IX-03

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DETECCIÓN DE DAÑO EN ESTRUCTURAS CON INFORMACIÓN MODAL INCOMPLETA

Tomás Amateco Reyes1

RESUMEN

Muchas estructuras se encuentran cercanas al límite de su vida útil y presentan deterioro. Así, la detección de

su estado de daño es muy importante para evaluar su seguridad. El objetivo de este trabajo es proponer la

reconstrucción de matrices de rigidez de la estructura dañada empleando las primeras formas modales de la estructura en su estado inicial y con daño. Estas matrices se emplean en el método de la Matriz de

Transformación para detectar daño en una estructura con propiedades dinámicas conocidas. Los resultados

obtenidos indican que la reconstrucción de matrices propuesta es adecuada para detectar razonablemente, el

daño en estructuras con información modal incompleta.

ABSTRACT

Many structures are near to the limit of their useful life and they present deterioration. This way, the detection

of its state of damage is very important to evaluate its security. The objective of this paper is to propose the

reconstruction of stiffness matrix of the damaged structure using few dynamic shapes of the structure in its initial state and damage state. This approach is used in Transformation Matrix method for detection of

damage in a structure with dynamic properties known. The results obtained show that the stiffness matrix

reconstruction proposal is appropriate to detect reasonably, the damage in structures with modal information

incomplete.

INTRODUCCIÓN

Actualmente, muchas estructuras se encuentran cercanas al límite de su vida útil y presentan deterioro, falta

de rehabilitación y algunas no fueron diseñadas para las demandas estructurales requeridas. Así, la detección

de daño es muy importante para evaluar la seguridad de las estructuras ya que durante su vida útil los sistemas

estructurales acumularon daño debido a acciones como sismos, sobrecarga, efectos térmicos, corrosión, entre otros factores. La respuesta máxima de desplazamiento, no siempre será un buen indicador del

comportamiento estructural ante sismos de larga duración. Razón por la cual, es necesario realizar un

seguimiento del daño estructural mediante un procedimiento confiable que permita su evaluación, para

detectarlo y corregirlo, de tal manera que, se evite poner en peligro la estabilidad de la estructura, como

consecuencia del deterioro de los elementos estructurales.

En una estructura sometida a un evento sísmico, el comportamiento inelástico en las conexiones viga-columna

y en los elementos estructurales ocasiona un amortiguamiento significativo. En consecuencia, se presenta

daño en las conexiones; y en el caso de un sismo como el de 1985 en la ciudad de México, este daño puede

conducir al colapso de la estructura (Amateco, 2007) y a la pérdida de vidas humanas o de la infraestructura.

Por esta razón se requiere obtener información de la ocurrencia, localización y severidad o magnitud del daño estructural.

La determinación experimental de las propiedades dinámicas de estructuras permite mejorar el estado del arte

mediante el conocimiento general de estas propiedades en estructuras que son difíciles de modelar

1 Secretaría Académica del Instituto de Ingeniería, UNAM, Ciudad Universitaria, Coyoacan 04510, México,

D.F: Tel.: 5626.3600,ext. 8108 correo electrónico: [email protected]; [email protected]

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

XVII Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica Puebla, Puebla, 2009

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analíticamente. Adicionalmente, permiten verificar los resultados de los modelos analíticos y proporciona información para el ajuste de parámetros de los mismos (Kircher, 1976).

Las técnicas no destructivas de detección de daño estructural que emplean medidas experimentales de

vibración suponen que el daño cambia las propiedades estructurales, lo que conduce a un cambio de las

propiedades dinámicas como las frecuencias naturales, las relaciones de amortiguamiento y las formas de

vibrar. El daño no detectado en elementos puede incluir grietas que permanecen cerradas mientras se obtienen

las medidas de vibración.

Las características dinámicas son propiedades globales que presentan pequeños cambios cuando se detecta

daño en una estructura. De esta manera, si los cambios en las características dinámicas pueden conocerse, será

posible identificar los cambios estructurales que originaron las características dinámicas. Por lo que el problema de localización y estimación de la magnitud de daño; definido como un porcentaje de pérdida de

rigidez, consiste en encontrar una correlación adecuada entre las características dinámicas en su estado inicial

y con daño.

