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Circuitos Eléctricos I Teoremas para el análisis de circuitos

IV Principios y Teoremas para el Análisis de Circuitos Objetivos:

o Analizar y aplicar el teorema de Linealidad o Analizar y aplicar el teorema de Superposición o Analizar y aplicar el teorema de Transformación de Fuente o Analizar y aplicar el teorema de Thévenin o Analizar y aplicar el teorema de Norton o Analizar y aplicar el teorema de Transferencia Máxima de Potencia

Introducción En la mayoría de los casos, los circuitos eléctricos son bastante complicados y es necesario reducir su complejidad para poder analizarlos con relativa facilidad. En este capítulo mostraremos como reducir esos circuitos que parecen complicados en circuitos más sencillos, como es el caso del método de superposición y transformaciones de fuentes. También mostraremos como poder reducir un circuito en un modelo equivalente sencillo muy útil, como es el caso del equivalente de Thévenin y Norton, cuya utilidad se basa en poder convertir un circuito en etapas sencillas predecibles en términos de voltaje y corriente, como los sistemas modulares, que nos permitirán analizar con precisión el circuito total. También mostraremos las ecuaciones para poder entregar la máxima potencia a una carga, que es de gran utilidad para los circuitos de audio, en los cuales se desea entregar a la bocina o parlante la máxima potencia. 4.1 Linealidad Todos los circuitos que hemos analizados hasta el momento y todos los circuitos que estudiaremos en este libro son circuitos lineales. Hemos mostrado en la primera unidad, que la resistencia es un elemento lineal debido a que su relación de corriente-voltaje tiene una curva característica lineal; es decir, v(t) = R i(t) La linealidad requiere aditividad y homogeneidad (escala). En el caso de un elemento resistivo, si se aplica i1(t), el voltaje a través de la resistencia es v1(t) = R i1(t) De manera similar, si se aplica i2(t), el voltaje a través de la resistencia es v2(t) = R i2(t)

C.R. Lindo Carrión 90


Sin embargo, si se aplica i1(t) + i2(t) el voltaje a través de la resistencia es v(t) = R (i2(t) + i2(t)) = R i1(t) + R i2(t) = v1(t) + v2(t) Esto demuestra la propiedad aditiva. Además si la corriente es escalada por una constate K1, el voltaje también es escalado por la constante K1, ya que R K1 i1(t) = K1 R i1(t) = K1 v(t) Esto demuestra la homogeneidad. Hemos demostrado en los capítulos anteriores que un circuito que contiene sólo fuentes independientes, fuentes linealmente dependientes y resistencias esta descrito por ecuaciones de la forma: a1 v1(t) + a2 v2(t) + . . . + an vn(t) = i(t), o b1 i1(t) + b2 i2(t) + . . . + bn in(t) = v(t) Note que si las fuentes independientes se multiplican por una constante, los voltajes de los nodos o las corrientes de malla también están multiplicados por la misma constante. Así, definimos un circuito lineal como uno que se compone solo de fuentes independientes, fuentes lineales dependientes y elementos lineales. Ejemplo 4.1.1 Para el circuito de la figura 4.1 encuentre el voltaje Vsal usando el concepto de linealidad. Par ello suponga que Vsal = 1V Solución: Con el voltaje Vsal a suponer, encontraremos el respectivo Vo que lo produce y por lo tanto aplicando el concepto de linealidad multiplicaremos por el factor lineal al voltaje Vsal para obtener el Vsal correcto.

2KΩ

12V 3KΩ

4KΩ

2KΩ Vsal

V1 V2VoIo I2

I1

+

-I2

Figura 4.1

Como suponemos que Vsal = 1V entonces el voltaje V2 = 1V ya que V2 = Vsal Así podemos calcular aplicando la ley de Ohm, I2 = V2 / 2K = (1/2) mA Una vez teniendo el valor de I2 podemos conocer el voltaje V1 aplicado LKV V1 = I2 (4K) + V2 = (1/2 m) (4K) + 1 = 3V



Con el valor de V1 conocido podemos aplicar la Ley de Ohm para conocer la corriente I1 I1 = V1 / 3K = 3 / 3K = 1 mA Aplicando la LKC podemos conocer el valor de la corriente Io Io = I1 + I2 = (1m) + (1/2 m) = 3/2 mA Ahora podemos conocer el voltaje Vo aplicando LKV Vo = I0 (2K) + V1 = (3/2 m) (2K) + 3 = 6V Por tanto, se supone que Vsal =1V produce una fuente de voltaje de 6V. Sin embargo, ya que el voltaje real de la fuente es 12V, el voltaje de salida real Vsal es: Vsal = (1V) (12V/6V) = 2V que es el voltaje de salida real 4.2 Superposición El principio de Superposición establece que en un circuito lineal que contiene múltiples fuentes independientes, la corriente o el voltaje en cualquier punto de la red puede calcularse como la suma algebraica de las contribuciones individuales de cada fuente al actuar sola. Cuando se determina la contribución debida a una fuente independiente, las restantes fuentes de voltaje se reemplazan por cortocircuitos, y las restantes fuentes de corrientes se reemplazan por circuitos abiertos, y habrán tantas respuestas (o contribuciones), como fuentes independientes existan en el circuito. Aunque la superposición puede ser usada en redes lineales que contienen fuentes dependientes, no es útil en este caso, ya que la fuente dependiente nunca queda en cero. Ejemplo 4.2.1

2 mA

3V

6KΩ

2KΩ

Vo1KΩ

+

-

Figura 4.2.1

Usemos la superposición para encontrar Vo en el circuito mostrado en la Figura 4.2.1 Solución: Si observamos el circuito, veremos que hay dos fuentes independientes, por lo tanto habrán dos respuestas, que serán: la contribución de la fuente de corriente de 2mA y la contribución de la fuente de voltaje de 3V, ambas respuesta se sumarán para obtener la respuesta final.



Entonces la respuesta Vo será Vo = Vo1 + Vo2

1KΩ

2KΩ

2mA 6KΩ Vo1

Io +

-

Figura 4.2.2

Primero consideremos la contribución de la fuente de corriente de 2mA y obtendremos el circuito mostrado en la Figura 4.2.2 Entonces Vo1 = Io (6K) Tendremos encontrar Io para poder obtener Vo1, que lo podemos obtener a través de un divisor de corriente.

mAmKK

KIo 32)2(

633

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+= con este valor podemos calcular Vo1

VKmVo 4)6(32

1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

1KΩ

3V 2KΩ

6KΩ Vo2

+

-

Figura 4.2.3

Ahora encontraremos la contribución de la fuente de voltaje de 3V, para ello haremos uso del circuito mostrado en la Figura 4.2.3 Si observamos el circuito veremos que todos los elementos están en serie en una sola malla, por lo tanto podemos aplicar un divisor de voltaje para encontrar el voltaje Vo2

VKK

KVo 2)3(36

62 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

Ahora estamos listo para encontrar Vo Vo = Vo1 + Vo2 = 4 + 2 = 6V Ejemplo 4.2.2

24V 7A

3Ω 2Ω

3I

I

Figura 4.2.4

Para el circuito mostrado de la Figura 4..2.4 encuentre la corriente I, utilizando el principio de superposición. Solución: Si observamos el circuito, notamos que existen 2 fuentes independientes, por lo tanto habrán dos respuestas, una debido a la contribución de la fuente de voltaje de 24V y otra debido a la fuente de corriente de 7A, entonces nuestra respuesta I, será:



I = I1 + I2 Primero consideremos la contribución de la fuente de voltaje de 24V para ello, entonces apagamos la fuente de corriente de 7A y el circuito equivalente es el mostrado en la Figura 4.2.5 Observando el circuito de la Figura 4.2.5 vemos que existe una sola malla y podemos encontrar I1 aplicando la ley de Ohm

24V 3I1

3Ω 2Ω

I1

Figura 4.2.5

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=5

324 11

II , entonces despejando I1 obtenemos,

I1 = 3A que es la primera contribución

7A

3Ω

3I2

2Ω

I2

Va

+

-

Ib

Figura 4.2.6

Para encontrar la segunda contribución ahora apagamos la fuente de voltaje de 24V y encendemos la fuente de corriente de 7A, como se muestra en la Figura 4.2.6 Aplicando LKC al nodo de unión de las resistencias, tenemos: I2 + 7 = Ib (1) Aplicando la ley de Ohm para obtener Ib

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=2

3 2IVI ab , (2) pero Va es el voltaje que aparece en las terminales del Resistor de

3Ω, que puede ser obtenido aplicando la ley de Ohm, entonces, Va = -3 I2 que sustituyendo en la ecuación (2) obtenemos: Ib = -3 I2, que sustituyendo en la ecuación (1) se obtiene: I2 = -7/4 A Por lo tanto la respuesta para I será: I = I1 + I2 = 3 – 7/4 = 5/4 A 4.3 Transformación de fuente Una transformación de fuente es un procedimiento para transformar una clase de fuente en otra, conservando las características de la fuente original en las terminales. Toda fuente de voltaje VF con su resistencia asociada en serie, RS puede reemplazarse por una fuente de corriente equivalente IF con una resistencia asociada en paralelo, RP, siendo IF = VF / RS y RP = RS. También es válido que cualquier combinación en paralelo de IF y RP puede



reemplazarse por una combinación equivalente en serie de VF y RS, siendo VF = IF (RP) y RS = RP.

