 2,0, 3,0 y 4,0sRta: b) = - 0,030m/s; = - 0,020m/s; = - 0,010m/s; =0; c) v1 = - 0, 020m/s; v2 = 0m/s; v3 = - 0, 020m/s;

v4 = - 0, 040m/s; v5 = - 0, 093m/s; e) a1 = 0, 020m/s2; a2 = 0, 020m/s2; a3 = 0, 020m/s2.2. Una pelota de tenis se deja caer al piso desde una altura de 1,22m. Rebota a una altura

de 0,914m. Si la pelota estuvo en contacto con el piso durante 0,010 segundos, ¿cuál fue su aceleración media durante el contacto?

Rta: = 912m/s2.3. La gráfica de x en función de t (ver figura) se refiere a una partícula en movimiento

rectilíneo. Para cada uno de los intervalos indicar si la velocidad vx es +, ó, -, ó 0, y si la aceleración es +, -, ó 0. Los intervalos son OA, AB, BC y CD. De acuerdo con la curva, ¿hay algún intervalo en el cual la aceleración evidentemente no sea constante? (No tomar en cuenta lo que ocurra en los tiempos extremos de los intervalos).

4. Un tren arrancó a partir del punto de reposo y se movió con aceleración constante. En

un momento tenía una velocidad de 9,14m/s y 48,8m más lejos tenía una velocidad de 15,2m/s. Calcular, (a) la aceleración, (b) el tiempo empleado en recorrer los 48,8m mencionados, (c) el tiempo necesario para alcanzar la velocidad de 9,14m/s, (d) la

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distancia recorrida a partir del punto de reposo hasta el momento en que el tren tuvo una velocidad de 9,14m/s.

Rta: a) a = 1,51m/s2; b) Δt = 4s; c) t1 = 6s; d) x1 = 27,6m.5. En el momento en que se enciende la luz verde en un semáforo un automóvil arranca

con aceleración constante de 1,83m/s2. En el mismo momento un camión que lleva una velocidad constante de 9,14m/s alcanza al automóvil y lo pasa. (a) ¿A qué distancia del punto de partida alcanzará el automóvil al camión? (b) ¿Qué velocidad llevará el automóvil en ese momento? (Es instructivo trazar una gráfica de cualitativa de x en función de t para cada vehículo).

Rta: b) x = 91,3m; c) va = 18,26m/s.6. De la boquilla de una ducha está goteando agua al piso que se encuentra 2,05m abajo.

Las gotas caen a intervalos de tiempo regulares, llegando al piso la primera gota en el momento en que la cuarta comienza a caer. Encontrar la posición de las diversas gotas cuando una de ellas está llegando al piso.Rta: La segunda gota se encuentra a 1,81m mientras que la tercera gota a 1,10 m del piso.

7. Un obús es disparado por un cañón en dirección vertical hacia arriba; un cohete, que va quemando combustible, despega verticalmente desde su base. Hacer gráficas cualitativas (sin precisar cifras) de las gráficas posibles de ay en función de t, de vy en función de t y de y en función de t para cada uno de los movimientos. Considerar t = 0 en el momento en que el obús sale por la boca del cañón o el cohete despega del suelo. Prolongar las gráficas hasta que el cohete y el obús caigan al suelo de regreso; no tomar en cuenta la resistencia del aire; considerar el sentido hacia arriba positivo y hacia abajo negativo.

8. Se deja caer una piedra al agua desde un puente que está a 44m sobre la superficie del agua. Otra piedra se arroja verticalmente hacia abajo 1,0 segundo después de soltar la primera. Ambas piedras llegan al agua al mismo tiempo. (a) ¿Cuál fue la velocidad inicial de la segunda piedra? (b) Hacer una gráfica de la velocidad en función del tiempo para cada una de las piedras, tomando como tiempo cero el momento en que se soltó la primera piedra.

