UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE ALTAMIRAOrganismo Pblico Descentralizado de la Administracin Pblica Estatal

INVESTIGACIN 21.- DESCRIBIR E IDENTIFICAR LAS E.D. POR TIPO, GRADO, LINEALIDAD.COMPROBACION DE SOLUCIONES DE E.D.COMO SE DESCRIBE Y SE EMPLEA EL TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD EN LA SOLUCION DE E.D.2.- RESUMEN DE CLASIFICACIN DE PROCEDIMIENTOS DE RESOLUCION DE ED.COMO SE DESCRIBEN Y EMPLEAN LAS CONDICIONES INICIALES Y FRONTERA.3.- CMO SE DESCRIBEN Y SE INTERPRETAN LAS LOS MODELOS MATEMTICOS DE SISTEMAS DE ED

Autor : Ramrez Trejo Moiss de JessProfesor: DCIQ Pedro Nava DigueroMateria: Ecuaciones DiferencialesGrupo: IMI-8AFecha programada de entrega: 21/05/2015

Altamira, Tamaulipas.

INTRODUCCINEl fin del presente ensayo es integrar principios matemticos y econmicos con comandos computacionales para resolver ecuaciones diferenciales.Las ecuaciones diferenciales aparecen en casi todas las reas de la ingeniera desde la resistencia de materiales hasta la hidrulica, ya que mediante ellas podemos realizar clculos diversos que nos servirn para determinar caractersticas de algunos materiales que se requieren dentro de la industria, los caudales de flujo, etc.

ECUACIONES DIFERENCIALES.Las ecuaciones diferenciales sirven como modelo matemtico para el estudio de problemas que surgen en disciplinas muy diversas.La principal caracterstica de una ecuacin diferencial es la presencia de derivadas en su formulacin.

En la expresin genrica (1) aparecen dos variables (y, t) y las sucesivas derivadas de y con respecto a t. La inclusin de slo dos variables categoriza a esta ecuacin dentro de las denominadas ecuaciones diferenciales ordinarias. Parciales, por el contrario, sern aquellas que incluyan ms de dos variables relacionadas. A lo largo del presente ensayo, se trabajar nicamente con ecuaciones ordinarias.En caso de ser factible, es usual reordenar (1), despejando a la derivada de mayor grado como funcin del resto de variables:

La derivada de mayor orden presente en una ecuacin diferencial, define el orden de la misma. As determinada, la ecuacin general (1) se clasifica como una ecuacin diferencial de orden n.A su vez, las ecuaciones diferenciales ordinarias pueden agruparse en lineales y no lineales. Si (1) puede expresarse en la forma:

entonces dicha ecuacin diferencial ser lineal. En caso contrario la misma es no lineal. La definicin de los coeficientes a (t) i genera una nueva clasificacin para las ecuaciones diferenciales lineales. Si cada coeficiente es independiente de la variable t ( i i a (t) = a ), la ecuacin es lineal con coeficientes constantes. Con coeficientes variables ser si algn coeficiente depende de t.El anlisis del segundo miembro de la expresin (4) permite una categorizacin adicional. Si g(t) = 0, la ecuacin diferencial es homognea. En caso contrario, ser no homognea.Por ltimo, si una ecuacin diferencial como (1) no incorpora en su definicin explcitamente a la variable t, la misma es autnoma1. La relacin planteada en (5) ejemplifica este caso.

ORDEN DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL.El orden de una ecuacin diferencial est dado por el orden mayor de su derivada.

GRADO DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL.El grado de una ecuacin diferencial est dado por el exponente del mayor orden de su derivada.Ejemplos:Determinar el orden y grado de las siguientesecuacionesdiferenciales ordinarias.

SOLUCIN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL.Una funcin que cuando se remplaza en la ecuacin diferencial da unaigualdad, se llama una solucin de la ecuacin diferencial, por lo tanto, resolver una ecuacin diferencial es encontrar una funcin desconocida que al ser sustituida en la ecuacin diferencial se obtiene una igualdad.