VF

RS

IF RP

Figura 4.3.1

S

FF R

VI = RP = RS

IF RP VF

RS

Figura 4.3.2

VF = IF (RP) RS = RP

Ejemplo 4.3.1 5Ω

20Ω

30Ω

3VIEncuentre el valor de I en el circuito

mostrado en la Figura 4.3.3 usando transformación de fuente.

5V

Figura 4.3.3

Solución: Para encontrar la variable a buscar, se debe reducir el circuito, haciendo las transformaciones debidas hasta llevar el circuito a la menor expresión para poder calcular la variable buscada.

5V

5Ω

20Ω 30Ω 0.1AI

Figura 4.3.4

Para el ejemplo se debe transformar la fuente de 3V con la resistencia serie de 30Ω a una fuente de corriente con valor IF = 3 / 30 = 0.1A en paralelo con la resistencia de 30Ω como puede ser visto en la Figura 4.3.4

5ΩLas resistencias de 20Ω y 30Ω están en paralelo y la

como puede ser visto en la Figura 4.3.5

5V 1.2V

12Ω

I

Figura 4.3.5

podemos reducir a una sola resistencia equivalente cuyo valor es de 12Ω y esta quedará en paralelo con la fuente de corriente de 0.1 A y podemos volver a convertirla en una fuente de voltaje con valor VF = 0.1 (12) = 1.2V en serie con la resistencia de 12Ω,



Ahora tenemos un circuito de una sola malla, en donde si podemos calcular la corriente I,

I A224.017

2.15=

−=

jemplo 4.3.2

ncuentre el valor de I en el

olución:

i observamos el circuito de la

de corriente de 2A con la resistencia en paralelo de

uego podemos observar que ambas

hora podemos reducir las resistencia de

E 5 Ecircuito mostrado en la Figura 4.3.6 usando transformación de fuente. S S Figura 4.3.6 podemos transformar ambas fuentes de corriente,la fuente de corriente de 5A con la resistencia en paraaelo de 5Ω a una fuente de voltaje de VF = 25V con una resistencia de 5Ω en serie y la fuente 5Ω en una fuente de voltaje VF = 10V, pero con el signo negativo arriba por la dirección de la corriente, en serie con la resistencia de 5Ω, como puede ser visto en la figura 4.3.7 Lresistencias de 5Ω están es serie y podemos sustituirlas por una sola resistencia equivalente de 10Ω, entonces podemos transformar la fuente de voltaje de 25V con la resistencia de 10Ω en serie a una fuente de corriente de valor IF = 2.5A en paralelo con la resispor donde pasa I está en serie con la resistencia de 5Ω, entonces podemos sustituirla por una resistencia equivalente de 15Ω y sin afectar la variable que estamos buscando, entonces reducimos nuestro circuito, como se muestra en la figura 4.3.8

tencia de 10Ω, por otro lado la resistencia de 10Ω

A10Ω en paralelo a una resistencia equivalente de 5Ω y convertir la fuente de corriente de 2.5A en paralelo con la resistencia equivalente de 5Ω a una fuente de voltaje de valor VF = 12.5V en serie con una resistencia de 5Ω y obtenemos el circuito mostrado en la figura 4.3.9

5A 5Ω

Ω

10Ω

10Ω

5Ω 2AI

Figura 4.3.6

10V

5Ω 105Ω 5Ω Ω

I25V 10Ω

Figura 4.3.7

15Ω

10Ω 10V

Figura 4.3.8

2.5A 10Ω

15Ω

10VI

5Ω

12.5V

Figura 4.3.9



Si observamos el circuito mostrado en la Figura 4.3.9, tenemos un circuito de una sola malla y entonces podemos calcular la corriente I aplicando la ley de Ohm,

I A125.120

105.12=

+=

.4 Teoremas de Thévenin

l teorema de Thévenin ( Por el

ara este teorema podemos distinguir tres casos: primero cuando en el circuito sólo existen

ircuitos que contienen sólo fuentes independientes

jemplo 4.4.1

amos a considerar el circuito

4 EIng. Francés M.L. Thévenin) nos dice que podemos reemplazar todo un circuito con fuente independientes, dependientes y resistencias, excluyendo la carga, por un circuito equivalente que contenga sólo una fuente de voltaje independiente (llamado voltaje de Thévenin VTH o voltaje de circuito abierto Vcab,) en serie con una resistencia (llamada Resistencia de Thévenin RTH) de tal forma que la relación corriente-voltaje en la carga se conserve. El voltaje de Thécircuito abierto entre las terminales de la carga una vez que la carga ha sido quitada, y la Resistencia de Thévenin es la resistencia equivalente vista entre las dos terminales abiertas donde estaba la carga. La Figura 4.4.1 (a) muestra el circuito original y la Figura 4.4.1.b muestra el equivalente de Thévenin.

Carga o Resto del circuito

Circuito Original

venin o voltaje de ciruito abierto, es el voltaje de

Pfuentes independientes y elementos resistivos, el segundo cuando además de fuentes independientes y elementos resistivos aparecen también fuentes dependientes y el tercero cuando solo existen fuentes dependientes y elementos resistivos. C E Vmostrado en la Figura 4.4.2 para encontrar el Voltaje de salida Vo usando el Teorema de Thévenin.


+

-VTH

RTH

Equivalente de Thévenin

(a)

(b)Figura 4.4.1

1KΩ

2KΩ

2mA

3V

6KΩ Vo

+

-

Figura 4.4.2



Solución:

ara comenzar debemos enfocarnos en lo que se Pnos pide, es decir para este ejemplo la salida Vo. Además en como se pide la respuesta, para este caso usando el Teorema de Thévenin. Por lo tanto plantearemos nuestra solución, sustituyendo el circuito original por el equivalente de Thévenin con la carga conectada (Figura 4.4.3) y encontrando

VTH

RTH

6KΩ Vo

+

-

Figura 4.2.3 la respuesta.

)(6

6TH

THo V

RKKV+

= que es hacer un simple divisor de voltaje.

ara poder alcanzar nuestra respuesta, es

ara encontrar el voltaje VTH podemos hacer uso de la LKV, entonces VTH será:

TH = 3 + V1, sin embargo el voltaje V1 es también el voltaje entre los terminales del

1 = (2m) (3K) = 6V, así el voltaje de Thévenin será:

TH = 3 + V1 = 3 + 6 = 9V, ahora sólo

omo podemos observar de la Figura 4.4.5 vemos que los dos resistores se encuentran en

TH = 3KΩ

P

1KΩ

2KΩ

2mA

3V

VTHV1

+

-

+

-

Figura 4.2.4

necesario encontrar VTH y RTH lo cual haremos a continuación. Para ello, es necesario retornar al circuito original y quitar la carga, que este caso es el Resistor de 6KΩ y encontrar el voltaje de circuito abierto entre las terminales de donde se quito la carga. Haremos uso del c

ircuito mostrado en la Figura 4.4.4

P VResistor equivalente de 3KΩ, y lo podemos calcular usando la ley de Ohm, ya que la corriente que pasa por él es la misma que la de la fuente de corriente de 2mA, ya que dicha fuente no puede fluir por la otra rama, debido a que ésta se encuentra abierta. Por tanto V1 será: V Vnos hace falta encontrar la Resistencia equivalente de Thévenin, para ello apagaremos todas la fuentes independientes (es decir las fuentes de corrientes se abren y las fuentes de voltajes se cortocircuitan) y encontraremde donde estaba la carga, dicho procedimiento se puede observar en la Figura 4.4.5.

1KΩ

Ω

RTH

2K

Figura 4.4.5 os la Resistencia equivalente entre las terminales

Cserie, por lo tanto la resistencia equivalente entre las terminales abiertas de la carga es : R



Así, ahora estamos listo para encontrar el voltaje de salida Vo

VKK

KVRK

KV THTH

o 6)9(36

6)(6

6=

+=

+=

ircuitos que contienen fuentes independientes y fuentes dependientes

jemplo 4.4.2

ncuentre el equivalente de

olución:

ecesitamos encontrar el circuito equivalente de Thévenin,

etomando el circuito original, el voltaje de Thévenin será el

l voltaje de Thévenin será el

riente ya que esta abierto el terminal. Por lo tanto el

TH = (6) (I) y para encontrar I haremos uso de la LKV a la malla izquierda,

0 + 2I = I (6 +6) entonces I será : I = 2A, por lo tanto el voltaje de Thévenin será:

TH = 6 (2) = 12V

hora necesitamos encontrar la Resistencia equivalente de Thévenin, pero para encontrarla

C E EThévenin entre las terminales a-b del circuito mostrado en la figura 4.4.6. S Ncomo es mostrado en la Figura 4.4.7 Rvoltaje entre las terminales a-b, como puede ser visto en el circuito de la Figura 4.4.8 E voltaje entre las terminales de la segunda resistencia de 6Ω por donde está dibujada la corriente I, ya que por la Resistencia de 10Ω no pasa corvoltaje de Thévenin, se puede calcular usando la ley de Ohm, así V 2 V Acomo hay fuentes dependientes en el circuito, debemos calcular la corriente de cortocircuito entre las terminales a-b, (es decir, se debe cortocircuitar las terminales a-b y encontrar la corriente entre esas terminales) y la Resistencia de Thévenin será:

20V

6Ω 2I

6Ω

10Ω a

b I

Figura 4.4.6

VTH

THa

bFigura 4.4.7

R

2I

6Ω

10Ω a

bI

20V

6Ω

VTH+

-

Figura 4.4.8



coc

THTH I

VR =

20V

6Ω 2I1

6Ω

10Ω a

b

I1IcocV1

+

-

Figura 4.4.9

Para calcular Icoc utilizaremos el circuito de la Figura 4.4.9 Icoc puede ser calculado usando la ley de Ohm y conociendo el voltaje V1, así, Icoc = V1 / 10, entonces tendremos que encontrar V1 para poder obtener el valor de la corriente de cortocircuito, para ello podemos aplicar de la LKV a la malla de la derecha, así, 20 + 2(I1) = (6) (I1 + Icoc) + V1 pero también V1 = (6) (I1) = (10) (Icoc), sustituyendo estos valores en la ecuación de la LKV, obtenemos: 20 + 2(5/3)(Icoc) = 6(10/6)(Icoc) +6(Icoc) + 10(Icoc) 20 = 26(Icoc) - (10/3) (Icoc)

AIcoc 6860

68)3)(20(== entonces la Resistencia de Thévenin será:

12V

13.6Ω a

bFigura 4.4.10

Ω=== 6.13

686012

coc

THTH I

VR Así el equivalente de Thévenin

entre las terminales a-b se muestra en la Figura 4.4.10 Circuitos que contienen sólo fuentes dependientes Ejemplo 4.4.3

10Ω

5Ω

I

a

b

Encuentre el equivalente de Thévenin entre las terminales a-b, para el circuito mostrado en la Figura 4.4.11

2I

Figura 4.2.11 Solución: Cuando en el circuito sólo hay fuentes dependientes, el voltaje de Thévenin o voltaje de circuito abierto es cero y solo existe la Resistencia de Thévenin, en el modelo equivalente de Thévenin. Para calcular la resistencia de Thévenin, se debe poner en las terminales de la carga: una fuente de voltaje de prueba que inyecta una corriente de prueba, o una fuente de corriente de prueba que entre sus terminales tienen un voltaje de prueba, y la resistencia de Thévenin será:



p

pTH I

VR =

Sin embargo para hacer el cálculo más sencillo, se puede elegir un valor de 1V para el voltaje de prueba o de 1A para la fuente de Corriente (aunque puede elegirse cualquier valor, se utiliza el valor unitario por ser más sencillo) y por lo tanto la resistencia de Thévenin será:

pTH I

R 1= si Vp = 1V y necesitaremos encontrar el valor de Ip para obtener el valor de RTH.

o, 1

pTH

VR = si Ip = 1A y necesitaremos encontrar el valor de Vp para obtener el valor

de RTH. Para nuestro ejemplo utilizaremos una fuente de corriente de prueba de 1A que entre sus terminales tiene un voltaje de prueba, que trataremos de encontrar para obtener el valor de la resistencia de Thévenin. Para ello nos auxiliaremos con el circuito de la Figura 4.4.12.

2I1

5Ω

10Ω I1

1A Vp

+

-

I2

Figura 4.4.12

Como la fuente de prueba de 1A esta en paralelo a la resistencia de 10Ω, entonces el voltaje de prueba será igual: Vp = 10 (I1) y aplicando LKC al nodo derecho de arriba vamos a tener: I2 + 1 = I1, entonces I2 = I1 -1, aplicando LKV a la malla de la derecha se obtiene: 2I1 = 5 (I2) + Vp y sustituyendo los valores I2 e I1 en función de Vp se obtiene: 2(Vp/10) = 5(Vp/10) – 1 + Vp multiplicando por un factor 10 toda la expresión se tiene: 2Vp = 5Vp -50 + 10(Vp) así el valor del voltaje de prueba será: Vp = (50/13) V por lo tanto el valor de la resistencia de Thévenin será:

Ω==1350

1p

TH

VR , así el equivalente de Thévenin entre las

terminales a-b del circuito original se muestra en la Figura 4.4.13.

50 13 Ω

a

b Figura 4.4.13



2I1 10Ω

5Ω

1V

Ip

I1

I2

Figura 4.4.14

También pudimos haber usado una fuente de voltaje prueba de 1V que inyecta una corriente de prueba Ip y calcular RTH. Esto lo ilustraremos con el ejemplo anterior. Para ello nos auxiliaremos del circuito mostrado en la Figura 4.4.14 Para calcular la corriente de prueba haremos uso de la LKC aplicado al nodo superior de la Resistencia de 10Ω, así: Ip + I2 = I1 el valor de I2 lo calculamos usando la ley de Ohm, entonces,

512 1

2−

=II y el valor de I1 se obtiene también aplicando la ley de Ohm, I1 = (1/10)V,

ahora sustituyendo estos valores en la ecuación de la LKC, se obtiene:

AI p 5013

50)8(

101

51)10/1(2

101

=−

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−= , entonces la resistencia de Thévenin será:

Ω===1350

501311

pTH I

R , que es el mismo resultado obtenido anteriormente.

4.5 Teorema de Norton El teorema de Norton (Por el científico de los Laboratorios telefónicos Bell E.L: Norton) Plantea que podemos reemplazar todo un circuito con fuente independientes, dependientes y resistencias, excluyendo la carga, por un circuito equivalente que contenga sólo una fuente de corriente independiente (llamado corriente de Norton IN o corriente de corto circuito Icoc,) en paralelo con una resistencia (llamada Resistencia de Norton RN) de tal forma que la relación corriente-voltaje en la carga se conserve. La corriente de Norton o corriente de corto circuito, es la corriente entre las dos terminales de la carga cortocircuitada y la Resistencia de Norton es la resistencia equivalente vista entre las dos terminales abiertas donde estaba la carga. La Figura 4.5.1. (a) muestra el circuito original y la Figura 4.5.1.b muestra el equivalente de Norton.

Circuito Original



I

Eq

N RN

uivalente de Norton

(a)

(b)Figura 4.5.1



Al igual que el Teorema de Thévenin, en este Teorema de Norton también podemos distinguir los tres casos: primero cuando en el circuito sólo existen fuentes independientes y elementos resistivos, el segundo cuando además de fuentes independientes y elementos resistivos aparecen también fuentes dependientes y el tercero cuando solo existen fuentes dependientes y elementos resistivos. Se resuelven usando los mismos procedimientos para calcular la Resistencia de Norton que fueron usados para encontrar la resistencia de Thévenin, lo único que cambia es que tenemos que encontrar la corriente de Norton o corriente de cortocircuito. Para ello utilizaremos los mismos ejemplos que utilizamos para ejemplificar el Teorema de Thévenin. Circuitos que contienen sólo fuentes independientes Ejemplo 4.5.1 Vamos a considerar el circuito mostrado en la Figura 4.5.2 para encontrar el Voltaje de salida Vo usando el Teorema de Norton.

1KΩ

2KΩ

2mA

3V

6KΩ Vo

+

-

Figura 4.5.2 Solución: Para comenzar debemos enfocarnos en lo que se nos pide, es decir para este ejemplo la salida Vo. Además en como se pide la respuesta, para este caso usando el Teorema de Norton. Por lo tanto plantearemos nuestra solución, sustituyendo el circuito original por el equivalente de Norton con la carga conectada (Figura 4.5.3) y encontrando la respuesta.

IN RN 6KΩ Vo

+

-

Figura 4.5.3

)6)((6

KIKR

RV N

N

No += que es aplicar la ley de Ohm, es decir la corriente que pasa por la

resistencia de 6K multiplicada por la resistencia de 6K, pero para encontrar la corriente que pasa por la resistencia de 6K hacemos uso del simple divisor de corriente. Para poder alcanzar nuestra respuesta, es necesario encontrar IN y RN lo cual haremos a continuación. Para ello, es necesario retornar al circuito original y quitar la carga, que este caso es el Resistor de 6KΩ y encontrar la corriente de cortocircuito entre las terminales de donde se quito la carga. Haremos uso del circuito mostrado en la Figura 4.5.4

1KΩ

2KΩ

2mA

3V

IcocV1

+

-

I1

Figura 4.5.4



Para encontrar la corriente Icoc podemos hacer uso de la LKC aplicada al nodo superior de

+ 2m = Icoc, sin embargo podemos observar que la corriente I1 es la misma que pasa por

= (3/3K) = 1mA podemos observar que es positiva ya que la corriente va del potencial

hora ya podemos calcular el valor de la corriente de cortocircuito,

= 1m + 2m = 3mA

hora sólo nos hace falta encontrar la

staba la carga, dicho procedimiento se puede

omo podemos observar de la Figura 4.5.5 vemos que los dos resistores se encuentran en

N = 3KΩ, como podemos observar el resultado es la misma que la Resistencia de

sí, ahora estamos listo para encontrar el voltaje de salida Vo

la fuente de corriente de 2mA, entonces Icoc será: I1la resistencia de 1K y la fuente de voltaje de 3V esta en paralelo a la resistencia equivalente de 3K, por lo tanto podemos aplicar la ley de Ohm para calcular el valor de la corriente I1. I1más alto al potencial más bajo. A Icoc AResistencia equivalente de Norton, para ello apagaremos todas la fuentes independientes (es decir las fuentes de corrientes se abren y las fuentes de voltajes se cortocircuitan) y encontraremos la Resistencia equivalente entre las terminales de donde eobservar en la Figura 4.5.5. Cserie, por lo tanto la resistencia equivalente entre las terminales abiertas de la carga es : RThévenin. A

VKmKK

KKIKR

RV coc

N

No 6)6)(3(

633)6)((

6=

+=

+=

omo podemos observar es el mismo resultado obtenido utilizando el teorema de

ircuitos que contienen fuentes independientes y fuentes dependientes

jemplo 4.5.2

ncuentre el equivalente de

4.5.6.