El objetivo de este trabajo es proponer la reconstrucción de matrices de rigidez de la estructura dañada,

empleando las primeras formas modales de la estructura en su estado inicial y con daño. Estas matrices se

emplean en el método de la Matriz de Transformación; mMT, para localizar y estimar la magnitud del daño

en una estructura con propiedades dinámicas conocidas (Escobar et al., 2001). Los resultados obtenidos

indican que la reconstrucción de matrices propuesta, es adecuada para detectar razonablemente, el daño en

estructuras con información modal incompleta.

MÉTODO DE LA MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN

Escobar y colaboradores (Escobar et al., 2001 y Escobar et al., 2004) desarrollaron el mMT para la

localización y estimación de daño, definido éste como pérdida de rigidez. El método está basado en la matriz

de transformación geométrica. Consiste en construir el modelo analítico de la estructura para establecer un

estado inicial sin daño; con las formas modales y las frecuencias de vibración para un estado posterior de la

estructura, localizar y estimar la magnitud del daño en los elementos estructurales.

En el mMT el problema de detección de daño conduce a la solución del siguiente sistema de ecuaciones

lineales (SEL).

kkdsd dSKK (1)

donde sdK y dK son los vectores de orden nti x 1 que contienen los términos independientes de la matriz

de rigidez de la estructura sin daño y de la matriz de rigidez reconstruida de la estructura dañada,

respectivamente. kS es una matriz de orden nti x nel que contiene los términos jik ,

de los nel elementos de

la estructura y kd es el vector de orden nti x 1 que contiene la degradación de rigidez de los elementos

estructurales. Los valores posibles de degradación de rigidez varían de 0 a 1 en los elementos estructurales.

Cuando el valor de la degradación de rigidez es igual a cero, indica que el elemento no está dañado; mientras

que cuando es igual a la unidad, indica que el elemento está totalmente dañado; cuando el valor de

degradación de rigidez es mayor que cero y menor que la unidad, indica que el elemento está dañado en un

porcentaje igual aikd .

Dado que generalmente nti # nel, el SEL de la ecuación 1 puede ser sub-determinado, sobre-determinado o

mal condicionado. Para resolverlo en el presente trabajo, cuando se contó con la información modal completa,

se empleó el método de la pseudoinversa o inversa generalizada de Moore-Penrose, o bien el método de

Descomposición de Valores Singulares (DVS) de la matriz kS ; y cuando se contó con información modal

3

incompleta, se empleó la versión de Fletcher-Reeves del método del gradiente conjugado (Chandrupatla y Belegundu, 1999).

Para aplicar el método del gradiente conjugado en la solución del sistema de ecuaciones lineales que define el

daño en el mMT, se debe realizar las siguientes consideraciones.

Considerando la ecuación 1, establecemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

bAx (2)

donde

kSA ; dsd KKb y kdx (2a)

Los vectores b y x son de orden n x 1, mientras que la matriz A debe ser simétrica definida positiva de orden

n x n, para ello hacemos:

bAAxA TT (2b)

El sistema de ecuaciones lineales original generalmente está mal condicionado, con lo anterior; el sistema de

ecuaciones se vuelve bien condicionado.

Haciendo

AxAA T y bAb T (2c)

Así, sustituyendo las ecuaciones 2c en la ecuación 2, es posible aplicar los pasos del algoritmo del gradiente

conjugado de Fletcher y Reeves.

ALGORITMO DEL MÉTODO DE LA MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN

El algoritmo del método de la Matriz de Transformación empleado en este trabajo es el que corresponde al

desarrollo teórico descrito en Mendoza (2007) y los pasos que lo conforman son los siguientes.

1. Se calculan las matrices de rigidez analítica global del sistema, la de cada elemento estructural, y la

reconstruida con propiedades dinámicas conocidas y masas.

2. Con la matriz de rigidez analítica global de la estructura se calcula la matriz de transformación. 3. Con la matriz de transformación se condensa la matriz de rigidez global y la matriz de rigidez global de

cada elemento.

4. A partir de la matriz de rigidez global condensada y de la matriz de rigidez reconstruida con propiedades

dinámicas, se obtienen sus vectores de términos independientes, así como también se extraen vectores de

términos independientes de las matrices de rigidez condensada de los elementos estructurales para formar

la matriz de términos independientes involucrada en la ecuación 1.

5. Se resuelve el sistema de ecuaciones definido por la ecuación 1 y se obtiene el vector de daño detectado

en cada elemento.

