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Enrique Jemio Página 1

ÍNDICE

ÍNDICE ................................................................................................................................................................................ 1 MECÁNICA DEL CUERPO RÍGIDO ................................................................................................................................ 3

CAPÍTULO 1: Cinemática del cuerpo rígido ............................................................................................................. 5

1.1. Cuerpo rígido ................................................................................................................................................. 7 1.2. Movimiento de traslación de un cuerpo rígido. ............................................................................................. 7

1.3. Movimiento de rotación de un cuerpo rígido. ................................................................................................ 7

1.4. Análisis mediante el cir para el movimiento plano de un cuerpo rígido, ....................................................... 8 CAPÍTULO 2: Dinámica del cuerpo rígido .............................................................................................................. 13

2.1. Masa, inercia y momento de inercia. ........................................................................................................... 15

2.2. Momento de inercia. .................................................................................................................................... 16

2.3. Rotación y traslación del cuerpo rígido ....................................................................................................... 16

2.4. Método de la energía. .................................................................................................................................. 19

2.5. Cantidad de movimiento angular. ................................................................................................................ 21

TEORÍA DE CAMPOS Y ELECTRODINÁMICA. ......................................................................................................... 25

CAPÍTULO 3: Campos estáticos .............................................................................................................................. 27

3.1. Vemos creemos y explicamos. .................................................................................................................... 29

3.2. Campo. ........................................................................................................................................................ 29 3.3. ¿Quiénes los generan? ................................................................................................................................. 30

3.4. La masa y la carga eléctrica. ........................................................................................................................ 30

3.5. Cuerpos conductores y aislantes. ................................................................................................................. 32

3.6. ¿Cómo se pueden cargar eléctricamente los cuerpos? ................................................................................. 32

CAPÍTULO 4: Las fuerzas en los campos. ............................................................................................................... 35

4.1. La ley de la inversa al cuadrado. ................................................................................................................. 37

4.2. Fuerza gravitatoria. ...................................................................................................................................... 37 4.3. Fuerza eléctrica. ........................................................................................................................................... 40 4.4. Fuerza magnética entre imanes permanentes. .............................................................................................. 44

4.5. Fuerza magnética entre cargas eléctricas en movimiento. ........................................................................... 47

CAPÍTULO 5: La intensidad de los campos. ............................................................................................................ 51

5.1. Líneas de fuerza. .......................................................................................................................................... 53 5.2. Intensidad del campo gravitatorio. .............................................................................................................. 54

5.3. Intensidad del campo eléctrico. ................................................................................................................... 56

5.4. Intensidad del campo magnético. ................................................................................................................ 58

5.5. Campo magnético de cargas eléctricas en movimiento. .............................................................................. 60 5.6. Corriente eléctrica y magnetismo. ............................................................................................................... 61

5.7. Intensidad del campo magnético y la geometría de la corriente eléctrica. ................................................... 64 CAPÍTULO 6: Movimiento en el campo gravitatorio .............................................................................................. 69

6.1. Energía potencial gravitatoria. ..................................................................................................................... 71

6.2. Consideraciones energéticas. ....................................................................................................................... 71

6.3. El movimiento de satélites y planetas. ......................................................................................................... 73

CAPÍTULO 7: Movimiento en el campo eléctrico. .................................................................................................. 77

7.1. Un concepto previo, diferencia de potencial eléctrico (ddp-e). ................................................................... 79 7.2. Placas paralelas con carga opuesta. ............................................................................................................. 81

CAPÍTULO 8: Conexión de capacitores. .................................................................................................................. 85

8.1. ¿Qué es un capacitor? .................................................................................................................................. 87

8.2. Capacitancia. ............................................................................................................................................... 87 8.3. Conexión de capacitores en serie. ................................................................................................................ 87

8.4. Conexión de capacitores en paralelo. .......................................................................................................... 88

8.5. Energía de un capacitor. .............................................................................................................................. 88

CAPÍTULO 9: Ley de Ohm. ..................................................................................................................................... 93

9.1. V vs. i 95 9.2. Ley de OHM. ............................................................................................................................................... 95 9.3. El material, el largo y la sección de los conductores. .................................................................................. 96

9.4. Dividiendo V y conservando i. .................................................................................................................... 98

ÍNDICE


9.5. Dividiendo i y conservando V. .................................................................................................................. 101

CAPÍTULO 10: Las leyes de kirchhoff. ................................................................................................................... 105

10.1. Kirchhoff ................................................................................................................................................... 107 10.2. Ley circuital de Kirchhoff. ........................................................................................................................ 107

10.3. Ley de nodos de Kirchhoff. ....................................................................................................................... 109

10.4. Circuitos con capacitores. ......................................................................................................................... 111

CAPÍTULO 11: Introducción a la electrónica .......................................................................................................... 115

11.1. Semiconductores. ...................................................................................................................................... 117

11.2. Semiconductor tipo n ................................................................................................................................ 117

11.3. Semiconductor tipo p ................................................................................................................................ 117

11.4. Unión n – p o diodo semiconductor. ......................................................................................................... 118

11.5. ¿Cómo funciona un diodo? ....................................................................................................................... 118

FÍSICA MODERNA. ...................................................................................................................................................... 123 CAPÍTULO 12: Relatividad. .................................................................................................................................... 125

12.1. Una dosis clásica ....................................................................................................................................... 127 12.2. Relatividad del tiempo y de la velocidad. ................................................................................................. 127

12.3. El experimento de Michelson y Morley .................................................................................................... 132

12.4. Los postulados de Einstein. ....................................................................................................................... 132

12.5. Transformadas de Lorentz. ........................................................................................................................ 137

12.6. El cálculo de velocidades relativas ............................................................................................................ 138

12.7. Masa y energía. ......................................................................................................................................... 141 CAPÍTULO 13: Planck y einstein. ........................................................................................................................... 145

13.1. Radiación térmica. ..................................................................................................................................... 147

13.2. Alrededor de una parrillada. ...................................................................................................................... 147

13.3. Ley del desplazamiento de Wien. .............................................................................................................. 148

13.4. Ley de Stefan-Boltzmann .......................................................................................................................... 148

13.5. Las temperaturas y radios de las estrellas. ................................................................................................. 149

13.6. Ley de Rayleigh - Jeans. ........................................................................................................................... 150

13.7. Teoría de Planck. ....................................................................................................................................... 150 13.8. Otra controversia. ...................................................................................................................................... 152 13.9. Frecuencia y longitud de onda................................................................................................................... 152

ANEXOS ......................................................................................................................................................................... 155


MECÁNICA DEL CUERPO RÍGIDO

Capítulos Temas.

Cinemática del cuerpo rígido

• Cuerpo rígido • Movimiento de traslación de un cuerpo rígido. • Movimiento de rotación de un cuerpo rígido. • Análisis mediante el cir para el movimiento plano de un cuerpo

rígido,

Dinámica del cuerpo rígido

• Masa, inercia y momento de inercia. • Momento de inercia. • Rotación y traslación del cuerpo rígido • Método de la energía. • Cantidad de movimiento angular.


CAPÍTULO 1:C INEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO

Contenido Orientaciones metodológicas

Cuerpo rígido • Diferenciar el tratamiento teórico de una partícula y de un cuerpo rígido

Movimiento de traslación de un cuerpo rígido.

• Diferenciar el movimiento de traslación pura de los otros posibles.

Movimiento de rotación de un cuerpo rígido.

• Diferenciar el movimiento de rotación pura, de los otros posibles.

Análisis mediante el cir para el movimiento plano de un cuerpo rígido.

• Identificar las restricciones geométricas y físicas de los sistemas en movimiento.

• Identificar el centro instantáneo de rotación. • Resolver los problemas de movimiento de cuerpos

rígidos por el método vectorial y del centro instantáneo de rotación.



1.1. CUERPO RÍGIDO Recordemos que la partícula es la representación de cualquier cuerpo mediante un punto, es decir, la partícula es un punto material. El cuerpo rígido no podemos representarlo mediante un punto, porque las dimensiones que tiene nos interesan en el análisis del movimiento. Una definición física de cuerpo rígido sería: “En un cuerpo sólido o rígido, la distancia entre dos puntos cualesquiera del cuerpo permanece constante durante todo el movimiento”.

1.2. M OVIMIENTO DE TRASLACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO . Observemos las rectas AB de los siguientes cuerpos: La camioneta que va en una carretera horizontal tiene un movimiento de traslación pura, observemos lo que sucede con la línea AB pintada en la camioneta. De la misma manera, la manivela horizontal del mecanismo de la figura tiene un movimiento de traslación pura, observemos lo que sucede con la línea AB dibujada en dicha manivela. Si nuestras observaciones fueron correctas, habremos concluido que la recta AB permanece paralela en todo el trayecto del cuerpo que se mueve, por lo tanto podemos definir el movimiento de traslación pura como: “Durante el movimiento de traslación, una recta perteneciente al cuerpo, permanece paralela a sí misma durante todo el trayecto”. Otra forma de expresar el movimiento de traslación sería: "Durante el movimiento de traslación todos los puntos del cuerpo describen trayectorias iguales y en cada instante, consecuencia lógica, poseen velocidades y aceleraciones iguales en módulo y dirección. Si todos los puntos de un cuerpo rígido no tuvieran la misma velocidad, esto implicaría que algunos puntos se moverían más rápido que otros y por consiguiente, la distancia entre dos puntos del cuerpo rígido variaría; ¡contradicción!, pues en un cuerpo rígido la distancia entre dos puntos no cambia.

1.3. M OVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UN CUERPO

RÍGIDO . Una rueda que gira alrededor de un punto o un automóvil que da una curva, son ejemplos de movimientos de rotación. Podemos decir que un cuerpo rígido tiene movimiento de rotación cuando todos los puntos del cuerpo se mueven en trayectorias circulares alrededor de un eje fijo; éste eje puede estar en el cuerpo o fuera de él. Por ejemplo, los puntos de un automóvil que da una curva en una carretera, siguen trayectorias circulares alrededor de un eje que se encuentra en el centro de la curva de la carretera y no en el auto. Al abrir o cerrar una puerta, todos los puntos de la puerta siguen trayectorias circulares cuyo centro se encuentra en el eje, que es el borde de la puerta donde están conectadas las bisagras. Un disco compacto que gira cuando lo escuchamos, tiene un movimiento de rotación porque todos sus puntos tienen trayectorias circulares respecto al centro del disco.

Consolidación teórica.

1) Diga si los siguientes enunciados son falsos o verdaderos:

2) Durante la traslación de un cuerpo rígido algunas de las partículas del cuerpo tienen

trayectorias paralelas 3) Todos los movimientos de traslación son

rectilíneos. 4) En la traslación curvilínea de un cuerpo rígido

las trayectorias de las partículas del cuerpo son



curvas paralelas. 5) El movimiento de traslación de un cuerpo

rígido se puede describir a través de un punto del cuerpo.

6) Diga si los siguientes enunciados son falsos o verdaderos:

7) Si el eje de giro está fuera del cuerpo, todas las partículas del cuerpo tienen velocidad y aceleración.

8) Sí el eje de giro está dentro del cuerpo, todas las partículas del cuerpo tienen velocidad y aceleración.

9) Todas las partículas de un cuerpo rígido que tiene movimiento de rotación alrededor de un eje fijo, tienen un solo centro.

10)La rueda de un automóvil en marcha tiene un movimiento de rotación

11)Los puntos del cuerpo rígido que se encuentran en el eje de rotación cuando éste está dentro del cuerpo rígido, no tienen ni velocidad ni aceleración.

12)El movimiento de rotación se puede analizar

con las ecuaciones de la cinemática del movimiento circular de las partículas. Consolidación práctica.

13)En el mecanismo de la figura, el motor M mueve la rueda 1 de. 90 [cm] de diámetro que se encuentra conectada mediante un eje a la rueda 2 que tiene 1.5 [m] de diámetro; la polea del motor tiene 25 [cm] de diámetro y parte del reposo acelerando a razón

de 1. 14)Calcular la velocidad que alcanzan los puntos

de la periferia de la rueda 3 de 60 [cm] de diámetro.

15)Calcular la aceleración total que tiene un punto exterior de la rueda 3 luego de 20 [s] de haber arrancado el motor.

1.4. ANÁLISIS MEDIANTE EL CIR PARA EL MOVIMIENTO PLANO DE UN

CUERPO RÍGIDO , Analicemos el caso de una rueda que gira sin trasladarse al rededor; de su centro tal como indica la figura. La velocidad de dos puntos A y B relacionadas con el punto C será:

Vemos que la velocidad de los puntos A y B son proporcionales a y a la distancia entre el punto en cuestión y el punto C cuya velocidad es

cero. Además, la velocidad de estos puntos es perpendicular tanto a como al radio o distancia. Aprovechemos éstas propiedades para analizar un cuerpo rígido cualquiera que tenga movimiento de rotación y traslación, en este cuerpo elijamos un

punto A y dibujemos su vector velocidad luego tracemos una recta perpendicular a ésta velocidad, ¿qué podemos concluir?, correcto, que algún punto de esa recta tiene velocidad cero ¿por qué? Si elegimos otro punto B y hacemos lo mismo, es decir, dibujamos su vector velocidad y una recta perpendicular a este vector, concluiremos lo mismo "algún punto de ésta recta tiene velocidad cero”, pero, ¿cómo hacemos concordar éste resultado con el anterior? La única solución es que el punto donde se interceptan las rectas es el punto que tiene velocidad cero y a ese punto lo conoceremos como Centro Instantáneo de Rotación (CIR). En otras palabras, el CIR es un punto dentro o fuera de un cuerpo rígido cuya velocidad en un instante dado es cero, por lo tanto podemos afirmar que en ese instante es como si todo el cuerpo rígido estuviera girando alrededor del CIR. ¿Qué sucede si las velocidades son paralelas? Bueno el CIR está en la recta perpendicular a dichas velocidades y como éstas velocidades son proporcionales tanto a la velocidad angular (que es la misma

M

2

31



para todos los puntos del cuerpo rígido)y en esencia al radio, podemos unir las puntas de los vectores velocidad y la intersección de ambas rectas será el CIR, tal como lo muestra la figura; aunque no se detalla en la figura, podemos imaginar a los vectores velocidad decrecer, de acuerdo al radio, hasta que se hacen cero (en el CIR) y luego crecer pero en sentido contrario. Las ecuaciones de la velocidad que podemos plantear son: í í

Estas ecuaciones podemos escribirlas escalarmente: í í

Ahora las combinamos de la siguiente manera: í

EJEMPLO 1. La escalera de la figura tiene 3 [m] de longitud y cuando el ángulo con el piso es de 30°, la escalera resbala. Si la velocidad del punto que está

en contacto con el piso es de 5 , calcular la velocidad angular de la

escalera y la velocidad con que se mueve el punto que está en contacto con la pared, use el método del CIR.

SOLUCIÓN Empezamos dibujando dos vectores velocidad; teniendo en cuenta las restricciones geométricas alas que está sometida la escalera, tenemos que la velocidad del punto A es horizontal y hacia la derecha y la del punto B vertical hacia abajo. Una vez determinados dos de los vectores velocidad trazamos las correspondientes perpendiculares a cada uno de estos vectores velocidad y la intersección de estas será el CIR, ahora tendremos: í

53 sin#30°& 3 cos#30°& Con la primera igualdad calculamos y con la segunda la . 3.33 *+,- . 8.66 1-

EJEMPLO 2. La rueda A de 20 [cm] de radio gira en sentido horario a razón de 180 [rpm], el brazo AB gira en sentido antihorario a razón de 120 [rpm]. Calcular la velocidad angular de la rueda B que tiene 10 [cm] de radio y no resbala (no patina) sobre la rueda A.

SOLUCIÓN En el dibujo mostramos los vectores velocidad correspondientes al brazo AB que sólo tiene un movimiento de rotación, la velocidad del punto A es cero, por lo tanto es el CIR de este elemento, entonces:

B

A



í

120 4156 171568607-8 297+,81748 49 *+,- . 49#0.3& 1.29 1-

De la misma manera podemos determinar la velocidad del punto C de la rueda A, el CIR para este elemento es también el punto A porque su velocidad es cero, por lo tanto: í

180 4156 171568607-8 297+,81748 69 *+,- . 69#0.2& 1.29 1-

El CIR de la rueda B lo determinamos mediante el criterio de velocidades paralelas y luego obtenemos:

1.290.1 < = 1.29=

Con esta última relación primero calculamos x y nos da x = 0.05 [m], es decir, el CIR se encuentra 5 [cm] debajo del punto B, con esto podemos calcular la velocidad angular de la rueda B. 249 *+,- . 7207?18


1) ¿Qué significa CIR y cuál es su definición física?

2) ¿Cómo podemos determinar el CIR para un cuerpo rígido si conocemos dos direcciones de sus velocidades?

3) ¿Podemos afirmar que si un punto del cuerpo rígido tiene velocidad cero, ese punto será el CIR? ¿Por qué?

4) ¿Cuál es la ecuación que nos permite relacionar la velocidad de un punto con la velocidad angular del cuerpo rígido y el CIR?

5) [rpm] ¿es una unidad de frecuencia o de velocidad angular? Consolidación práctica.

6) El soporte (camisa) exterior de un rodamiento está fijo. La flecha tiene un diámetro D = 10 [cm] y el diámetro de los perdigones del rodamiento es de 10[mm]; si la velocidad vr de las esferas del rodamiento respecto al soporte

es de 10 , calcular la velocidad angular de

la flecha necesaria para que las esferas no deslicen.

7)Una pelota de tenis de 65 [mm] de diámetro, cuando es lanzada con una

velocidad de 50 , gira como indica la figura a razón de 31.4 . calcular las velocidades máxima y

vC

A

vB

vC

BCIR



mínima de los puntos sobre la superficie de la esfera.

8) Por un plano inclinado desliza hacia abajo un bloque A que se conecta con el bloque B mediante un árbol con pivotes (Pivote, extremo de toda barra o “árbol” (eje que sirve para transmitir o recibir el movimiento de las máquinas)giratorio) en los bloques. Si la

velocidad del bloque A es de 2 , calcular la

velocidad del bloque B y del árbol

9) El mecanismo de la figura consiste de dos

barras rígidas AB y BC de 2.4 [m] de longitud cada una, la barra AB gira alrededor del pivote A mientras que el pivote C se mueve dentro de una guía vertical. Calcular la velocidad del pivote C y la velocidad angular de la barra BC

cuando θ = 20° y AB gire a razón de 0.8 en sentido antihorario.

10)Un elemento hidráulico E, es capaz de mover

los cuatro elementos de la figura que están articulados por los pivotes A, B, C y D. Calcular la velocidad del punto C si los puntos

D y B se separan con una velocidad de 1.5 uno respecto al otro (esto significa que la

velocidad de los puntos es de 0.75 )

11)Calcular la velocidad del pivote B en el

instante en que BC esté en posición horizontal y la barra CD gire a 200 [rpm] en sentido horario.

1) En la figura calcular la velocidad angular de la

rueda B de 3 [cm] de diámetro que gira sin resbalar sobre la parte interior del soporte de 20 [cm] de diámetro. El brazo AB gira a razón de 180 [rpm] en sentido horario.

2) Calcular la velocidad del

pistón C si la velocidad angular del cigüeñal AB de 15 [cm] de largo se mantiene en 3000 [rpm] y θ = 30°

3) La rueda A (la de abajo) de 8 [cm] de radio gira a 200 [rpm] en sentido antihorario. Calcular la velocidad



angular de la rueda B (la de arriba) si la velocidad angular del brazo AB de 12 [cm] de longitud es de 50 [rpm] en sentido horario.

4) Las pistas A y B de la figura se mueven con

velocidades de 1.5 hacia la izquierda y de

2 hacia la derecha respectivamente. Los

rodillos tienen un diámetro de 1 [cm] y no deslizan con las pistas; calcular la velocidad del punto 1 y la ubicación de un punto del

rodillo que tenga una velocidad nula (velocidad cero).