CThévenin. C E E Norton entre las terminales a-b del circuito mostrado en la figura

1KΩ

2KΩ

RN

Figura 4.5.5

6Ω 2I

6Ω

10Ω a

bI

20V

Figura 4.5.6



Solución: Necesitamos encontrar el circuito equivalente de Norton,

etomando el circuito original, la corriente de Norton será la

puede ser calculado usando la

= V1 / 10, entonces tendremos

0 + 2(I1) = (6) (I1 + Icoc) + V1 pero también V1 = (6) (I1) = (10) (Icoc), sustituyendo estos

0 + 2(5/3)(Icoc) = 6(10/6)(Icoc) +6(Icoc) + 10(Icoc)

0 = 26(Icoc) - (10/3) (Icoc)

IN RN

a

bFigura 4.5.7

como es mostrado en la Figura 4.5.7 Rcorriente de cortocircuito entre las terminales a-b, como puede ser visto en el circuito de la Figura 4.5.8. 2I1

6Ω

10Ω aIcoc

ley de Ohm y conociendo el voltaje V1, así, Icocque encontrar V1 para poder obtener el valor de la corriente de comalla de la derecha, así,

rtocircuito, para ello podemos aplicar de la LKV a la

2valores en la ecuación de la LKV, obtenemos: 2 2

AIcoc 6860

68)3)(20(== . Para calcular la resistencia de Norton, se tendrá que encontrar el

Voltaje de Thévenin o voltaje de circuito abierto ya que,

coc

THN I

VR = , pero en la sección anterior ya habíamos encontrado el voltaje de Thévenin,

donde su valor fue: VTH = 12V, así RN = 13.6Ω igual al valor de RTH. Sin embargo

uando dentro del circuito se encuentren fuentes independientes y dependientes, para

mostraremos otro método para encontrar RN, que también es válido para encontrar RTH. Cencontrar la resistencia equivalente de Thévenin o de Norton, se deben apagar las fuentes independientes (es decir, la fuente de voltaje se cortocircuita y la fuente de corriente se abre) y en lugar de la carga se pone una fuente de voltaje de prueba que inyecta una corriente de prueba o una fuente de corriente de prueba que entre sus terminales tiene un voltaje de prueba, similar que el caso donde solo existen fuentes independientes. Este método será aplicable siempre y cuando la variable dependiente no se encuentre en la

carga, si eso sucede entonces, se tendrá que aplicar el otro método ( THcoc

TH RV

R == ).

valor de 1V para el voltaje de prueba o de 1A para la fuente de Corriente (aunque puede

N ISimilar que en secciones anteriores, para hacer el cálculo más sencillo, se puede elegir un

20V

6Ω

b

I1

IcocV1

+

-

Figura 4.5.8



elegirse cualquier valor, se utiliza el valor unitario por ser más sencillo) y por lo tanto la resistencia de Norton será:

1p

N

VR =

pN I

1= con Vp = 1V o R con Ip =

1 A

ostraremos la aplicación de este método

plicaremos análisis de malla para encontrar la corriente de prueba Ip que será igual al

plicando LKV a la malla a obtenemos:

+ 6) Ia – (6) Ib = 2 I1 pero I1 = Ia - Ib, entonces la ecuación anterior se reduce a :

= (2/5)Ib, (1)

hora aplicamos LKV a la malla b

+ 10) Ib – (6) Ia = -1 y sustituyendo el valor de Ia en función de Ib de la ecuación (1) se

6) Ib – (6)(2/5) Ib = -1 multiplicando por 5 toda la ecuación se tiene:

0)Ib – (12)Ib = -5

= -(5/68) y como Ip = - Ib = (5/68) Por lo tanto La resistencia de Norton será:

6Ω 2I1

6Ω I1

10Ω

1V

Ip

IbIa

Figura 4.5.9

Mpara este ejemplo, para ello utilizaremos el circuito mostrado en la Figura 4.5.9. Donde Vp = 1V y buscaremos Ip para luego encontrar la resistencia de Norton. Avalor negativo de la corriente de malla Ib A (6 Ia A (6obtiene: (1 (8 Ib

Ω==== 6.13568

68511

pN I

R , que es la misma respuesta

obtenida anteriormente.

sí el equivalente de Norton entre las terminales a-b se 6068

13.6Ω

b

A

a

Figura 4.5.10

Amuestra en la Figura 4.5.10



Circuitos que contienen sólo fuentes dependientes

jemplo 4.5.3

ncuentre el equivalente de Norton entre las terminales

olución:

uando en el circuito sólo hay fuentes dependientes, la corriente de Norton o corriente de

5ΩE

2I 10Ω

I

a

bFigura 4.5.11

Ea-b, para el circuito mostrado en la Figura 4.5.11 S Ccortocircuito es cero y solo existe la Resistencia de Norton, en el modelo equivalente de Norton. Para calcular la resistencia de Norton, se procede de la misma forma que hizo para obtener el equivalente de Norton en la sección anterior o como se procedió en el ejemplo anterior, es decir, se debe poner en las terminales de la carga: una fuente de voltaje de prueba que inyecta una corriente de prueba, o una fuente de corriente de prueba que entre sus terminales tienen un voltaje de prueba, y la resistencia de Norton será:

p

pTH I

VR =

ue para hacer el cálculo más sencillo, se puede elegir un valor de 1V para el voltaje de Q

prueba o de 1A para la fuente de Corriente (aunque puede elegirse cualquier valor, se utiliza el valor unitario por ser más sencillo) y por lo tanto la resistencia de Norton será:

1p

N

VR =

pN I

1= si Vp = 1V o, R si Ip = 1A

Para nuestro ejemplo utilizaremos una

omo la fuente de prueba de 1A esta en paralelo a la resistencia de 10Ω, entonces el voltaje

p = 10 (I1) y aplicando LKC al nodo derecho de arriba vamos a tener:

+ 1 = I1, entonces I2 = I1 -1, aplicando LKV a la malla de la derecha se obtiene:

I1 = 5 (I2) + Vp y sustituyendo los valores I2 e I1 en función de Vp se obtiene:

fuente de corriente de prueba de 1A que entre sus terminales tiene un voltaje de prueba, que trataremos de encontrar para obtener el valor de la resistencia de Norton. Para ello nos auxiliaremos con el circuito de la Figura 4.5.12. Proceso que ya fue hecho en al sección del Teorema de Thévenin.

Cde prueba será igual: V I2 2

2I1

5Ω

10Ω I11A Vp

+

-

I2

Figura 4.5.12



2(Vp/10) = 5(Vp/10) – 1 + Vp multiplicando por un factor 10 toda la expresión se tiene:

Vp = 5Vp -50 + 10(Vp) así el valor del voltaje de prueba será:

p = (50/13) V por lo tanto el valor de la resistencia de Norton será:

2 V

a

Ω==1350

1p

N

VR , así el equivalente de Norton entre las terminales

a-b del circuito original se

ambién pudimos haber usado una fuente de

.6 Teorema de Máxima Transferencia de Potencia

l teorema de Máxima Transferencia de Potencia establece que la potencia máxima

a eficiencia de la transferencia de potencia se define como la razón de la potencia

50 13 Ω

b muestra en la Figura 4.5.13.

Figura 4.5.13

T voltaje prueba de 1V que inyecta una corriente de prueba Ip y calcular RN. Esto puede ser leído de la sección anterior (Teorema de Thévenin) es idéntico, con la excepción de poner RN en lugar de RTH 4 Eentregada a la carga por una fuente representada por su circuito equivalente de Thévenin, se alcanza cuando la carga Rc es igual a la resistencia de Thévenin RTH. Lentregada a la carga, Psal, a la potencia entregada por la fuente, Pent. Por tanto la eficiencia es:

ent

sal

PP

=η

emostraremos lo que establece el teorema de

a potencia en la carga es: Pc = I2(Rc) y la corriente

Dmáxima transferencia de potencia. Para elo utilizaremos los circuitos mostrados en la Figura 4.6.1

Circuito Original

Carga

VTH

RTH

Rc

I

Equivalente de Thévenin

(b) Figura 4.6.1

(a)

LI es:

cTH

TH

RRVI+

= , que sustituyendo en la potencia en

la carga se obtiene:

ccTH

THc R

RRV

P2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=



Suponiendo que VTH y RTH son constantes para una fuente dada, la potencia máxima será función de Rc. Para calcular el valor de Rc que maximiza la potencia, se usa el calculo diferencial para determinar el valor de Rc para el que la derivada (dP/dRc) es igual a cero.