6. Se calcula un vector cuyos elementos están definidos por la diferencia entre la unidad y el daño detectado

en cada elemento. Este vector se emplea para realizar la siguiente iteración y multiplica a las matrices de

rigidez de cada elemento, generando una nueva matriz de rigidez. En el caso de la primera iteración, el

vector contiene números uno. 7. Si la diferencia entre los vectores de términos independientes de la matriz de rigidez global condensada y

de la matriz de rigidez reconstruida con propiedades dinámicas, es menor que el valor de la tolerancia

establecida, el proceso se detiene, en caso contrario, el proceso regresa al paso 3.


4

Adicionalmente, se emplea un criterio de convergencia. Se inicia suponiendo que no existe daño en la

estructura y el proceso iterativo converge al estado de daño definido por el vector dK . Lo anterior es

posible si la matriz de transformación empleada para calcular sdK y kS de la iteración n + 1 se calcula

por una fracción de la suma de los estados de daño obtenidos en las iteraciones anteriores n y n – 1, definida

por la siguiente ecuación.

11

)-(1

nknknk ddd (3)

donde puede tomar valores de 0.1 a 0.9, por ejemplo, 0.25, 0.50 o 0.75.

De esta manera, la matriz de transformación presenta un cambio gradual que hace posible la localización de

los elementos estructurales dañados por aproximaciones sucesivas.

Para medir la aproximación alcanzada en cada iteración se emplea la siguiente ecuación.

2

aproxdd KKe (4)

donde aproxdK es la matriz de rigidez aproximada de la estructura dañada y e es la norma euclidiana.

El proceso iterativo del mMT concluye cuando se cumple que la diferencia de los términos de los vectores

dK y aproxdK es menor a una tolerancia establecida.

Los elementos estructurales pueden presentar daño o no, por lo que al asignar daño cero a los elementos que

presentan un valor de degradación menor a un valor especifico; por ejemplo de 1, 2 o 3 %, mejora la

localización de los elementos dañados.

INFORMACIÓN MODAL INCOMPLETA

Al efectuar las mediciones de los parámetros modales, correspondientes a un estado de daño en una estructura

real, es difícil identificar el número total de frecuencias y formas modales correspondientes a todos los grados

de libertad instrumentados. Así, generalmente sólo se pueden identificar los primeros modos y frecuencias de

vibrar del de la estructura.

De esta manera se tienen datos medidos incompletos, los cuales se presentan de dos maneras. La primera se

denomina información espacial incompleta y ocurre cuando el número de grados de libertad que se pueden

medir, son pocos con respecto a los grados de libertad del modelo analítico. La segunda se denomina

información modal incompleta y ocurre cuando el número de modos que pueden medirse con precisión, son menores al número de modos que contiene el modelo analítico.

En el mMT se presenta el problema de que el número de grados de libertad medidos es menor que el

correspondiente al modelo analítico de referencia. Lo anterior, debido al número limitado de sensores

empleados y por la dificultad de medir los grados de libertad rotacionales. Para eliminar esta dificultad el

mMT emplea la reducción de Guyan.

RECONSTRUCCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

La modificación de los parámetros dinámicos de una estructura de concreto se debe generalmente a los cambios en la geometría, los materiales y las condiciones de frontera, mientras que el deterioro modifica las

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características del material y la geometría de la estructura. La máxima degradación de rigidez observada en estructuras de concreto reforzado es de alrededor de 70 % y entre 0.3 Ec Ig y 0.8Ec Ig en columnas, donde Ec

Ig es la rigidez flexionante, Ec es el módulo de elasticidad del concreto, mientras que Ig es el momento de

inercia de la sección transversal original. Las grietas son el primer signo visual de deterioro de la estructura.

La matriz de rigidez para el estado inicial se puede obtener a partir del modelo analítico de la estructura

suponiendo que esta fue construida siguiendo las especificaciones del proyecto, o bien, a partir de sus

parámetros modales experimentales correspondientes.

El mMT requiere la reconstrucción de la matriz de rigidez de la estructura dañada. Esta puede obtenerse con

el método de Baruch y Bar-Itzhack (1978) que considera constante a la matriz de masas y emplea las formas

modales y las frecuencias de vibración de la matriz de rigidez de la estructura dañada, así como las matrices de masas y de rigidez de la estructura sin daño. Lo anterior está definido por la ecuación 5.

T T

U A A X X A A X X A A

T T T2

X X A X X A A X X X A

K K K M M K M

K M M M

(5)

donde UK es la matriz de rigidez reconstruida de orden n x n; AK es la matriz de rigidez analítica

condensada de n x n, 2

X es la matriz diagonal de frecuencias angulares cuadradas de orden m x m; AM

es la matriz de masas (constante) del modelo de orden n x n. Siendo n el número niveles de la estructura y m

es el número de modos medidos.