5) Un automóvil tiene ruedas de 60 [cm] de

diámetro y se mueve a una velocidad de 80 @A , si las ruedas tienen una velocidad

angular de 300 [rpm], calcular la velocidad máxima de un punto en el borde de la rueda y el punto en la rueda que tenga una velocidad de cero.


CAPÍTULO 2:D INÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO

Contenido Orientaciones metodológicas Masa, inercia y momento de inercia.

• Diferenciar el tratamiento teórico de una partícula y de un cuerpo rígido.

Momento de inercia. • Relacionar el concepto de masa con el de momento de Inercia.

Rotación y traslación del cuerpo rígido.

• Identificar las fuerzas que rigen el movimiento de un cuerpo rígido y graficarlas en el DCL.

• Escribir las ecuaciones de movimiento del cuerpo rígido.

Método de la energía.

• Definir, identificar y aplicar la energía cinética de rotación de un cuerpo rígido.

• Resolver problemas de cuerpos rígidos empleando los métodos de energía.

Cantidad de movimiento angular.

• Ampliar el concepto de cantidad de movimiento angular de una partícula al cuerpo rígido.

• Definir, identificar y aplicar la cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido.

• Resolver problemas de cuerpos rígidos empleando los métodos de conservación de la cantidad de movimiento angular.



2.1. M ASA, INERCIA Y MOMENTO DE INERCIA . Según la primera ley de Newton, para empezar a mover un cuerpo debemos superar su inercia, la cual está relacionada con la masa (la masa es la medida del nivel de inercia).Esto para el movimiento rectilíneo o de traslación, pero ¿qué sucede con el movimiento de rotación? Evidentemente, para poner en movimiento de rotación a un cuerpo debemos superar su inercia, entonces, ¿cuál es la diferencia? Veamos la figura, para rotar la barra en sentido contrario a las manecillas del reloj, debemos ejercer una fuerza, supongamos en el extremo de la barra y el movimiento empieza, ¿con qué velocidad se mueve el cuerpo?, ¿con qué aceleración? Es aquí donde empiezan nuestras dificultades porque cada punto del cuerpo tiene diferente velocidad y diferente aceleración dependiendo de la distancia al eje de giro a la que se encuentre. ¡Tate, tate! Existen dos elementos comunes a todos los puntos del cuerpo rígido, ¡correcto!, la velocidad angular (ω) y la aceleración angular (α), éstos elementos comunes nos ayudarán a definir la inercia rotacional. Acordémonos de la dinámica de partículas, entonces, tomemos una pequeña partícula de nuestro cuerpo rígido (ΔmD) a una distancia del eje de giro, tal como indica la figura, para que ésta partícula gire en sentido antihorario, es necesario que en el eje tangencial actúe una fuerza total a la que llamaremos EFGFHIFJK , entonces por la segunda ley

newton en este eje tendremos:EFGFHIFJK ΔmD+L Si ésta ecuación multiplicamos por el brazo de giro r obtenemos: ELLL ΔmD+L Donde EFGFHIFJK es el torque total que actúa sobre la i – ésimapartícula y +L, podemos escribir como +L; entonces: MLLL ΔmDNO

Todo esto es para una solo partícula, si queremos obtener una expresión para todas las partículas del cuerpo rígido tendremos que sumar desde la primera partícula hasta la enésima, es decir:

PMLLLQRQS TPΔmDNDQU

DQS V O

Por qué α sale del símbolo de sumatoria? El primer miembro de ésta ecuación es el torque total sobre el cuerpo rígido la cantidad que está escrita entre corchetes es una sumatoria algo más compleja a la que denominaremos momento de inercia y simbolizaremos como I, por lo tanto: M LLí IO

Esta es la segunda ley de Newton para los movimientos giratorios de un cuerpo rígido y la interpretamos como: “El momento total de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido en torno a un eje, es igual al producto del momento de inercia del cuerpo respecto a dicho eje por la aceleración angular del cuerpo”



2.2. M OMENTO DE INERCIA . Analicemos un poco más ésta fórmula:

I PΔmDNDQUDQS

Supongamos que cuatro masas iguales están sujetas por alambres de masa despreciable formando un cuadrado de 10 [cm] de lado, calculemos el momento de

inercia de éste conjunto si el sistema gira en un plano horizontal alrededor de un eje que pasa por a) el centro de las masas, b) una de las masas. a) Como la figura es un cuadrado, la distancia de cada masa al eje de giro, será la mitad del diámetro, es decir: 12X10N Y 10N 5√27[18 7.0717[18 Por lo tanto el momento de inercia será: \ 1SSN Y 1NNN Y 1]]N Y 1^N 41N 41_0.05√2`N 0.0217ab1N8

b) En este caso las distancias al eje de giro no son iguales y tendremos: \ 1#0&N Y 1#0.1&N Y 1#0.1&N Y 1_0.1√2`N \ 0.0417ab1N8 Como primera conclusión podemos sacar que el momento de inercia depende del eje de giro. Una segunda conclusión es que el momento de inercia es aditivo, es decir, se calcula sumando el momento de inercia de cada una de las partículas. Entonces

¿cómo calculamos el momento de inercia de un rígido, si sabemos que tiene un número infinito de partículas? Existe una técnica matemática denominada cálculo integral, que escapa al propósito del presente texto, mediante la cual se pueden calcular los momentos de inercia para infinitas partículas o, lo que es lo mismo, para cuerpos rígidos. Según dicha técnica, se calcularon los momentos de inercia que se indican en el anexo del texto.

2.3. ROTACIÓN Y TRASLACIÓN DEL CUERPO RÍGIDO La segunda ley de Newton para el caso de un movimiento de traslación de una partícula está dada por ELL 1+, en el caso de un cuerpo rígido debemos tener en cuenta que la aceleración de las infinitas partículas por la que está compuesto el cuerpo son diferentes, por lo tanto, debemos considerar en la aplicación de esta ecuación el punto representativo del cuerpo rígido, es decir su centro de masa, esto nos exige escribir la ecuación como: ELL 1+c Junto con la ecuación de torques, nos permiten resolver la dinámica del cuerpo rígido.

EJEMPLO 3. Como el primer ejemplo consideraremos la máquina de Atwood de la figura, supongamos las masas m1, m2 y mp de los bloques y de la polea respectivamente, por otra parte consideraremos que la polea tiene un radio R, que no presenta fricción y que m1< m2. Deseamos calcular la aceleración de los bloques y las tensiones en las cuerdas.

SOLUCIÓN Dibujamos los DCL de cada bloque y de la polea, de ahí obtenemos las siguientes ecuaciones:

m1 m2

mp



T1 – m1 g = m1 a m2 g – T2 = m2 a T2 R – T1 R = Iα

Debemos tener en cuenta que las tensiones son diferentes porque la polea rota alrededor de su eje, por lo tanto la T2 tiene que ser mayor que T1, esto creará un torque resultante en la polea que la hará rotar y está dado por la tercera ecuación. Si ambas tensiones fueran iguales, la polea no rotaría y estaríamos considerando a la polea como una partícula ideal (sin masa y sin rotación). Para relacionar éstas ecuaciones debemos considerar que la aceleración tangencial de la polea es la que se transmite mediante la cuerda, es decir que será la misma que tengan los bloques por lo tanto tenemos que:

a = α R Por otra parte, el momento de inercia de la polea lo sacamos de la tabla y tendremos: \ 121deN

#fN < fS&e 121deNOfN < fS 121d +

Reemplazando las tensiones y despejando la aceleración obtenemos: 1Nb < 1N+ < 1Sb < 1S+ 121d+ 1Nb < 1Sb 121d+ Y 1S+ Y1N+ + 1N < 1S121d Y1S Y 1N b

fS 1S g21N Y 121dh121d Y 1S Y 1N b

fN 1N g21S Y 121dh121d Y 1S Y 1N b

Note que si hacemos 1d 0, los resultados se reducen a los obtenidos en el capítulo de dinámica de la partícula.


1) Define físicamente el concepto de cuerpo rígido.

2) ¿Cuál es la segunda ley de Newton para la rotación de los cuerpos rígidos?

3) La segunda ley de Newton para la traslación de una partícula está dada por ELL 1+, ¿cómo aplicamos esta ecuación para el caso de un cuerpo rígido?

4) Investiga en un texto de física o en internet, el teorema de los ejes paralelos de Steiner y escribe su ecuación matemática.

5) ¿Cuál será el momento de inercia de un disco para un eje que pase por cualquier punto ubicado en el borde del disco?

6) En la aplicación de la ecuación M FGFHIiíJKjG IO,

¿cuál debe ser el cuidado que debemos tomar respecto al cálculo de los torque y el momento de inercia del cuerpo rígido? Consolidación práctica.

m1 g

T1

m2g

T2

T2 T1 mp g

T



7) La polea de la figura tiene un radio de 50 [cm] y una masa de 25 [kg], puede rotar respecto al eje horizontal sin fricción. Una cuerda enrollada alrededor de la polea permite bajar verticalmente al bloque de 10 [kg]. Calcular: a) La aceleración angular de

la polea. b) La aceleración del bloque. c) La tensión en la cuerda.

8) Calcular la aceleración del sistema de la figura, si el radio de la polea es de 10 [cm], su masa de 1.5 [kg], la masa de los bloques es de 5[kg] del que cuelga y de 10[kg] del que está sobre la mesaconsidere que el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la mesa es de 0.5.

9) Un carrete cilíndrico tiene dos ruedas delgadas de 5[cm] de radio, unidas por una garganta de 3[cm] de radio, la masa de cada disco es de 500[g] y la de la garganta es de 200 [g]. Si se enrolla una cuerda en la garganta y luego se la jala horizontalmente con una fuerza de 2 [N], calcular la aceleración del centro de masa del carrete.

10)En el cilindro que está sobre la mesa, tal como se muestra en la figura, se enrolla una cuerda que pasa por una polea y del otro extremo cuelga un bloque, considerando que la masa del cilindro es de 2 [kg], su radio de 25 [cm], la masa de la polea de 800 [g], su radio de 5 [cm] y la masa del bloque de 1 [kg], calcular:

a) La aceleración del bloque. b) La aceleración angular del cilindro. c) La tensión en la cuerda. d) El coeficiente de roce mínimo para que

exista rodadura pura entre el cilindro y la mesa.

11)En la figura se muestra dos discos unidos por un eje y en los cuales se enrolla cuerdas que en sus extremos libres sostienen bloque.Si consideramos que la masa de la rueda mayor es de 500 [g] y su radio de 8 [cm], de donde cuelga el bloque de 600 [g] de masa, y la rueda menor de 300 [g], con un radio de 6 [cm] y de la cual pende el bloque de 500 [g]. Calcular: a) La aceleración de los bloques. b) La aceleración angular de las ruedas. c) La tensión en las cuerdas.

12)Los discos de la figura tienen la misma masa de 3 [kg] y el mismo radio de 3.267 [cm]. El disco superior puede rotar libremente a lo largo del eje y el disco inferior se deja caer. Calcular: a) La aceleración del centro de masa del

disco inferior. b) La tensión en la cuerda. c) La aceleración angular del disco superior.



2.4. M ÉTODO DE LA ENERGÍA . Analicemos la energía cinética de un cuerpo rígido en rotación pura, por ejemplo una rueda sujeta en su eje y que gira con una velocidad angular constante o variable; según la definición de energía cinética tenemos: k 12 1 N

Acá empiezan nuestras dificultades, ¿qué velocidad vamos a tomar como la velocidad del cuerpo rígido?, la pregunta la formulo porque cada punto (partícula) del cuerpo rígido tiene una velocidad diferente, recordemos que según la ecuación = la velocidad depende de la distancia a la que se encuentra del centro de rotación, por lo tanto habrá una infinidad de velocidades para las partículas que componen el cuerpo rígido; ¿cómo solucionamos éste problema? Una opción es la tomada en secciones anteriores, elegimos una partícula i ésima cualquiera de masa ∆1que se encuentre a una distancia del centro de rotación y que tiene una velocidad = ¿por qué no colocamos ωi? Con éste razonamiento la energía cinética de la i ésima partícula del cuerpo rígido será: k = 12 ∆1N

La energía cinética de todo el cuerpo rígido será:

k LóR = P k QRQS = P 12 ∆1N

QRQS = P 12 ∆1NN

QRQS

Factorizando los términos comunes tenemos:

k LóR = 12 nP ∆1NQRQS o N

La cantidad entre corchetes es lo que ya definimos como momento de inercia (I), por lo tanto la energía cinética rotacional (k ) será: k = 12 \N

Si además de rotar, el cuerpo rígido también se traslada, tendrá ambas energías la cinética de rotación y la cinética de traslación, la primera está dada por la anterior ecuación y la segunda estará referida a la velocidad del centro de masa, es decir: k LL = 12 1 cN + 12 \cN

EJEMPLO 4. La llanta de un vehículo puede considerarse como un disco uniforme de 15 [kg] de masa y de 0.35 [m] de radio. Calcular la energía cinética total

de la rueda si la velocidad del vehículo es de 108 @A . SOLUCIÓN La velocidad angular de la rueda la calculamos mediante la relación: = e = 300.35 = 85.71 *+,- . El momento de inercia de un disco sólido es:

v2

v1

v3

vi ri

∆mi

Eje de giro



\c 12 1 eN = 12 #15&#0.35&N = 0.92 7ab 1N8 Por lo tanto la energía cinética total será: k = 12 1 cN + 12 \cN

k = 12 #15&#30&N + 12 #0.92&#85.71&N k = 10125 7q8 Esta energía es grande debido a la traslación y rotación del disco, el 33.33 % de la energía cinética total corresponde a la rotación.

EJEMPLO 5. Una barra de 30 [kg] se libera desde el reposo en el instante en que el resorte no está estirado, la longitud de la barra es de 1 [m] y la constante

elástica del resorte es de 350 r. Calcular las velocidades del punto A

y C en el instante en que la barra golpeé con el piso, ¿qué velocidad tiene en ese momento el punto B? Considere que la pared y el piso no presentan fricción.

SOLUCIÓN Empecemos respondiendo la última pregunta, en el momento en que la barra golpeé el piso, el punto B tendrá una velocidad de cero, por lo tanto se constituirá en el centro instantáneo de rotación. Esto nos permite calcular las velocidades de los puntos A y C mediante las ecuaciones = s, y = N, donde s es la longitud de la barra; por lo tanto

nuestro objetivo ahora es calcular la velocidad angular de la barra. Como no existen fuerzas de roce, podemos utilizar la conservación de la energía mecánica. En el instante inicial no hay energía cinética (la barra se libera del reposo), tampoco hay energía potencial elástica porque el resorte no está estirado pero si hay energía potencial gravitatoria porque el centro de masa de la barra se encuentra a cierta altura sobre el piso, es decir: kt = kd = 1 b ℎc En el instante final no hay energía potencial gravitatoria pero sí hay energía potencial elástica y energía cinética es decir: kv = k + kd = 12 1 cN + 12 \cN + 12 a =N

Igualando las expresiones tenemos: 1 b ℎc = 12 1 cN + 12 \cN + 12 a =N

Reemplazando y teniendo en cuenta que c = = N,\c =SSN 1 sN,ℎc = N sin#45°&,= = s sin#45°&, tenemos:

1b s2 sin#45°& = 12 1 w s2xN + 12 112 1sNN + 12 a#s sin#45°&&N

Esta ecuación nos permite calcular la velocidad angular de la barra. = 1.81 *+,- . Por lo tanto:

1[m]

45° B

C

A

A BC

vA

vB



1.81 1- y 0.91 1-

Consolidación teórica. 1) Si un cuerpo rígido tiene movimiento de

traslación ¿Qué energías cinéticas podemos asociarle?

2) Si un cuerpo rígido tiene movimiento de rotación ¿Qué energías cinéticas podemos asociarle?

3) Si un cuerpo rígido tiene movimiento de traslación y rotación ¿Qué energías cinéticas podemos asociarle?

4) ¿Cuál es la definición física y matemática de la energía cinética de rotación? ¿Cuál es la unidad de medida de esta energía en el SI?

5) ¿Cómo debemos considerar la energía potencial gravitatoria de un cuerpo rígido? Consolidación práctica.

6) Una barra delgada de 10 [kg] y 1 [m] de longitud, se encuentra en posición vertical articulada por uno de sus extremos, empieza a girar desde el reposo sin fricción en su articulación. Calcular la velocidad del extremo no articulado de la barra cuando esta se encuentre en posición horizontal.

7) Resuelva el problema anterior cuando la barra forme un ángulo de 30° sobre la horizontal.

8) Resolver el ejemplo 3 para cuando la barra

forme un ángulo de 15° sobre la horizontal. 9) Un disco sólido de 14 [kg] y de 2.5 [cm] de

radio se libera desde el reposo en la cúspide de un plano inclinado 30° sobre la horizontal, llega a la base después de descender 1.5 [m]. Calcular la velocidad del centro del disco cuando llega a la base del plano inclinado

10)Resuelva el problema anterior para el caso de una esfera sólida y para una esfera hueca con la misma masa y el mismo radio.

11)Una rueda de bicicleta de 1.2 [kg] tiene un radio de 70 [cm] y sus radios tienen una masa despreciable. Si parte del reposo y se mueve

con una aceleración angular de 3 , ¿cuál

será su energía cinética luego de 4 [s] de su partida?

12)Suponga que cada rueda de una auto de 1000 [kg] tiene una masa de 15 [kg], un radio de 0.4 [m] y un momento de inercia de 0.6 [kg m2] respecto a su centro de masa. Construya una gráfica de la energía cinética de las cuatro ruedas en función de la velocidad del vehículo,

para velocidades de 20, 60, 80 y 100 @A . 2.5. CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR .

Una partícula que se mueva en una recta con velocidad v, tiene una cierta cantidad de movimiento lineal dada por la combinación del nivel de inercia que lleva (masa) y la velocidad con que se mueve? 1. Si la partícula estuviera moviéndose en un círculo, no podríamos hablar de una cantidad de movimiento lineal, sino de una cantidad de movimiento angular, que se verá afectada por el radio de su trayectoria, pues a mayor radio la partícula desarrollará mayor velocidad (tendrá mayor cantidad de movimiento lineal) si desea dar la vuelta en el mismo tiempo. Por esta razón, definimos la cantidad de movimiento angular como: z ? ∆1 ∆1 N∆1

zí PzQRQS P#N∆1 &QR

QS nPN∆1QRQS o \

El punto de referencia para el cálculo del momento angular debe ser el mismo para el cálculo del momento de inercia.

EJEMPLO 6.

v2

v1

v3

vi ri

∆mi

Eje de giro



Una barra delgada y uniforme de 1.5 [m] de largo tiene una masa de 8

[kg]. Si la barra se hace girar alrededor de su centro a razón de 6 , calcular su cantidad de movimiento angular.

SOLUCIÓN Aplicamos directamente la ecuación deducida: zc \c Reemplazamos el momento de inercia correspondiente y tenemos: zc 112 1sN 112 #8&#1.5&N#6& 9 ab1N- |

EJEMPLO 7. Una bala de 800 [g] de masa es dispara con una velocidad de 600 contra un cilindro sólido de 2 [kg] de masa que inicialmente está en reposo. El cilindro tiene un radio de 8 [cm] y está sujeto a un eje, tal como se muestra en la figura; la dirección en que se mueva la bala es perpendicular al eje y se encuentra a una distancia de 3 [cm] sobre el centro. Calcular la velocidad angular del sistema considerando que la bala se queda prácticamente en la superficie del cilindro y que el eje no ofrece resistencia alguna al movimiento.