0)(

)(2)(4

22

=+

+−+=

cTH

ccTHcTHTH

c RRRRRRRV

dRdP

La derivada es cero cuando

0)(2)( 2 =+−+ ccTHcTH RRRRR , factorizando 0)2)(( =−++ ccTHcTH RRRRR

0)( 22 =− cTH RR

cTH RR = , por lo que queda demostrado lo establecido por el teorema.

Ahora la potencia máxima transferida a la carga será: c

TH

c

cTHc R

VR

RVP4)2(

2

2

2

max ==

También puede utilizarse el equivalente de Norton, para el cual la potencia máxima transferida a la carga será:

4

2

maxcN

cRI

P =

Ejemplo 4.6.1

2mA 3V3KΩ

4KΩ 6KΩ

Rc

Figura 4.6.2

Para el circuito mostrado en la Figura 4.6.2 encuentre el valor de la resistencia de carga para máxima transferencia de potencia y la potencia máxima transferida a la carga. Solución: Primero tenemos que obtener el equivalente de Thévenin entre las terminales de la carga Rc, para obtener el valor de dicha carga para transferencia máxima de potencia, donde Rc = RTH. Entonces para obtener el equivalente de Thévenin nos auxiliaremos del circuito en la Figura 4.6.3.

2mA 3KΩ 3V

4KΩ 6KΩ

VTH+ -

I1 I2

Figura 4.6.3 Para encontrar el voltaje de Thévenin haremos uso del análisis de malla, entonces el voltaje de Thévenin será:



VTH = V4K + V6K con el V4K = (4K) I1 y V6K = (6K) I2 Si observamos la malla 1 coincide con la fuente de corriente de 2mA, entonces tenemos una ecuación de restricción, I1 = 2mA Ahora aplicamos la LKV a la malla dos, para obtener: (3K + 6K) I2 – (3K) I1 = -3 y sustituyendo el valor de I1 se obtiene: (9K) I2 = -3 + 6 = 3 por lo tanto I2 = (1/3) mA, ahora ya podemos calculara el voltaje de Thévenin,

4KΩ

3KΩ

6KΩ

RTH

Figura 4.6.4

VTH = (4K) I1 + (6K) I2 = 8 + 2 = 10V Para calcular la resistencia equivalente de Thévenin, haremos uso del circuito mostrado en la Figura 4.6.4 Observando el circuito mostrado en la Figura 4.6.4 vemos que las resistencias de 6K y 3K están en paralelo y su equivalente esta en serie con la resistencia de 4K, entonces, RTH = (6K⎪⎪3K) + 4K = 2K + 4K = 6KΩ Por lo tanto la resistencia de carga para máxima transferencia es igual a la resistencia de Thévenin, así Rc = RTH = 6KΩ.

La potencia máxima transferida a la carga es: mWKR

VPc

THc 6

25)6(4

104

22

max ===

Sin embargo no es necesario recordar esta formula, para poder dar nuestra respuesta, basta recordar la formula de la potencia y aplicarla al circuito equivalente de Thévenin, como se muestra en la Figura 4.6.5 La potencia en la carga es:

cc RIP 2= , pero sustituyendo el valor de la corriente I y metiendo valores se obtiene:

mWKK

RRR

VP c

cTH

THc 6

2561210 22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

Ejemplo 4.6.2 Para el circuito mostrado en la Figura 4.6.6 encuentre el valor de la resistencia de carga para máxima transferencia de potencia y la

10V

6KΩ

6KΩI

Figura 4.6.5

3KΩ

1KΩ

4mA

2KIx

2KΩ

4KΩ

Rc

Ix

Figura 4.6.6



potencia máxima transferida a la carga. Solución: Primero tenemos que obtener el equivalente de Thévenin entre las terminales de la carga Rc, para obtener el valor de dicha carga para transferencia máxima de potencia, donde Rc = RTH. Entonces para obtener el equivalente de Thévenin nos auxiliaremos del circuito en la Figura 4.6.7. Si observamos el circuito, vemos que por la resistencia de 4K no pasa corriente porque su extremo esta abierto, entonces el voltaje de Thévenin aparece en las terminales de la resistencia de 2K, así dicho será: VTH = (2K) I2 Tenemos una ecuación de restricción I1 = -4mA Aplicando la LKV a la supermalla obtenemos: (3K +1K + 2K) I2 + (3K + 1K) I1 = (2K)Ix, pero Ix = I2, entonces, (4K) I2 = -(4K) I1, por lo tanto I2 = -I1 = 4mA, entonces, VTH = (2K) I2 = 8V Ahora necesitamos encontrar la resistencia equivalente de Thévenin, para ello nos auxiliaremos del circuito mostrado en la Figura 4.6.8. Suponemos que Vp =1V, entonces RTH = (1/Ip) Va = 1V y la ecuación del supernodo es: Vb – Vc = (2K) Ix, pero Ix = (Vb/2K), entonces Vb – Vc = (2K) (Vb/2K) = Vb, de donde resulta que Vc = 0V Aplicando LKV al supernodo se obtiene: (1/4K) Vc + (1/2K + 1/4K) Vb – (1/4K)Va = 0, como Vc = 0, este término desaparece de la ecuación y multiplicando por 4K toda la ecuación se obtiene:

3KΩ

1KΩ

4mA

2KIx

2KΩ

4KΩ

Ix

VTH

+

-I I2

Figura 4.6.7

1

4KΩ

2KIx

2KΩ

4KΩ

1V

I

c b a

Ix

p

Figura 4.6.8



3Vb – 1(1) = 0 entonces, Vb = (1/3)V, ahora podemos calcular Ip usando la ley de Ohm

mAKK

VVI ba

p 61

4)3/1(1

4=

−=

−= , así la resistencia equivalente de Thévenin será:

Ω== KI

Rp

TH 61

Así, Rc = RTH = 6KΩ para máxima transferencia de potencia. La potencia máxima transferida a la carga será:

mWKR

VPc

THc 3

8)6(4

84

22

max ===

4.7 Problemas Resueltos Ejemplo 4.7.1 Para el circuito que se muestra en la figura 4.7.1.(a), encuentre la corriente Io usando linealidad y la suposición que Io = 1mA.

2mA

3KΩ

3KΩ 4KΩ

4KΩ

8KΩ

Io

V1V2

I1

I3

I22mA

3KΩ

3KΩ 4KΩ

4KΩ

8KΩ

Io

(a) (b)Figura 4.7.1

Solución: Como Io = 1mA, entonces V1 = 4V, y podemos calcular la corriente I1, I1 = V1 /12K = 1/3 mA, entonces aplicando LKC al nodo 1 obtenemos que I2 = I1 + Io, I2 = 4/3 mA, podemos entonces conocer el voltaje V2 haciendo LKV, V2 = I2(3K) + V1 = 8V, entonces I3 = V2/3K = 8/3 mA , así la corriente de la fuente será: If = I2 + I3 = (4/3m) + (8/3m) = 4mA, sin embargo la fuente es de 2 mA, lo que quiere decir que la corriente Io = 1mA es producida por una fuente de corriente de 4mA, pero como la



fuente del circuito es de 2mA, entonces la corriente Io debe ser un factor (1/2) de la corriente asumida, es decir la respuesta es: Io = (1/2)(1mA) = ½ mA Ejemplo 4.7.2

20KΩ

12V

3mA

4KΩ

12KΩ 9mA

I

Figura 4.7.2

Para el circuito que se muestra en la figura 4.7.2, encuentre la corriente I usando el principio de superposición. Solución: Para encontrar nuestra respuesta tendremos que usar superposición y como tenemos tres fuentes independientes, dividimos el circuito en tres circuitos independientes para encontrar la contribución de cada una de las fuentes y luego sumar las contribuciones, como es mostrado en la figura 4.7.3

Encontremos I1, que es la contribución de la fuente de voltaje de 12V, figura 4.7.3 (a), tenemos una sola malla y aplicamos la ley de Ohm para obtener:

mAK

I31

3612

1 −=−

=

Ahora encontremos la contribución de la fuente de corriente de 3mA, figura 4.7.3 (b), tenemos un divisor de corriente, así:

mAmKKI

34)3(

3616

2 ==

Por último la contribución de la fuente de corriente de 9mA, figura 4.7.3 (c), tenemos otro divisor de corriente, así:

mAmKKI 3)9(

3612

3 −=−=

12V 4KΩ

12KΩ 20KΩ I1

4KΩ

12KΩ20KΩ 3mA

4KΩ

12KΩ 20KΩ 9mA I2 I3

(a)

Figura 4.7.3 (b) (c)