Guerrero empleó el método de Baruch y Bar-Itzhack para reconstruir la matriz de rigidez de la estructura

dañada y mejoró el mMT tradicional mediante tres procedimientos propuestos para acelerar la convergencia y

aumentar la precisión en la localización y magnitud de daño en estructuras (Guerrero, 2007). Estos presentan

muy buena precisión en la localización y magnitud para daño simulado; y cuando se emplean todas las propiedades dinámicas conocidas. De esta manera, permite detectar con precisión el daño correspondiente

hasta la máxima degradación de rigidez observada en estructuras de concreto reforzado.

Mendoza estudió el comportamiento del mMT empleando propiedades dinámicas conocidas de estructuras.

Observó que la precisión en la reconstrucción de la matriz de rigidez de la estructura dañada, obtenida con el

método de Baruch y Bar-Itzhack, se reduce cuando se emplea información modal incompleta. En

consecuencia, se generan errores en el mMT. Así, realizó un buen avance al proponer matrices de factores de

corrección, mismas que obtuvo a partir del cálculo de la covarianza de una matriz (Mendoza, 2007).

Yang y Chen (2009) propusieron un método directo para reconstruir las matrices de masas y de rigidez

empleando de uno a cinco modos y frecuencias de vibrar del modelo analítico sin daño de la estructura y las correspondientes a la estructura dañada, así como las matrices de masas y de rigidez de la estructura sin daño.

En el presente trabajo no se considera la actualización de masas que incluye la propuesta de Yang y Chen, de

tal manera que las ecuaciones propuestas para la reconstrucción de la matriz de rigidez con información

modal incompleta son:

A

T

AkAuA MCMKKu (6)

donde

A

T

AAA

T

AXk KKC22


6

donde ,,, kAAA CyM , son las matrices de los modos y de frecuencias de vibrar de la

estructura analítica sin daño; la diferencia de los modos de vibrar de la estructura dañada y la no dañada; la matriz de masas y la matriz de corrección de la matriz de rigidez de la estructura dañada, respectivamente.

Cuando sólo se cuenta con el primer modo y frecuencia de vibrar medido, se emplean las siguientes

ecuaciones.

AkA McKKu (7)

donde

111

2

1

22 AA

T

AXk Kc

donde 1

2

X , 1

2

A , 1 y 1A son las frecuencias de vibrar medida y analítica; la diferencia de los

modos de vibrar analíticos y medidos; y los modos de vibrar analíticos, respectivamente. Finalmente, kc es el

factor de corrección de la matriz de rigidez. En el presente trabajo, las ecuaciones 6 y 7 se denominarán

método de Yang y Chen reducido.

La solución directa del problema dinámico puede obtenerse empleando información modal incompleta,

especialmente las frecuencias y modos de vibrar más bajos de la estructura, por lo que es posible reconstruir

la matriz de rigidez de la estructura dañada con el primer modo y frecuencia de vibrar.

En el problema inverso del problema dinámico para la detección de daño empleando el mMT, es importante

obtener las propiedades dinámicas medidas experimentalmente con precisión. La experiencia del ingeniero

para seleccionar los grados de libertad medidos aumentará dicha precisión. De esta manera, será posible

obtener adecuadamente la reconstrucción de la matriz de rigidez de la estructura dañada variando el número de modos y frecuencias de vibrar obtenidos en las pruebas de vibración, especialmente los más bajos.

EFECTO DE LA INFORMACIÓN MODAL INCOMPLETA EN LA RECONSTRUCCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA DAÑADA

En la Figura 1 se muestra la estructura del edificio STC en el programa ILDE (Identificación y Localización

de Daño Estructural) actualmente en desarrollo por el autor. El número de los nodos se presentan en azul y el

de los elementos en amarillo, mientras que en la Tabla 1 se indican las dimensiones de los elementos

estructurales del marco STC. El esfuerzo a la compresión del concreto fue de f´c = 250 kg/cm². Se empleó un módulo de elasticidad E = 2,213,600 t/m². La masa del edificio fue de 15 t-s/m del piso 1 al 9 y en el piso 10

fue de 12 t-s/m.

En la Figura 2a se presenta el marco del edificio STC con el estado de daño simulado en columnas y vigas,

mediante la reducción de la rigidez del momento de inercia de los elementos estructurales. Para las columnas

se simuló un daño del 15 % en los elementos 10 y 50, mientras que para las vigas, se simuló un daño de 30 %

en los elementos 60 y 90; y de 25 % en los elementos 70 y 80, respectivamente.

