Introducción Integrales de Stieltje y Lebesgue · Como se puede observar, la integral de Riemann...

IntroducciónIntegrales de Stieltje y Lebesgue

Conclusiones

Teoría de la Integración

Diego Acosta Álvarez

Licenciatura en Matemáticas y FísicaUniversidad de Antioquia

Diego Acosta Álvarez Teoría de la Integración


Conclusiones

1 IntroducciónDefiniciones iniciales

2 Integrales de Stieltje y LebesgueIntegral de StieltjesIntegral de Lebesgue

3 Conclusiones



ConclusionesDefiniciones iniciales

Introducción

Para toda persona con formación matemática superior, es conocidala teoría de la integración de Riemann. Sin embargo, no es común elconocimiento de otras teorías, como la de Stieltjes o la de Lebesgue.

Cuando se profundiza en la teoría Riemanniana, se comprenden suslimitaciones y se descubre que hay otras más generales.

Teniendo esto como punto de partida, se pretende hacer una intro-ducción a estas dos teorías, planteando su necesidad e importancia,así como los casos en los que las distintas teorías coinciden.




Definiciones iniciales

Partición

Una partición P de un intervalo compacto [a, b] es un conjunto depuntos, P = {x0, x1, . . . , xn} tal que a = x0 < x1 < . . . < xn = b.

La norma de P es el mayor de los números ∆xk = xk − xk−1, y serepresenta por ‖P‖. Es decir, ‖P‖ = max1≤k≤n {∆xk}.

La partición P′ de [a, b] es un refinamiento de P, si P ⊂ P′. De estemodo, ‖P′‖ ≤ ‖P‖.

Finalmente, el conjunto de todas las particiones posibles de [a, b] sedenota por: P([a, b]).





En lo sucesivo se trabajará sobre un intervalo compacto [a, b] ymientras no se diga lo contrario, todas las funciones designadas porα, β, f , g se supondrán definidas y acotadas en [a, b].

Función escalonada

Una función s sobre un intervalo compacto [a, b] se dice escalonadasi existe una partición P = {x0, x1, . . . , xn} de [a, b] tal que s es con-stante en cada uno de los subintervalos abiertos determinados por lapartición, es decir, para cada k = 1, · · · , n existe ck ∈ R tal que six ∈ (xk−1, xk), entonces f (x) = ck.





Sucesión de funciones

Sea A ⊂ R y supongamos que para cada n ∈ N existe una funciónfn : A→ R. Decimos que ( fn)n∈N es una sucesión de funciones de Aa R.

Una sucesión de funciones reales ( fn)n∈N definidas en un conjuntoS es creciente en S si fn(x) ≤ fn+1(x) para todo x ∈ S y para todon ∈ N.





Convergencia simple

Se dice que la sucesión de funciones ( fn)n∈N converge simplementea la función f si y solo si ∀ε > 0 ∀x ∈ A ∃n0(ε, x) ∈ N tal que∀n ≥ n0, se tiene | fn(x) − f (x)| < ε. Si este es el caso escribimosfn → f . Notemos que n0 ∈ N depende tanto de ε > 0 como dex ∈ A.

Convergencia uniforme

Se dice que la sucesión de funciones ( fn)n∈N converge uniforme-mente a la función f si y solo si ∀ε > 0 ∃n0(ε) ∈ N tal que∀x ∈ A ∀n ≥ n0, se tiene | fn(x) − f (x)| < ε. Si este es el caso es-cribimos fn ⇒ f . Notemos que n0 ∈ N depende exclusivamente deε > 0 y es independiente de x ∈ A.





Conjunto de medida cero

Diremos que un conjunto T ⊂ R tiene medida cero y escribimosµ(T ) = 0 si para cada ε > 0 existe una colección numerable (In)n∈N

de intervalos abiertos tal que T ⊆⋃∞

n=1 In y∑∞

n=1 L(In) < ε, dondeL(In) representa la longitud del n-ésimo, intervalo, esto es L(In) =

bn − an, con an = ınf In y bn = sup In.

Decimos que una propiedad se verifica casi en todo un conjunto S yescribimos c.e.t S si se cumple en todo S salvo en un conjunto A ⊂ Sde medida cero.



Conclusiones

Integral de StieltjesIntegral de Lebesgue

Integral de Stieltjes

Definición

Sean P ∈ P([a, b]) y tk un punto del subintervalo [xk−1, xk]. Unasuma de la forma

S (P, f ,α) =

n∑k=1

f (tk)∆αk

donde el símbolo ∆αk representa la diferencia α(xk) − α(xk−1), sedenomina suma de Stieltjes de f respecto a α. Decimos que f esStieltjes-integrable con respecto a α en [a, b] y escribimos f ∈ S (α)en [a, b], si existe un número A que goza de la propiedad siguiente:∀ε > 0 ∃Pε ∈ P([a, b]) tal que para toda partición P más fina quePε se tiene |S (P, f ,α) − A| < ε.