Ahora nuestra respuesta es la suma de la tres contribuciones, así: I = I1 + I2 + I3 = (-1/3m) + (4/3m) – 3m = -2mA Ejemplo 4.7.3 Para el circuito que se muestra en la figura 4.7.4, encuentre el voltaje Vo, usando el principio de transformación de fuentes, si la corriente I = 5/2 A. Solución: Primero transformaremos la fuente corriente de corriente de 2A en paralelo con una Resistencia de 16Ω, en una fuente de Voltaje de 32Vcon su Resistencia serie de 16Ω, también las Resistencias de 6Ω y 3Ω que se encuentran en paralelo en el extremo derecho del circuito la reducimos en una Resistencia de 2Ω, que a su vez queda en serie con la Resistencia de 10Ω, formando una Resistencia equivalente de 12Ω, que se encuentra en paralelo con la fuente de corriente de 3A, que la transformamos, en una fuente de voltaje de 36V con una Resistencia serie de 12Ω, entonces nuestro circuito resultante, es como se muestra en la figura 4.7.5:

2A 16Ω

3A

8V

20Ω Vo

12Ω

3Ω

6Ω

10Ω

7ΩI

Figura 4.7.4

36V 12Ω

7

8V

20

Ahora las dos fuentes de voltaje de 32V y 8V se encuentran en serie y las podemos reducir a una sola fuente de 24V por sus polaridades, y las Resistencias de 20Ω y 16Ω las podemos reducir a su equivalente de 36Ω, entonces esa fuente de voltaje en serie con una Resistencia, la transformamos en una fuente de corriente de 2/3 A en paralelo con una Resistencia de 36Ω, como es mostrado en la figura 4.7.6: Luego, las Resistencias de 36Ω y 12Ω, por encontrarse en paralelo la podemos reducir a su equivalente de 9Ω y la fuente corriente de 2/3 A en paralelo con la Resistencia de 9Ω la podemos transforma en una fuente de voltaje de 6V en serie con una Resistencia de 9Ω, como emostrado en la figura 4.7.7:

s

32V

16Ω

Ω12ΩVo I Ω

Figura 4.7.5

36V 12Ω

7ΩI Vo

2/3 A 36Ω 12Ω

Figura 4.7.6

7ΩI Vo

36V 12Ω

6V

9Ω

Figura 4.7.7



Ahora tenemos una sola malla y la corriente I conocida, podemos aplicar la LKV y obtener nuestra respuesta, así: 6 + 36 + Vo = (5/2)(28) = 70, entonces, Vo = 28V Ejemplo 4.7.4

20V 2A 4Ω

4Ω

8Ω

a

bFigura 4.7.8

Para el circuito mostrado en la figura 4.7.8 encuentre el equivalente entre las terminales a-b. Solución Tenemos que llegar a obtener el circuito mostrado en la figura 4.7.9 Para ello haremos uso de la transformación de fuente y buscar primero el voltaje de Thévenin entre las terminales a-b, transformaremos la fuente de voltaje de 20V en serie con la Resistencia de 4Ω, a una fuente de corriente de 5A en paralelo con la Resistencia de 4Ω, como es mostrado en la Figura 4.7.4.2 (a) a, como podemos observar, las dos fuentes se encuentran en paralelo y poder reducirla a una sola fuente de corriente de 3A y luego volver a transformarla a una fuente de voltaje de 12V en serie con la Resistencia de 4Ω, como se muestra en la figura 4.7.10 (b).

VTH

RTH

Figura 4.7.9

5A 2A 4Ω 8Ω

4Ω VTH

+

-

4Ω

4Ω

8ΩVTH

+

- 12V

(a) Figura 4.7.10

(b)

Ahora podemos calcular fácilmente el voltaje de Thévenin haciendo un simple divisor de voltaje, así:

VVTH 3)12(164

==

4Ω

4Ω

8Ω RTH

Figura 4.7.11

Luego para encontrar la Resistencia equivalente de Thévenin, haremos uso del circuito mostrado en la figura 4.7.4.11 Así la Resistencia equivalente de Thévenin es: RTH = 4||12 = 3Ω



Ejemplo 4.7.5

20V

10V

3Ω 6Ω

1Ω

2Vx

a Vx

b

+ -

Figura 4.7.12

Para el circuito mostrado en la figura 4.7.12 encuentre el equivalente de Thévenin entre las terminales a-b. Solución: Tenemos que llegar a obtener el circuito mostrado en la figura 4.7.13

VTH

RTH

Figura 4.7.13 Ahora para encontrar el voltaje VTH, transformaremos la fuente de corriente controlada 2Vx en paralelo con la resistencia de 1Ω, en una fuente de voltaje controlada de 2Vx en serie con la Resistencia de 1Ω, como es mostrado en la figura 4.7.14 Ahora el voltaje VTH se puede calcular haciendo una LKV en la malla derecha del circuito, así: VTH = 6I + 10, pero I = Vx/3, entonces VTH = 2Vx + 10, tendremos que encontrar el voltaje Vx para dar nuestra respuesta, Como tenemos una sola malla, aplicaremos la ley de Ohm para obtener I, así:

10210 xV

I+

= , sustituyendo I = Vx/3, obtenemos 10Vx = 30 + 6Vx, así:

Vx = 7.5V y entonces VTH = 25 V Ahora para calcular la Resistencia de Thévenin nos auxiliaremos del circuito mostrado en la Figura 4.7.15 La Resistencia de Thévenin será RTH = VTH/Icoc. Para encontrar Icoc aplicaremos la LKC al nodo superior del cortocircuito, así: Icoc = (10/6) + I´, pero I´= V´x/3, para encontrar V´x aplicaremos la LKV a la malla de la izquierda en el circuito, entonces: 20 + V´x =I´(1) = V´x/3, entonces 60 + 3V´x = V´x, así V´x = -30V, entonces I¨= -10, por lo tanto, Icoc = (5/3) -10 = -25/3 y RTH = -3Ω

VTH20V

10V

3Ω 6Ω

1Ω 2Vx

Vx+

+

-

-

I

Figura 4.7.14

Icoc20V

10V

3Ω 6Ω

1Ω 2V´x

V´x+ -

I´

Figura 4.7.15



Ejemplo 4.7.6

2KIx

2KΩ 3KΩ

1KΩ 2KΩ

a

bIx

Figura 4.7.16

Para el circuito mostrado en la figura 4.7.16 encuentre el equivalente de Thévenin entre las terminales a-b. Solución: Para este circuito, el equivalente es sólo la Resistencia de Thévenin, que para encontrarla haremos uso del circuito mostrado en la Figura 4.7.17 La Resistencia de Thévenin será RTH = 1/Ip, donde el voltaje de prueba se ha asumido con 1V, entonces tendremos que encontrar Ip.

2KIx

2KΩ 3KΩ

1KΩ 2KΩ Ix

1V

Ipa

Figura 4.7.17

KV

KI a

p 31

21 −

+= , entonces necesitaremos encontrar el voltaje del nodo a, para ello

aplicaremos la LKC al nodo a:

01312

21

31

11

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

KKI

KV

KKK xa , e Ix = Va/1K, multiplicando por 6K y

sustituyendo Ix, tenemos:

02)6()263( =−−++ aa VV , entonces Va = 2/5 V, insertamos este valor en Ip para obtener: Ip = 7/10 mA, por lo tanto RTH = 10/7 KΩ Ejemplo 4.7.7

6KΩ 2.5mA

2KIx 4KΩ

3KΩ

1KΩa

b

Ix

Figura 4.7.18

Para el circuito mostrado en la figura 4.7.18 encuentre el equivalente de Norton entre las terminales a-b. Solución:

RNIcoc

Figura 4.7.19

Tenemos que llegar a obtener el circuito mostrado en la figura 4.7.19



Para encontrar la corriente de cortocircuito Icoc, utilizaremos el circuito de la figura 4.7.20 En este circuito se muestra la transformación de la fuente de corriente de 2.5mA con la Resistencia en paralelo de 6KΩ, a la respectiva fuente de voltaje de 15V en serie con la Resistencia de 6KΩ. Ahora podemos calcular, la corriente de cortocircuito encontrando primero el voltaje a través de la Resistencia de 1KΩ, para luego aplicar la ley de Ohm.

2KIx 4KΩ 1KΩ

3KΩ Ix

15V

6KΩ

Icoc

Figura 4.7.20

El voltaje de la Resistencia de 1KΩ, es el mismo que el de la Resistencia de 3KΩ, para calcular es necesario reemplazar el paralelo que forman ambas Resistencias por su equivalente y aplicar un divisor de voltaje para encontrar dicho voltaje. Entonces: 1KΩ||3KΩ = ¾ KΩ, ahora el voltaje de 1KΩ es:

)215(10)4/3(

)4/3(1 xK KI

KKKV −+

= , pero como Ix = V1K/3K, entonces,

)3215(

433

11 KK VV −= , de donde podemos despejar V1K = 1V, así Icoc = V1K/1K = 1mA

2KI´x 4KΩ 1KΩ

3KΩ I´x

Ahora procederemos encontrar la Resistencia de Norton que es equivalente a la Resistencia de Thévenin, RN = VTH/Icoc, para ello necesitamos encontrar el voltaje de Thévenin., para ello haremos uso del circuito mostrado en la figura 4.7.21

15V

6KΩ

VTH

+

-

Figura 4.7.21

Como podemos observar del circuito, debido a que no circula corriente a través de la Resistencia de 1KΩ, el voltaje de Thévenin, es el mismo que el de la Resistencia de 3KΩ, entonces para encontrarlo solo basta hacer un divisor de voltaje, así:

)215(103

3 ´xTH KI

KKKV −+

= ´, pero I´x = VTH/3K, entonces,

)3215(

133 ´

xTH IV −= , de donde podemos despejar VTH = 3V, por lo tanto:

RN = 3/(1m) = 3KΩ



Ejemplo 4.7.8

16V

2Ω0.9A

10Ix

3Ω RC

Ix

Figura 4.7.22

Para el circuito mostrado en la figura 4.7.22 encuentre la potencia máxima en la Resistencia de carga RC, si ésta cumple para máxima transferencia de potencia promedio. Solución: Para que la Resistencia de carga cumpla con la condición de Máxima Transferencia de Potencia, tenemos que encontrar la Resistencia equivalente de Thévenin y entonces la Resistencia de carga tomará este valor, para luego encontrar la potencia máxima transferida a esa carga. Para encontrar la resistencia de Thévenin, tendremos que encontrar el voltaje de Thévenin y la corriente de cortocircuito ( RTH = VTH/Icoc), Comenzaremos encontrando el voltaje de Thévenin, para eso utilizaremos el circuito mostrado en la figura 4.7.23

0.9A

10IxIx

16V 3Ω 2Ω

VTH

+

-

Figura 4.7.23

Observando el circuito, vemos que el voltaje de Thévenin es el voltaje que aparece en las terminales de la Resistencia de 3Ω y aplicando la ley de Ohm, obtenemos que el voltaje de Thévenin es : VTH = (3)10Ix = 30Ix, y para encontrar el valor de Ix haremos uso de la LKC en el nodo superior de la fuente corriente, así: Ix + 0.9 = 10Ix, despejando obtenemos que Ix = 0.1A, entonces VTH = 3V Ahora necesitamos encontrar la corriente de cortocircuito, para ello nos auxiliaremos del circuito mostrado en la figura 4.7.24 0.9A

10I´xI´x

16V 3Ω 2Ω

Icoc

Figura 4.7.24

Como podemos observar del circuito la corriente Icoc es igual al valor de la fuente de corriente controlada, es decir: Icoc = 10I´x, y para encontrar I´x utilizaremos la LKC aplicada al nodo superior de la fuente de corriente de 0.9A, así: I´x + 0.9 = 10I´x, despejando obtenemos I´x = 0.1ª, entonces Icoc = 1A, así RTH = 3Ω, por lo tanto, RC = RTH = 3Ω, y la potencia máxima transferida a esa carga es:

WR

VRR

VRIPC

THC

C

THCC 75.0

44

2

2

22 ====



4.8 Problemas Propuestos

Figura 4.8.1

500Ω

Io

1KΩ 4.8.1 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.1, encuentre Io usando la linealidad.

0.6mA 2K

Respuesta: Io = 0.15mA

4.8.2 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.2, encuentre V1 usando la linealidad. Respuesta: V1 = 8V

4.8.3 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.3, encuentre Io usando la linealidad. Respuesta: Io = 0.5mA

4.8.4 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.4, encuentre Io usando la linealidad. Respuesta: V1 = 8V

4.8.5 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.5 encuentre I usando la linealidad y las suposición de que I = 1mA. Respuesta: I = 3mA

4.8.6 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.6 encuentre V usando la linealidad y las suposición de que V = 1V. Respuesta: I = (4/3)V

12V

8KΩ

4K 6KΩ

6KΩ 2KΩ V

+

-

Figura 4.8.6

Ω 3KΩ 2KΩ

V1

+

-

Figura 4.8.2

4Ω 8Ω

12A 4Ω 24Ω 4Ω

Figura 4.8.3

3KΩ

Io

4KΩ

2mA 3KΩ 4KΩ 8KΩ

Figura 4.8.4

1KΩ

I

2KΩ

VF 1KΩ

2KΩ

2KΩ 1KΩ

6mA

4KΩ 2KΩ

6KΩ 3KΩ

I8KΩ

Figura 4.8.5



4.8.7 Para el circuito mostrado en la figura

espuesta: VF = 20KV, I = (1/20)A

.8.9 Para el circuito mostrado en la figura

espuesta: Vo = R(0.333I1-I2)V


espuesta: I = (33/17)A


espuesta: I2 = 1.3A

.8

espuesta: Vo = 8V

.8.13 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.13,

espuesta: V1 = 5V

24

4.8.7, encuentre VF si I = 1A y si VF = 1KV encuentre I. R

44.8.9, encuentre Vo usando el principio de superposición. R

44.8.10, encuentre I usando el principio de superposición. R

44.8.11, encuentre I2 usando el principio de superposición. R

4 .12 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.12 encuentre el voltaje Vo, usando superposición. R

4encuentre V1 usando el principio de superposición. R

12V

3KΩ

8KΩ

Vo

6KΩ 2mA 2KΩ

+ -

Figura 4.8.12

Figura 4.8.7

Ω

Io

4Ω

4V 75Ω 80Ω 20Ω

Figura 4.8.9

2R

Vo

R

I1 I2

-2RR

+

6Ω

2Ω 3

3A

Figura 4.8.10

12VI

Ω

3Ω

100V

Figura 4.8.11

1A 20Ω 30Ω I2

0.5A

2A

Figura 4.8.13

V1+ -

18V

2Ω

6Ω

6V

3Ω



4.8.14 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.14,

espuesta: Vx = (13/6)V

.8.15

espuesta: Io = 0.923mA

.8.16

espuesta:, Vx = 15V

.8.17 Para el circuito mostrado en la

espuesta:, Vo = 82.56V


espuesta:, Vx = 26V .8.19 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.19,

espuesta:, IL = 2.6A

1mA

Figura 4.8.14

4KΩ 2KΩ

+Vx

3V

-

1KΩ

2K

encuentre Vx usando el principio de superposición. R Ω

20V

Figura 4.8.15

1mA

Io

5KΩ

15KΩ

10KΩ 5KΩ

10KΩ10V

4 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.15, encuentre Io usando el principio de superposición. R

Figura 4.8.16

Vx

+

-

2I1

I1

6A

12V

14 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.16, encuentre Vx usando el principio de superposición.

Ω

R

4A 20Ω

10Ω 60V

30Ω 0.4I1VoI1

+

-

Figura 4.8.17

4figura 4.8.17 encuentre el voltaje Vo, usando superposición. R

44.8.18 encuentre el voltaje Vx, usando superposición.

3Vx

2Ω Vx

4A3Ω

5Ω 5Ω

10V

+ -

Figura 4.8.18 R

2Ω 4encuentre IL usando el teorema de transformación de fuentes.

6V

Figura 4.8.19

IL 4A 8Ω

R



4.8.20 Para el circuito mostrado en la

espuesta:, I = 1.125A

.8.21

espuesta:, IL = 8.76mA

.8.22

espuesta:, Io = -0.3A

.8.23 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.23

espuesta:, Vo = 2V

.8.24 Para el circuito mostrado en

espuesta:, Vo = 3V .8.25 Para el circuito mostrado en la figura

espuesta:, I = -2mA

4KΩ

figura 4.8.20, encuentre I usando el teorema de transformación de fuentes. R

4 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.21, encuentre IL usando el teorema de transformación de fuentes. R

4 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.22 encuentre la corriente Io, usando transformación de fuentes. R

4encuentre la corriente Io, usando transformación de fuentes. R

4la figura 4.8.24 encuentre la corriente Io, usando transformación de fuentes. R

44.8.25, encuentre I usando el teorema de transformación de fuentes. R

6V

2KΩ 2mA 2KΩ

6KΩ

3VIo

Figura 4.8.22

12V

6KΩ

3KΩ

8KΩ

4KΩ Vo

2KΩ

2mA

+

-

Figura 4.8.23

6mA 1K4Ω

600Ω 1.4V

3KΩ 1mA Vo

+

-

Figura 4.8.24

Figura 4.8.20

5A 5Ω

5Ω

10ΩI

10Ω

2A5Ω

Figura 4.8.21

IL

30V

2KΩ

40V 20V

3KΩ

2KΩ

12V 4KΩ

Figura 4.8.25

9mAI

3mA 12KΩ 20KΩ



4.8.26 Para el circuito mostrado en la figura

espuesta:, I = 3.5mA

.8.27 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.27 encuentre

espuesta:, VTH = 75V, RTH = 12.5Ω


espuesta:, VTH = 3V, RTH = 3Ω


espuesta:, VTH = 21V, RTH = 18Ω

.8

espuesta:, VTH = -30V, RTH = 72Ω


espuesta:, VTH = 12V, RTH = 4KΩ,

4.8.26, encuentre IL usando el teorema de transformación de fuentes. R

Figura 2.12.35

2K

15mA

Ω I

15V

6KΩ

4KΩ

30mA 12KΩ

50V

15Ω

10Ω

100V

25Ω

a

b Figura 4.8.27

4el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b. R

20V

4Ω

2A 4Ω

8Ω

a

b

Figura 4.8.28

44.8.28 encuentre el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b. R

8Ω 2Ω4

Figura 4.8.29

2A

10Ωb

12V 24Ω

a4.8.29, encuentre el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b. R

50V 60Ω a

20Ω

4 .30 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.30, encuentre el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b.