Rta: a) = 12,2m/s; b)= 29,4 m/s; = 31,8 m/s.9. Un balín de acero se suelta desde la azotea de un edificio (la velocidad inicial del balín

es cero). Un observador que está frente a una ventana de 1,22m de altura nota que el balín tarda 1/8 de segundo para caer desde la parte superior hasta la parte inferior de la ventana. El balín sigue cayendo, efectúa un choque completamente elástico en el pavimento horizontal, y vuelve a aparecer por la parte inferior de la ventana 2,0 segundos después de que pasó por ese sitio de bajada. ¿Qué altura tiene el edificio? (El balín tendrá la misma velocidad en un punto de subida que la que tenía de bajada después de un choque completamente elástico).

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Rta.: 20,72m10. Una pelota de goma se suelta desde la terraza de un edificio (la velocidad inicial de la

pelota es cero). Un observador que está frente a una ventana de 1,22m de altura nota que la pelota tarda 1/8 de segundo para caer desde la parte superior hasta la parte inferior de la ventana. La pelota sigue cayendo, efectúa un choque completamente elástico en el pavimento horizontal, y vuelve a aparecer por la parte inferior de la ventana 2,0s después de que pasó por ese sitio en su camino de bajada. a) ¿Qué altura tiene el edificio? b) ¿Con que rapidez impacta en el pavimento? [La pelota tendrá la misma velocidad en un punto de subida que la que tenía de bajada (en igual posición respecto del piso) después de un choque completamente elástico].

Rta: a) H = 22,03m; b) = 20,77m/s11. Un elevador sube con una aceleración vertical de 1,22m/s2. En el instante en que su

velocidad ascendente es de 2,44m/s, un perno suelto cae del techo del elevador que está a 2,74m sobre el piso. Calcular (a) el tiempo que tarda el perno en llegar desde el techo al piso y (b) la distancia que ha caído con relación al cubo del elevador.

Rta: a) t = 0,71s; b) El tornillo se desplazó y = 2,02m con relación al hueco del ascensor.12. Una pelota rueda por el rellano de una escalera con una velocidad horizontal de

1,52m/s. Los escalones son de 0,20m de alto y 0,20m de ancho. ¿En cuál escalón pegará la pelota por primera vez?

Rta: En el tercer escalón.13. Un obús es disparado horizontalmente por un poderoso cañón situado 44m arriba de

un plano horizontal, con una velocidad de salida de 244m/s. (a) ¿Cuánto dura el obús en el aire? (b) ¿Cuál es su alcance? (c) ¿Cuál es la magnitud de la componente vertical de su velocidad cuando llega al blanco?

Rta: a) t = 2,9s; b) R = 732m; c) vy = 29,4m/s.14. Encontrar el ángulo de disparo para el cual el alcance horizontal es igual a la máxima

altura del proyectil.Rta: = 76º

15. Un rifle que tiene una velocidad de salida de 457m/s dispara una bala a un blanco pequeño colocado a 45,7m de distancia. ¿Cuánto debe elevarse la puntería del rifle, sobre el blanco, para que la bala dé en el blanco?

Rta: y = 0,049m.16. Un bombardero en picada desciende con un ángulo de 53° con respecto a la vertical y

deja caer una bomba desde una altura de 732m. la bomba llega al suelo 5,0 segundos después de ser soltada. (a) ¿Cuál es la velocidad del bombardero? ¿Qué distancia avanzó la bomba horizontalmente desde que se dejó caer? (c) ¿Cuáles eran las componentes horizontal y vertical de su velocidad en el momento en que iba a chocar contra el suelo?

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Rta: a) = 202,55m/s; b) x = 808,83m; c) vx = 161,76m/s; vy = 170,89m/s.17. Un bateador le pega a la bola que le lanzan a una altura de 1,22m sobre el suelo,

disparándola con un ángulo de 45° y la bola llega a 106,7m de distancia. La bola va por la izquierda del campo hacia una barda de 2,32m de altura situada a 98m del bateador. ¿Pasará esta sobre la barda?

Rta: La bola sobrevuela la barda.18. Una pelota de fútbol americano es pateada con una velocidad inicial de 19,6 m/s con

un ángulo de proyección de 45°. Un jugador en la línea de meta, colocado a 54,7m de distancia en la dirección por donde llega la pelota, corre en ese mismo instante hacia la pelota. ¿Cuál debe ser su velocidad para que pueda alcanzar la pelota antes de que esta caiga al suelo?