Conclusiones



Definición

Cuando un tal número A existe, es único y se representa por´ b

a f dαo por

´ ba f (x)dα(x). Entonces se dice que exise la integral de Stielt-

jes. Las funciones f y α se denominan respectivamente integrando eintegrador.

En el caso particular en que α(x) = x escribimos S (P, f ) en lugar deS (P, f ,α) y f ∈ R en lugar de f ∈ S (α). La integral se llama en-tonces integral de Riemann y se representa por

´ ba f o por

´ ba f (x)dx.



Conclusiones



Observaciones

Como se puede observar, la integral de Riemann se obtienecomo caso particular de la integral de Stieltjes en el caso enque el integrador es la función identidad.

Si la función α(x) es diferenciable, la integral de Stieltjes secalcula como una integral de Riemann así:

´ ba f (x)dα(x) =´ b

a f (x)α′(x)d(x).

La integral de Stieltjes tiene sentido cuando α no es diferen-ciable y aun si no es continua. De hecho, es al tratar con fun-ciones discontinuas cuando se hace patente la importancia deutilizar integrales de Stieltjes.



Conclusiones



Criterio de Lebesgue para la existencia de integrales de Riemann

Una función f : [a, b] → R es Riemann-integrable si y solo si elconjunto de puntos de discontinuidad tiene medida cero.

La función de Dirichlet ϕ : R→ R definida por

ϕ(x) =

{1, si x ∈ Q0, si x ∈ Q∗

no es integrable Riemann, porque es discontinua en todoR y es claroque µ(R) , 0.



Conclusiones



Convergencia uniforme e integración de Riemann

Sea ( fn)n∈N una sucesión de funciones Riemann-integrables en [a, b]tal que fn ⇒ f en [a, b]. Entonces la función límite f es Riemann-integrable en [a, b] y se verifica la igualdad:

lımn→∞

ˆ b

afn(x)dx =

ˆ b

af (x)dx

Cabe anotar que la condición de convergencia uniforme es forzosa.En el caso de convergencia simple, la conclusión del teorema puedeno ser cierta.



Conclusiones


Integral de Lebesgue

Integral de una función escalonada

Definimos la integral de una función escalonada por la suma´ ba s(x)dx =

∑nk=1 ck(xk − xk−1). Notemos que la integral está bien

definida, pues no depende de la partición elegida de [a, b]. Ademáscoincide con su integral de Riemann.

Función superior

Una función real f definida en un intervalo I se llama superior en I,y se escribe f ∈ U(I), si existe una sucesión creciente de funcionesescalonadas (sn)n∈N tal que sn → f c.e.t I y lımn→∞

´I sn es finito.



Conclusiones



Definición

Designaremos por L(I) al conjunto de todas las funciones f : I → R

de la forma f = u − v, donde u ∈ U(I) y v ∈ U(I).

Cada función f ∈ L(I) se llamará función integrable Lebesgue en I,y su integral se definirá por medio de la ecuación

ˆI

f =

ˆIu −ˆ

Iv



Conclusiones



Lema

Sean f y g funciones definidas en I. Si f ∈ L(I) y f = g c.e.t I,entonces g ∈ L(I) y

Í f =

Í g.

Teorema de convergencia dominada de Lebesgue

Sea ( fn)n∈N una sucesión de funciones integrables de Lebesgue en unintervalo I. Supongamos que ( fn) converge c.e.t I hacia una funciónf y que existe una función no negativa g ∈ L(I) tal que para todon ∈ N, | fn(x)| ≤ g(x) c.e.t I. Entonces f ∈ L(I), la sucesión (

Í fn)n∈N

converge e Î

f = lımn→∞

Î

fn



Conclusiones

Conclusiones

Es importante que los estudiantes de matemáticas en el ámbito de laeducación superior conozcan los diferentes desarrollos que se dan enuna teoría matemática, en particular, la teoría de la integración.

A pesar de lo cercana e intuitiva que resulta la teoría de la integraciónde Riemann, en algunos aspectos, se hace necesario generalizarla,pues el enfoque Riemanniano tiene algunas limitaciones, que con-ducen a teorías más fuertes como la de Stieltjes y la de Lebesgue.

Las teorías de la integración de Stieltjes y Lebesgue contienen comocasos particulares la teoría de Riemann.



Conclusiones

Bibliografía

Apostol, T. (1976)Análisis Matemático. Barcelona: Reverté S.A.

Bartle, R y Sherbert, D. (2005).Introducción al Análisis Matemático de un variable. México,D.F.: Limusa S.A.

Ulayánov, P y Dyachenko, M. (2000).Análisis Real: Medida e Integración. Madrid: Addison WesleyIberoamericana.


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