Investigación de Operaciones Teoría de Colas Notación de Kendall – Lee Ejercicios S esión T...
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Investigación de Operaciones
Teoría de ColasNotación de Kendall – Lee
Ejercicios
Sesión Teórico/Práctica No. 2Nelson José Pérez Díaz
Modelo Monoservidor
• Las LINEAS DE ESPERA, FILAS DE ESPERA o COLAS, son realidades cotidianas:
• Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco,
• Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora,
• Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar su camino, ante un semáforo en rojo,
• Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.
Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.
Colas
• Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad tanto en las áreas de Manufactura como en las de Servicio.
• Los Análisis de Colas relacionan:
– la longitud de la línea de espera,– el promedio de tiempo de espera y otros factores como:– la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola,
Los Análisis de Colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (la atención de las cajeras de un banco, actividades de mantenimiento y reparación de maquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.).
Colas
• Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, los pacientes que esperan ser atendidos por el odontólogo o las prensas dañadas esperando reparación, tienen mucho en común.
• Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente.
Colas
COLAS MAS COMUNES
SITIO ARRIBOS EN COLA SERVICIO
Supermercado Compradores Pago en cajas
Peaje Vehículos Pago de peaje
Consultorio Pacientes Consulta
Sistema de Cómputo Programas a ser corridos
Proceso de datos
Compañía de teléfonos
Llamadas Efectuar comunicación
Banco Clientes Depósitos y Cobros
Mantenimiento Máquinas dañadas Reparación
Muelle Barcos Carga y descarga
Colas
Características de una LINEA DE ESPERACARACTERISTICAS DE ARRIBOº
• DISTRIBUCION DE POISSON:
• P(x) = Probabilidad de x arribos• .x= número de arribos por unidad de tiempo = rata promedio de arribo
.e = 2.71828
,...4,3,2,1,0_!
xparax
exP
x
Colas
TEORIA DE COLASDISTRIBUCION DE POISSON
DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO = 2
0,0000
0,0500
0,1000
0,1500
0,2000
0,2500
0,3000
ARRIBOS/ UNIDAD DE TIEMPO
PR
OB
AB
ILID
AD
DISTRIBUCION
DISTRIBUCION 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,0120 0,0034 0,0009 0,0002
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Colas
TEORIA DE COLASDISTRIBUCION DE POISSON
DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO 4
0,0000
0,0500
0,1000
0,1500
0,2000
0,2500
ARRIBOS/ UNIDAD DE TIEMPO
PR
OB
AB
ILID
AD
DISTRIBUCION
DISTRIBUCION 0,0183 0,0733 0,1465 0,1954 0,1954 0,1563 0,1042 0,0595 0,0298 0,0132
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Colas
Proceso de nacimiento y muerte
• Los llamados procesos de nacimiento y muerte describen una gran diversidad de situaciones prácticas cuya característica principal consiste en la aparición y/o desaparición de entes en la cantidad +1 ó –1.
• Si N(t) expresa el número total de entes que componen la población al tiempo t, entonces N(t) puede sufrir cambios crecientes o decrecientes de magnitud 1 en un instante infinitesimal de tiempo
Colas
Diagrama Tasas de Transición
• Dado que hay n clientes en el sistema en un instante t, el número de clientes luego de un t suficientemente pequeño será (n-1) si ocurrió una salida o (n+1) si fue una entrada
• Se obtiene la ecuación de equilibrio:
n-1Pn-1 + n+1Pn+1= ( n + n) Pn
n-1 n+1
n
n
n
n
n+1
... ...
Colas
• Para calcular la probabilidad de estado es preciso tener en cuenta:– El proceso de llegada de los paquetes– La distribución de duración de los paquetes– La política de servicio
• PEPS: Primero en entrar, primero en salir (FIFO)• UEPS: último en entrar primero en salir (LIFO)
Teoría de Colas
Colas
Representación general de la Formación de colasNotación de Kendall
A/B/CDistribució
n de llegada
Distribución de
servicio
Número de servidores
Colas
Clasificación de Kendall y Lee
Clasificación de Kendall y LeeKendall y Lee 1953
Proponen un sistema de clasificación para sistemas
de líneas de espera, el cual considera seis de las
características mencionadas en la estructura de los
modelos.