La reconstrucción de la matriz de rigidez se obtuvo con el método de Baruch y Bar-Itzhack empleando todos

los modos y frecuencias de vibrar. El daño en los elementos estructurales se detectó con la ecuación 1 del

mMT y un valor de β=0.5 en la ecuación 3. Para la solución del SEL se empleó el método de la pseudoinversa. En la figura 2b se muestra que el estado de daño de la estructura se detectó con precisión.

7

Figura 1. Modelo estructural del edificio STC.

Tabla 1. Propiedades de los elemento estructurales del marco STC.

Eje Piso Dimensiones (m) Elemento

A y E 1 a 10 0.50 x 0.90 Columna

B, C y D 1 y 2 0.50 x 0.90 Columna

B, C y D 3 y 4 0.50 x 0.80 Columna

B, C y D 5 y 6 0.50 x 0.70 Columna

B, C y D 7 a 10 0.50 x 0.60 Columna

1 a 10 0.40 x 0.90 Viga

Para conocer el efecto de la información modal incompleta en el mMT, se reconstruyeron las matrices de

rigidez para distinto número de modos y frecuencias de vibrar. A partir de estas se detectó el estado de daño

simulado del edificio STC.

En la Figura 3 se presentan los errores relativos máximos fuera de la diagonal de las matrices de rigidez

reconstruidas con los métodos de Baruch y Bar-Itzhack; y de Yang y Chen reducido. De esta figura se tiene que, para la estructura y el estado de daño simulado en estudio, en función de la precisión, debe emplearse el

método de Baruch y Bar-Itzhack para reconstruir la matriz de rigidez de la estructura dañada; si se cuenta con

el primer modo y frecuencia de vibrar medidos, mientras que si se cuenta con los primeros dos a tres modos y

frecuencias de vibrar medidos; debe emplearse el método de Yang y Chen reducido.

En la Figura 4 se presentan los errores relativos en la diagonal principal de la matriz de rigidez reconstruida

de la estructura dañada, obtenidos con el método de Baruch y Bar-Itzhack para distinto número de modos y

frecuencias de vibrar. En la misma figura se observa que conforme disminuye el número de modos

empleados, el error relativo en la diagonal principal de la matriz de rigidez reconstruida aumenta

sensiblemente hasta un 14.49 % empleando el primer modo de vibrar. También se observa que los elementos

Ki,j; donde i = j = 1 a 10, presentan los mayores errores relativos cuando se emplean 9 o 10 modos y frecuencias de vibrar. Esto refleja que el daño está concentrado entre los niveles 9 y 10 de la estructura.

La Figura 5 presenta los errores relativos de la diagonal principal de la matriz de rigidez reconstruida de la

estructura dañada empleando el método de Yang y Chen reducido. En esta figura se observa un

comportamiento similar al obtenido con el método de Baruch y Bar-Itzhack.


8

a) b) Figura 2. Marco STC, a) estado de daño simulado, y b) daño detectado empleando 10 modos y

frecuencias de vibrar.

Figura 3. Error relativo máximo en los elementos fuera de la diagonal principal de la matriz de rigidez reconstruida con los métodos de Baruch y Bar-Itzhack (B-BI), y de Yang y Chen (YC-CM) y de Yang y

Chen reducido (YC-SM).

En las Figuras 6 y 7 se muestran para el estado de daño simulado, los errores relativos de la matriz de rigidez

reconstruida obtenida con los métodos de Baruch y Bar-Itzhack y de Yang y Chen reducido, respectivamente;

para el primer; para los primeros dos; y para los primeros tres modos y frecuencias de vibrar, respetivamente.

En la Figura 6 se muestran los errores relativos máximos obtenidos con el método de Baruch y Bar-Itzhack,

los cuales registraron errores de 158, 472 y -2934 %, al emplear el primer; los dos primeros; y los tres

primeros modos y frecuencias de vibrar, respectivamente. En la Figura 7 se muestra los errores relativos

obtenidos con el método de Yang y Chen reducido, mismos que registraron errores de 162, 204 y -252 % para el primer; los dos primeros; y los tres primeros modos y frecuencias de vibrar, respectivamente. El método de

Yang y Chen reducido registró una reducción de 2 a 11 veces el máximo error relativo obtenido con el

método de Baruch y Bar-Itzhack.

