JACOBIANO

Divisin de Ingeniera Mecnica e Industrial Departamento de Mecatrnica

JACOBIANA GEOMTRICA La Jacobiana analtica presentada en el anteriormente relaciona las velocidades de las articulaciones con la velocidad de variacin de la posicin y orientacin del extremo del robot. Otra posible relacin de inters es la que se establece entre las velocidades articulares y la velocidad lineal (v) y angular (w) del extremo del robot expresadas habitualmente en el sistema de referencia de la base del robot { S0}.

Puede ser obtenida de manera directa a partir de la matriz de transformacin homognea

La velocidad lineal del extremo expresada en el sistema {S0 }, vendr dada por las derivadas respecto del tiempo de las coordenadas (x, y, z) del extremo del robot, de modo que:

Por tanto, la relacin de la velocidad lineal del extremo del robot (vx, vy, vz) con las velocidades articulares ser la misma que la de definida en la Jacobiana analtica. Pudiendo ser obtenida a partir del vector p = (px, py, pz) de la matriz T, que expresa la posicin del extremo en funcin de las coordenadas articulares. Para obtener la relacin de la velocidad angular (wx, wy, wz) con las velocidades articulares, se considerar la submatriz (3 X 3) de rotacin R = [no a] de la matriz de transformacin homognea del robot T.

Se va a obtener la Jacobiana geomtrica del Robot Scara. Las tres primeras filas de sta relacionarn las componentes de la velocidad lineal v, con las velocidades articulares, mientras que las tres ltimas filas definirn la relacin entre las componentes de la velocidad angular ro y las articulares. De modo que

Se tiene la matriz del robot Scara:

La submatrizJv se obtendr derivando la expresin de p con respecto de q1, q2 q3 y q4

Para obtener J se obtendr la matriz antisimtrica , a partir de la submatriz de rotacin R segn la Expresin [4.68] En este caso la submatriz de rotacin R vale:

Resultando que la Jacobiana geomtrica para el robot SCARA toma la forma:

Con ella puede conocerse la velocidad lineal y angular .del extremo del robot expresada en el sistema de coordenadas { S0 l, segn:

Anlisis inverso del jacobiano. Se obtendr una expresin la cual permita representar las velocidades articulares en trminos de las componentes de velocidad lineal del rgano terminal. Para lo cual se tendr que obtener la inversa del jacobiano, y que se puede representar como: 1

J 1 =

det J

AdjJ .

Configuraciones singulares Se denominan configuraciones singulares de un robot a aqullas en las que el determinante de su matriz Jacobiana (Jacobiano) se anula. Por esta circunstancia, en las configuraciones singulares no existe Jacobiana inversa. Al anularse el Jacobiano, un incremento infinitesimal de las coordenadas cartesianas supondra un incremento infinito de las coordenadas articulares, lo que en la prctica se traduce en que en las inmediaciones de las configuraciones singulares, el pretender que el extremo del robot se mueva a velocidad constante, obligara a movimientos de las articulaciones a velocidades inabordables por sus actuadores.

Por ello, en las inmediaciones de las configuraciones singulares se pierde alguno de los grados de libertad del robot, siendo imposible que su extremo se mueva en una determinada direccin cartesiana. Las diferentes configuraciones singulares del robot pueden ser clasificadas como: Singularidades en los lmites del espacio de trabajo del robot. Se presentan cuando el extremo del robot est en algn punto del lmite de trabajo interior o exterior. En esta situacin resulta obvio que el robot no podr desplazarse en las direcciones que lo alejan de este espacio de trabajo. Singularidades en el interior del espacio de trabajo del robot. Ocurren dentro de la zona de trabajo y se producen, generalmente, por el alineamiento de dos o ms ejes de las articulaciones del robot.

Para el robot SCARA del que se obtuvo la matriz Jacobiana se tiene, considerando slo la parte de traslacin y prescindiendo del grado de libertad q4 , que:

Se debe prestar especial atencin a la localizacin de las configuraciones singulares del robot para que sean tenidas en cuenta en su control, evitndose solicitar a los actuadores movimientos a velocidades inabordables o cambios bruscos de las mismas. La Figura muestra el resultado de intentar realizar con un robot tipo SCARA, una trayectoria en lnea recta a velocidad constante que pasa por una configuracin singular. Obsrvese la brusca variacin de la velocidad articular q2 que crece hasta valores inalcanzables en la prctica.

Ejemplo de punto singular para un robot tipo SCARA.

Para evitar la aparicin de configuraciones singulares debe considerarse su existencia desde la propia fase de diseo mecnico, imponiendo restricciones al movimiento del robot o utilizando robots redundantes (lo que conlleva otro tipo de problemas). Finalmente, el sistema de control debe detectar y tratar estas configuraciones evitando pasar precisamente por ellas. Un posible procedimiento para resolver la presencia de una singularidad interior al espacio de trabajo, en la que se pierde la utilidad de alguna articulacin (prdida de algn grado de libertad) sera el siguiente: l. Identificar la articulacin correspondiente al grado de libertad perdido (causante de que el determinante se anule). 2. Eliminar la fila de la Jacobiana cotrespondiente al grado de libertad perdido y la columna correspondiente a la articulacin causante. 3. Con la nueva Jacobiana reducida (rango n-1) obtener las velocidades de todas las articulaciones, a excepcin de la eliminada, necesarias para conseguir las velocidades cartesianas deseadas. La velocidad de la articulacin eliminada se mantendr a cero.