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Introducción

Muchos fenómenos se pueden modelar como una función periódica. Algunos ejemplos de ellos son:

Introducción

Electrocardiogramas:

Introducción

Movimientos pendulares

Introducción

Temperaturas diarias:

Los angulos pueden ser medidos en radianes, grados sexagesimales, grados centesimales, etc.

Para nuestros cálculos mediremos los ángulos en radianes, grados sexagesimales (De aquí en adelante lo llamaremos simplemente grados).

Como medir un ángulo


En grados:

En radianes:


Equivalencia de ángulos:


Relación entre los sistemas de medición:


Ejemplo:


Ejemplo


Ejercicios

Encuentre el valor del ángulo 60º en radianes.

Encuentre el valor del ángulo 120º en radianes.

Encuentre el valor del ángulo 4en grados.

Encuentre el valor del ángulo en grados.

Un sistema coordenado bidimensional es un sistema en el cual un punto puede moverse en todas direcciones, manteniéndose siempre en un plano.

Sistema coordenado rectangular

Este sistema, también llamado cartesiano, está formado por dos rectas perpendiculares entre sí.

Las rectas son llamadas ejes de coordenadas.

La intersección entre las rectas es un conjunto cuyo único elemento es un punto llamado origen del sistema cartesiano.



RECTA 2

RECTA

1

ORIGEN


La RECTA 1 recibe el nombre de EJE XLa RECTA 2 recibe el nombre de EJE Y.

Eje y

Eje x

ABSCISAS: ubicadas a la derecha y a la izquierda del eje Y, respecto del origen, y son positivas y negativas, respectivamente.

ORDENADAS: ubicadas arriba y abajo del eje X, respecto del origen, y son positivas y negativas, respectivamente.


TERCERCUADRANTE

(III)

CUARTOCUADRANTE

(IV)

SEGUNDOCUADRANTE

(II)

PRIMERCUADRANTE

(I)

Los ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes.

Eje x

Eje y


Angulo en posición normal

Diremos que un ángulo esta en POSICION NORMAL si su vértice coincide con el origen de un sistema coordenado rectangular (Vértice del ángulo) y uno de sus lados esta sobre el lado positivo del eje x (Lado inicial del ángulo).

El otro lado del ángulo lo denominaremos Lado terminal del ángulo.


Eje x

Eje y

LADO TERMINAL

VERTICE

LADO INICIAL

El lado terminal nos indicara el cuadrante al cual pertenece el ángulo.


Eje x

Eje y

LADO TERMINAL

En este ejemplo el

ángulo pertenece al

primer cuadrante.

El lado terminal nos indicara el cuadrante al cual pertenece el ángulo.


Eje x

Eje y

LADO TERMINAL

En este ejemplo el


tercer cuadrante.

Dado un punto P en el plano, podemos generar un ángulo en posición normal.

Generación de angulos

Eje x

Eje y

En este ejemplo el


segundo cuadrante.

Dado un punto P en el plano, podemos definir un ángulo en posición normal.

Generación de ángulos

Eje x

Eje y

En este ejemplo el


cuarto cuadrante.

Dado un punto P en el plano, podemos generar un triángulo rectángulo.

Generación de triángulos

Eje x

Eje y

En este ejemplo el

triángulo pertenece al

primer cuadrante.

Dado un punto P en el plano, podemos generar un triángulo rectángulo.

Eje x

Eje y

En este ejemplo el

triángulo pertenece al

segundo cuadrante.

Generación de triángulos

¿Se acuerdan de la ecuación de la circunferencia?

Circunferencia unitaria

Si la circunferencia tiene centro ( h , k ), y radio r , la ecuación es


Si la circunferencia tiene centro (0,0), y radio 1, la ecuación es


Eje x

Eje y


Ejercicios

Convierta a radianes los siguientes ángulos:

30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º

Triángulo Rectángulo

Partes del ABC

CATETO

CATETO

HIPOTENUSA

A

C B

Notar que el ángulo esta formado por un cateto y la hipotenusa


A

C B

CATETO

HIPOTENUSA

A

C BCATETO

HIPOTENUSA


Nota que el ángulo esta formado por un cateto y la hipotenusa

A

C BCATETO


Notar que el ángulo recto esta formado “SOLO” por catetos.