SOLUCIÓN Considerando al cilindro y la bala como todo el sistema, vemos que no hay torques en este sistema, por lo tanto podemos usar la conservación de la cantidad de movimiento angular. La cantidad de movimiento inicial del sistema será sólo la de la bala porque el cilindro inicialmente no se mueve, es decir: z ,1t En dirección del eje del cilindro y en sentido de las manecillas del reloj. La cantidad de movimiento angular final tendrá la misma dirección y sentido, que la bala al ingresar a la superficie del cilindro, por lo tanto, el sistema deberá girar en el sentido y la dirección de las manecillas del reloj (era lo esperado ¿verdad?), por lo tanto tenemos: zv \ El momento de inercia es la del cilindro y de la bala incrustada en su superficie evaluado con referencia al eje de giro, es decir: zv w121eN Y 1eNx

Como existe conservación en la cantidad de movimiento angular, tenemos: ,1t w121eN Y 1eNx

Despejando la velocidad angular tenemos: ,1teN g121 Y 1h 1250 *+,- . 11936.627?18 EJEMPLO 8.

s



Dos discos sólidos A y B se encuentran montados sobre un eje horizontal que no presenta fricción; el disco A de 10 [kg] y de 25 [cm] de diámetro gira a razón de 3000 [rpm], el disco B no está girando y tiene una masa de 7 [kg] y un diámetro de 18 [cm]. El disco B, mediante un mecanismo externo, se une al disco A y puesto que sus superficies presentan un alto coeficiente de roce estático, ambos discos llegan a girar juntos. Calcular la velocidad angular con que giran ambos discos y el porcentaje de pérdida de energía cinética.

SOLUCIÓN Considerando los dos discos como todo el sistema, vemos que no hay torques externos en este sistema, por lo tanto podemos usar la conservación de la cantidad de movimiento angular. La cantidad de movimiento inicial del sistema será sólo la del disco A porque el disco B inicialmente no se mueve, es decir: zt \t En dirección del eje y en sentido de las manecillas del reloj. La cantidad del movimiento angular final tendrá la misma dirección y sentido indicadas, por lo tanto tenemos: zv \~v El momento de inercia del disco A y de ambos discos es: \ 121eN\~ 121eN Y 121eN 12 #1eN Y 1eN& zv 12 #1eN Y 1eN&v

Como existe conservación en la cantidad de movimiento angular, tenemos: 121eNt 12 #1eN Y 1eN&v

Despejando la velocidad angular final obtenemos: v 1eNt1eN Y 1eN 11 Y 11 eeN t 230.51 *+,- . La energía inicial del sistema se debe sólo a la rotación del disco A. k 12 \tN 12 w121eNxtN 141eNtN

La energía final del sistema se debe a la rotación conjunta de ambos discos, es decir: kv 12 \~vN 1212 #1eN Y 1eN&vN

kv 14 #1eN Y 1eN&vN

La pérdida de energía cinética será: ∆k kv < k 14 #1eN Y 1eN&vN < 141eNtN

∆k 14 1eN_vN < tN` Y 1eNvN El porcentaje de pérdida de energía cinética calculamos dividiendo la pérdida de energía entre la energía inicial del sistema y la multiplicamos



por cien.

% 14 1eN_vN < tN` Y 1eNvN141eNtN 100

% 11 Y 11 eeN < 1 100 <26.63%

El signo menos se debe a que hay pérdida de energía, debemos notar que el porcentaje de pérdida de energía cinética solo se debe a las masas y radios de los discos y no a la velocidad angular que tenga el disco A al principio.

Consolidación práctica

1) Considera a la tierra como una esfera sólida de 6,37 * 106 [m] de radio, 5.98 1024 [kg] de masa y calcula la energía cinética de rotación y la cantidad de movimiento angular en su movimiento de rotación alrededor de su eje (periodo 1 [dia]).

2) Sobre una superficie horizontal una barra rígida de 1.5 [m] de largo y de 3 [kg] masa sostiene en sus extremos dos masas de 2 [kg] y 4 [kg]. El sistema gira sobre la superficie alrededor de un eje fijo que pasa por el centro de la barra. Calcular la cantidad de movimiento angular del sistema respecto al eje de giro cuando las masas tengan una velocidad

de 5 . 3) El reloj Big Ben de Londres, tiene manecillas

que miden 2.7 [m] y 4.7 [m] de largo y tienen masas de 60 [kg] y 100 [kg] respectivamente; considere las manecillas como barras delgadas y largas y calcule la cantidad de movimiento angular total respecto al eje de giro.

4) El cubo de madera de la figura tiene una masa de 2.5, [kg] y 10 [cm] de arista, la barra que lo une al eje de giro tiene 1 [kg] y un largo de 80 [cm], bloque y barra inicialmente se hallan en reposo. Una bala de 500 [g] se desplaza paralelamente a la superficie horizontal y perpendicular a la barra con una velocidad de

300 , golpea el bloque y queda incrustada

en el centro del cubo. 5) Calcular la velocidad angular conque gira el

sistema luego del impacto, desprecie todas las fuerzas de roce.

6) Calcular el porcentaje de pérdida de energía cinética.

7)


TEORÍA DE CAMPOS Y ELECTRODINÁMICA.

Capítulos Temas.

Campos Estáticos

• Vemos creemos y explicamos. • Campo. • ¿Quiénes los generan? • La carga eléctrica. • ¿Cómo se pueden cargar eléctricamente los cuerpos?

Las fuerzas en los campos. • La ley de la inversa al cuadrado.

La intensidad de los campos.

• Líneas de fuerza. • Intensidad de los campos. • Campo magnético de cargas eléctricas. • Corriente eléctrica y magnetismo. • Intensidad del campo magnético y la geometría de la

corriente eléctrica.

Movimiento en el campo gravitatorio

• Energía potencial gravitatoria. • Consideraciones energéticas. • El movimiento de satélites y planetas.

Movimiento en el campo eléctrico.

• Un concepto previo, diferencia de potencial eléctrico (ddp-e). • Placas paralelas con carga opuesta.

Conexión de capacitores.

• ¿Qué es un capacitor? • Capacitancia. • Conexión de capacitores en serie. • Conexión de capacitores en paralelo. • Energía de un capacitor.

Ley de Ohm.

• V vs. I • Ley de OHM. • El material, el largo y la sección de los conductores. • Dividiendo V y conservando i. • Dividiendo i y conservando V.

Las leyes de Kirchhoff.

• Kirchhoff • Ley circuital de Kirchhoff. • Ley de nodos de Kirchhoff. • Circuitos con capacitores.

Introducción a la electrónica

• Semiconductores. • Semiconductor tipo n • Semiconductor tipo p • Unión n – p o diodo semiconductor. • ¿Cómo funciona un diodo?


CAPÍTULO 3:C AMPOS ESTÁTICOS


Vemos creemos y explicamos. • Identificar y describir el proceso a través del cual la física establece leyes naturales para describir su entorno.

Campo. • Definir con sus propias palabras lo que entendemos por campo en la ciencia física.

¿Quiénes los generan? • Identificar los agentes físicos que generan los campos.

La carga eléctrica.

• Reconocer la carga eléctrica como una propiedad de la materia.

• Identificar las partículas elementales que poseen esta propiedad y describir sus características.

• Conceptualizar y aplicar la ley de Du Fay. • Identificar la unidad de medida de la carga eléctrica en el SI.

¿Cómo se pueden cargar eléctricamente los cuerpos?

• Identificar y describir los tres procedimientos posibles para generar carga eléctrica y explicarlos.

Campos estáticos


3.1. VEMOS CREEMOS Y EXPLICAMOS . Gravedad Electricidad Magnetismo

Vemos.

Una de las regularidades que vemos cotidianamente en la naturaleza es la caída de los cuerpos, desde niños experimentamos que al soltar un cuerpo, éste cae hacia la tierra

De la misma manera hemos podido observar varias veces que al sacarnos la chompa de lana, ésta produce unas pequeñas chispas, lo mismo ocurre a veces al peinarnos o, vemos que después de peinarnos el peine puede atraer algunos trocitos de papel hacia él y desafiamos la gravedad frotando los globos con nuestra chompa y los adherimos a la pared ¡los globos no caen!

¿Y con los imanes? pues también vemos que hay imanes que se atraen y otros que se repelen.

Creemos.

Que la tierra jala a todos los cuerpos, la jala con una fuerza a través de un medio invisible o con una fuerza que es capaz de actuar a distancia

Que existe una fuerza que hace que el peine atraiga a los pedacitos de papel o que los globos no caigan adhiriéndose a las paredes. Esta fuerza parece actuar a distancia a través de un medio invisible.

Que existen dos fuerzas una que hace que los imanes se atraigan y otra que hace que los imanes se repelan, al igual que las otras, parece que esta fuerza es capaz de actuar a distancia a través de un medio invisible.

Explicamos. La física logra unir estos tres fenómenos naturales y los explica a través de una sola teoría aunque con diferentes fórmulas, esta teoría la denominamos "teoría de campos"

3.2. CAMPO .

Históricamente el concepto de campo fue introducido para explicar la acción a distancia de las fuerzas de gravedad, eléctrica y magnética, aunque con el tiempo su significado se ha extendido substancialmente, para describir otros fenómenos físicos como las variaciones de temperatura, tensiones mecánicas en un cuerpo, propagación de ondas, etc. La acción a distancia se explica, entonces, mediante efectos provocados por la entidad causante de la interacción, sobre el espacio mismo que la rodea, permitiendo asignar a dicho espacio propiedades medibles. Los campos más conocidos en física clásica son: Campo electromagnético. Descomponible para cada observador en dos campos campo electrostático y campo magnético. En física newtoniana el campo electromagnético puede ser tratado como dos campos vectoriales, aunque en física relativista el campo electromagnético relativista se trata como un campo tensorial, derivable de un único campo vectorial tetradimensional. Campo gravitatorio. En mecánica newtoniana el campo gravitatorio puede ser tratado como un campo vectorial irrotacional, y por tanto derivable de un campo escalar. En cambio la descripción de la gravedad en la Teoría general de la relatividad es más compleja y requiere definir un tensor de

EN FÍSICA, UN CAMPO REPRESENTA LA DISTRIBUCIÓN ESPACIAL DE UNA MAGNITUD FÍSICA QUE MUESTRA CIERTA VARIACIÓN EN UNA REGIÓN DEL ESPACIO.



segundo orden, llamado tensor métrico sobre un espacio-tiempo curvo En teoría cuántica los campos se tratan como distribuciones que permiten asignar operadores que describen el campo. La existencia de un campo medible en una región del espacio se trata como un estado del espacio-tiempo consistente en que la medición de los operadores de campo sobre determinada región del espacio toma cierta distribución.

3.3. ¿QUIÉNES LOS GENERAN? El campo gravitatorio es generado por la masa, es decir, todo cuerpo por más mínima que sea su masa genera a su alrededor un campo donde se producen fuerzas de atracción a otros cuerpos que tienen masa y que se encuentran al alcance de dicho campo. El campo gravitatorio es el que más lo sentimos por el efecto gravitatorio de la tierra, pero entre los campos físicos existentes es el más débil, ésta debilidad se ve compensada por el alcance, pues es de un gran alcance ¡La tierra gira alrededor del sol debido al campo gravitatorio! es más, el universo entero está formado gracias a este campo. El campo eléctrico es generado por las carga eléctrica ya sea que estén en reposo o en movimiento, por mínima que sea la carga eléctrica genera a su alrededor un campo eléctrico que ejerce fuerzas sobre otra carga eléctrica tanto de atracción como de repulsión. El campo eléctrico es mucho más intenso que el campo gravitatorio pero en compensación su alcance no es tan alto, la existencia de las moléculas y los átomos es consecuencia del campo eléctrico. El campo magnético es generado por los imanes permanentes y también por las cargas eléctricas pero con la particularidad de que éstas tienen que estar en movimiento, es decir, una carga en reposo solo genera campo eléctrico pero una carga en movimiento genera tanto campo eléctrico como campo magnético. La intensidad del campo magnético es similar a la del campo eléctrico, en consecuencia no es de muy alto alcance y es mucho más intenso que el gravitatorio. Resumiendo tenemos:

Campos Í+5+5 +-+ [ 5646-, b+6 +s[+6[4ksé[5[

+b6é5[+b+ 4sé[5[+

+b+ 4sé[5[+ 46 151546ó\1+64- ?41+6464-\646- y ,4 [ +s[+6[4\646- y ,4 ?[ +s[+6[4

3.4. L A MASA Y LA CARGA ELÉCTRICA . De pronto estamos hablando de agentes como la masa y la carga eléctrica como responsables de los tres campos gravitatorio, eléctrico y magnético. La masa y la carga eléctrica son propiedades de la materia. La materia es todo aquello que existe fuera de nuestra conciencia y tiene ciertas propiedades como:

La masa (como la medida de la interacción con el campo de Higgs). La inercia (oposición al cambio de estado de reposo o de movimiento). La energía (energía y materia, dos caras de la misma medalla). La dureza. La viscosidad. El color. El sabor. La conductividad eléctrica o calorífica, etc.

Sin masa, el Universo sería un lugar totalmente diferente. A grandes escalas, sin atracción gravitatoria no existirían planetas y estrellas, por lo que no podrían soportar vida. Incluso si olvidáramos esto, a nivel microscópico la masa juega un papel importante en la existencia de átomos y por tanto en la

Campos estáticos


materia como la conocemos: no habría química, ni biología ni existiríamos nosotros mismos... Sin ir a casos tan El físico británico Peter Higgs, junto con otros físicos como R. Brout y F. Englert, postularon hace unos 50 años un mecanismo matemático por el que las partículas adquirían masa dentro del Modelo Estándar. Este mecanismo postula la existencia de un “campo de Higgs” que al interaccionar con las partículas genera su masa. Además, reconoce la existencia de una nueva partícula fundamental, que se ha venido en llamar “bosón de Higgs”. ¿Cómo funciona el mecanismo de Higgs? Matemáticamente el campo de Higgs es un campo cuántico que se extiende por todo el espacio y se acopla con distinta intensidad a las distintas partículas (si lo hace con más intensidad la partícula tendrá una mayor masa). El acoplamiento, la masa, viene dado por algo parecido a una fricción con el campo de Higgs, por lo que las partículas más ligeras se moverían por este campo fácilmente mientras que las más pesadas lo harán con mayor dificultad. Una forma de visualizarlo es imaginar el campo de Higgs como un mar y las partículas como barcos navegando por él. Barcos más grandes sufren una mayor fricción, tendrán mayor masa. El mismo campo se puede manifestar como una partícula, el bosón de Higgs, que se mueva por él de manera parecida a la de un iceberg desplazándose por el mar. La carga eléctrica es otra propiedad de la materia que se manifiesta de dos maneras mediante las partículas elementales el electrón y el protón cuyas propiedades las describimos en la tabla siguiente:

Nombre Carga Magnitud Masa Electrón Negativa 1.6 × 10- 19 [C] 9.11 × 10- 31 [kg] Protón Positiva 1.6 × 10- 19 [C] 1.67 × 10- 27 [kg] Neutrón Sin carga 0 1.67 × 10- 27 [kg]

En la tabla también introducimos la unidad de medida de la carga eléctrica en el Sistema Internacional como el Coulomb, simbolizada con [C]. Experimentalmente se verifica que:

La carga del electrón (1 [e-] = 1.6 × 10- 19 [C]) es igual a la del protón. La unidad básica de medida de la carga eléctrica es la del electrón y se considera la carga elemental en el sentido que todas las cargas de los cuerpos electrizados están expresadas con un múltiplo entero de dicha carga elemental, es decir, todas las partículas eléctricamente cargadas llevan una carga igual en valor absoluto a una cantidad llamada carga elemental, e. El protón posee una carga +e y el electrón lleva una carga -e. Matemáticamente podemos expresar la carga eléctrica en función de la carga elemental como: 6 |4¢| Donde q es la carga eléctrica medida en Coulomb [C], n es el número de cargas eléctricas elementales o número de electrones y |4¢| es el valor absoluto de la carga del electrón, es decir |4¢| = 1.6 ∗10¢S¤ 78. Un átomo tiene el mismo número de electrones que de protones por lo tanto es eléctricamente neutro. Toda la materia contiene gran número de átomos y su carga global es nula a no ser que haya perdido o ganado electrones, en cuyo caso posee carga neta positiva o negativa, respectivamente. Sin embargo, un cuerpo, aunque eléctricamente neutro, puede tener cargas eléctricas positivas en ciertas zonas y cargas positivas en otras. En todo proceso, físico o químico, la carga total de un sistema de partículas se conserva, es decir, no se puede crear ni destruir carga eléctrica. Es lo que se conoce como principio de conservación de la carga. Las cargas eléctricas de la misma naturaleza (ambas positivas o ambas negativas) se repelen y las de naturaleza opuesta (una positiva y la otra negativa) se atraen (ley de Du Fay).



3.5. CUERPOS CONDUCTORES Y AISLANTES. Por un tubo cilíndrico hueco puede fluir agua o cualquier otro líquido, pero por un tubo cilíndrico sólido no puede fluir ningún líquido, este ejemplo nos permitirá clasificar los cuerpos eléctricamente. Existen ciertos cuerpos que permiten fluir a las cargas eléctricas a través de ellos, en cambio otros cuerpos no permiten que las cargas eléctricas fluyan a través de ellos; los primeros son llamados cuerpos conductores y los segundos cuerpos aislantes. Los mejores conductores son los metales porque en ellos los electrones más alejados del núcleo están sometidos a fuerzas muy débiles y fácilmente abandonan el átomo convirtiéndose en electrones libres que van moviéndose por los espacios interatómicos. Los aislantes son los no metálicos que tienen a sus electrones fuertemente ligados no permitiendo la formación de electrones libres. Como ejemplos de cuerpos conductores tenemos el cobre, la plata, el oro, el aluminio, etc. Y como ejemplos de cuerpos aislantes tenemos el vidrio, la mica, los plásticos, etc.

3.6. ¿CÓMO SE PUEDEN CARGAR ELÉCTRICAMENTE LOS CUERPOS ? Existen tres formas de cargar los cuerpos. Electrización por frotamiento. En este caso lo que se hace es traspasar electrones de un cuerpo a otro de manera mecánica (frotamiento) de tal manera que a un cuerpo le faltan electrones (se queda cargado positivamente) y al otro le sobran electrones (se queda cargado negativamente) este fenómeno ocurre si frotamos un trozo de vidrio con lana, en este caso el vidrio cede electrones y la lana los absorbe ¿cuál es la carga eléctrica del vidrio? ¿Cuál la carga eléctrica de la lana?

Electrización por contacto. Esto se produce entre dos cuerpos conductores, si uno de ellos está cargado eléctricamente y otro no tiene carga (es neutro) los ponemos en contacto y, como son conductores, la carga eléctrica fluye de uno hacia otro hasta que se establezca el equilibrio y no haya carga que fluya, es decir, la carga final de cada cuerpo será la media aritmética de las cargas que inicialmente están en las esferas, cumpliendo de esta manera la ley de conservación de la carga eléctrica. Electrización por inducción. En este caso los cuerpos

cargados no entran en contacto, acercamos un cuerpo cargado a un conductor neutro, al acercarlo los electrones del conductor serán atraídos o repelidos según el cuerpo este cargado positivamente o negativamente quedando, de esta manera, el conductor con una de sus caras positivas y con la otra negativa, para completar el proceso debemos conectar una de las caras del cuerpo hacia tierra con un hilo conductor, si queremos que el conductor quede cargado positivamente conectamos la cara negativa a tierra para que los electrones se vayan hacia ella y el conductor quede con exceso de carga positiva; si deseamos que el conductor quede

negativo conectamos a tierra la cara positiva para que atraiga electrones desde la tierra y el conductor quede con exceso de electrones.

