Salazar Macias Rodrigo

Investigaciones

Mecánica Analítica

Titulo:“Mecánica Analítica”

Autor:

Enrique Yépez MuliaY

Miztli Y. Yépez Martínez

Resumen:La mecánica de Newton es la primera teoría científica que se establece formal-

mente y lo hace con gran éxito. Es la primera que una fielmente el método científi -

co y con este logro un gran avance en el conocimiento; es una teoría que destaca

por su exactitud, su consistencia, su generalidad, además es una bella teoría. La

precisión con que describe el movimiento de objetos celestes y objetos de nuestra

experiencia cotidiana impacto profundamente a los científicos de su época y lo si-

gue haciendo hasta nuestros días. La mecánica clásica o newtoniana establece

los cimientos para toda la estructura de la física y de la ciencia moderna.

El estudio formal de la mecánica clásica presenta un gran reto para los estudian-

tes de física y disciplinas afines, con este tema el estudiante inicia un estudio for-

1

Salazar Macias Rodrigo

mal de la física teórica, en el que aprende los conceptos básicos y debe ser capaz

de usarlos en la solución de problemas prácticos y de interés académico

La palabra Mecánica se usa en un sentido general para designar la ciencia que

trata del movimiento de los cuerpos, considerándose el reposo como un caso es-

pecial del movimiento. En la Mecánica se engloban una gran parte de nuestros co-

nocimientos sobre las leyes del universo, incluidas aquellas concernientes a los

gases y los líquidos, como asimismo las de los cuerpos solidos; esta ciencia ocupa

un lugar prominente en el estudio de la Astronomía y la Física, y también en el de

las máquinas y la construcciones que intervienen en la práctica de la ingeniería.

El objeto de la Mecánica Analítica, es determinar las leyes que rigen los movimien-

tos de los cuerpos (principalmente solidos) y aplicar esas leyes a las condiciones

que se encuentran en la práctica corriente de la profesión del ingeniero.

Introducción:Para poder describir los fenómenos naturales de forma cuantitativa y de manera

universal, es necesario establecer un conjunto de definiciones y patrones de medi-

da para las cantidades físicas básicas; de esta forma se puede referir apropiada-

mente las propiedades físicas de cualquier fenómeno en cualquier laboratorio y

por cualquier persona. Estos patrones son convencionales y deben ser adoptados

universalmente. Las definiciones sobre propiedades como: espacio, tiempo, mas,

carga eléctrica, etc. Se hacen con base en propiedades o fenómenos que son re-

producibles en cualquier laboratorio; otras cantidades físicas derivadas como la

energía, fuerza, momento lineal o acción; se pueden dimensionar en términos de

las cantidades básicas previamente definidas. Son seis las cantidades fundamen-

tales: el segundo (s) que mida la unidad de tiempo, el metro (m) que mide la uni-

dad de intervalo espacial (longitud), el kilogramo (kg) midiendo la masa que deter-

mina el contenido de la materia, el Coulomb (C) mide la carga eléctrica que es la

cantidad de electricidad contenida por un objeto (el patrón en este caso se fija mi-

2

Salazar Macias Rodrigo

diendo la corriente eléctrica, de tal forma que un Coulomb es un Ampre x segun-

do), el grado Kelvin (K) mide la temperatura que caracteriza el estado de un siste-

ma macroscópico y la candela (cd) que mide la intensidad luminosa de un objeto.

Estas cantidades son independientes entre sí y fácilmente reproducibles. Dichas

cantidades se definen y regulan por el Departamento Internacional de Patones

(IBS por sus siglas en ingles).

Los conceptos fundamentales involucrados en las leyes de la Mecánica son:

Fuerza, que la tensión o la comprensión de nuestros músculos nos hacen

conocer como una tracción o un empuje.

Cuerpos o material inerte (materia) sobre la que actúan las fuerzas y sin los

que estas no pueden existir.

Espacio.

Tiempo.

El estudio de la Mecánica se divide en tres partes principales: Estática, Cinemática

y Dinámica o Cinética.

En este caso nos concentramos en lo que es la Cinemática y la Dinámica

La Cinemática es la rama de la Mecánica que trata del movimiento de los cuer-

pos, sin tener en cuenta para nada la manera como afectan al movimiento los fac-

tores (fuerza y materia) que influyen sobre el mismo. Se ocupa de los conceptos

fundamentales de espacio y tiempo y de las cantidades, velocidad y aceleración,

que se derivan de ellos. Por esta razón se le designa a veces con el nombre de

Geometría del Movimiento. La cinemática constituye una parte importante del es-

tudio de la Mecánica, no solo porque se ocupa de una parte del problema general

de la Dinámica en el que intervienen fuerzas, sino también porque en muchos pro-

blemas que implican solo el movimiento relativo de piezas de una máquina, bastan

los principios de cinemática para su resolución. Estos problemas se estudian en

los tratados de cinemática de máquinas, que se ocupan del movimiento de los ele-

3

Salazar Macias Rodrigo

mentos de máquinas, tales como los mecanismos de distribución de retroceso rá-

pido, etc.