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Figura 4. Error relativo en los elementos de la diagonal principal de la matriz de rigidez reconstruida

con el método de Baruch y Bar-Itzhack.

Figura 5. Error relativo en los elementos de la diagonal principal de la matriz de rigidez reconstruida

con el método de Yang y Chen reducido.

De los resultados anteriores, se observa que la reconstrucción de la matriz de rigidez de la estructura dañada

obtenida con el método de Yang y Chen reducido puede aplicarse en la detección de daño de estructuras que

tienen de dos a tres modos y frecuencias de vibrar conocidas, ya que es más preciso que el método de Baruch

y Bar-Itzhack en dicho intervalo. Se observó también que los mayores errores relativos de las matrices de

rigidez reconstruidas, se presentan en los extremos. Es posible que por ello, las estructuras modeladas como edificios de cortante tengan buena precisión en la detección de daño y no requieran muchas iteraciones.

APLICACIÓN DE LA RECONSTRUCCIÓN PROPUESTA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ EN LA DETECCIÓN DE DAÑO CON INFORMACIÓN MODAL INCOMPLETA

Con el propósito de evaluar la reconstrucción propuesta de la matriz de rigidez de la estructura dañada, se

determinó la identificación de daño en los marcos estructurales de los edificios de STC y VanNuys con el

mMT empleando información modal incompleta. Para la solución del SEL en ambos casos, se empleó β = 0.5

en la ecuación 3 y la versión de Fletcher-Reeves del método del gradiente conjugado. Los resultados

consistieron en la localización de todos los elementos dañados simulados.


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a) i)

b) ii)

c) iii) Figura 6. Error relativo de la matriz de rigidez

reconstruida empleando a) el primer, b) los dos primeros, y c) los tres primeros modos y frecuencias de vibrar con el método de

Baruch y Bar-Itzhack.

Figura 7. Error relativo de la matriz de rigidez reconstruida empleando i) el primer, ii) los dos

primeros, e iii) los tres primeros modos y frecuencias de vibrar con el método de Yang y

Chen reducido.

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MARCO ESTRUCTURAL DEL EDIFICIO STC

En la Figura 8 se muestra el resumen de resultados de la detección de daño del marco estructural STC con

información modal incompleta. Estos incluyen los elementos dañados detectados (DD); elementos dañados no

detectados (DND); y elementos no dañados detectados como tal (NDDT). En la misma figura se muestra la

detección de daño obtenida para el primer (1-DD, 1-DND y 1-NDDT); los dos primeros (2-DD, 2-DND y 2-

NDDT); y los tres primeros (3-DD, 3-DND y 3-NDDT) modos y frecuencias de vibrar, aplicando ambos

métodos de reconstrucción de la matriz de rigidez de la estructura dañada en el mMT.

Se observa en la figura 8 que al emplear en el mMT los métodos de Yang y Chen; y de Baruch y Bar-Itzhack,

se detectan de uno a tres y de dos a cuatro elementos dañados, respectivamente. Sin embargo, el primer método reduce considerablemente el número de elementos no dañados detectados como tal.

En la Figura 9 se muestran los resultados de la detección de daño empleando la reconstrucción de la matriz de

rigidez con el método de Baruch y Bar-Itzhack (B-BI) y de Yang y Chen reducido (Y-C) para el primer (1-B-

BI y 1-Y-C); el primer y el segundo (2-B-BI y 2-Y-C); y del primer al tercer modos y frecuencias de vibrar

(3-B-BI y 3-Y-C), respectivamente.

En la figura 9 se observa que al emplear en el mMT el método de Yang y Chen reducido y los tres primeros

modos y frecuencias de vibrar; se detecta razonablemente, el daño simulado en el marco estructural del

edificio STC.

Los resultados obtenidos en el marco del edificio STC con el método de reconstrucción propuesto en el mMT

son conservadores y están del lado de la seguridad, por ello puede emplearse este criterio principalmente en

aplicaciones prácticas con información modal incompleta.

Figura 8. Resumen de resultados de la detección de daño con información modal incompleta en el

marco STC.

Figura 9. Detección de daño en el marco STC empleando la reconstrucción de la matriz de

rigidez con los métodos de Baruch y Bar-Itzhack; y de Yang y Chen reducido.

MARCO ESTRUCTURAL DEL EDIFICIO VANNUYS

De manera similar a lo realizado en el marco STC, se obtuvo la detección de daño en el marco VanNuys

empleando información modal completa e incompleta. En la Figura 10 se muestra el marco estructural y en la

Tabla 2 se indican las dimensiones de los elementos estructurales, así como los módulos de elasticidad E,

empleados en las distintas secciones de los elementos estructurales (Adam, 2005).