EJEMPLO 9. Calcular la carga que adquirirá una esfera de Cobre de 10 [cm] de radio si pudiésemos extraer de ella todos los electrones de conducción. Consideraremos que a cada átomo de cobre le corresponde un electrón de conducción.

q1 q2

¥¦§¥N ¥¦§¥N

Campos estáticos


SOLUCIÓN. Lo que necesitamos calcular es el número de átomos en la esfera de cobre, para eso necesitamos conocer su masa atómica (64) y su densidad (8.9 [g/cm3]) con factores de conversión y usando el símbolo de q para la carga eléctrica tenemos:

q = 43 π (10)3 [cm3]

8.9 g

1 cm3

1 mol

64 g

6.023 1023 átomos

1 mol

1 e

1 átomo =

3.508 * 1026 [e-] La esfera tiene una carga de 3.508 * 1026 cargas elementales que en Coulombs será:

q = 3.508 * 1026 [e-]

1.602 * 10- 19 [C]

1 e = 5.62 * 107 [C]

La carga de la esfera es positiva porque hemos logrado sacar los electrones en consecuencia en la esfera habrá en exceso de protones o carga positiva.

EJEMPLO 10. Se tienen tres esferas idénticas sobre soportes aislantes y separadas una de las otras; una de las esferas tiene carga neutra, la otra está cargada con – 3 Q y la tercera tiene una carga de + 6 Q. Si se ponen en contacto la primera con la tercera esfera, a continuación se pone en contacto la primera con la segunda esfera y finalmente la segunda esfera con la tercera, determinar la carga final de cada una de las esferas.

SOLUCIÓN. Al poner en contacto la primera con la tercera y luego separarlas la carga se distribuye uniformemente en ambas

Q total = Q'1 = Q

'3 =

Q1 + Q32 =

0 + 6 Q2 = 3 Q

Ahora ponemos en contacto la primera esfera con su nueva carga con la segunda esfera.

Q total = Q''1 = Q

'2 =

Q'1 + Q2

2 = 3 Q - 3 Q

2 = 0

Finalmente ponemos en contacto la segunda esfera con la tercera.

Q total = Q''2 = Q

''3 =

Q'2 + Q

'3

2 = 0 + 3 Q

2 = 1.5 Q

Q 1 final = 0 Q'2 final = 1.5 Q Q3 final = 1.5 Q

Note que al principio del proceso la carga total era 3 Q y ahora al final también es 3 Q.


1) Bibliografía de Benjamín Franklin y su contribución a la electricidad.

2) Describa el campo gravitatorio, el eléctrico y el magnético, haciendo referencia al tipo de interacción que presentan, sus agentes

generadores, su intensidad y su alcance. 3) ¿Qué campos genera una carga eléctrica en

movimiento? 4) Una carga eléctrica es observada por dos

espectadores, el primero se encuentra en reposo respecto a la carga y el segundo se

- 3 Q + 6 Q

0 Q



mueve respecto a la carga, describa las observaciones de los campos que miden cada uno de los espectadores.

5) ¿Será posible que una carga eléctrica genere un campo gravitatorio? ¿Por qué?

6) Un cuerpo con cierta masa ¿podrá generar un campo eléctrico o un campo magnético?, justifique sus respuestas.

7) Un cuerpo cargado eléctricamente (designémoslo por A) rechaza a un grupo de substancias, otro cuerpo cargado “B” rechaza a otro grupo de substancias pero las sustancias de ambos grupos se atraen entre sí. ¿Cuál es la carga de los cuerpos A y B? ¿se puede determinar unívocamente? Los cuerpos A y B ¿se atraerán siempre?

8) Existen tres formas de cargar un cuerpo, por fricción, por contacto y por inducción, describa cada una de estas formas de cargar los cuerpos. Consolidación práctica.

9) Determinar la carga eléctrica de un cable cilíndrico de cobre de 50 [cm] de largo y de 0.2 [cm] de radio si se logra extraer la mitad de sus electrones de conducción, considere que cada átomo tiene un electrón de conducción.

10)Se tienen cuatro esferas, la primera tiene una carga de – 8 Q, la segunda + 6 Q, la tercera + 12 Q y la cuarta – 4 Q. Si primero se ponen en contacto las dos esferas pares y las dos esferas impares y luego se ponen en contacto una esfera par con otra impar, ¿cuál es la carga final de cada esfera? Note que existen dos respuestas.

11)Calcular el número de electrones que se necesitan para generar una carga de: a) 1 [C] b) 1 [µC]

c) 5 * 10-15 [C]


CAPÍTULO 4:L AS FUERZAS EN LOS CAMPOS.


La ley de la inversa al cuadrado.

• Generalizar los fenómenos gravitatorios, eléctricos y magnéticos a través de la ley de la inversa de la distancia al cuadrado.

• Identificar el tipo de interacción en cada uno de los campos en función a las características de los cuerpos que los generan.

Fuerza gravitatoria

• Desarrollar la apropiación del vocabulario lingüístico y matemático básico de la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos con masa, abstrayendo el modelo matemático de la fuerza de gravitación universal propuesta por Newton.

Fuerza eléctrica. • Desarrollar la apropiación del vocabulario lingüístico y matemático

básico de la fuerza eléctrica entre dos cargas eléctricas, abstrayendo el modelo matemático de la fuerza eléctrica propuesta por Coulomb.

Fuerza magnética entre imanes permanentes.

• Desarrollar la apropiación del vocabulario lingüístico y matemático básico de la fuerza magnética entre dos imanes permanentes, abstrayendo el modelo matemático de la fuerza magnética entre imanes permanentes.

Fuerza magnética entre cargas eléctricas en movimiento.

• Desarrollar la apropiación del vocabulario lingüístico y matemático básico de la fuerza magnética entre cargas eléctricas en movimiento, abstrayendo el modelo matemático de la fuerza magnética entre cargas eléctricas en movimiento.

Objetivo

• Resuelve problemas relacionados a las fuerzas de atracción y repulsión en los diferentes campos en diversos contextos, usando los conceptos de fuerza de atracción y repulsión, suma de fuerzas y las leyes de gravitación universal de Newton y la fuerza eléctrica y magnética de Coulomb, aplicando las unidades del S. I.


4.1. L A LEY DE LA INVERSA AL CUADRADO . Los tres campos tienen algo en común, la fuerza de interacción entre dos de sus agentes es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Pero empecemos por el principio, hay otra coincidencia, las tres fuerzas son directamente proporcionales a las magnitudes de sus agentes interactuantes, es decir: s+ ¨©ª«¬ ®«¯°±±²«° s+ ¨©ª«¬ ª³é´±«°´ s+ ¨©ª«¬ µ®¶é±°´4- ??[56+s +s ?,·[ 4- ??[56+s +s ?,·[ 4- ??[56+s +s ?,·[,4 s+- 1+-+- ,4 s- [·4?-E ∝ 1S1N ,4 s+- [+b+- 4sé[5[+-E ∝ | S|| N| ,4 s- ?s- 1+b6é5[-E ∝ ?S?N

Ahora lo anunciado, las tres fuerzas son inversamente proporcionales al cuadrado de las distancia que las separa. s+- ¨©ª«¬¹ ®«¯°±±²«°, ª³é´±«°´ º µ®¶é±°´-6 564-+1464 ??[56+s4- +s[·+,+, ,4 s+ ,5-+6[5+ ·4 -4?++ + s- +b464-

E ∝ 1N

Convirtiendo estas proporcionalidades en igualdades tenemos: E©ª«¬ ®«¯°±±²«° E©ª«¬ ª³é´±«°´ E©ª«¬ µ®¶é±°´E = 1S1NN E = »t | S|| N|N E = »t ?S?NN

4.2. FUERZA GRAVITATORIA . Como expresamos en el parágrafo anterior, la fuerza gravitatoria es directamente proporcional a la masa de los cuerpos que interactúan e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa los centros de dichos cuerpos, esta relación fue descubierta por Newton gracias a las observaciones y conclusiones realizadas por Kepler, Copérnico, Galileo y Bache. Newton consideró a esta fuerza como una acción a distancia, es decir, la interacción o fuerza viaja a lo largo del espacio entre dos cuerpos con velocidad infinita, de tal manera que lo que le suceda a un cuerpo en un instante, el otro cuerpo que interactúa con el recibe la información de manera instantánea. E = 1S1NN

La fuerza gravitatoria tiene las siguientes características:

Fuentes de la fuerza La masa

Tipo de fuerza Central, conservativa, atractiva, muy débil y de gran alcance

Relación entre fuerza-fuentes Directamente proporcional al producto de las masas

Relación entre fuerza-distancia Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

Intensidad de su constante = 6.67 ∗ 10¢SS r @ . Influencia del medio en la fuerza Ninguna

Donde: F es la fuerza con que se atraen los cuerpos 1 y 2. Medida en Newtons [N].



m es la masa de cada uno de los cuerpos. Medida en kilogramos [kg]. r es la distancia entre los centros de los dos cuerpos. Medida en metros [m]. Datos del sistema terrestre.

Cuerpo Radio [m] Masa [kg] Radio de la órbita [m] Período orbital [s] El Sol 6.96·108 1.98·1030

Mercurio 2.34·106 3.28·1023 5.79·1010 7.60·106

Venus 6.26·106 4.83·1024 1.08·1011 1.94·107

La Tierra 6.37·106 5.98·1024 1.49·1011 3.16·107

Marte 3.32·106 6.40·1023 2.28·1011 5.94·107

Júpiter 6.98·107 1.90·1027 7.78·1011 3.74·108

Saturno 5.82·107 5.98·1026 1.43·1012 9.30·108

Urano 2.37·107 8.67·1025 2.87·1012 2.66·109

Neptuno 2.24·107 1.05·1026 4.50·1012 5.20·109

La Luna * 1.74·106 7.34·1022 3.84·108 2.36·106 * Los datos de la luna están referidos a su movimiento en torno a la Tierra.

EJEMPLO 11. Calcular la fuerza de atracción entre la luna y la tierra, usar los datos de la anterior tabla.

SOLUCIÓN. E 1¼ 1½¼¢½N = 6.67 10¢SS ¾ 1NabN | 5.98 10N^ 7ab8 7.34 10NN7ab8#3.84 10¿&N71N8

E = 1.985 10Nt7¾8 EJEMPLO 12.

¿A qué distancia de la tierra un cuerpo de masa m estará en equilibrio cuando interactúa con la tierra y la luna?

SOLUCIÓN. Para que la masa m esté en equilibrio la fuerza total sobre ella debe ser cero. F1 es la fuerza de atracción entre m y la tierra, F2 es la fuerza de atracción entre m y la luna; por la condición del problema (equilibrio de m) debe cumplirse que: ES − EN = 0 esto implica que ES = EN 1¼ 1=N = 1½ 1#, − =&N #, − =&N=N = 1½ 1 1¼ 1 ⇒ w, − == xN = 1½1¼

,= − 1 = Á1½1¼ ⇒ = = ,Â1½1¼ + 1

x = 3.46 * 108 [m]


Note que la distancia no depende de la masa del cuerpo, es decir que cualquier cuerpo, sea cual fuese su masa, estará en equilibrio a esa distancia, ¡al menos teóricamente!

EJEMPLO 13. Una estrella de 4 *1030 [kg] tiene a uno de sus planetas orbitando a una distancia de 6 * 1010 [m], a su vez, el planeta tiene una luna que orbita a su alrededor con un radio de 6 * 109 [m] si la masa del planeta es de 3 * 1026 [kg] y la de su luna de 9 * 1024 [kg], calcular la fuerza total sobre el planeta:

a) Cuando los tres astros estén alineados en sus dos posibles posiciones.

b) Cuando la distancia estrella planeta forme 90° con la distancia planeta luna.

SOLUCIÓN. a) La primera posición que consideraremos es cuando el planeta esté entre la luna y la estrella tal como indicamos en la figura, donde además colocamos la dirección de las fuerzas de la estrella sobre el planeta y el de la luna sobre el planeta. Por lo tanto la fuerza total sobre el planeta será: E¼L Ã EÄ Ã < E½ Ã

Calculando estas fuerzas tenemos: EÄ Ã 1Ä 1ÃN 6.67 ∗ 10¢SS #4 ∗ 10]t&#3 ∗ 10NÅ&#6 ∗ 10St&N EÄ Ã 2.22 ∗ 10NÆ7¾8 E½ Ã 1½1ÃN 6.67 ∗ 10¢SS #9 ∗ 10N^&#3 ∗ 10NÅ&#6 ∗ 10¤&N E½ Ã 5 ∗ 10NS7¾8 E¼L Ã 2.22 ∗ 10NÆ < 5 ∗ 10NS 2.223 ∗ 10NÆ7¾8

La segunda posición en que los tres astros estén alineados es cuando la luna esté entre la estrella y el planeta, para este caso la situación será la mostrada en la figura y la fuerza total sobre el planeta la calculamos mediante: E¼L Ã EÄ Ã Y E½ Ã

Las fuerzas sobre el planeta ya las tenemos calculadas, por lo tanto: E¼L Ã 2.22 ∗ 10NÆ Y 5 ∗ 10NS 2.224 ∗ 10NÆ7¾8 b) En este caso la fuerza total sobre el planeta calculamos con el teorema de Pitágoras porque ambas fuerzas están formando un ángulo de 90°, entonces tendremos: E¼L Ã ÂgEÄ Ã hN Y gE½ Ã hN

e441?s+Ç+6,s+-È·4Ç+-y+[+s[·s+,+-É4641-: E¼L Ã X#2.22 ∗ 10NÆ&N Y #5 ∗ 10NS&N E¼L Ã 2.22 ∗ 10NÆ7¾8

L P E E½/Ã EÄ/Ã

LP E E½/Ã EÄ/Ã

|

P E

E½/ÃEÄ/Ã




1) Bibliografía de Newton y de Kepler. 2) ¿Qué es lo que entiendes por acción a

distancia? 3) El peso de un cuerpo, es decir, la fuerza con

que la tierra atrae al cuerpo, ¿aumenta o disminuye conforme se va alejando de la tierra? ¿cambia la masa del cuerpo?

4) Si se duplica la masa de un cuerpo ¿qué le sucede a la fuerza de atracción gravitatoria con la tierra?

5) Si se duplica la distancia de un cuerpo con la tierra ¿qué le sucede a la fuerza de atracción gravitacional? Consolidación práctica.

6) Calcular la fuerza con que el sol atrae gravitacionalmente a la tierra.

7) Compara (dividir) la fuerza de atracción tierra – sol con la atracción tierra – luna.

8) Calcular la distancia entre dos planetas que se

atraen con una fuerza de 8 *1025 [N] si sus masas son de 3 *1020 [kg] y de 6 *1028 [kg].

9) La fuerza de atracción entre dos planetas es de 2 *1022 [N] si la masa de uno de los planetas es de 5 *1023 [kg] y la distancia entre ambos es de 6 *1010 [m], ¿cuál es la masa del segundo planeta?

10) Dos planetas se atraen con una fuerza de 7 *1021 [N] si la masa de uno de los planetas es el triple que la del otro y la distancia entre ambos es de 4 *1011 [m], ¿cuál es la masa de cada planeta?

11) Existen dos posiciones en que el sol, la luna y la tierra están alineados, para cada una de ellas calcular la fuerza total que ejercen ambos sobre la tierra.

12) ¿Cuál será la fuerza total sobre la tierra cuando la recta tierra – luna forma 90° con la recta tierra – sol? Analice solamente la interacción entre los tres.

4.3. FUERZA ELÉCTRICA . Como expresamos en el parágrafo 2.1, la fuerza eléctrica es directamente proporcional a la carga eléctrica de los cuerpos que interactúan e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa los centros de dichos cuerpos, esta relación fue descubierta por Charles Agustín Coulomb siguiendo la teoría de Newton. Coulomb consideró a la fuerza eléctrica como una acción a distancia, es decir, la interacción o fuerza viaja a lo largo del espacio entre dos cuerpos con velocidad infinita, de tal manera que lo que le suceda a un cuerpo en un instante, el otro cuerpo que interactúa con él recibe la información de manera instantánea. E »t | S|| N|N

La fuerza eléctrica tiene las siguientes características:

Fuentes de la fuerza Las cargas eléctricas (+ y -)

Tipo de fuerza Central, conservativa y atractiva y repulsiva

Relación entre fuerza-fuentes Directamente proporcional al producto de las cargas


Intensidad de su constante »t S^ÌÍÎ, »t 9 ∗ 10¤ r Influencia del medio en la fuerza

Inversamente proporcional a la constante dieléctrica Ï ÐÐÎ ÑÎÒÑÒ .



q es la carga eléctrica. Medida en Coulomb [C]. r es la distancia entre los centros de los dos cuerpos. Medida en metros [m].

Ït es la constante de permitividad del vacío, su valor es: Ït StÓÔ]Å Ì r = 8.85 10¢SN r . Cuando las cargas eléctricas estén sumergidas en un medio dieléctrico la constante eléctrica estará dada por:

E = » | S|| N|N = »t Õ | S|| N|N

Donde los valores de la constante de permitividad relativa del medio los registramos en la siguiente tabla:

Sustancia εr Sustancia εr Sustancia εr

Acetona 21.58 Parafina 2.10 Metanol 33.00

Agua 80.00 PVC plástico 1.10 Mica 5.40

Aire 1.00 PVC sólido 6.10 N-hexano 1.90

Etanol (alcohol etílico) 24.00 Silicio 12.00 Mármol 8.00

Glicerina 50.00 Suelo arenoso seco 3.40 Vidrio 4.00

Hielo 75.00 Teflón 2.10

Madera seca 2.40 Tetracloruro de carbono 2.20

EJEMPLO 14. Calcular la fuerza de atracción eléctrica entre el protón y el electrón de un átomo de hidrógeno, considere que el electrón gira alrededor del núcleo (protón) con un radio de 5 * 10-11 [m]. Comparar esta fuerza eléctrica con la fuerza de atracción gravitatoria.

SOLUCIÓN. Aplicamos la ley de Coulomb para el vacío y tenemos:

E = 149Ït | S|| N|N = 9 10¤ ¾ 1NN | 1.6 10¢S¤ 78 1.6 10¢S¤ 78 #5 10¢SS&N71N8

E = 9.22 10¢¿7¾8 La fuerza gravitatoria entre ambas partículas será:

E = 1S 1NN = 6.67 10¢SS ¾ 1NabN | 9.11 10¢]S7ab8 1.67 10¢NÖ7ab8#5 10¢SS&N71N8

E = 4.06 ∗ 10¢^Ö7¾8 Ahora compararemos la fuerza eléctrica entre estas partículas con la fuerza gravitatoria entre ellas, para eso dividimos ambas fuerzas:

EE = 149Ït | S|| N|N 1S 1NN ⇒ EE = at| S|| N|1S 1N

EE = 9 × 10¤ *¾ 1NN . 1.6 × 10¢S¤ 78 1.6 × 10¢S¤ 786.67 10¢SS *¾ 1NabN . 1.67 × 10¢NÖ 7ab8 9.11 × 10¢]S 7ab8



EE 2.2710]¤ Esto significa que la fuerza eléctrica es 2 270 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 veces más grande que la fuerza gravitatoria, es por esta razón que en los procesos eléctricos entre partículas sub atómicas se desprecia el efecto gravitacional.

EJEMPLO 15. Dos cargas eléctricas de 16 [µC] y – 4 [µC] están separadas por una distancia de 20 [cm], calcular la fuerza que soporta una carga de 2 [µC] cuando está colocada a 5 [cm] de la primera carga y entre ambas cargas.