El cual tiene el siguiente formato
(a/b/c)(d/e/f)
Colas
X X , x , X , X, X
PATRON de LLEGADASM: MarkovianoG : GeneralE : Erlang
PATRON del SERVICIOM: MarkovianoG : GeneralE: Erlang
NUMEROSERVIDORES
1: un servidors: s servidores en paralelo
TAMAÑO POBLACION : Infinita P : Finita
8
TAMAÑO COLA : InfinitaK : Finita
8
DISCIPLINA DE SERVICIODG , FIFO , LIFO
RAND, PRI
Clasificación de Kendall y Lee
Clasificación de Kendall y Lee
Colas
Clasificación de Kendall y Lee
Clasificación de Kendall y Lee
Donde
a Distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transacciones
b Distribuciones de probabilidad del tiempo de servicio.
Símbolos utilizados en estos dos primeros campos son:D : constanteEk: distribución Erlang con parámetro kG : cualquier tipo de distribuciónGI: distribución general independienteH : distribución hiperexponencialM : distribución exponencial
Colas
Clasificación de Kendall y Lee
Clasificación de Kendall y Lee
c número de servidores
d orden de atención de los clientes
Símbolos utilizados en este campo son:
FIFO : primeras entradas, primeros serviciosLIFO : últimas entradas, primeros servicios SIRO : orden aleatorioPR : con base en prioridadesGD : en forma general
e número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo
f número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera
Colas
EjemplosEjemplos
Un modelo (M/D/3)(FIFO/20/20) representa la clasificación
de un sistema donde existen 3 servidores en paralelo
atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas,
primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El
sistema tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales podrían
encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El
tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución
exponencial y, en caso de llegar y encontrar todos los
servidores ocupados, pasan a formarse de una fila común.
Colas
Clasificación de Kendall y Lee
Clasificación de Kendall y Lee
Respetando la clasificación Kendall y Lee, es posible
agrupar los diferentes modelos de una manera donde los
procesos Markovianos y los no Markovianos se separan
claramente.
Los Markovianos se dividen en modelos de capacidad finita
y modelos de capacidad Infinita.
Los No Markovianos, se clasifican en modelos con tiempos
entre llegadas exponenciales y tiempos de servicios con
cualquier tipo de distribución.
Colas
0 1 2 4 n
t
t
3
....... ....
M / M / 1 / DG / / : markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola infinita
Colas
Clasificación de Kendall y Lee
Mediante cadenas deMarkov de estadofinito
Mediante el factor de corrección K
(G/G/1) (FCFS/ / )
Mediante la fórmula de Pollaczek- Khintchine
(M/G/1) (FCFS/ / )
(M/M/S) (d/N/f)
(M/M/1) (FCFS/N/)
(M/M/1) (FCFS/N/N)
(M/M/S) (FCFS/N/)
(M/M/S) (FCFS/N/N)
Mediante cadenas de Markov y series geométricas
(M/M/S) (d/ / )
(M/M/1) (FCFS/ / )
(M/M/S) (FCFS/ / )Mediante el cálculo de límite superior
(G/G/S) ( FCFS //)
Mediante fórmulas generales
Colas
• Se pueden obtener los valores siguientes:– Probabilidad de que hayan n paquetes en el sistema– Longitud o número esperado de paquetes en la cola LEC– Longitud o número esperado de paquetes en el sistema LES– Tiempo esperado que un paquete debe permanecer en la cola
TEC– Tiempo promedio que un paquete debe permanecer en el sistema
antes de ser atendido TES– Número promedio de canales en servicio inactivos en el sistema
NCI– Probabilidad de que un paquete que llega deba esperar– Probabilidad de que un paquete deba esperar en la cola o en el
sistema más de un tiempo t– Número promedio de paquetes atendidos
Objetivos de los modelos de colas
Colas
TEORIA DE COLASMedición del Rendimiento de las Colas
• Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar decisiones para balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera en la línea.