Rta: a) =5,47m/s.19. Un operario de radar en Tierra está “mirando” un proyectil que se acerca. En un cierto

instante tiene la información siguiente: El proyectil ha alcanzado su máxima altura y se está moviendo horizontalmente con una rapidez v; la distancia en línea recta al proyectil es l; la línea de mira al proyectil forma un ángulo θ sobre la horizontal. (a) Encontrar la distancia D entre el observador y el punto de impacto del proyectil. Esta distancia D debe expresarse en términos de las cantidades observadas, v, l, θ y el valor conocido de g. supóngase que la Tierra es plana y el observador está en plano de la trayectoria del proyectil. (b) ¿Pasa el proyectil por encima de su cabeza, o choca contra el suelo antes de alcanzarlo?

Rta.: 20. Se lanzan proyectiles a una distancia horizontal R del borde de un risco de altura h, de

tal manera que caen al suelo a una distancia horizontal x del fondo de dicho risco. Si queremos que x sea lo más pequeña posible, ¿cómo se ajustarían los valores de θ0 y de v, suponiendo que v0 puede variar desde 0 hasta un valor finito máximo y que θ0 puede variar continuamente? Sólo se permite que choquen una vez con el suelo.

21. Un disco de fonógrafo en una mesa giratoria se mueve a razón de 33rev/min. Decir cuál es la velocidad lineal de un punto del disco en el sitio donde está la aguja (a) al comenzar la grabación y (b) al terminar la misma. Las distancias de la aguja al eje de la mesa giratoria son de 0,149m y 0,073m, respectivamente, en esas dos posiciones.Rta: a) = 3,45rad/s; b) vR = 0,4933m/s; vr =0,2519m/s; c) aR = 1,7021m/s2; ar = 0,8688m/s2.

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22. La velocidad angular del motor de un automóvil se aumenta de 1200 a 3000 rpm en 12 segundos (a) ¿Cuál es su aceleración angular, suponiéndola uniforme? (b) ¿Cuántas revoluciones efectúa el motor durante ese tiempo?

Rta: a) = 15,71rad/s2; b) n = 420 revoluciones.23. Un plato giratorio de fonógrafo que se está moviendo a razón de 78rev/min reduce su

velocidad y se detiene a los 30 segundos después de desconectar el motor. (a) Encontrar su aceleración angular (uniforme). (b) ¿Cuántas revoluciones hizo en ese tiempo?

Rta: a) = - 0,25rad/s2; b) n = 21 revoluciones.24. Una rueda tiene una aceleración angular constante de 3,0 radianes/segundo. En un

intervalo de 4,0 segundos describe un ángulo de 120 radianes. Suponiendo que la rueda comenzó a partir del reposo, ¿cuánto tiempo había estado en movimiento al comenzar ese intervalo de 4,0 segundos?

Rta: a) t = 8s; b) = 36rad/s; c) = 216rad.25. La órbita de la Tierra en torno del Sol, aunque elíptica, es casi un círculo. (a) Calcular la

velocidad angular de la Tierra (considerada como partícula) en torno del Sol y su velocidad lineal media en su órbita. (b) ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la Tierra con respecto al Sol?

26. (a) Si la hélice de un avión de radio 1,52m gira a 2000rpm y el avión vuela a 161km/h con respecto al suelo, ¿cuál es la velocidad de un punto de la punta de la hélice? (b) ¿Qué clase de trayectoria describe ese punto?

27. (a) ¿Cuál es la velocidad angular de un punto de la superficie de la Tierra a una latitud de 45° N en torno del eje de los polos? ¿Cuál es la velocidad lineal? (b) ¡Cómo son esos valores comparados con los valores similares para un punto colocado en el ecuador?

Rta: a) = 7,27x10-5rad/s; v45 = 356,53m/s; b) = 7,27x10-5rad/s; vE = 465,28m/s.

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