40Ω20 30Ω Ω

bRFigura 4.8.30

12V

3KΩ

8KΩ

Vo

6KΩ 2mA 2KΩ

+ -

Figura 4.8.31

4figura 4.8.31 use el teorema de Thévenin para encontrar Vo. R

Vo = 8V




espuesta:, VTH = 11V, RTH = (77/6)Ω

.8.33

espuesta:, VTH = 16V, RTH = (16/3)Ω

.8.34 Para el circuito m

espuesta:, VTH = 38.885V, RTH = 177.76Ω


espuesta:, Vo = -(36/13)V


espuesta:, VTH = 2V, RTH = (7/3)KΩ, Isc = (6/7)mA, Vo = (12/13)V


espuesta:, VTH = 12V, RTH = 5KΩ,

9V

a2Ω

2A 1

figura 4.8.32, encuentre el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b. R

4 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.33, encuentre el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b R

4 ostrado en la figura 4.8.34 encuentre el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b. R

Isc = 0.21875A

44.8.35, encuentre Vo usando el equivalente de Thévenin. R



Isc = 2.4mA, Vo = 2V

2Vx/1K 2KΩ

12V 2KΩ

2KΩ 2KΩ Vo+

-

+

-Vx

Figura 4.8.36

12V

4KΩ 4KΩ

4KΩ

1KΩIx

2Ix Vo

+

-

Figura 4.8.37

Figura 4.8.32 b

Ω 3Ω

9V

3V 4Ω

bFigura 4.8.33

40V

6I a

10Ω

8Ω

I

40Ω 100Ω

200Ω 20V 1.5I1

a

bI1

Figura 4.8.34

+ - V

Figura 4.8.35 -

+

6KΩ Vx

4KΩ 4KΩ

12V

x

2

Vo




espuesta:, VTH = -2V, RTH = (32/3)KΩ


espuesta:, VTH = 6V, RTH = 7KΩ

.8.40 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.40, encuentre

espuesta:, RTH = (2/5)Ω


espuesta:, RTH = 3Ω


espuesta:, RTH = (18/5)KΩ .8.43 Para el circuito mostrado en la

espuesta:, RTH = 192.30Ω

Figura 4.8.38

- +

2K

figura 4.8.38, encuentre Vo usando el equivalente de Thévenin. R

Isc =-(3/16)mA, Vo = -(6/19)V

4figura 4.8.39, encuentre Vo usando el equivalente de Thévenin. RIsc = (6/7)mA, Vo = (24/11)V

4el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b R

4 ostrado en la figura 4.8.41, encuentre el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b. R

4 ostrado en la figura 4.8.42 encuentre el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b. R

4figura 4.8.43 encuentre el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b. R

2KΩ 3KΩ

1KΩ 4Vx/1K Vx

+

-

a

bFigura 4.8.42

50Ω

200Ω 100Ω0.01Vab

ab

Vab

a

b

+

-

Figura 4.8.43

0.2V

Figura 4.8.40 b

a

2Ω

2Vab

4Ω

Figura 4.8.41 b

a

6Ω

V1

4Ω 6Ω

+ - 15V1

Ω Vx

4KΩ 4KΩ

+

-12V6V

1K

Vo

2KΩ

Vx

Figura 4.8.39

-

+

2KΩ

2KIx

4KΩ

6KΩ

3mA 6V Vo

4KΩ

Ix



4.8.44 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.44

espuesta:, RTH = -9Ω


espuesta:, RTH = (28/15)KΩ

.8.46

espuesta:, IN = -1.5A, RN = 60Ω


espuesta:, IN = 2mA, RN = 3KΩ, Io = 1.2mA

.8.48

espuesta:, IN = (21/8)A, RN = (4/9)Ω


espuesta:, IN = -0.15A, RN = 6.44KΩ

Ω 3Ω

3Ω

4Vx

0.5IxVx

+

-

a

encuentre el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b.

2Ix

R b

Figura 4.8.45 b

a

1KΩ + Vx

2KΩ

2Vx

4KΩ

-

1KΩ 2KΩ Figura 4.8.44 4encuentre el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b. R

4 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.46, encuentre el equivalente de Norton entre las terminales a y b. R

44.8.47 use el teorema de Norton para encontrar Io. R

4 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.48 encuentre el equivalente de Norton entre las terminales a y b. R

4figura 4.8.49, encuentre el equivalente de Norton entre las terminales a y b R

6KΩ 3KΩ

2KΩ 3KΩ6V 2mA Io

Figura 4.8.47 1/2Ω 1/4Ω

1/2ΩV Vx/2Vx

+

-

a

Figura 4.8.48

Figura 4.8.46

2A

60Ω

40V

15Ω

180

3

b

b

Ω

a

805Ω

Figura 4.8.49 b

12V

a

40Ω2Vab 10II



128


espuesta:,RN = 10.6382Ω


espuesta:, RN = 2KΩ

espuesta:, VTH = 3.6V, RL = 60Ω, PMTL =54mW


espuesta:, VTH = (16/3)V, RL = 2.22KΩ,


espuesta:, VTH = 9.5V, RL = 3.5Ω,


espuesta:, RL = 600Ω, PMTL =38.4mW

50Ω

100Ω 200Ω 0.1V1V1

+

-

a

b

Figura 4.8.50

44.8.50 encuentre el equivalente de Norton entre las terminales a y b. R

2KΩ 4

b a 4KΩ

1KΩ 2KΩ 2K Vx

encuentre el equivalente de Norton entre las terminales a y b. Vx

R

4.8.52 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.52 encuentre la Resistencia R, para máxima transferencia de potencia promedio y la potencia máxima transferida a dicha Resistencia. R

44.8.53 encuentre la Resistencia R, para máxima transferencia de potencia promedio y la potencia máxima transferida a dicha Resistencia. R

PMTL =3.2032mW

4encuentre la Resistencia R, para máxima transferencia de potencia promedio y la potencia máxima transferida a dicha Resistencia. R

PMTL =6.4464W

4encuentre la Resistencia RL, para máxima transferencia de potencia promedio y la potencia máxima transferida a dicha Resistencia. R

6V

150Ω 100Ω

2VR

Figura 4.8.52

Figura 4.8.51

1KΩ 2KΩ

2KΩ 4KΩ RC4mA

Figura 4.8.53

3Ω

2Ω

3ΩRC

5V

2A

Figura 4.8.54 1KΩ

Figura 4.8.55

RL10V

1KΩ 500Ω

2mA

C.R. Lindo Carrión



espuesta:, RL = 12KΩ, PMTL =100mW


espuesta:, RL = 6KΩ, PMTL =(2/3)mW


espuesta:, RL = 4KΩ, PMTL = 4mW


espuesta:, RL = 2KΩ, PMTL = (25/2)mW


espuesta:, RL = 10KΩ, PMTL = 8.1mW

figura 4.8.56 encuentre la Resistencia RL, para máxima transferencia de potencia promedio y la potencia máxima transferida a dicha Resistencia. Figura 4.8.56

RL

1KΩ2KΩ 6KΩ20mA

1KΩ

R

4encuentre la Resistencia RL, para máxima transferencia de potencia promedio y la potencia máxima transferida a dicha Resistencia.

Figura 4.8.57

RL12KΩ 6KΩ

2KΩ 6V

R


Figura 4.8.58

RL

3KΩ

6V

2mA

6KΩ 2KΩ

R 4 ostrado en la figura 4.8.59 encuentre la Resistencia RL, para máxima transferencia de potencia promedio y la potencia máxima transferida a dicha Resistencia. R

4 ostrado en la figura 4.8.60 encuentre la Resistencia RL, para máxima transferencia de potencia promedio y la potencia máxima transferida a dicha Resistencia. R

Figura 4.8.59

RL

6KΩ

12V

3V 6KΩ

6KΩ

Figura 4.8.60

RL

5KΩ 1mA

2mA 2KΩ

3KΩ



4.8.61 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.61

espuesta:, RL = 6KΩ, PMTL = (25/6)mW


espuesta:, VTH = 12V, RL = 12Ω, PMTL =3W



6Ω, PMTL = mW

Ω, 2

Figura 4.8.61

L

4KΩ

3V2mA

6KΩ

3KΩ

encuentre la Resistencia RL, para máxima transferencia de potencia promedio y la potencia máxima transferida a dicha Resistencia. R

6V

6Ω 2Vab

4Ω RC

a

b Figura 4.8.62

44.8.62 encuentre la Resistencia de carga RC, para máxima transferencia de potencia promedio y la potencia máxima transferida en la carga. R

1KΩ

9KΩ

RC

44.8.63 encuentre la Resistencia de carga RC, para máxima transferencia de potencia promedio y la potencia máxima transferida en la carga. Respuesta:, VTH = 10V, RL = 99Ω,

PMTL =0.2525W


espuesta:, RR L = 1

4.8.65 Para el circuito mostrado en la figura 4.8.65 encuentre la Resistencia de carga RC, para máxima transferencia de potencia promedio y la potencia máxima transferida en la carga.

espuesta:, VR TH = Io, RL = (3/2)PMTL =(1/6)Io W

10V

100I

I

Vo

+

-

Figura 4.8.63

R

Figura 4.8.64

RL

40Ω 20Ω

50V

I1

10I1

4Ω 2Ω

2Ω

4Ω

6Ω RC

Vx

4Vx

Io

+ -

Figura 4.8.65


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