• Los principales factores que se evalúan en estos modelos son:1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la
cola2. Longitud de cola promedio3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el
sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio).4. Número de clientes promedio en el sistema.5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío6. Factor de utilización del sistema7. Probabilidad de la presencia de un específico número de
clientes en el sistema.
Colas
Medidas de desempeñoMedidas de desempeño
Medidas de desempeño:Utilización de Servicio
Tasa de entrada Promedio
Número Promedio de Clientes en el sistema
Número promedio de Clientes en la fila
Tiempo promedio de espera en el sistema
Tiempo promedio de espera en la fila
Coeficiente cuadrado de variación
Colas
Modelo Monoservidor
• Los paquetes son “clientes” formando cola en espera del servicio
Llegada de
paquetesSalida de paquetes
ServidorÁrea de
almacenamiento temporal
Modelo de cola en un servidor único
Colas
• Ejemplos de modelos de un solo servidor:– Taquilla de Pago CANTV– Caja de UNITEC– Cafetin– Cobro de Estacionamiento (Parqueaderos)
Colas
Modelo Monoservidor
• Los paquetes llegan en forma aleatoria a una velocidad promedio de:
tiempodeunidad/paquetes
Forman una cola en espera de servicio en el área de almacenamiento temporal y luego, con alguna política de servicio especificada, son atendidos a razón de un promedio de
tiempodeunidad/paquetes
Colas
Modelo Monoservidor
• La cola empieza a formarse cuando:
Llegada de paquetes
Capacidad de transmisión del paquete
Para un área de almacenamiento temporal finita, la cola llegaría a saturación cuando exceda . Cuando el área de almacenamiento temporal se satura, se bloquean las llegadas de todos los paquetes.
Colas
Modelo Monoservidor
• Si se supone un área de almacenamiento temporal infinita, la cola se vuelve inestable a medida que:
Para la cola con un solo servidor:
Asegura estabilidad
Colas
Modelo Monoservidor
• Un parámetro crítico en el análisis de la teoría de formación de colas es: Utilización o intensidad de tráfico en el enlace
Es la razón entre la carga y la capacidad del sistema
Para el caso de un solo servidor se presenta congestión cuando:
11
Colas
Modelo Monoservidor
TEORIA DE COLASModelo M/M/1
• Asumimos que existen las siguientes condiciones:
1. Los clientes son servidos con una política PEPS y cada arribo espera a ser servido sin importar la longitud de la línea o cola.
2. Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero el promedio de arribos, no cambia con el tiempo.
3. Los arribos son descritos mediante la distribución de probabilidad de Poisson y proceden de una población muy grande o infinita.
4. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son independientes entre sí, pero su rata promedio es conocida.
5. Los tiempos de servicio se representan mediante la distribución de probabilidad exponencial negativa.
6. La rata de servicio es más rápida que la rata de arribo.
Investigación de Operaciones
FÓRMULAS PARA COLASMODELO M/M/1
1
servicio) de tiempo espera de (tiempo
sistema elen permanece unidad una que promedio Tiempo
sistema deln utilizació deFactor
sistema elen (clientes) unidades de promedio Número
sistema elen unidades de número
tiempode períodopor servidos cosas o gente de promedio Número
tiempode períodopor arribos de promedio Número
S
S
SS
W
W
LL
n
Investigación de Operaciones
FÓRMULAS PARA COLASMODELO M/M/1
1
2
sistema elen estén unidades k"" de más que de adProbabilid
11
vacía)está servicio de unidad (la sistema elen unidades cero de adProbabilid
11
sistema elen estén clientes "n" que de adProbabilid
cola laen espera unidad una que promedio Tiempo
cola laen unidades de promedio Número
k
kn
kn
o
o
n
n
n
n
Sq
Sq
P
P
P
P
P
P
WW
LL
Investigación de Operaciones
NomenclaturaNomenclaturapii Probabilidad de que el sistema cambie del estado i a un estado j
después de un intervalo de tiempo
Pn Probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el
sistema
L Número promedio de clientes en el sistema
Lq Número promedio de clientes en la fila
W Tiempo promedio de permanencia en el sistema
Wq Tiempo promedio de permanencia en la fila
Factor de utilización promedio del servicio
Ct Costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de
tiempo
Ce Costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo
Cq Costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo
Colas
Medida del performance en períodos estacionarios.
