IV BIM - 5to. Año - ALG - Guía 1 - Logaritmos
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IVB / ÁLGEBRA / 5º
LecturaLectura
Basándose en las propiedades de los logaritmos, se
construyó una sencilla máquina de calcular: la regla de
cálculo. Neper, descubridor de los logaritmos, fue el que
concibió la idea de la regla de cálculo en el siglo XVI. En el
año 1 671, Gunter construye la primera regla de cálculo
con divisiones proporcionales a los logaritmos. La reglilla,
en cambio, se debe a Seth Pastridge (1 671). Lenoir Granet
elaboró en 1 820 el prototipo de las reglas de cálculo
rectilínea, compuesto de una regla provista de ranura, en
la que se puede deslizar una reglilla. En cambio, a
Mannheim (1 851) se debe el funcionamiento de las
escalas y la aplicación del cursor.
La regla de cálculo está basada en la propiedad de los
logaritmos, sobre todo en la que expresa: “el logaritmo de
un producto de dos factores es igual a la suma de los
logaritmos de esos factores”. Con ella pueden efectuarse
multiplicaciones, divisiones, proporciones, cuadrados,
raíces cuadradas y cúbicas, superficies de círculos y cubos,
potencias de orden superior, ecuaciones de primero,
segundo, tercero, cuarto y quinto grado, además de las
bicuadradas. Utilizando las escalas del revés de la regla
móvil, pueden calcularles los logaritmos de los números y
todas las líneas trigonométricas.
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” 76
IVB / ÁLGEBRA / 5º
Sus aplicaciones son innumerables. Entre ellas, el
contenido de un depósito cilíndrico, la escala de un dibujo,
el peso de una viga cuadrada, el cálculo de una placa de
cemento armado, de una columna de fundición, etcétera.
Este elemento matemático es de gran utilidad para
comerciantes, contratistas de obras, carpinteros,
contables, banqueros, técnicos electricistas e ingenieros.
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”77
IVB / ÁLGEBRA / 5º
CONCEPTO
Se denomina logaritmo de un número real positivo, al exponente a que se debe elevar una base positiva y distinta de la unidad, para obtener una potencia igual al número propuesto.
Entonces:
LogbN = N = b
DEFINICIÓN
= Logaritmo
R
b = base
b > 0 ; b 1
N = número al cual se le toma logaritmo.
N > 0
Ejemplos:
Log525 = 2 ; por que: 25 = 52
Log1/39 = -2 ; por que: 9 = (1/3)-2
Log31 = 0 ; por que: 1 = 3º
IDENTIDAD FUNDAMENTAL
De la definición tenemos: = LogbN …………(1)
Tenemos que: b = N ………………
(2)
Reemplazando: (1) en (2)
Identidad Fundamental
x > 0 a R+ - {1}
Ejemplos:
1.
2.
3.
x R
Ejemplos:
1. Log100 102 = 10x
2. Log1000 103 = 10x
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” 78
Este sistema fue
implementado por Briggs, cuya base es
10.
x = 2
x = 3
Este sistema fue
implementado por Neper
cuya base es e 2.718…
IVB / ÁLGEBRA / 5º
Ejemplos:
1. Ln e e1 = ex , x =
1
2. Lne5 = 5
3. Lne6 = 6
Debemos saber:
Log2 0.3 Log10 = 1
Log3 0.47 Log5 0.69
PROPIEDADES
a)
Ejemplo
Log31 = 0
b)
Ejemplo
Log33 = 1 ; log55 = 1
c) Logxab = Logxa + Logxb (a, b, x R+)
Ejemplo
Log106 = Log102 + Log103
= 0,3 + 0,47 = 0,77
d) Logx(a/b) = Logxa - Logxb (a, b, x R+)
Ejemplo
Log10 = Log103 - Log102
= 0,47 - 0,3 = 0,17
e) (n R; m R; N
> 0)
Propiedad del Sombrero
Ejemplo
1)
2)
3)
4)
f)
Propiedad Inversa
Ejemplo
1)
2)