La Dinámica es la rama de la Mecánica que se ocupa de los cuerpos sometidos a

fuerzas desequilibradas y que, por consiguiente, están animados de movimientos

no uniformes o acelerados. En particular, trata del cambio de movimiento de los

cuerpos y de la manera como el cambio está relacionado con los factores que le

afectan a saber: las acciones de otros cuerpos (fuerzas), y las propiedades (iner-

cia, etc.) de los mismos cuerpos. Frecuentemente se usa el termino Dinámica, en

la literatura técnica, para designar aquellas subdivisiones de la Mecánica con las

que se asocia más estrechamente la idea de movimiento, esto es, la Cinemática y

la Cinética.

Desarrollo:

Principio de relatividad de Galileo y leyes de Newton

Como punto de partida es necesario especificar el sistema de observación en el

que describiremos el movimientos de los objetos al cual llamaremos el sistema de

referencia: por sistema de referencia entendemos a un sistema de observación do-

tado de aparatos de medición con distancia, tiempo, masa, carga, etc. En el, medi-

mos las variables dinámicas como velocidades, aceleraciones, fuerzas, etc. Una

vez que disponemos de un sistema de referencia es necesario el primer principio

básico de la mecánica: el Principio de Relatividad de Galileo. La forma usual de

establecerlo es la siguiente: las leyes que describen el comportamiento de la natu-

raleza toma la misma forma para dos sistemas de observación que se mueven,

uno respecto del otro con velocidad constante.

Este principio representa un buen punto de partida, pues nos garantiza que la des-

cripción que hagamos a de los sistemas físicos no requiere de un sistema de ob-

servación absoluto, sino que esta descripción será la misma para todos aquellos

sistemas que tengan un movimiento relativo rectilíneo y uniforme, sin embargo,

4

Salazar Macias Rodrigo

este principio no dice cuales sistemas de referencia serían los más apropiados o

en cuales la descripción sería más sencilla.

La transformación que conecta a las variables de tiempo y espacio entre los dos

diferentes sistema de observación se conoce con el nombre de transformación ga-

llean. Si la velocidad relativa es “u” está dirigida a lo largo del eje “x” de ambos sis-

temas de referencia, y además, suponemos que cuando los dos orígenes coinci-

den se empieza a medir el tiempo (t = t’ = 0), la trasformación es:

x = x’ + ut

y = y’

z = z’

t = t’

Principios fundamentales de Estática: Ley del paralelogramo, es el principio funda-

mental sobre el que descansa la composición y descomposición de fuerzas. Pue-

de enunciarse como: Si desde un punto se trazan los vectores que representen en

dirección, en sentido y en magnitud dos fuerzas concurrentes, y se construye un

paralelogramo que tenga esos vectores como lados, la diagonal del paralelogramo

que une el origen con el vértice opuesto, es un vector que representa, en direc-

ción, en sentido y en magnitud, la resultante de las dos fuerzas.

Principios fundamentales de Cinemática: La cinemática trata del movimiento de los

cuerpos prescindiendo de cómo influyen las fuerzas que actúan sobre ellos y el

carácter de los mismos cuerpos. Esto es, se trata a los cuerpos como si fuera soli -

5

Salazar Macias Rodrigo

do geométricos y no como cuerpos físicos. Cuando los sólidos geométricos están

dotados de propiedades físicas, hay que estudiar conceptos tales como fuerza,

energía, etc.

La cinemática estudia la relación que existe entre la distancia, el tiempo, la veloci-

dad y la aceleración. Con objeto de adquirir los conceptos fundamentales que in-

tervienen en el estudio del movimiento de los cuerpos. Un punto material (partícu-

la) es una parte de un cuerpo cuyas dimensiones son insignificantes comparadas

con la amplitud de su movimiento. Los cuerpos se componen de partículas y el es-

tudio del movimiento de los cuerpos es, en gran parte, el estudio del movimiento

de sus puntos materiales.

Ejemplos de leyes del movimiento.