P0 = Probabilidad de que no existan clientes en el sist.
Pn = Probabilidad de que existan n clientes en el sistema.
L = número de clientes promedio en el sistema.
Lq = número de clientes promedio en la cola.
W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en el sistema.
Wq = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en la cola.
Pw = Probabilidad de que un cliente que llega deba esperar para ser atendido.
= Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo que cada servidor es ocupado).
Elementos a estudiar en las COLAS
Medidas del Desempeño para la cola M / M /1
P0 = 1- ( / )
Pn = [1 - ( / )] (/ )n
L = / ( - )
Lq = 2 / [( - )]
W = 1 / ( - )
Wq = / [( - )]
Pw = /
= /
La probabilidad de queun cliente espere en el sistema más de “t” es P(X>t)= e-( - )t
Elementos a estudiar en las COLAS
Zapatería Mary’s
Los clientes que llegan a la zapatería Mary’s son en promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribución Poisson.
El tiempo de atención se distribuye exponencialmente con un promedio de 8 minutos por cliente.
La gerencia esta interesada en determinar las medidas de performance para este servicio.
Elementos a estudiar en las COLAS
SOLUCION– Datos de entrada
= 1/ 12 clientes por minuto = 60/ 12 = 5 por hora.
= 1/ 8 clientes por minuto = 60/ 8 = 7.5 por hora.
– Calculo del performanceP0 = 1- ( / ) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333
Pn = [1 - ( / )] (/ ) = (0.3333)(0.6667)n L = / ( - ) = 2Lq = 2/ [( - )] = 1.3333
W = 1 / ( - ) = 0.4 horas = 24 minutosWq = / [( - )] = 0.26667 horas = 16 minutos
P0 = 1- ( / ) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333
Pn = [1 - ( / )] (/ ) = (0.3333)(0.6667)n L = / ( - ) = 2Lq = 2/ [( - )] = 1.3333
W = 1 / ( - ) = 0.4 horas = 24 minutosWq = / [( - )] = 0.26667 horas = 16 minutos
Pw = /
= /
Elementos a estudiar en las COLAS
Ejemplo• Un peluquero atiende sus clientes sin cita
previa, el primero en llegar es el primero en ser atendido. La llegada de los clientes se distribuye de acuerdo con un proceso de Poisson con un promedio de 5/hora. Los clientes prefieren esperar el tiempo necesario antes de ser atendidos. El tiempo de corte del cabello está exponencialmente distribuido con un tiempo de corte promedio de 10 minutos.
• ¿Cual es el número promedio de clientes en el negocio y el número promedio de personas esperando a ser atendidas?
Colas
Ejemplo Cont...
hora
5
horahoraX
6
1
min60
min10
1
6
5
1
LES
5LES 6
51
6
5
LES
Elementos a estudiar en las COLAS
Ejemplo Cont...
2
LEC
6
5LEC
• La probabilidad de que los clientes no deban esperar antes de ser atendidos es P0
10P
Elementos a estudiar en las COLAS
• Esta probabilidad es:
1666.06
510 P
Ejemplo Cont...
Esto indica que el 16.7% de los clientes son atendidos sin hacer cola y el 83.3% deben esperar algún tiempo en la cola antes de pasar a la silla del peluquero.
Elementos a estudiar en las COLAS
• Sólo hay cuatro sillas en la peluquería y el dueño desea conocer qué porcentaje de clientes que esperan deben hacerlo parados. La probabilidad de no encontrar silla es:
Ejemplo Cont...
405.0...5
765
nnPPPP
Elementos a estudiar en las COLAS
• El 40% del tiempo los clientes no encuentran silla disponible.
• Cuánto debe el cliente esperar en promedio en la cola y en el sistema, está dado por la formulas y LEC y LES
Ejemplo Cont...
2
LEC
1
LES
En el ejemplo LEC y LES es de 50 y de 60 minutos respectivamente.
Elementos a estudiar en las COLAS