SOLUCIÓN. Dibujamos la situación planteada y el DCL de la carga de 2 [µC]. Ambas fuerzas tienen la misma dirección y sentido porque entre las cargas 1 y 3 existe repulsión (ambas son positivas) y entre las cargas 2 y 3 existe atracción (una positiva y otra negativa) por lo tanto primero calcularemos las magnitudes de las fuerzas y luego las sumaremos. ES ] 9 10¤ 16 10¢Å 2 10¢Å0.05N 115.27¾8 EN ] 9 10¤ 4 10¢Å 2 10¢Å0.15N 3.27¾8 E¼L ] 118.47¾8

EJEMPLO 16. Dos bloques, cada uno de 0.02 [kg], están sobre una superficie horizontal rugosa, ambos son cargados con 0.23 [µC] uno positivamente y el otro negativamente, calcular el coeficiente de roce estático mínimo para que ambos bloques no se muevan, la separación entre ellos es de 7 [cm]

SOLUCIÓN. Dibujamos la situación y el DCL de uno de los cuerpos, con eso escribimos las ecuaciones de equilibrio. E < × ¾ 0¾ < 1b 0

Por la ley de Coulomb tenemos que E »t |¥¦||¥| y resolviendo el

sistema obtenemos:

× »t # &NN1b 0.5

EJEMPLO 17. Tres cargas eléctricas están situadas en los vértices de un triángulo isósceles tal como se indica en la figura, calcular la fuerza total que se ejerce sobre la carga del vértice superior del triángulo.

SOLUCIÓN. Nos piden calcular la fuerza total sobre la carga del vértice superior, es

m g

µe N N

Fe

q1 = 16 [µC]

q2 = - 4 [µC]

q3 = 2 [µC]


decir sobre la carga de – 2 [µC], ésta carga con la de 8 [µC] siente una fuerza de atracción y con la carga de – 2 [µC] siente una fuerza de repulsión, ambas fuerzas están dibujadas en el diagrama anterior y también la fuerza resultante que la obtenemos trazando líneas paralelas a cada fuerza en la punta de la otra fuerza, la diagonal de dicho paralelogramo es la fuerza resultante sobre la carga indicada. Primero calcularemos la fuerza que ejerce cada carga de la base sobre la carga del vértice superior. ES N »t | S|| N|N 9 ∗ 10¤ #8 ∗ 10¢Å&#2 ∗ 10¢Å&0.05N 57.67¾8 E] N »t | ]|| N|N 9 ∗ 10¤ #6 ∗ 10¢Å&#2 ∗ 10¢Å&0.05N 43.27¾8

La fuerza total sobre la carga dos la calculamos con la ley de cosenos: E¼ N ÂgES N hN Y gE] N hN < 2gES N h gE] N h cos#O& Para calcular el ángulo usamos el triángulo de las distancias y con la ley de los cosenos obtenemos: 4N 5N Y 5N < 2#5&#5& cos#O& O cos¢S Ø5N Y 5N < 4N2#5&#5& Ù 47.16°

E¼ N X#57.6&N Y #43.2&N < 2#57.6&#43.2& cos#47.16°& E¼ N 42.437¾8

Consolidación teórica. 1) Bibliografía de Charles Agustín Coulomb. 2) ¿Qué es lo que entiendes por acción a

distancia? 13) ¿Cómo cambiará la magnitud de la fuerza

entre dos cuerpos cargados eléctricamente si duplicamos la carga de uno de ellos?

14) ¿Cómo cambiará la magnitud de la fuerza entre dos cuerpos cargados eléctricamente si duplicamos la distancia de separación mutua?

15) ¿Cómo cambiará la magnitud de la fuerza entre dos cuerpos cargados eléctricamente si duplicamos tanto la carga de cada uno de ellos como su separación mutua?

16) ¿Cuál es el valor de la constante eléctrica en el vacío y cuál el valor de la permitividad en el vacío?

17) ¿Cómo cambia la ley de Coulomb para dos cargas eléctricas que interactúan sumergidas en un medio dieléctrico? Consolidación práctica.

18) Dos cargas eléctricas de 4 [µC] y 8 [µC] sienten una fuerza de repulsión de 115.2 [N],

calcular la distancia que separa a las cargas. 19) Dos cargas eléctricas iguales sienten una

fuerza de repulsión de 90 [N] cuando están separadas por 5 [cm]. Calcular la magnitud de las cargas eléctricas.

20) Dos cuerpos cargados eléctricamente con cargas de – 3 [µC] y 6 [µC] están separados por una distancia de 3 [cm]. Calcular la fuerza entre ambos cuando los cuerpos estén: a) En el vacío. b) Dentro del agua. c) Dentro del mármol.

21) Dos cuerpos están incrustados dentro de un bloque de hielo, ambos cargados eléctricamente, cuando uno de ellos tiene el doble de carga eléctrica que el otro se repelen con una fuerza de 60 [N] al estar separados por 3 [cm] ¿cuál es la carga eléctrica de cada cuerpo?

22) Calcula la fuerza de atracción entre un ion cloruro (con un electrón demás, carga negativa 1.6 * 10-19 [C]) y un ion sodio (con un electrón menos, carga positiva 1.6 * 10-19 [C]) que

q3 =- 6 [µC]

q2 = - 2 [µC]

q1 = 8 [µC]

5 [cm]5 [cm]

4 [cm]

ES N

E] NE¼ N O

O



están separados por una distancia de 2.0·* 10-

8 [cm] el uno del otro, si ambos se encuentran: a) En el vacío (la constante dieléctrica es uno) b) En agua (la constante dieléctrica es 81).

23) Tres esferas se cargan eléctricamente con cargas de – 3 [µC], - 4 [µC] y 6 [µC], las tres cargas están colocadas en los vértices de un triángulo rectángulo de tal manera que entre la primera y la segunda hay una distancia de 50 [cm], entre la primer a y la tercera la distancia es de 30 [cm] y entre la segunda y la tercera 40 [cm]. Calcular la fuerza total que se ejerce sobre la tercera carga.

24) Resolver el problema anterior para el caso en el que las cargas estén colocadas en los vértices de un triángulo equilátero de 50 [cm] de lado.

25) Una esfera cargada con – 4 [µC] cuelga de un dinamómetro y se halla a 3 [cm] de otra esfera con 5 [µC] de carga, si cada una de las esferas tiene una masa de 800 [g] calcular la lectura del dinamómetro en presencia y

en ausencia de la carga inferior. 26) Dos esferas iguales

tienen masas de 0.5 [kg], están suspendidas mediante hilos de 13 [cm] y se separan 10 [cm] debido a la repulsión eléctrica, calcular la carga eléctrica de cada una de las esferas.

27) Cuatro cargas puntuales están en los vértices de un cuadrado de 10 [cm] de arista, si el valor de q es de 5 [µC], calcular la fuerza resultante sobre la carga q, tanto en magnitud como en dirección.

4.4. FUERZA MAGNÉTICA ENTRE IMANES PERMANENTES . Al igual que la fuerza gravitatoria y la fuerza eléctrica, la fuerza entre dos imanes permanentes es directamente proporcional a la magnitud de los polos magnéticos (p) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa: E »t ?S?NN

Las características de la fuerza magnética son:

Fuentes de la fuerza Las cargas eléctricas (+ y -) y los imanes permanentes

Tipo de fuerza Central y atractiva y repulsiva

Relación entre fuerza-fuentes Directamente proporcional al producto de los polos


Intensidad de su constante »t ÚÎ^Ì. »t 10¢Ö r.

Influencia del medio en la fuerza Inversamente proporcional a la constante de permeabilidad × ÚÚÎ ÑÛÑÎÛ.



p es el polo magnético. Medida en Unidades de carga magnética [A m]= . r es la distancia entre los centros de los dos cuerpos. Medida en metros [m].

×t es la constante de permeabilidad del vacío, su valor es: ×t = 4 9 10¢Ö r. Cuando los imanes estén sumergidos en un medio magnético tenemos: E = » ?S?NN = »t× ?S?NN

Donde los valores de la constante de permeabilidad relativa del medio los registramos en la siguiente tabla:

Sustancia µr Sustancia µr Sustancia µr

Acero al Carbono 10 000 Aluminio 1.000023 Wolframio 1.000079

Acero al Cobalto 9 000 Bismuto 1.000176 Nitrógeno 1.000000013

Acero al Silicio 10 000 Cobre 0.999990 Oxígeno 1.0000019

Acero al tugsteno 10 500 Gema 1.0000126 Platino 1.00036

Hierro 5 000 Hidrógeno 1.000000063 Silicio 0.999986

Agua 0.999991

Podemos observar que las diferentes clases de acero y el hierro tienen coeficientes de permeabilidad significativos, el resto de las sustancias tienen un coeficiente de prácticamente 1.

EJEMPLO 18. La carga de dos imanes es de 500 [A m] (unidad de carga magnética) y de 150 [A m]. Si el polo norte de uno de ellos se alinea con el polo sud del otro a una distancia de 4 [cm] ¿cuál será la fuerza de atracción entre ellos?

SOLUCIÓN. Para resolver este problema tenemos la ley de Coulomb entre imanes permanentes, es decir: E = ×t4 9 ?S?NN

Vamos a considerar que los imanes están en el aire, en este caso la permeabilidad relativa es igual a 1, por lo tanto:

E = 4 9 10¢Ö4 9 500 ∗ 1500.04N = 4.69 7¾8 EJEMPLO 19.

Los polos norte de dos imanes paralelos están colocados en los vértices superiores de un cuadrado y los polos sud de otros dos imanes están colocados en los vértices inferiores del mismo cuadrado. Si un quinto polo sud de otro imán se coloca en el centro del cuadrado como indica la figura, calcular la fuerza total que actúa sobre el imán del centro; considere que p = 200 [A m] y que la arista del cuadrado es de 4 [cm].

SOLUCIÓN. El polo del imán del centro está sometido a cuatro fuerzas magnéticas dirigidas hacia los vértices del cuadrado, cada una de ellas tiene la magnitud dada por:

N N

S S

S

p1 = 3 p p2 = 2 p

p3 = 5 p p4 = 4 p

p5 = p



E ×t49?S?NN

ES Æ ×t49?S?ÆN ×t49 3??Ø+√22 ÙN ×t496?N+N

EN Æ ×t49?N?ÆN ×t49 2??Ø+√22 ÙN ×t494?N+N

E] Æ ×t49?]?ÆN ×t49 5??Ø+√22 ÙN ×t4910?N+N

E^ Æ ×t49?^?ÆN ×t49 4??Ø+√22 ÙN ×t498?N+N

Tal como indica la figura podemos sumar las fuerzas de los polos 2 y 4 sobre el polo 5 y también sumar las fuerzas de los polos 1 y 3 sobre el polo 5, a estas sumas podemos llamarlas como fuerza en x y fuerza en y respectivamente: EÜ EN Æ Y E^ Æ ×t4912?N+N E~ ES Æ Y E] Æ ×t4916?N+N

Como estas fuerzas son perpendiculares podemos aplicar el teorema de Pitágoras para obtener la fuerza total sobre el quinto polo:

EL Æ ÁØ ×t4912?N+N ÙN Y Ø ×t4916?N+N ÙN ×t494?N+N √9 Y 16

EL Æ ×t4920?N+N 507¾8 La dirección de la fuerza la calculamos con la función arcotangente.

O tan¢S Þ ×t4916?N+N×t4912?N+N ß tan¢S w43x 53° Este resultado significa que la fuerza total sobre el quinto imán es de 50 [N] y forma un ángulo de 53° con el eje x, es decir con las fuerzas 2 y 4 sobre el imán 5 en sentido contrario a las agujas del reloj.


1) Bibliografía de Hans Christian Oersted. 2) ¿Cuál es la unidad de medida de la carga

magnética o polo magnético en el S. I? 3) Indica el valor de la constante magnética en el

vacío y su unidad de medida en el S. I. 4) ¿Cómo cambia la constante magnética cuando

los imanes están dentro de elementos magnéticos?

5) Compruebe que el producto de ×tÏt S donde c es la velocidad de la luz Consolidación práctica.

6) Dos imanes permanentes de igual carga magnética están separados por 2 [cm], si entre

N N

S S

S

EN Æ ES Æ

E^ Æ E] Æ


ellos existe una fuerza de repulsión de 2 [N], calcular la carga magnética en los polos de cada uno de ellos.

7) La fuerza magnética entre dos imanes de 800 [Am] y 500 [A m] es de 10 [N], calcular la distancia entre los imanes.

8) Calcular la fuerza entre dos imanes permanentes de 200 [A m] y 600 [A m] que están separados por una distancia de 1.5 [cm]

9) La carga magnética de tres imanes permanentes es de 600 [A m], 800 [A m] y de 400 [A m], el primero se coloca al extremo izquierdo, a 20 [cm] de su polo norte se coloca el polo sur del segundo y a 40 [cm] del polo

sur del segundo se coloca el polo sur del tercero. Si los tres imanes están alineados ¿cuál será la fuerza total que se ejerce sobre el imán del centro?

10) En los vértices de un triángulo rectángulo cuyos catetos son de 1.5 [cm] y 2 [cm] se colocan tres imanes permanentes, en el ángulo recto está un imán de 200 [A m] con su polo norte, al otro extremo del cateto más largo está un imán de 100 [A m] con su polo sud y en el tercer vértice está un imán de 300 [A m] con su polo norte. Calcular la fuerza total sobre el imán de 300 [A m].

4.5. FUERZA MAGNÉTICA ENTRE CARGAS ELÉCTRICAS EN MOVIMIEN TO . Habíamos indicado que, aparte de los imanes permanentes, el otro agente responsable del campo magnético son las cargas eléctricas en movimiento, la ecuación en función de estas variables es: E »t | S|| N| N

S¢NN Â1 − N[N

Podemos observar que la fuerza magnética en función de sus agentes responsables (cargas en movimiento) aún depende inversamente al cuadrado de la distancia que separa las cargas, pero su forma matemática es algo más complicada ya que también interviene la velocidad con que se mueve una carga respecto a la otra: Esta ecuación puede simplificarse si la velocidad con que se mueve una carga respecto a la otra es pequeña comparada con la velocidad de la luz, en este caso simplemente tenemos:

E = »t | S|| N| N S¢NN

Que se parece mucho a las ecuaciones de la fuerza gravitatoria y de la fuerza eléctrica, es evidente que en este caso se incluye la velocidad de la carga eléctrica porque el agente responsable del campo magnético es la carga eléctrica en movimiento. La dirección y sentido de esta fuerza es de atracción si ambas cargas se mueven en sentidos opuestos y es de repulsión si se mueven en el mismo sentido.

EJEMPLO 20. a) Calcular la fuerza de atracción eléctrica entre el protón y el electrón de un átomo de hidrógeno, considere que el electrón gira alrededor del núcleo (protón) con un radio de 5 * 10- 11 [m]. b) Comparar esta fuerza eléctrica con la fuerza de atracción gravitatoria. c) ¿Cuál es la velocidad con que orbita el electrón alrededor del protón? d) ¿Cuál será la fuerza magnética entre el protón y el electrón? e) Compara esta fuerza con la eléctrica y con la gravitatoria.

SOLUCIÓN. a) Aplicamos la ley de Coulomb para el vacío y tenemos:

E = 149Ït | S|| N|N = 9 10¤ ¾ 1NN | 1.6 10¢S¤ 78 1.6 10¢S¤ 78 #5 10¢SS&N71N8

E = 9.22 10¢¿7¾8



b) Ahora compararemos la fuerza eléctrica entre estas partículas con la fuerza gravitatoria entre ellas, para eso dividimos ambas fuerzas: EE 149Ït | S|| N|N 1S 1NN ⇒ EE = at| S|| N|1S 1N

EE = 9 × 10¤ *¾ 1NN . 1.6 × 10¢S¤ 78 1.6 × 10¢S¤ 786.67 10¢SS *¾ 1NabN . 1.67 × 10¢NÖ 7ab8 9.11 × 10¢]S 7ab8 EE = 2.27 10]¤

Esto significa que la fuerza eléctrica es 2 270 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 veces más grande que la fuerza gravitatoria, es por esta razón que en los procesos eléctricos entre partículas sub atómicas se desprecia el efecto gravitacional. c) Despreciando la fuerza gravitatoria, la única fuerza significativa entre el electrón y el protón es la fuerza eléctrica, entonces esta será igual a la

fuerza centrípeta, es decir: E = 1 + = 1 à , despejando v

= ÁE 1 = Á9.22 × 10¢¿ × 5 × 10¢SS9.11 × 10¢]S = 2.25 × 10Å 1- = 0.0075 [

Si bien la velocidad es muy alta, aún es pequeña comparada con la velocidad de la luz. d) Aprovechando este valor calculamos la fuerza magnética entre el protón y el electrón en el átomo de hidrógeno.

E = »t | S|| N| N S¢NN = 10¢Ö #1.6 × 10¢S¤&N#2.26 × 10Å&N #5 × 10¢SS&N E = 5.18 × 10¢SN 7¾8 La fuerza magnética también la podemos calcular mediante: E = »t | S|| N| S¢NN N = ×t4 9 4 9 Ït E N = ×tÏt E N

Una igualdad muy importante descubierta por Maxwell es ×tÏt = S , donde las constantes de permitividad y permeabilidad del vacío están relacionadas con la velocidad de la luz en el vacío.

E = E N[N = E g[hN = 5.18 × 10¢SN 7¾8 e) Si comparamos esta fuerza con la fuerza eléctrica tenemos: EE = 9.22 × 10¢¿5.18 × 10¢SN = 17793

Esto significa que la fuerza eléctrica es casi 18000 veces más grande que la fuerza magnética, por tanto, en este caso, también se pueden despreciar los efectos de la fuerza magnética en los procesos atómicos. Igualmente, comparando la fuerza magnética con la gravitatoria tenemos:


EE 5.18 10¢SN4.06 10¢^Ö 1.2810]Æ

Esto significa que la fuerza magnética es, como esperábamos, mucho mayor que la fuerza gravitatoria. E ≫ E ≫ E


1) ¿Cuál es la relación matemática para calcular la fuerza magnética entre cargas eléctricas cuando: a) La carga se mueve a velocidad muy cercana

a la velocidad de la luz? b) La carga tiene una velocidad muy pequeña

comparada con la velocidad de la luz? 2) Demuestre que cuando la velocidad de la carga

eléctrica es pequeña comparada con la velocidad de la luz podemos expresar la fuerza magnética mediante: E E g[hN

Ver el ejemplo 12 inciso d). Consolidación práctica.

3) Calcular la fuerza magnética y la fuerza eléctrica entre dos cargas eléctricas de 5 [µC] y de – 8 [µC] separadas por 2 [cm] que se mueven una respecto a la otra a razón de 4 * 106 [m/s].

4) Dos cargas eléctricas se atraen con una fuerza magnética de 0.2 [N] cuando están separadas por 3 [cm], calcular la velocidad con que se mueve una respecto a la otra si las cargas son de 5 [µC] y 6 [µC].

5) Dos cargas eléctricas idénticas se mueven una respecto a la otra a razón de 8 * 107 [m/s], cuando la distancia ente ellas es de 2 [cm] se repelen con una fuerza magnética de 0.04 [N], calcular la magnitud de las cargas eléctricas y

la fuerza eléctrica entre ellas. 6) Entre dos cargas eléctricas que se mueven a

razón de 8 * 106 [m/s], existe una fuerza de 0.4 [N]. Si las cargas eléctricas son de 4 [µC] y 9 [µC], calcular la distancia entre las cargas eléctricas y la fuerza eléctrica entre ellas.

7) La fuerza eléctrica entre dos cargas es de 900 [N] y la fuerza magnética entre ellas es de 9 [N], calcular la velocidad entre ellas y la distancia que las separa si las cargas eléctricas son de 5[µC] y 8 [µC].

8) Dos cargas eléctricas idénticas de 8 [µC] cada una están separadas por 3 [cm], calcular la velocidad con que se mueve una respecto a la otra si la fuerza magnética entre ambas es de 25.6 [N].

9) La fuerza eléctrica entre dos cargas eléctricas es 25 veces más grande que la fuerza magnética entre éstas cargas eléctricas, calcular la velocidad con que se mueve una carga respecto a la otra.