CATETO


A

C B

CATETO

HIPOTENUSACATETO

ADYACENTE

CATETO OPUESTO

Cateto adyacente y cateto opuesto

ANALICEMOS

A

C BCATETO

HIPOTENUSA


CATETO ADYACENTE

CATETOOPUESTO

Cateto adyacente y cateto opuesto

ANALICEMOS

Definiciones Trigonométricas

En el ABC rectángulo, definimos:

Ejemplo

Encuentre el seno y coseno de , según el ABC rectángulo:

C B

A

3

4

5

Por definición tenemos:

El largo del cateto opuesto a es 4 y el largo de la hipotenusa es 5.

Ejemplo

Finalmente:

Ejemplo

Análogamente, por definición tenemos:

El largo del cateto adyacente a es 3 y el largo de la hipotenusa es 5.

Ejemplo

Finalmente:

Ejemplo

Definiciones Trigonométricas

En el ABC rectángulo, definimos:

Ejercicio

Encuentre las seis definiciones trigonométricas para y en el ABC definido de la siguiente manera:

A

C B

3

4

5

Relación de Thales

4

5

4

65

3

E

D

BC

A

ABC

Relación de Thales

10

8

6

ABC

BC

A

Relación de Thales

Analicemos el

10

8

6

ABC

B C

A

E

D

BC

A

Relación de Thales

4

53

Relación de Thales

Analicemos el

4

53

E

D

B

Ejercicio

Realizar el análisis del para los triángulos definidos anteriormente.

E

D

BC

A

Ejercicio

Encuentre las seis definiciones trigonométricas para y en el ABC definido de la siguiente manera:

AC

B

6

561

Trigonometría en el plano

Todos las definiciones estarán basadas en las relaciones trigonométricas expuestas en clases anteriores.

Solo trabajaremos con triángulos rectángulos definidos de la siguiente manera:

La trigonometría, definida en el plano, sufre algunas variaciones en las definiciones, particularmente en los signos.


PRIMER CUADRANTE


SEGUNDO CUADRANTE


TERCER CUADRANTE


CUARTO CUADRANTE


La trigonometría, definida en el plano, sufre algunas variaciones en las definiciones, particularmente en los signos.

SEGUNDOCUADRANTE

(II)


Cambios en el seno

PRIMERCUADRANTE

(I)

Eje x

Eje y

TERCERCUADRANTE

(III)

CUARTOCUADRANTE

(IV)

SEGUNDOCUADRANTE

(II)


Cambios en el coseno

PRIMERCUADRANTE

(I)

Eje x

Eje y

TERCERCUADRANTE

(III)

CUARTOCUADRANTE

(IV)

Ejercicio

Defina los cambios de signos para las definiciones trigonométricas restantes, en cada cuadrante. Complete la tabla.

sen cos tg ctg sec csc

I + +

II + -

III - -

IV - +

SEGUNDOCUADRANTE

(II)


Cambios en la tangente

PRIMERCUADRANTE

(I)

Eje x

Eje y

TERCERCUADRANTE

(III)

CUARTOCUADRANTE

(IV)

SEGUNDOCUADRANTE

(II)


Cambios en la cotangente

PRIMERCUADRANTE

(I)

Eje x

Eje y

TERCERCUADRANTE

(III)

CUARTOCUADRANTE

(IV)


SEGUNDOCUADRANTE

(II)

Cambios en la secante

PRIMERCUADRANTE

(I)

Eje x

Eje y

TERCERCUADRANTE

(III)

CUARTOCUADRANTE

(IV)


SEGUNDOCUADRANTE

(II)

Cambios en la cosecante

PRIMERCUADRANTE

(I)

Eje x

Eje y

TERCERCUADRANTE

(III)

CUARTOCUADRANTE

(IV)



I + + + + + +

II + - - - - +

III - - + + - -

IV - + - - + -

Finalmente, la tabla queda de la siguiente manera.



I + + + + + +

II + - - - - +

III - - + + - -

IV - + - - + -

TERCERCUADRANTE

(III)

CUARTOCUADRANTE

(IV)

SEGUNDOCUADRANTE

(II)

PRIMERCUADRANTE

(I)


TODAS SIN TACOS

Ejercicio

Encuentre todas las definiciones trigonométricas para el ángulo

- 3

2

(0,0)


a

b

Dado el punto en el plano, P=(a,b), podemos generar un ángulo en estado normal () y un triangulo rectángulo. Luego, podemos encon-trar todas las definiciones trigonométricas para


6

3

Encuentre todas las definiciones trigonomé-tricas para el ángulo , si P=(6,3).

(0,0)


- 3

2

(0,0)


Encuentre todas las definiciones trigonomé-tricas para el ángulo , si P=(-3,2).

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