Tipos de solucionesUna solucin de una ecuacin diferencial es una funcin que al remplazar a la funcin incgnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuacin, es decir la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:

Solucin general: una solucin de tipo genrico, expresada con una o ms constantes. La solucin general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuacin sea lineal, la solucin general se logra como combinacin lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuacin) de la ecuacin homognea (que resulta de hacer el trmino no dependiente dey(x) ni de sus derivadas igual a 0) ms una solucin particular de la ecuacin completa.

Solucin particular: Si fijando cualquier puntoP(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solucin de la ecuacin diferencial, existe un nico valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuacin, ste recibir el nombre de solucin particular de la ecuacin en el puntoP(X0,Y0), que recibe el nombre de condicin inicial. Es un caso particular de la solucin general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor especfico.

Solucin singular: una funcin que verifica la ecuacin, pero que no se obtiene particularizando la solucin general..

TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

Dependiendo del nmero de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o ms variables.

TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD.El teorema de existencia y unicidad es una extensin del problema con valor inicial. Este teorema afirma que existe una solucin para los pre-requisitos iniciales provistos de la ecuacin diferencial y la solucin obtenida, es de hecho, una solucin nica.Imagina una funcin valorada real f(p, q), cuyo valor es constante para un rectngulo definido por la ecuacin

Ahora supongamos que el diferencial parcial de la funcin real dada con respecto a la variable q tambin tiene un valor continuo de este rectngulo. Entonces puede concluirse que para la funcin dada tenemos algn intervalo I donde la funcin dada tiene una solucin cuyo valor es nico dentro de ese intervalo. Aqu el pre-requisito inicial definido para la funcin es, q = f(p, q) y, q(p0) = q0Y la ecuacin definiendo el intervalo de la funciones.

Aqu el valor de h debera ser menor o igual que a.Para demostrar el teorema establecido arriba, pretendemos elegir el mtodo de demostracin por contradiccin. Esto significa que vamos a suponer que las afirmaciones anteriores son verdaderas. Tambin significa que existe una solucin para la funcin dada; asume que la solucin es una funcin q(p). Esto significa que tenemos,q(p) = q0 + f(t, q(t) dtEsto es porque si q(p) es una ecuacin funcional para la ecuacin diferencial dada, entonces podemos concluir que esta es una solucin a esa ecuacin diferencial. Por lo tanto, tambin podemos escribir,q = f(p, q) y, q(p0) = q0Las aproximaciones sucesivas, tambin famosas por el nombre de su inventor, este es, el mtodo de iteracin de Picard, esta es una tcnica utilizada para determinar esta ecuacin de la funcin para una ecuacin diferencial. Los pasos para de terminarla son los siguientes:1. Sea q(p0) = q0 el pre-requisito inicial para la ecuacin diferencial dada. Supongamos que esta es cierta para cada valor de p.2. Ahora usa la frmula intermitente para determinar el valor de qn como

3. Utilizando el mtodo de induccin, una secuencia completa de las funciones puede generarse. Usando estas funciones y los pre-requisitos iniciales podemos obtener la solucin al problema dado.Finalmente, veamos un ejemplo ilustrativo para aclarar el concepto.Resuelve la ecuacin diferencial q = 2 p (1 + q) dado queq(0) = 0.La ecuacin asociada de la integracin para la ecuacin diferencial dada sera,g(p) = 2 s (1 + q(s)) dsAsume queq0(p) = 0. Entonces la frmula para la recurrencia de cada p mayor que uno es,qn+1(p) = 2 s (1 + qn(s)) dsPor lo tanto, obtenemosq1(p) = 2 s ds y,q2(p) = 2 s (1 + s2) dsq2(p) = p2 + p4/ 2.Esto nos da la secuencia de las funciones como,qn(p) = p2 + p4/ 2 + p6/ 3! + + p2n/ n!Esta es la serie de Taylor, y por tanto, la ecuacin funcional de la ecuacin diferencial, q(p) = - 1PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y CONDICIONES DE FRONTERA.En la mayora de las aplicaciones estamos interesados no en la solucin general de una ecuacin diferencial, sino en una solucin particularque satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de valor inicial o de frontera.Un problema de valor inicial o de Cauchyconsta de una ecuacin diferencial de ordeny decondiciones iniciales impuestas a la funcin desconocida y a susprimeras derivadas en un valor de la variable independiente.ES DECIR:

EJEMPLOUna partculase mueve a lo largo del ejede manera tal que su aceleracin en cualquier tiempoest dada por. Encuentre la posicinde la partcula en cualquier tiempo, suponiendo que inicialmente la partcula est localizada eny est viajando a una velocidad de.Recuerde que la primera derivada de la posicin nos da la velocidad y la segunda derivada la aceleracin. De donde el problema de valor inicial sera

Integrando con respecto aobtenemos

y usando la condicinpodemos hallar que, con lo cual la velocidad en cualquier tiemposera

Integrando de nuevo

y usando la condicinpodemos determinar quey obtener la posicin de la partcula en cualquier tiempo

En la figura 7se muestra la grfica de la posicin de la partcula versus tiempo

Un problema de valores en la frontera o de Dirichletconsta de una ecuacin diferencial ordinaria de ordeny decondiciones de frontera impuestas sobre la funcin desconocida envalores de la variable independiente.ES DECIR:

EjemploUna partculase mueve a lo largo del ejede manera tal que su aceleracin en cualquier tiempoest dada por. Encuentre la posicinde la partcula en cualquier tiempo, suponiendo que inicialmente la partcula est localizada eny enest en.El problema de valores de frontera asociado es

Integrando dos veces obtenemos que la posicin de la partcula est dada por

Evaluando las condiciones de frontera obtenemos el siguiente sistema

de dondey. Y as la posicin de la partcula en cualquier tiempo est dada por

LAS ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMTICOS. Los modelos matemticos surgen en todos los campos de la ciencia. Aunque la relacin entre modelos y fenmenos fsicos en otras ciencias no es siempre tan estrecha como en la fsica, es til entender las teoras de la ciencia como modelos matemticos. En estas notas se estudiarn modelos matemticos de la ingeniera estructural, as como de la geotecnia y, ocasionalmente, de reas de la ingeniera civil. Para empezar, se propone la interpretacin siguiente del trmino modelo matemtico en el contexto de los problemas de la ciencia y de la ingeniera.Un modelo matemtico es un conjunto de frmulas y/o ecuaciones basadas en una descripcin cuantitativa de un fenmeno real, y creadas con la intensin de que el comportamiento que predicen se parezca al comportamiento real en el que se ha basado.Las cantidades matemticas en los modelos se pueden clasificar en variables, constantes, parmetros y funciones de entrada. Una variable independiente es una cantidad que toma valores dentro un rango o dominio. Por lo general, las variables independientes son mediciones del tiempo o deposicin. El conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente es el dominio del problema. Una variable dependiente es una cantidad que cambia durante un problema dado, dependiendo del o los valores de la o las variables independientes. Una constante es una cantidad que tiene un solo valor fijo.Un parmetro es una cantidad cuyo valor est determinado para todo el dominio del modelo, pero que puede variarse para dar una familia de problemas similares. Los parmetros son de cierta manera los componentes ms importantes de un modelo matemtico.

CONCLUSINLa mayor parte de las leyes cientficas se expresan en trminos de rapidez que existen entre el cambio de una variable a otra.Adems proporcionan una herramienta esencial para modelar muchos problemas en Ingeniera, Fsica, Economa y Biologa, puesto que estos, por lo general, requieren la determinacin de una funcin que satisface a una ecuacin diferencial.

BIBLIOGRAFAhttps://es.khanacademy.org/math/differential-equationshttp://canek.uam.mx/Ecuaciones/Ecuaciones.htmhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.htmlhttp://dieumsnh.qfb.umich.mx/diferential/unicidad.htmhttp://mitecnologico.com/sistemas/Main/TeoremaDeExistenciaYUnicidad

Moiss de Jess Ramrez Trejo.