En la Figura 11a se presenta el marco del edificio VanNuys con el estado de daño simulado en columnas,

mediante la reducción de la rigidez del momento de inercia de los elementos estructurales. Se simuló un daño


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del 10 % en los elementos 2, 12 y 13; un daño de 20 % en los elementos 1, 10 y 11; un daño de 25 % en el elemento 9 y un daño de 30 % en los elementos 5 y 8.

La reconstrucción de la matriz de rigidez se obtuvo con el método de Baruch y Bar-Itzhack empleando todos

los modos y frecuencias de vibrar. El daño en los elementos estructurales se detectó con la ecuación 1 del

mMT y un valor de β=0.5 en la ecuación 3. Para la solución del SEL se empleó el método de Descomposición

de Valores Singulares. En la Figura 11b se muestra que el estado de daño de la estructura se detectó con

precisión.

Para evaluar la reconstrucción propuesta de la matriz de rigidez de la estructura dañada, se determinó la

identificación de daño del marco estructural VanNuys empleando el mMT con información modal

incompleta, considerando de uno a tres modos y frecuencias de vibrar. Se obtuvieron las matrices de rigidez reconstruidas con los métodos de Baruch y Bar-Itzhack, y de Yang y Chen reducido. A partir de éstas se

determinó la identificación de daño.

Figura 10. Modelo estructural del edificio VanNuys.

Tabla 2. Propiedades de los elemento estructurales del marco VanNuys.

Sección E (t/m²) Dimensiones (m) Elemento

1 2.60x106 0.35 x 0.50 Columnas exteriores restantes

2 2.95x106 0.50 x 0.50 Columnas interiores del entrepiso 1

3 2.60x106 0.45 x 0.45 Columnas interiores restantes

4 2.95x106 0.35 x 0.50 Columnas exteriores del entrepiso 1

5 2.60x106 0.40 x 0.55 Vigas

En la Figura 12 se muestra el resumen de resultados de la detección de daño del marco estructural VanNuys

con información modal incompleta; empleando en el mMT ambos métodos de reconstrucción de la matriz de

rigidez de la estructura dañada. En la misma figura se observa que al emplear en el mMT los métodos de

Yang y Chen; y de Baruch y Bar-Itzhack, se detectan de dos a seis y de dos a siete elementos dañados,

respectivamente. Adicionalmente, a excepción de emplear los dos primeros modos y frecuencias de vibrar; el

primer método reduce considerablemente el número de elementos no dañados detectados como tal.

En la Figura 13 se muestran los resultados de la detección de daño del marco estructural VanNuys con

información modal incompleta; empleando ambos métodos de reconstrucción de la estructura dañada. En la

misma figura se observa que al emplear en el mMT el método de Yang y Chen reducido y los tres primeros

13

modos y frecuencias de vibrar; se detecta razonablemente, el daño simulado en el marco estructural del edificio VanNuys.

a) b)

Figura 11. Marco VanNuys, a) estado de daño simulado, y b) daño detectado empleando 7modos y frecuencias de vibrar.

Figura 12. Resumen de resultados de la detección de daño con información modal incompleta en el

marco VanNuys.

Figura 13. Detección de daño en el marco VanNuys empleando la reconstrucción de la

matriz de rigidez con los métodos de Baruch y Bar-Itzhack; y de Yang y Chen reducido.

Los resultados obtenidos en los marcos estructurales STC y VanNuys permitieron observar que la

información modal incompleta afecta la reconstrucción de la matriz de rigidez de la estructura dañada, debido

a que fuera de la diagonal principal se registran errores relativos muy grandes con respecto a la matriz de

rigidez analítica correspondiente.

Adicionalmente, se observó que la información modal incompleta y los errores de redondeo, ocasionan un

efecto de singularidad en el sistema de ecuaciones lineales que define el daño. En consecuencia, el mMT no

detecta algunos elementos dañados. El daño no detectado puede incluir las grietas que permanecen cerradas

mientras se obtienen las propiedades dinámicas de la estructura dañada.

Se observó también, que al emplear información modal incompleta, el daño genera ruido en los grados de libertad no dañados, en consecuencia, detecta elementos dañados que no lo están, especialmente, cuando se

emplea el método de Baruch y Bar-Itzhack para reconstruir la matriz de rigidez de la estructura dañada.