10) ¿Cuántas veces mayor será la fuerza eléctrica que la fuerza magnética entre dos cargas eléctricas que se mueven con una velocidad relativa de 1.2 * 106 [m/s]

11) Una carga eléctrica es el triple de la otra y cuando están separadas por una distancia de 6 [cm] la fuerza eléctrica es 36 veces mayor que la fuerza magnética entre ellas, calcular la magnitud de las cargas eléctricas.


CAPÍTULO 5:L A INTENSIDAD DE LOS CAMPOS .

Contenido Orientaciones metodológicas Líneas de fuerza. • Dibujar líneas de fuerza en los diferentes campos.

Intensidad de los campos.

• Establecer el paralelismo matemático entre las definiciones de campos gravitacionales, eléctricos y magnéticos.

• Diferenciar entre cuerpos generadores de campo y cuerpos testigos del campo o sumergidos en él.

Campo magnético de cargas eléctricas.

• Detallar la relación física y matemática que existe entre el campo magnético y el movimiento de las cargas eléctricas.

Corriente eléctrica y magnetismo.

• Definir la intensidad de corriente eléctrica y asociarla al campo magnético.

Intensidad del campo magnético y la geometría de la corriente eléctrica.

• Identificar los diferentes elementos electromagnéticos que son capaces de almacenar campos magnéticos a partir de la circulación de cargas eléctricas.



5.1. L ÍNEAS DE FUERZA . Las líneas de fuerzas de cualquier campo (gravitatorio, eléctrico o magnético) son líneas imaginarias que describen la trayectoria que seguiría la unidad del agente de campo (masa, carga eléctrica o polo magnético) dejada en libertad dentro del campo. Las líneas de campo tienen que cumplir las siguientes condiciones:

a) Son líneas perpendiculares a la superficie del cuerpo. b) Tienen la misma dirección al campo generado por el agente generador (masa, carga eléctrica o

polo magnético. c) Las líneas de fuerza entran a las masas, en las cargas eléctricas salen de la carga positiva y entran

a la carga negativa y en los imanes permanentes salen del polo norte y entran al polo sud. d) El número de líneas o la densidad superficial es proporcional al módulo de la masa, carga

eléctrica o el polo magnético, su densidad disminuye a medida nos alejamos del cuerpo y aumenta a medida nos acercamos a esta.

e) Dos líneas de fuerza o de campo eléctrico no pueden cruzarse, debido a que el campo en cada punto tiene una dirección y un sentido único.

f) A la relación de las líneas de campo eléctrico con el campo eléctrico se le denomina como Intensidad de Campo, a mayor número de líneas más intenso es el campo eléctrico.

En la figura presentamos las líneas de fuerza del campo gravitatorio correspondiente a una masa puntual m, en él podemos observar que todas las líneas son radiales, que entran hacia la masa y que la intensidad del campo es mayor en las cercanías de la masa que a distancias mayores de ella. En la misma figura podemos observar que presentamos círculos concéntricos a la masa dibujados con líneas punteadas, estos círculos representan los lugares del espacio (superficies) en que el campo tiene el mismo potencial (este concepto desarrollaremos en el próximo capítulo) llamadas superficies equipotenciales. También presentamos las líneas de fuerza entre la luna y la tierra, en este diagrama podemos observar que existe un punto A donde la intensidad de ambos campos es cero y desde ahí parten líneas de fuerza tanto hacia la luna como hacia la tierra, también podemos observar que la intensidad del campo gravitatorio de la tierra es más intensa que la de la luna que se curvan hacia fuera mientras que las de la tierra permanecen casi inalterables. Al igual que en el otro gráfico las líneas punteadas representan las superficies equipotenciales, es decir, lugares del espacio que tienen el mismo potencial. En la figura presentamos las líneas de fuerza de las cargas eléctricas o líneas de fuerza que representan la intensidad del campo eléctrico. Podemos observar que las líneas de fuerza salen de una carga



positiva y las cargas negativas tienen líneas de fuerza que entran hacia ella. Esta característica constituye una diferencia entre las líneas de fuerza del campo gravitatorio (que solo salen de la masa) y las del campo eléctrico que pueden ser entrantes a la carga (sumideros) o salientes de ellas (fuentes).

Podemos representar las líneas de fuerza de la interacción entre dos cargas de signos contrarios, en esta representación podemos observar cómo las cargas eléctricas se atraen entre sí. También presentamos la gráfica de líneas de fuerza de cargas del mismo signo

donde podemos observar que las líneas se curvean representando la repulsión entre ellas. La figura representa las líneas de fuerza de un dipolo eléctrico, la característica de esta configuración es que tiene dos cargas iguales pero de signo contrario, además la distancia de separación entre ellas es muy pequeña comparada con las distancias a las que se desea que llegue el campo, en la figura también se representa el vector dipolar. En este otro gráfico también representamos las líneas de fuerza del campo magnético para una barra de imán, podemos observar que las representamos

saliendo del polo norte y entrando hacia el polo sud. Los polos magnéticos no existen en forma aislada siempre están juntos, si la anterior barra la cortamos por la mitad inmediatamente cada mitad de las barras resultantes adquirirán la polaridad complementaria, es decir, la mitad derecha en su nuevo extremo adquirirá el polo sud y la mitad izquierda adquirirá el polo norte en su nuevo extremo.


1) Investiga y elabora un resumen acerca de los trabajos de Gauss.

2) ¿Qué son las líneas de fuerza? 3) Dibuja líneas de fuerza para dos imanes con

sus polos norte y sur frente a frente. 4) Si la carga que genera el campo eléctrico es

positiva, ¿cómo se dibujan las líneas de fuerza que rodean a la carga eléctrica?

5) Si la carga que genera el campo eléctrico es

negativa, ¿cómo se dibujan las líneas de fuerza que rodean a la carga eléctrica? Consolidación práctica.

6) Dibuja las líneas de fuerza correspondientes a una estrella y un planeta cercano a ella como un sistema aislado.

7) Dibuja las líneas de fuerza correspondiente a tres cargas eléctricas dos positivas y una negativa ubicadas en los vértices de un triángulo rectángulo.

5.2. I NTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO . Si tenemos dos masas, una m y otra m’ separadas por una cierta distancia, podemos llamar a una de estas masas (la masa m) como masa generadora de un campo gravitatorio y la otra masa (en este caso m’) como la masa de prueba o testigo del campo; al ir colocando la

masa prima en diferentes puntos alrededor de m, la masa de prueba (m’) siente una fuerza dada por: E 11âN

Bajo estas condiciones decimos que la masa m crea a su alrededor un campo gravitatorio que es reconocido por la masa m’ debido a la fuerza que ejerce sobre ella. Matemáticamente lo definimos mediante el cociente entre esta fuerza y la magnitud de la masa prima; este campo tiene la misma dirección de la fuerza F y su ecuación será:

m m’

m’ m’

m’



b E1â ó E = 1â b Donde m’ es una masa testigo dentro del campo gravitatorio g (que coincide con la aceleración de la

gravedad de cada planeta), por lo tanto la intensidad del campo gravitatorio se mide en r@ = . Si reemplazamos el valor correspondiente de F para cada caso tendremos:

b = E1â = 1´ 1N1â = 1N

Donde la masa m es el agente generador del campo gravitatorio y m’ es la masa de prueba o testigo que está sumergida en el campo gravitatorio g.

EJEMPLO 21. Calcular la gravedad que genera el planeta tierra a una atura igual a cinco veces su radio.

SOLUCIÓN. Debemos tener en cuenta que en la ecuación: b = r es la distancia

desde el centro del planeta hasta el punto en cuestión y que las alturas las medimos a partir de la superficie del planeta, por lo tanto: b = 1¼#e¼ + ℎ&N

En la superficie de la tierra, es decir, cuando h = 0, tenemos:

b = 6.67 ∗ 10¢SS 5.98 ∗ 10N^#6.37 ∗ 10Å + 0&N = 9.83 1-N Pero a una altura de cinco veces su propio radio tendremos.

b = 6.67 ∗ 10¢SS 5.98 ∗ 10N^#6.37 ∗ 10Å + 5 ∗ 6.37 ∗ 10Å&N = 0.27 1-N EJEMPLO 22.

La distancia media entre la tierra y la luna es de 3.84 * 108 [m], calcular el campo gravitatorio en magnitud y dirección a una distancia de 3 * 108 [m] tanto de la tierra como de la luna.

SOLUCIÓN. Analizando el dibujo tenemos:

b¼ = 1¼¼¢d RLN = 6.67 ∗ 10¢SS 1]ab -N| 6 ∗ 10N^7ab8#3 ∗ 10¿&N71N8 b¼ = 4.45 ∗ 10¢] 1-N b½ R = 1½ R½ R¢d RLN = 6.67 ∗ 10¢SS 1]ab -N| 7.4 ∗ 10NN7ab8#3 ∗ 10¿&N71N8 b½ R = 5.5 ∗ 10¢Æ 1-N

Con los dos valores debemos hacer la suma vectorial b¼L = Âb¼N + b½ RN − 2 b¼ b¼ cos#180 − ä&

h m'

R T



Donde θ es el ángulo que forman ambos vectores lo calculamos con el triángulo de distancias tierra – luna – punto. cos ä #3 ∗ 10¿&N Y #3 ∗ 10¿&N < #3.84 ∗ 10¿&N2 ∗ 3 ∗ 10¿ ∗ 3 ∗ 10¿ 0.181 ä 79.58° Con este ángulo calculamos el campo gravitatorio total. b¼L 4.46 ∗ 10¢] 1-N Para saber la dirección del vector calculamos el ángulo a con la ley de cosenos en el triángulo de campos cos O #4.45 ∗ 10¢]&N Y #4.46 ∗ 10¢]&N < #5.5 ∗ 10¢Æ&N2 ∗ 4.45 ∗ 10¢] ∗ 4.46 ∗ 10¢] O 0.7° Entonces podemos decir que el campo gravitatorio en el punto pedido

es de 4.46 ∗ 10¢] y forma un ángulo de 0.7° con el campo

gravitatorio terrestre, el ángulo es muy pequeño ya que el campo gravitatorio de la tierra es aproximadamente 81 veces más intenso que el de la luna en ese punto.


1) ¿Cuál es la unidad de medida del campo gravitatorio?

2) ¿Qué relación tiene el campo gravitatorio con la aceleración de la gravedad?

3) ¿Cuál es la dirección y sentido del campo gravitatorio y cuál el de la fuerza gravitatoria?

4) Para detectar el norte geográfico se usa una brújula que consta de una aguja magnética. El polo norte de la aguja magnética se alinea con el campo magnético de la tierra que se comporta como un imán gigante, ¿existirá alguna diferencia entre el polo norte geográfico y el polo norte magnético de la tierra? ¿por qué? Consolidación práctica.

5) Calcular el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de la luna y compararla con el valor de la gravedad en la superficie de la tierra.

6) Un astronauta de 80 [kg] se encuentra dentro de un satélite artificial que gira alrededor de la tierra a una altura igual al radio terrestre. a) Calcular el valor de la aceleración de la

gravedad en el interior del satélite y compararlo con el valor de la gravedad en la superficie terrestre.

b) Calcular el peso del astronauta tanto en la superficie terrestre como en el interior del satélite.

7) Calcular a qué altura sobre la superficie terrestre la gravedad es la mitad de su valor en la superficie terrestre.

8) Calcular el campo gravitatorio que existe justo a la mitad de la distancia entre la luna y la tierra, ¿qué fuerza y en qué dirección y sentido sentiría un satélite artificial de 100 [kg] de masa colocado en ese punto?

9) Calcular el valor del campo gravitatorio en la superficie del sol si el radio solar es 110 veces el radio de la tierra y su masa es 330 000 veces la masa de la tierra.

10) La distancia entre dos planetas es de 4 * 109 [m], calcular el campo gravitatorio en magnitud y dirección a una distancia de 7 * 109 [m] de cada uno de los planetas cuyas respectivas masas son de 8 * 1023 [kg] y de 2 * 1024 [kg].

5.3. I NTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO . Si tenemos dos cargas eléctricas, una q y otra q’ separadas por una cierta distancia, podemos llamar a una de estas cargas eléctricas (la carga eléctrica q) como carga eléctrica generadora de un campo eléctrico y la otra carga eléctrica (en este caso q’) como la carga

θ

3.8

4*1

08 [

m]

3*108 [m]

3*108 [m]

gTierra

gLuna

gTotal α θ

q’

q’ q

q’

q’



eléctrica de prueba o testigo del campo; al ir colocando la carga eléctrica prima en diferentes puntos alrededor de q, la carga eléctrica de prueba (q’) siente una fuerza dada por: E »t | S|| N|N

Bajo estas condiciones decimos que la carga eléctrica sin prima crea a su alrededor un campo eléctrico que se reconoce por la fuerza que ejerce sobre la carga eléctrica prima; y la definimos como el cociente entre esta fuerza y la magnitud de la carga eléctrica de prueba. Este campo tiene la dirección de F, es decir: k E â óE âk Donde q’ es una carga eléctrica testigo dentro del campo eléctrico E; por lo tanto la intensidad del

campo eléctrico se mide en r, que en unidades fundamentales sería @å . Si reemplazamos el valor correspondiente de F tendremos:

k E â »t ´ N â »t N

EJEMPLO 23. Un dipolo eléctrico es un sistema de dos cargas eléctricas igualmente cargadas pero con signo contrario y separadas por una distancia pequeña, calcular el campo eléctrico a 2 [m] de un dipolo eléctrico con cargas de 5 [µC] separadas por 0.5 [cm], la distancia la tomamos a lo largo de la mediatriz del segmento que une las cargas eléctricas.

SOLUCIÓN. Dibujamos el dipolo eléctrico, al igual que el ejemplo anterior el dibujo no es a escala. Los dos campos son iguales en magnitud ya que la carga eléctrica es la misma y la distancia desde cada carga al punto en cuestión también es la misma, esta distancia será:

r = 0.00252 + 22 = 2 [m] La distancia prácticamente es la misma ya que la separación entre las cargas es muy pequeña comparada con los 2 [m] Cada uno de los campos será igual a: kS kN at N 9 ∗ 10¤ ¾1NN | 5 ∗ 10¢Å782N71N8 1.125 ∗ 10^ *¾. Debemos aprovechar la simetría para poder calcular el campo eléctrico total, como ambos campos son iguales, sus componentes también lo serán, por lo tanto las componentes verticales se anularán porque una está dirigida hacia arriba y la otra hacia abajo, pero las componentes horizontales se suman ya que ambas estarán dirigidas horizontalmente hacia la carga negativa, para calcular la componente horizontal necesitamos el ángulo alfa que lo calculamos con el triángulo rectángulo de las distancias. tan O 0.00252 0.00125 ↔ O 0.072° Entonces:

+ q

- q

2 [m]

0.5 [cm]

E1

E2

E α



k 1.125 ∗ 10^ *¾. sin#0.072& 14.14 *¾. El campo eléctrico es muy pequeño y disminuirá más a medida que el punto se aleje del dipolo. Los dipolos son usados en las antenas de radio y otros para transmitir la señal y cuanto más lejos esté el receptor del emisor más débil será la señal.


1) ¿Cuál es el agente físico que genera un campo eléctrico?

2) ¿Cuál es la unidad de medida del campo eléctrico?

3) ¿Cuál es la dirección y sentido del campo eléctrico para una carga eléctrica positiva?

4) ¿Cuál es la dirección y sentido del campo eléctrico para una carga eléctrica negativa? Consolidación práctica.

5) Calcular el campo eléctrico que genera una carga eléctrica de 4 [µC] a una distancia de 4 [cm] de la carga eléctrica.

6) Una carga eléctrica de 6 [µC] genera un campo eléctrico de 60 000 000 [N/C] ¿a qué distancia de la carga eléctrica es generado este campo eléctrico?

7) ¿Cuál será la magnitud de una carga eléctrica que logra generan un campo eléctrico de 9 000 [N/C] a una distancia de 2 [cm]?

8) Calcular la intensidad y la dirección que debe tener un campo eléctrico para anular la acción del campo gravitatorio cuando actúan sobre una carga de – 0.08 [µC] y de 5 [g] que se encuentra cerca de la superficie terrestre.

9) Una esfera de 2 [kg] y con una carga de 4 [C] está colgada de un hilo vertical y sujeto al techo; el hilo se desvía un cierto ángulo respecto a la vertical debido a la acción de un campo eléctrico de 5 r sobre la carga:

a) ¿Cuánto vale el ángulo? b) Si la cuerda se desvía 60° ¿cuál es la

intensidad del campo eléctrico? c) Si el sistema descrito se encuentra dentro de

un ascensor que le proporciona una

aceleración vertical hacia arriba de 1.5 y la cuerda se desvía 20° de la vertical, ¿cuál es la magnitud del campo eléctrico?

10) Cuatro cargas eléctricas se sitúan en los vértices de un cuadrado, comenzando por la del vértice superior derecho y siguiendo las manecillas del reloj, sus magnitudes son q1 = 3q, q2 = -3q, q3 = 4q y q4 = -4q. Siendo q = 4 [µC] y el lado del cuadrado de 5 [cm], calcular el campo erétrico total en el centro del cuadrado.

5.4. I NTENSIDAD DEL CAMPO MAGNÉTICO . Si tenemos dos polos magnéticos, uno p y otro p’ separados por una cierta distancia, podemos llamar a uno de estos polos magnéticos (el polo magnético p) como polo magnético generador de un campo magnético y el otro polo magnético (en este caso p’) como el polo magnético de prueba o testigo del campo; al ir colocando el polo magnético prima en diferentes puntos alrededor de p, el polo magnético de prueba (p’) siente una fuerza dada por: E »t ?S?NN

Bajo estas condiciones decimos que el polo magnético sin prima crea a su alrededor un campo magnético que se reconoce por la fuerza que ejerce sobre el polo magnético prima; y definimos como el cociente entre esta fuerza y la magnitud del polo magnético de prueba. Este campo tiene la dirección de F, es decir: ç E?â óE ?âç

p’

p’ p

p’

p’



Donde p’ es un polo magnético testigo dentro del campo magnético H; por lo tanto la intensidad del campo magnético generado por imanes permanentes o de imanes permanentes dentro de un campo

magnético se mide en r que en unidades fundamentales sería @ y que recibe el nombre de

Tesla simbolizado mediante [T]. Si reemplazamos el valor correspondiente de F tendremos:

ç E?â »t ?´?N?â »t ?N

EJEMPLO 24. Dos imanes permanentes de p1 = 800 [A m] y p2 = 200 [A m] están separados por una distancia de 5 [cm] de tal manera que sus polos norte están frente a frente. Calcular en qué punto el campo magnético de ambos imanes es nulo.

SOLUCIÓN. En la figura planteamos la situación indicada en el problema, como las líneas de fuerza (que van del polo norte hacia el polo sud) están contrapuestas en la región entre ambos imanes, entonces el campo magnético se anulará a una distancia x del primer imán; además, ambos campos tendrán que ser iguales para que la suma vectorial entre ellos sea nula. çS çN »t ?S=N »t ?N#0.05 < =&N 800=N 200#0.05 < =&N #0.05 < =&N=N 200800 0.25 0.05 < == √0.25 0.5 0.05 < = 0.5= = 0.03è718 3. 3è7[18


1) ¿Cómo están dirigidas las líneas de fuerza de un campo magnético generado por imanes permanentes?

2) Demostrar que las unidades fundamentales del

Tesla están dadas por. [T] = @ 3) ¿Cómo está dirigido el campo magnético en las

inmediaciones del polo norte magnético? 4) ¿Cómo está dirigido el campo magnético en las

inmediaciones del polo sud magnético? Consolidación práctica.