Caída libre de los cuerpos: Un ejemplo simple, pero muy ilustrativo, de cómo tra-

baja este método, es el estudio de Galileo sobre la caída libre de los cuerpos. Gali-

leo puso gran interés en el estudio de la caída libre de los cuerpos, entre otras ra-

zones porque su experiencia no estaba de acuerdo con la física aristotélica. Debi-

do a las limitaciones experimentales de su época para medir con precisión interva-

los de tiempo, Galileo traslado el análisis experimental a los cuerpos que se desli-

zan sobre un plano inclinado muy bien pulido para evitar al máximo la fricción; la

caída libre sería el caso en donde el plano inclinado se vuelve vertical. También

estudio los objetos que abandonan el plano inclinado a la orilla de una mesa de al-

tura h con velocidad en la dirección horizontal, que ahora llamamos tiro parabólico.

Ley de Hooke. Oscilaciones armónicas.

La fuerza, el peso que cuelga mg, se transmite a lo largo de la cuerda inextensible

que no tiene masa (su masa es despreciable comparada con m), el resorte actua-

do por esta fuerza se alarga de L0 a L siendo L0 su longitud normal cuando no se

aplica fuerza; el sistema completo se mantiene en equilibrio de tal forma que la

fuerza que ejerce el resorte tiene la misma magnitud que el peso que cuelga. El

modelo físico que aplicamos en este experimento es como sigue: el resorte no tie-

6

Salazar Macias Rodrigo

ne masa (su masa es despreciable con respecto a la masa a la que se sujeta),

esta rígidamente sujeto por un extremo a la pared (cuya masa es mucho mayor

que la que produce la fuerza actuante mg), las cuerdas no son elongables y no tie-

nen masa, la polea causa fricción con la cuerda y su masa es igualmente despre-

ciable.

Clases de movimiento: Se llama movimiento rectilíneo el de un punto material a lo

largo de una línea recta.

Si la trayectoria es curva recibe el nombre de movimiento curvilíneo

Cuando el punto que se mueve recorre distancias iguales de su trayectoria en

tiempos iguales, por pequeños que sean, se dice que el movimiento es uniforme.

7

Salazar Macias Rodrigo

Si las distancias recorridas en periodos iguales de tiempo son desiguales, el movi-

miento se llama variado.

Discusión:Ecuaciones de movimiento de Hamilton

Estudiaremos ahora la formulación alternativa propuesta por Hamilton, la

formulación hamiltoniana de la mecánica también llamada formulación canónica.

En la descripción de los sistemas mecánicos que hemos hecho hasta aquí hemos

considerado siempre a las variables q’i como dependientes de qi, por medio de

q’i = d/dt qi, y de ah´ que las ecuaciones de LaGrange hayan resultado ecuaciones

diferenciales de segundo orden. Consideraremos ahora una descripción

equivalente para sistemas mecánicos ho-lonómicos y fuerzas derivables de una

función potencial, para aquellos donde la descripción lagrangiana es apropiada. Si

consideramos ahora al conjunto (2f ) de variables qi , pi = ∂L/∂q’i como variables

independientes, donde pi es el momento generalizado o canónico asociado con la

coordenada generalizada qi , al espacio definido por las 2f variables qi , pi se le

llama espacio fase; es el espacio donde está definida la función de Hamilton,

mientras que la función lagrangiana está definida en el espacio de configuración

definido por las f variables qi. Debido a que la función L q, q, t involucra

explícitamente a q, es necesario transformar a una nueva función H (q, p, t)

dependiente de todas las coordenadas y momentos generalizados qi , pi ; esta

transformación es sugerida directamente por la forma del momento generalizado

pi = ∂L ; i.e., por una transformada de Legendre entre pi y qi de la siguiente

8

Salazar Macias Rodrigo

manera:

de tal forma que su diferencial se puede obtener fácilmente:

derivando la función H obtenemos también que

Estas dos últimas expresiones deben ser idénticas para toda qi y pi. Recordando

las ecuaciones de Lagrange permiten definir a arribamos a:

Estas ecuaciones son las ecuaciones canónicas o ecuaciones de movimiento de

Hamilton. En otras palabras: reconociendo a las variables qi, pi para i= 1, 2, ….., f

como variables independientes, al tiempo como parámetro y definiendo a la fun-

ción hamiltonina H, obtenemos las ecuaciones de movimiento, las cuales son

ecuaciones diferenciales de primer orden, cuya solución qi = qi (t) y pi = pi (t) nos

proporciona la solución al problema mecánico definido por su función dinámica H

(q, p, t).

9

Salazar Macias Rodrigo

Referencias

Mecánica Analítica

Enrique Yépez Mulia

Y

Miztli Y. Yépez Martínez Primera Edición 2007

10