A pesar de mejorar la precisión en la reconstrucción de la matriz de rigidez y la detección de daño con las

ecuaciones propuestas, denominadas método de Yang y Chen reducido, aún es necesario realizar mejoras en

el mMT para la detección de daño con información modal incompleta, entre ellas están aumentar la precisión

en la localización y magnitud del daño detectado, así como eliminar el ruido que genera el daño en los grados

de libertad de los elementos no dañados. Sin embargo, es posible aplicar las ecuaciones propuestas para


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detectar razonablemente, el daño con información modal incompleta, especialmente si se cuenta con los tres primeros modos y frecuencias de vibrar.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

El problema de detección y localización de daño; definido como un porcentaje de pérdida de rigidez, consiste

en encontrar una correlación adecuada entre las características dinámicas medidas y analíticas de la estructura

dañada.

El método de la Matriz de Transformación es simple y numéricamente exacto. Cuando se emplea información

modal completa, el error relativo de todos los coeficientes de la matriz de rigidez reconstruida de la estructura dañada son cero por ciento, con respecto a la matriz de rigidez analítica correspondiente. Así, el mMT

converge hacia el estado de daño.

Al emplear información modal incompleta, la reconstrucción de la matriz de rigidez de la estructura dañada

produce errores muy grandes fuera de la diagonal principal, en consecuencia, su empleo en el mMT genera

errores en la detección de daño.

Así, se propuso la reconstrucción de las matrices de rigidez de la estructurada dañada empleando las primeras

formas modales de la estructura en su estado sin daño y con daño. Estas matrices se emplearon en la detección

de daño con información modal completa.

De esta manera, los resultados de la identificación de daño en los marcos estructurales STC y VanNuys,

obtenidos con el mMT empleando información modal incompleta en la reconstrucción de la matriz de rigidez,

indican que es posible detectar, razonablemente, el daño en una estructura empleando los primeros tres modos

y frecuencias de vibrar e incluso, el primer modo y frecuencia de vibrar de la estructura en su estado sin daño

y con daño.

Así, la reconstrucción de la matriz de rigidez propuesta, denominada método de Yang y Chen reducido, es

adecuada en aplicaciones prácticas de detección de daño con información modal incompleta, debido a que

reduce el máximo error relativo de la matriz de rigidez de la estructura dañada; y en la detección de daño

reduce el número de elementos no dañados detectados como tal. Adicionalmente, mejora la precisión en la

detección de daño; en comparación con la obtenida con el método de Baruch y Bar-Itzhack. Sin embargo, aún

debe mejorarse la precisión en la localización y magnitud del daño detectado.

Finalmente, es necesario contar con una herramienta que permita agilizar y automatizar el procedimiento y

cálculo en la detección de daño con información modal. Así, se ha iniciado el desarrollo del programa ILDE.

REFERENCIAS

Adam. G., (2005), “Modeling the earthquake response of older reinforced concrete beam-column

building joints”, Tesis de maestría, Universidad de Washington.

Amateco, T., (2007), “Ajuste de parámetros de modelos histeréticos teóricos”, Tesis de maestría, Universidad Autónoma de Guerrero, México.

Baruch M. y Bar-Itzhack I. Y., (1978), “Optimal weighted orthogonalization of measured modes”, AIAA,

Vol. 16, pp. 346-351.

Chandrupatla T. R. y Belegundu A. D., (1999), “Introducción al estudio del elemento finito en ingeniería”,

Edit. Prentice-Hall, Segunda Edición.

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Escobar J. A., Sosa, J. J. y Gómez, R., (2001), “Damage detection in framed building”, Canadian Journal of Civil Engineering. 28, 1-13.

Escobar J. A., Fierro, F y Gómez, R., (2004), “Damage detection in building structures”, 13th World

Conference on Earthquake Engineering. Vancouver, B. C. Cánada.

Guerrero, H., (2007), “Localización y cuantificación de daño estructural aplicado a elementos finitos”,

Tesis de maestría, UNAM, México.

Kircher, C. A., (1976), “Ambient and forced vibration analysis of full scale structures”, Tesis doctoral,

Universidad de Stanford, USA.

Mendoza, L., (2007), “Detección de daño en marcos irregulares en masa y elevación”, Tesis de maestría,

UNAM, México.

Yang, Y. B. y Chen, Y. J., (2009), “A new direct method for updating structural models based on

measured modal data”, Engineering Structures, Vol. 31 pp 32-42.

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