5) ¿A qué distancia de un polo magnético de 80

[A m] se generará un campo magnético de 2 [T].

6) Dos polos magnéticos de 120 [A m] y 90 [A m] están separados por una distancia de 4 [cm], calcular el campo magnético en el punto medio de ambos polos magnéticos si los polos magnéticos son respectivamente: a) Norte y sud. b) Norte y norte. c) Sud y sud. d) Sud y norte.

7) Tres polos magnéticos con sus caras norte, cada uno de 150 [A m] están en los vértices de un cuadrado de 4 [cm] de lado, calcular el campo magnético que generan en el cuarto vértice del cuadrado.

N N x

p1 p2 B1 B2



5.5. CAMPO MAGNÉTICO DE CARGAS ELÉCTRICAS EN MOVIMIENTO . El campo magnético que influye sobre las cargas eléctricas en movimiento definimos de la misma manera que los campos gravitatorio y eléctrico, es decir como el cociente entre la fuerza que ejerce el campo y un agente testigo del campo; el agente testigo del campo magnético, en este caso, no es un imán permanente sino es la carga eléctrica en movimiento (primada), por lo tanto: ç E ′ ′ sin_′, çê`

E = ′ ′ × ç Esta es una ecuación escalar para el campo magnético generado por cargas eléctricas en movimiento, donde ′, çê representa el ángulo que forman los vectores velocidad y campo. La fuerza magnética y el campo magnético siempre deben ser perpendiculares, la consecuencia más importante de que la fuerza magnética sea perpendicular a la velocidad es que genera una fuerza centrípeta, por lo tanto un movimiento curvilíneo que se convertirá en circular cuando los tres vectores sean mutuamente perpendiculares, además sabemos que las fuerzas perpendiculares al movimiento o a la velocidad no generan trabajo, por lo tanto la fuerza magnética no genera trabajo. También podemos definir el campo magnético generado por una carga eléctrica en movimiento de acuerdo a la ecuación ç = ×t4 9 sin#, ë &

Donde q es la carga eléctrica móvil generadora del campo magnético, v la velocidad con que se mueve dicha carga eléctrica y r es el vector posición que va desde la carga eléctrica en movimiento hasta el punto donde deseamos calcular el campo magnético.

EJEMPLO 25. Una carga eléctrica de 5 [nC] se encuentra inicialmente en el origen de coordenadas moviéndose a lo largo del eje y con una velocidad constante de 0.2 c. Calcular el campo magnético generado por esta carga en el punto 5 [m] a lo largo del eje x: a) A los 0 [s]. b) A los 0.05 [µs] de su movimiento.

SOLUCIÓN. El ángulo entre la velocidad y la posición es de 90° porque se mueve en el eje y y la posición está en el eje x. ç = ×t4 9 sin#, ë &

A los 0 [s], la posición es de 5 [m] porque al principio está en el origen de coordenadas y el campo magnético será: ç = ×t4 9 sin#, ë &

ç = 4 9 ∗ 10¢Ö4 9 5 ∗ 10¢¤ 0.2 ∗ 3 ∗ 10¿ sin#90°&5 ç = 6 ∗ 10¢¤ 7f8 = 6 76f8 El campo magnético está dirigido a lo largo del eje z porque tiene que ser perpendicular tanto a la velocidad como a la posición. A los 0.05 [µs], la carga estará en el punto y = 3 [m] (porque sólo se mueve en el eje y), por lo tanto el vector posición será =√3N + 5N 718, el ángulo entre la posición y la velocidad será:

r

5 [m]

v

y

x



O 90 Y tan¢S w35x O 90 Y 30.96 120.96 Por lo tanto el campo magnético será: ç 49 ∗ 10¢Ö49 5 ∗ 10¢¤0.2 ∗ 3 ∗ 10¿ sin#120.96°&√3N Y 5N ç 4.4 ∗ 10¢¤7f8 4.476f8 El campo magnético sigue en la dirección del eje z pero su magnitud ha disminuido al aumentar el ángulo (el ángulo aumenta porque la distancia al punto también aumenta), cuando la carga eléctrica se aleje más del origen de coordenadas el campo magnético irá disminuyendo cada vez más.


1) La carga eléctrica presente en la relación del

campo magnético ç ì¥âàâ íDU#àâ,î &, ¿se refiere

a la carga en movimiento que genera el campo magnético o a una carga que se mueve dentro del campo magnético (carga testigo)?

2) La carga eléctrica presente en la relación del

campo magnético ç ÚÎ^Ì ¥à , ¿se refiere a

la carga en movimiento que genera el campo magnético o a una carga que se mueve dentro del campo magnético (carga testigo)? Consolidación práctica.

3) En el átomo de hidrógeno, Bohr considera que

el electrón tiene una trayectoria circular con un radio orbital de 5.29 * 10-11 [m], con una velocidad de 2.25 * 106 [m/s], Calcular el campo magnético producido por el electrón en el centro del átomo (donde está el protón)

4) Una carga eléctrica de -8 [nC] se encuentra inicialmente en el origen de coordenadas moviéndose con una velocidad constante de 0.8 c. Calcular el campo magnético generado por esta carga en el punto y = 6 [m] a los 0 [s] y a los 0.08 [µs] de su movimiento, considere que la carga eléctrica se mueve: a) A lo largo del eje + x b) A lo largo del eje – x

5.6. CORRIENTE ELÉCTRICA Y MAGNETISMO . La corriente eléctrica es un conjunto de cargas eléctricas en movimiento ordenado (el movimiento lo provoca un campo eléctrico), por lo tanto, estas cargas eléctricas en movimiento son generadoras de un campo magnético y también sentirán los efectos de un campo magnético si están dentro de él. Definimos la intensidad de la corriente eléctrica como el cociente entre la cantidad de carga que pasa por la sección de un conductor en una unidad de tiempo. Matemáticamente la simbolizamos con la letra (i) o (I) y su ecuación será: 5

La unidad de medida para la corriente eléctrica es el Amperio [A] que según la ecuación estará

definida mediante 7ï8 . Analizaremos el comportamiento de la corriente eléctrica dentro de un campo magnético, para esto consideremos nuevamente la fuerza magnética F = q’ v x B, recordemos que en esta ecuación q’ es la carga eléctrica que se mueve dentro del campo magnético B, como q’ está en movimiento, podemos asignarle una intensidad de corriente, es decir, q’ = i t, esto implica F = i t v x B, donde el producto v t es la distancia recorrida por la carga, es decir, la longitud del cable donde se produce la corriente eléctrica, por lo tanto: F = i l x B Donde F es la fuerza sobre la corriente eléctrica i que se encuentra dentro del campo magnético B y l es la longitud del conductor en la que su sentido será el mismo que el de la intensidad de corriente.

3 [m]

r

5 [m]

v y

x



Esta ecuación expresada en función de sus magnitudes es: ð ° ³ ñ ¹°¶_³, ñî ` Donde sin_s, çî ` se refiere al seno del ángulo que forman el conductor y el campo magnético. La dirección y sentido del campo magnético la obtenemos mediante la regla de la mano derecha, apuntando nuestro pulgar a lo largo de la corriente eléctrica y el sentido en que giran el resto de los dedos será el sentido en el que circula el campo magnético formando círculos concéntricos alrededor del cable que transporta

la corriente eléctrica. Con esta misma regla obtenemos los sentidos y direcciones del campo magnético tanto en el solenoide como en el toroide, en ambos observamos que la corriente eléctrica sale por las capas superiores del alambre enrollado y entra por las capas inferiores de esos conductores. El campo magnético generado por un alambre a una distancia r del centro del alambre está dada por: ç = ×t 52 9

Donde µ0 es la constante de permeabilidad del vacío, i es la corriente eléctrica que circula por el alambre conductor r es la distancia desde el centro del conductor.

EJEMPLO 26. Calcular el número de electrones que circulan por un conductor que transporta una corriente eléctrica de 5 [A] en un tiempo de 15 [min].

SOLUCIÓN. Tenemos la intensidad de corriente y el tiempo, que convertido a [s] son 900 [s], con estos datos podemos calcular la cantidad de carga eléctrica que circuló por el conductor en Coulombs, es decir: = 5 = 5 7ï8 ∗ 9007-8 = 4 500 78 Como 1 electrón tiene una carga de 1.6 * 10-19 [C], entonces: 4 500 78 1 74¢81.6 × 10¢S¤ 7C8 = 2.8 ∗ 10NN 74¢8 Notemos que cuando escribimos [e-] nos estamos refiriendo a la cantidad de electrones, es decir es una unidad de medida por eso está entre corchetes, si escribimos e- = 1.6 * 10-19 [C] nos estamos refiriendo a la unidad de carga fundamental (la del electrón y protón), es una constante física y no una unidad de medida.

EJEMPLO 27. Por un conductor rectangular circula una corriente de 10 [A], el largo del conductor es de 5 [cm] y el ancho de 3 [cm], si el conductor está sumergido dentro de un campo magnético de 0.1 [T], calcular las fuerzas sobre cada lado del conductor y predecir sus efectos mecánicos.

SOLUCIÓN. Empecemos por el lado derecho del conductor donde la corriente está dirigida verticalmente hacia arriba y el campo magnético verticalmente hacia abajo, por lo tanto el ángulo entre estos dos elementos es de 180° y sin_s, çî ` = sin#180& = 0 entonces la fuerza sobre este lado del conductor es nula. Lo mismo sucede en el lado izquierdo del conductor

B

B i



donde el ángulo entre la corriente y el campo magnético es 0° y sin 0° = 0. Analicemos en los lados de arriba y abajo del conductor, en ambos casos el ángulo entre la corriente y el campo magnético es de 90° y como sin 90° = 1 nos queda para la fuerza F= i l B = 10 [A] 0.05 [m] 0.1 [T] = 0.05 [N] Es la misma fuerza pero aplicando la ley de la mano derecha nos da que en la parte de arriba del conductor la fuerza está dirigida hacia fuera y en la parte inferior del conductor la fuerza está dirigida hacia adentro del conductor.

En el conductor actúan un par de fuerzas de igual magnitud pero de sentido contrario, En mecánica hemos visto que este conjunto es una cupla y el efecto que provocan es la rotación alrededor de un eje, por lo tanto podrán hacer que el conductor rectangular gire en torno a un eje horizontal que pase longitudinalmente al conductor y por el centro del mismo.

EJEMPLO 28. Tres alambres rectos conductores de 1 [m] de largo se colocan paralelos y en los vértices de un triángulo equilátero de 60 [cm] de lado, los tres alambres llevan corriente de 5 [A] dos de ellos en el mismo sentido y el tercero en sentido contrario a los anteriores, calcular la fuerza magnética que actúa sobre el conductor que lleva la corriente contraria.

SOLUCIÓN. El dibuja nos ayuda mucho a encontrar tanto las fuerzas como los sentidos de los campos, como primera conclusión podemos indicar que alambres con corrientes contrarias se repelen, cada una de las fuerzas es igual a: F = i l B Donde B es el campo generado por la otra corriente y cada una de las corrientes generan campos magnéticos igual a:

ç ×t29 5 49 10¢Ö f1ï 57ï8290.6718 1.67 10¢Å7f8 Con el valor del campo podemos calcular la magnitud de cada una de las fuerzas.

F = 5 [A] 1 [m] 1.67 *10-6 [T] = 8.33 10-6 [N] Las y los estudiantes deben comprobar que las unidades dan [N]. La fuerza total la calculamos con la ley de cosenos: E¼ X#E&N Y #E&N < 2#E&N cos 120° E¼ 1.44 10¢Æ7¾8

B B

B F

F



Consolidación teórica

1) Investiga acerca del funcionamiento motor eléctrico.

2) Describa la generación de una corriente eléctrica con sus propias palabras.

3) Explicar con palabras propias lo que significa sección transversal.

4) ¿Cómo definimos la intensidad de corriente eléctrica?

5) ¿Cuál es la diferencia entre los símbolos e- y [e-]?

6) ¿Cuál es la unidad de medida de la intensidad de corriente en el S. I?

7) ¿Cómo podemos determinar la dirección y sentido de la fuerza que un campo magnético ejerce sobre una corriente eléctrica? Y ¿cómo su magnitud?

8) Explica con detalle la forma, dirección y sentido que adquieren las líneas de campo magnético generadas por un conductor largo y recto.

9) Indicar cuál es la ecuación para calcular la fuerza de atracción o repulsión entre dos conductores rectos largos que son recorridos por corrientes diferentes que estén separados por una distancia d y sean de longitud l. Consolidación práctica.

10) Calcular la cantidad de carga que atraviesa por la sección transversal de un conductor que transporta una corriente de 5 [A] durante 3 [h]. ¿cuántos electrones lo han atravesado?

11) Por un tubo de luz fluorescente pasan 7 * 1020 electrones, en 10 [s] ¿cuál es la intensidad de

corriente que atraviesa el tubo? 12) Calcular la corriente eléctrica que debe

transportar una conductor recto y largo para que a 5 [cm] de él genere una campo magnético de 2 * 10-4 [T], ¿cuál sería el campo magnético al doble de la distancia dada si mantenemos la corriente eléctrica? ¿cuál sería el campo magnético en la distancia dada si disminuimos la corriente eléctrica a la mitad?

13) Cuatro alambres rectos conductores de 2 [m] de largo se colocan paralelos y en los vértices de un cuadrado de 10 [cm] de lado, dos alambres llevan corriente de 8 [A] en sentidos contrarios y están en los vértices diametralmente opuestos del cuadrado, en los otros vértices se colocan los alambres con corrientes de 5 [A] en sentidos contrarios, calcular la fuerza magnética que actúa sobre uno de los conductores que lleva la corriente de 8 [A].

14) Tres alambres rectos y de 4 [m] de largo se colocan paralelamente de tal manera que sus secciones están ubicados en los vértices de un triángulo equilátero de 4 [cm] de lado, las corriente que llevan los conductores son de i, 2i y 5i, si i = 0.08 [A], calcular la fuerza total sobre el conductor 2 i cuando: a) Los tres conductores tengan el mismo

sentido de corriente. b) Los conductores i y 2 i tengan el mismo

sentido y 5 i sentido contrario. c) i y 5 i tengan el mismo sentido y 2i sentido

contrario. 5.7. I NTENSIDAD DEL CAMPO MAGNÉTICO Y LA GEOMETRÍA DE LA

CORRIENTE ELÉCTRICA . Hemos visto que el campo magnético creado por un alambre recto a una distancia r de él está dado

LA FUERZA ENTRE DOS CONDUCTORES PARALELOS LA PODEMO S CALCULAR COMBINANDO AMBAS ECUACIONES USADAS EN EL EJEMPLO ANTERIOR: ðò ó °ó³ñòñò ôõóö °ò« ðò ó ôõóö °ò°ó« ³ LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA ES DE REPULSIÓN SI LOS CONDUCTORES TIENEN CORRIENTES CONTRARIAS (ANTIPARALELAS) Y DE ATRACCIÓN SI LAS CORRIENTES TI ENEN EL MISMO SENTIDO (PARALELAS).



por ç ÚÎNÌ, esta ecuación es válida solo para esta geometría

(la del alambre o conductor rectilíneo) ahora vamos a ver, sin necesidad de deducir, el campo magnético creado por otras geometrías, por ejemplo, un conductor circular, una bobina, un toroide, etc. Todas estas ecuaciones son demostrables a partir de las leyes de Biot – Savart y Faraday, nuestro objetivo no es hacer dichas demostraciones ya que necesitamos conceptos de cálculo integral si deseamos hacer una demostración seria, así que nos limitaremos a presentar los resultados y ver las circunstancias en las que se aplican estos instrumentos magnéticos.

d) Conductor circular. Consiste en un alambre que transporta corriente eléctrica y que esta doblado en forma circular, en este caso se pueden analizar dos puntos, en el centro del conductor circular o espira circular y a una distancia x del centro de la espira y a lo largo de su eje.

El campo magnético en el centro de la espira es: ç ×t52e

Donde i es la corriente eléctrica que atraviesa la espira y R es su radio. Para el campo magnético a una distancia x del centro de la espira tenemos la expresión exacta: ç ×t5eN2#eN Y =N&]/N

Si consideramos que la distancia x es mucho más grande que el radio de la espira podemos considerar la siguiente expresión como una muy buena aproximación: ç ×t5eN2=]

e) Una bobina es un instrumento circular con varias vueltas, es decir, son varias espiras circulares juntas que generan un campo magnético uniforme en el centro. El campo magnético en su centro y a una distancia x de su centro, para N vueltas del alambre, están dados por: ç ×t¾52e ç ×t¾5eN2=]

f) Solenoides. Un solenoide es un aparato eléctrico construido con una alambre largo y delgado enrollado en forma de hélice, con esta geometría que se le da al conductor es posible generar campos magnéticos bastante uniformes en el interior del solenoide, es decir dentro de la hélice formada por el conductor, esto, claro está, cuando por el conductor circule una corriente eléctrica i. El campo magnético en el interior del solenoide estará dado por: ç ×t ¾s 5

Donde N es el número de vueltas que da el conductor para formar la hélice del solenoide y l es el largo del solenoide. Frecuentemente se da el dato del número de vueltas del solenoide por unidad de

longitud, es decir: r 6, con este dato tenemos el campo magnético para un solenoide como: ç ×t65

g) Toroide. El toro es una figura geométrica parecida a la dona o al neumático de llanta, entonces, un toroide es un conductor largo y delgado arrollado alrededor del toro para crear un campo magnético en su interior; el toro está fabricado de un material no conductor y el campo magnético fuera de él es nulo siempre y cuando el alambre esté arrollado de tal manera que las vueltas estén muy juntas una de la otra. El campo magnético en el interior del toro está dado

x

i i

i



por: ç ×t¾529 + ÷ ÷ É

Donde “a” es el radio interior del toro y “b” es el radio exterior del toro. Podemos ver que el campo magnético en el interior del toro no es uniforme y varía en forma inversamente proporcional a la distancia r desde el centro del toro, a partir de su radio interno y hasta su radio externo.

EJEMPLO 29. Una bobina circular de 8 [cm] de diámetro tiene 24 [vueltas]; si por

ella circula una corriente eléctrica de 5 [A], Calcular el campo magnético que genera y la dirección que tiene en:

a) El centro de la bobina. b) El eje de la bobina y a 15 [cm] de su centro. c) El eje de la bobina y a 3 [m] de su centro.

SOLUCIÓN. a) Para calcular el campo magnético de una bobina en su centro

tenemos: ç ×t¾52e 49 ∗ 10¢Ö ∗ 24 ∗ 52 ∗ 0.08 9.4 ∗ 10¢^7f8 b) Para el cálculo en el eje de la bobina tenemos: ç ×t¾5eN2=] 49 ∗ 10¢Ö ∗ 24 ∗ 5 ∗ 0.08N2 ∗ 0.15] 1.4 ∗ 10¢^7f8 c) ç ×t¾5eN2=] 49 ∗ 10¢Ö ∗ 24 ∗ 5 ∗ 0.08N2 ∗ 3] 1.8 ∗ 10¢¿7f8 EJEMPLO 30.

Un toroide tiene un radio interno de 2 [cm] y un radio externo de 4 [cm], alrededor de él se enrollan 7 capas con 800 [vueltas] cada una con una alambre conductor delgado que lleva una corriente de 3 [A]. Calcular el campo magnético a los 2, 2.5, 3, 3.5, y 4 [cm] del centro del toroide.

SOLUCIÓN. Tal como indicamos en la teoría, el campo magnético de un toroide está dado por:

ç ×t295¾ 49 10¢Ö f1ï 37ï87 80049 3.36 10¢] 7f18 Donde hemos dejado r para poder evaluar más fácilmente los datos que nos dicen y los resumimos en la tabla adjunta.