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”79
IVB / ÁLGEBRA / 5º
BLOQUE IBLOQUE I
1. Determina los siguientes logaritmos.
a) Log10 =
b) Log30 =
c) Log =
d) Log24 =
e) Log39 =
f) Log36 =
2. Aplicando la identidad fundamental determinar el valor de las siguientes expresiones:
a) =
b) =
c) =
d) =
e) =
f) =
g) =
3. Determinar el valor de:E = Log10 + Log1000 + 1
a) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) 6
4. Determinar el valor de:
A = Log104 + Logee5 + Ine
a) 1 b) 2 c) 5
d) 3 e) 10
5. Hallar “x” en cada uno de los siguientes
logaritmos:
a) Log39 = x
b) Log5625 = x
c) Log7343 = x
d) Log2x = 3
e) Log5x = 2
f) Logx25 = 2
g) Logx36 = 2
h) Logx25 =
6. Hallar: “E ”
Si:
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
7. Indicar el valor de:
a) 1 b) 2 c) 0
d) -1 e) 4
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” 80
IVB / ÁLGEBRA / 5º
8. Si: Log2 = 0,3Log3 = 0,4
Hallar el valor de: E = Log39 + Log24 + Log6
a) 1,4 b) 4,3 c) 4,7d) 4,9 e) 5,3
9. Indicar el valor de:
a) Log327 =
b) =
c) =
d) =
10. Hallar “x” en:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
BLOQUE IIBLOQUE II
1. Calcular:
a) 1 b) 2 c) 3d) 0 e) 4
2. Si: L = Log2(Log2256)
Hallar:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Simplificar:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4. Calcular:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
5. Reducir: (Log23 + Log25) . Log152
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
6. Calcular:
7. Calcular:
8. Indicar el valor de:
a) 4/3 b) 5/2 c) 1/2d) 3/2 e) 4/5
9. Reducir:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
UNMSM - 87UNMSM - 8710. El valor de “x” en la ecuación:
es:
a) 18 b) 20 c) 10d) 30 e) 25
11. Calcular: 3Log(2x) + 2Logx = Log1/4
a) 0,5 b) 1 c) -5d) 2 e) -1/2
12. Calcular:
a) -1/4 b) 4 c) -4d) 1/2 e) -8
BLOQUE IIIBLOQUE III
1. Calcular:
a) 4 b) 1 c) 2
d) 5 e) 0
2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F):
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”81
IVB / ÁLGEBRA / 5º
I) LogN = (LogN10)-1
………………………….. ( )
II) Ln10 = 1
………………………………………………. ( )
III) Logbb2 = 2
…………………………………………. ( )
3. Reducir:
a) 2/3 b) 3/2 c) 1/2
d) 2 e) 1
4. Luego de reducir:
Se obtiene:
a) bb-1 b) b1-a c) b1-b
d) aab e) aa-1
5. Calcular:
a) 2 b) 1 c) -1
d) 8 e) 0
6. Calcular:
E = lne + lne2 + lne3 + …… + lnex+1
a) (x + 1)(x + 2) d) 1
b) e)
c)
7. Calcular:
a) 5/6 b) 1/3 c) 1/2
d) 1/6 e) 5/3
8. Reducir:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9. Si: Log35 = a; Log32 = b
Hallar: “Log3(2,7)” en función de “a” y “b”
a) b) 3 + a – b c)
d) 3 – a – b e) a – b - 3
1. Calcular los siguientes logaritmos:
a) Log864 =b) Log232 =
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” 82
IVB / ÁLGEBRA / 5º
c) Log927 =
d) Log12525 =
e) =
f) =
2. Hallar “x” en:
a) 5 b) 125 c) 25d) 1/5 e) 1
3. Reducir:
a) 3 b) 9 c) 1
d) 32 e) 27
4. Reducir:
a) 0 b) 1 c) 2d) -1 e) 3
5. Hallar: “E”
a) 1 b) 2 c) 3d) 9 e) 18
6. Reducir:
a) 1 b) 2 c) 3d) -1 e) 0
7. Simplificar:
a) 81 b) 243 c) 9
d) 1/3 e) 36
8. Hallar “x” en:
a) 1/8 b) 3/8 c) 16/5d) 25/8 e) 8/25
9. Hallar “x” en:
a) 1 b) 3 c) 4d) 7 e) 8
10. Calcular el logaritmo de 243 en base 27.
a) 5 b) 2 c) 3/2d) 5/3 e) 2/5
11. Hallar:
a) 27 b) 45 c) 15d) 25 e) 9
12. El logaritmo de 0,0625 en base 2 es:
a) 0,025 b) 0,25 c) 5d) -4 e) -2
13. Hallar “x” de: Logx(x + 30) = 2
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 6 y 5
14. Halle “x” de:
a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 4 y 5
15. Resolver: Log(x - 1) + Log(x - 2) = 2
a) 1 b) 0 c) 3d) -2 e) -3
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