EJEMPLO 31. Un solenoide está fabricado con 800 [vueltas] en una longitud de 5 [cm], si por el conductor arrollado circula una corriente eléctrica de 5 [A], ¿cuál será la intensidad del campo magnético generado en el centro del solenoide?

a) Cuando el centro está vacío. b) Cuando el centro está con hierro cuya permeabilidad magnética

relativa es 5 000.

r [m] B [T] 0.020 0.168 0.025 0.134 0.030 0.112 0.035 0.096 0.040 0.084



SOLUCIÓN. a) Como para el solenoide en el vacío tenemos: ç ×t65 49 ∗ 10¢Ö ∗ 8000.05 ∗ 5 0.17f8

Este campo magnético es bastante grande, aproximadamente 2 000 veces el campo magnético terrestre, cuyo valor promedio podemos tomarlo como 5 * 10-5 [T].

b) Si está con hierro tendremos: ç 5000×t65 500049 ∗ 10¢Ö ∗ 8000.05 ∗ 5 502.657f8 Este valor es cinco mil veces mayor al valor en el centro del solenoide en vacío, diez millones de veces más intenso que el campo magnético terrestre.


1) ¿Qué es una espira de corriente, una bobina, un solenoide y qué un toroide?

2) Escribe las ecuaciones que determinan el campo magnético generado por un conductor rectilíneo, una espira de corriente, una bobina, un solenoide y un toroide.

3) ¿Cuál de los cinco elemento mencionados en el problema anterior genera un campo magnético constante? ¿por qué?

4) ¿Cómo determinamos la dirección del campo magnético en los solenoides y en toroides?

5) Describe cómo se forman las líneas de campo magnético dentro de un solenoide y dentro de un toroide. Consolidación práctica.

6) Se desea obtener un campo magnético de 8 [µT] en el centro de una espira circular por la que circula una corriente eléctrica de 4 [A] ¿Cuál es el radio requerido para la espira?

7) Dos espiras circulares concéntricas y coplanares tienen radios de 3 [cm] y de 6 [cm] llevan la misma intensidad de corriente de 3 [A] cada una, calcular el campo magnético producido por ambas espiras: a) En el centro de ambas espiras. b) A 5 [cm] del eje de ambas espiras. c) A 2 [m] de ambas espiras.

8) Dos espiras circulares de 50 [cm] de radio cada una tienen el mismo eje en común y están separadas paralelamente por 50 [cm] a lo largo del eje. Calcular el campo magnético en el

centro de cada espira y en el punto medio del segmento del eje que las separa si por ambas circula la misma intensidad de corriente de 10 [A] a) En el mismo sentido. b) En sentidos contrarios.

9) Resuelva el problema anterior para el caso de dos bobinas fabricadas con 100 [vueltas] cada una (este conjunto se llama bobinas de Helmholtz).

10) Un reactor de fusión tiene la forma de un toro con un radio interno de 0.7 [m] y un radio externo de 1.3 [m], en el toro se encuentra enrollado un alambre con 900 [vueltas] por el que circula una corriente eléctrica de 14 [kA], calcular la intensidad del campo magnético: a) En el radio interno del toro. b) En el radio externo del toro.

11) Por un solenoide circula una corriente eléctrica de 6 [A], el solenoide está construido con ocho capas de 950 vueltas cada una a lo largo de 50 [cm] y con un diámetro de 1.5 [cm]. Calcular la magnitud del campo magnético en su interior. a) Cuando no se coloca ningún material en su

centro. b) Cuando se coloca hierro de permitividad

relativa igual a 5 000. 12) Una corriente de 50 [mA] atraviesa un

solenoide de 2 [m] de longitud con 200 000 espiras, determinar la intensidad del campo magnético en su interior.


CAPÍTULO 6:M OVIMIENTO EN EL CAMPO GRAVITATORIO

Contenido Orientaciones metodológicas Energía potencial gravitatoria.

• Definir física y matemáticamente la energía potencial gravitatoria.

Consideraciones energéticas.

• Diferenciar entre cuerpos con órbitas cerradas y órbitas abiertas respecto a un planeta.

• Relacionar conceptos mecánicos de trabajo y energía con los de la teoría de campo gravitatorio.

El movimiento de satélites y planetas.

• Establecer las diferentes velocidades cósmicas en el movimiento de satélites.

• Resolver los problemas pertinentes a éste capítulo.



6.1. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA . Para distancias muy próximas a la superficie de un cuerpo celeste (planeta, satélite, estrella, etc.) la energía potencial gravitatoria podemos escribirla como: kd 1N b ℎ Una expresión general, es decir, tanto para distancias pequeñas como grandes sobre la superficie de un cuerpo celeste tenemos la siguiente expresión matemática kd = − 1S 1N

Donde m1 y m2 son las masas de los cuerpos celestes y r es la distancia del centro de un cuerpo al centro del otro, el signo menos se debe a que la fuerza entre ambos cuerpos es de atracción.

6.2. CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS . Si además de la energía potencial gravitatoria consideramos la energía cinética de los cuerpos celestes, tendremos la energía mecánica, es decir: k = k + kd = 12 1SSN + 12 1NNN − 1S 1N

En esta ecuación podemos considerar como sistema de referencia al cuerpo más grande (cuerpo 1) lo que significa que lo consideraríamos en reposo y la ecuación se reduce a: k = 12 1NNN − 1S 1N

Por la conservación de la energía tendríamos: 12 1NNtN − 1S 1Nt = 12 1NNvN − 1S 1Nv

EJEMPLO 32. Hemos dado dos ecuaciones para la energía potencial gravitatoria, compatibilizar ambas ecuaciones para el caso en que un cuerpo se mueva desde una altura h1 hasta una altura h2, lo que corresponde a moverse desde una posición r1 hasta la posición r2.

SOLUCIÓN. Para el caso de la primera ecuación tendríamos el siguiente cambio de energía potencial: ∆kd = 1N b #ℎN − ℎS& Para el caso de la segunda ecuación tendríamos el siguiente cambio de energía potencial: ∆kd = − 1S 1NN − w− 1S 1NS x = 1S 1N w 1S − 1Nx

∆kd = 1S 1N wN − SS N x

En esta ecuación N − S = ℎN − ℎS, y como tanto h1 como h2 son muy pequeñas comparadas con R podemos decir que S = e y N = e, por lo que SN = eN, reemplazando esto tenemos: ∆kd = 1S 1N wℎN − ℎSeN x = 1N g 1SeN h #ℎN − ℎS& Donde el primer paréntesis representa la aceleración de la gravedad, dándonos finalmente que: ∆kd = 1Nb#ℎN − ℎS& Que es igual al cambio de energía potencial obtenido con la primera ecuación.

m1

m2

r

m1

m2

r1

r2 h2

h1

R



EJEMPLO 33. Apoyándonos en la ley de conservación de la energía podemos calcular la velocidad necesaria para que un cuerpo escape de su planeta, esto llamamos “velocidad de escape”

SOLUCIÓN. Inicialmente el cuerpo deberá partir desde la superficie de la tierra con la denominada velocidad de escape, por lo tanto su energía inicial será: kt 121NN < 1S1Ne

Al final, el cuerpo deberá llegar a un punto que este muy, muy lejos de su planeta, esa distancia la llamaremos infinito ∞, la velocidad que tenga ese cuerpo en ese punto será nula, por lo tanto la energía final será: kv 121N#0& < 1S1N∞ 07q8 Igualando ambas energías tenemos: 121NN < 1S1Ne 0

Despejando la velocidad de escape llegamos a:

Á 21Se

Tomando los respectivos valores para la tierra tenemos:

L Á6.67 ∗ 10¢SS 2 ∗ 5.97 ∗ 10N^6.38 ∗ 10Å 1.12 ∗ 10^ 1- Que equivale a 40 200 [km/h].


1) Escriba la expresión general de la energía potencial gravitatoria, defina cada uno de los términos de esta ecuación y las unidades de medida en el SI.

2) ¿Por qué la energía potencial gravitatoria es negativa?

3) Tres cuerpos están interactuando mutuamente, escriba una expresión para la energía potencial para el sistema (sugerencia: la energía potencial debe ser la suma de los tres cuerpos tomados de dos en dos, en este caso tendrá tres términos el primer cuerpo con el segundo, el primero con el tercero y el segundo con el tercero).

4) Indique cuántos términos tendría la energía potencial gravitatoria total para un sistema compuesto por cinco cuerpos.

5) Escriba la expresión para la energía mecánica de un sistema de dos cuerpos que interactúan mutuamente e indique los términos con sus

unidades de medida en el SI. 6) ¿Cuál es la unidad de medida de la energía en

el SI? 7) Defina lo que entendemos por velocidad de

escape. 8) Deduzca la ecuación para calcular la velocidad

de escape a partir de la conservación de la energía mecánica. Consolidación práctica.

9) Calcular la energía potencial gravitatoria entre el sol y la tierra.

10)Si un asteroide de 5 * 1015 [kg] de masa choca con la tierra ¿qué velocidad tendría que tener para poder romper la energía potencial entre la tierra y el sol?

11)Un cuerpo es lanzado desde la superficie de la tierra con una velocidad inicial de 6 [km/s] verticalmente hacia arriba, despreciando la fricción con el aire, calcular la altura máxima que alcanza el cuerpo sobre la superficie de la tierra.



12)Calcular la energía potencial gravitatoria para el sistema sol, tierra y luna cuando:

13)Los tres estén alineados con la tierra entre el sol y la luna.

14)Los tres estén alineados con la luna entre el sol y la tierra.

15)La recta sol tierra forme un ángulo recto con la distancia tierra luna.

16)Un cuerpo es soltado desde una altura igual al radio de la tierra, despreciando la resistencia de la atmósfera, calcular la velocidad con que el cuerpo golpea contra la superficie terrestre.

17)Calcular la velocidad de escape del sol. 18)La densidad de un cuerpo es el cociente entre

la masa y su volumen, calcular la densidad del sol suponiendo que es una esfera, el volumen

de una esfera está dado por ù ]9e].

19)Demostrar que la velocidad de escape en función de la densidad del planeta o estrella

está dada por 2 eÂN] 9 ú, donde ρ es

la densidad del planeta o estrella. 20)En 1783 John Mitchell calculó el radio que

debería tener un cuerpo con la misma densidad que el sol para que su velocidad de escape sea igual a la velocidad de la luz (c = 3 * 108 [m/s]), ¿cuál es el radio que calculó Mitchell? Use la densidad del sol calculada en el problema 15 y la ecuación del problema 16. (esta era la primera predicción de la posible existencia de agujeros negros)

21)Actualmente se sabe que una estrella puede colapsar en un agujero negro (velocidad de escape igual a c) si su masa es por lo menos el triple que la masa del sol ¿Cuál sería el radio que tendría esta estrella al colapsarse?

22)En el centro de nuestra galaxia existe la evidencia de un cuerpo súper masivo de 2.6 * 106 veces la masa del sol con un radio de 7.8 * 109 [m] ¿podrá tratarse de un agujero negro?

6.3. EL MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS . El tipo de movimiento u órbita que pueda tener un satélite natural o artificial o un planeta depende únicamente de su energía mecánica, es decir: k = 12 1NNN − 1S 1N ↔ û -5 k < 0 4s -+és54 4-á s5b+, y 5464 ·6+ óÉ5+ [4+,+-5 k ≥ 0 4s -+és54 6 4-á s5b+, y 5464 ·6+ óÉ5+ +É54+

-5 k < 0 óÉ5+ [5[·s+ 4sí?5[+-5 k = 0 5464 óÉ5+ ?++Éós5[+-5 k > 0 5464 óÉ5+ ℎ5?4Éós5[+

Para colocar un satélite en órbita circular son necesarias dos etapas, la primera es el lanzamiento con cierta velocidad para que alcance la altura deseada con una velocidad nula, una vez arriba empieza la segunda etapa un motor impulsa la nave dándole una velocidad horizontal (perpendicular al radio) necesaria para que mantenga la órbita circular. Analicemos la primera etapa, el satélite es lanzado verticalmente hacia arriba desde la superficie terrestre y alcanza la altura h deseada con una velocidad nula, por la conservación de la energía tenemos. 12 1tN − 1¼ 1t = 12 1vN − 1¼ 1v 12 1tN − 1¼ 1e = 12 1# 0N& − 1¼ 1e + ℎ 12 1tN = −1¼ 1 w 1e + ℎ − 1ex

tN = −2 1¼ we − e − ℎe#e + ℎ& x = 2 1¼ w ℎe#e + ℎ&x

Con este procedimiento calculamos la velocidad de lanzamiento desde la superficie de la tierra para que alcance la altura h. Una vez que el satélite esté a la altura deseada, la segunda fase es impulsarlo, es decir, darle una velocidad perpendicular al radio para que pueda tener una órbita circular cuyo radio



sea r = R + h, este impulso calculamos con la siguiente relación. E 1¼ 1N

Como esta fuerza será perpendicular a la velocidad orbital podemos escribir: 1 + = 1¼ 1#e + ℎ&N Ne + ℎ = 1¼#e + ℎ&N

= Â 1¼e + ℎ

El periodo de rotación del satélite podemos calcular mediante:

f = 2 9 = 2 9e + ℎ = 2 9#e + ℎ& = 2 9#e + ℎ&]/NX 1¼

Si reemplazamos la velocidad orbital en la ecuación de la energía mecánica obtenemos sin mucha dificultad que la energía mecánica para un satélite en órbita circular está dada por: k = − 1¼ 12

Esta energía es negativa porque corresponde a un estado ligado, es decir a una órbita cerrada. Los resultados obtenidos para las órbitas circulares son también aplicables a las órbitas elípticas, simplemente reemplazamos el radio de la órbita circular por el valor del semi eje mayor de la órbita elíptica, es decir: ÓÉ5+ [5[·s+ ÓÉ5+ 4sí?5[+

= Â 1¼f = 2 9 ]/N

X 1¼ k = − 1¼ 12

= Â 1¼+f = 2 9 +]/N

X 1¼ k = − 1¼ 12 +

EJEMPLO 34. Se desea poner en órbita circular a un satélite de 450 [kg] de masa de tal manera que parezca estar siempre encima de uno; ¿cuál deberá ser tanto su velocidad de lanzamiento como su velocidad orbital?, ¿cuál será la energía mecánica del satélite en esta órbita?, ¿Cuánta energía se consumió para su lanzamiento?

SOLUCIÓN. Para que el satélite parezca estar siempre sobre uno, tendrá que tener el mismo periodo que el de rotación de la tierra, 24 [h], por lo tanto:

f = 2 9 ]/NX 1¼ = ÁfN 1¼4 9Nå = 4.22 ∗ 10Ö718

= Â 1¼ = 3.07 ∗ 10] 1- La velocidad de lanzamiento será:

R = Á2 1¼ w 1e − 1 x = 1.03 ∗ 10^ 1-



Para la energía mecánica orbital tenemos: k <1¼ 12 <2.12 ∗ 10¤7q8 La energía necesaria para su lanzamiento es: k 121 RN 2.38 ∗ 10St7q8

EJEMPLO 35. El cometa Halley tiene un periodo orbital de 75.6 [años] y su aproximación máxima al sol (perihelio) es de 0.57 [UA], calcular la máxima distancia (afelio) a la que el cometa se aleja del sol.

SOLUCIÓN. Como vemos en la figura, la órbita del cometa es elíptica alrededor del sol, con el dato del periodo orbital podremos calcular la longitud del semi eje mayor:

f 29+]/NX1 + ÁfN149Nå 3.21 ∗ 10SS718 Que en [UA] será:3.21 ∗ 10SS718 S78S.Æ∗St¦¦78 2.147ï8 Por lo tanto la distancia máxima a la que se aleja el cometa será: v 2+ < d 3.717ï8


1) Bibliografía de Johannes Kepler, su obra científica y sus leyes.

2) Describa las órbitas que puede tener un satélite en función de la energía mecánica del satélite.

3) ¿Cuántas etapas son necesarias para colocar un satélite en órbita?

4) Describa y analice matemáticamente la etapa de lanzamiento de un satélite y la etapa de puesta en órbita.

5) ¿Qué es una elipse? 6) Describa los elementos geométricos de una

elipse: a) Semieje mayor. b) Semieje menor. c) Excentricidad.

7) Escriba las relaciones matemáticas que hay entre los elementos geométricos de una elipse.

8) Compare las relaciones matemáticas que hay entre una órbita circular y una órbita elíptica.

9) ¿Cuál es la equivalencia en metros de la unidad astronómica [UA]? Consolidación práctica.

10)Calcular el periodo de rotación y la energía mecánica de un satélite de 300 [kg] de masa que se encuentra en una órbita circular a una

altura igual al triple del radio terrestre. 11)Un satélite se mueve en una órbita circular

con una velocidad de 5 800 [m/s], calcular su periodo de revolución y la altura a la que orbita sobre la superficie de la tierra.

12)¿Cuál es el periodo de revolución y cuál su velocidad orbital para un satélite que tiene una órbita circular a una altura de 1200 [km] sobre la superficie de la tierra?

13)Calcular la velocidad de lanzamiento, la velocidad orbital y el periodo de revolución de un satélite que deseamos que orbite a una altura de 800 [km] sobre la superficie de la tierra.

14)Un satélite de 600 [kg] de masa está orbitando circularmente a la tierra a una altura de 1500 [km]. Calcular la energía adicional que se le debe comunicar a este satélite para colocarlo en una órbita geosincrónica.

15)En 1989 Plutón estaba cien millones de kilómetros más cerca del Sol que Neptuno. Los semiejes mayores de las órbitas de Plutón y Neptuno son 5.92 * 1012 [m] y 4.5 * 1012 [m] respectivamente y sus excentricidades son 0.248 y 0.01. Calcular la distancia más corta de Plutón al Sol y la más larga de Neptuno al

0.57 [UA]

2a



Sol. 16)Un cometa de 1.2 * 1030 [kg] se mueve en una

órbita elíptica alrededor del sol, su distancia hacia el sol varía entre 0.5 [UA] y 50 [UA],

calcular el periodo de rotación del cometa, su excentricidad y sus velocidades tanto en el afelio como en el perihelio.


CAPÍTULO 7:M OVIMIENTO EN EL CAMPO ELÉCTRICO .


Un concepto previo, diferencia de potencial eléctrico (ddp-e).

• Definir física y matemáticamente la diferencia de potencial entre dos puntos tanto en campos gravitacionales como en campos eléctricos.

• Diferenciar entre cuerpos generadores de ddp y cuerpos testigos de la ddp o sumergidos en él.

• Relacionar conceptos mecánicos de trabajo y energía con los de la teoría de campos.

Placas paralelas con carga opuesta.

• Establecer a la intensidad de campo y la ddp como las magnitudes que definen el comportamiento físico de los campos.




7.1. UN CONCEPTO PREVIO , DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO

(DDP-E). Definimos la diferencia de potencial eléctrico como la energía potencial eléctrica distribuida entre la carga eléctrica de un cuerpo que sirve de testigo o que se mueve o está sumergida dentro de un campo eléctrico.

∆ù = ∆kd ′

Esta ecuación la podemos escribir como: ∆kd = â∆ù

6,4 kd 4- s+ 464bí+ ?46[5+s 4sé[5[+ 14,5,+ 46 q·s4 [q] ´4- s+ [+b+ ,4 ?·4É+ [s[+,+ ,46 ,4s [+1? 4sé[5[ 14,5,+ 46 []∆ù 4- s+ ,5È446[5+ ,4 ?46[5+s 4sé[5[

La unidad de medida del potencial eléctrico será ∆ù = ∆Ä¥â ⇒ [ ] = r @ å . Esta

unidad recibe el nombre especial de voltio, por lo tanto 7ù8 @ å Mediante algunas transformaciones matemáticas podemos llegar a la conclusión que el potencial eléctrico generado por una carga Q está dado por: ù a kd = a â

Además de una íntima relación entre el campo eléctrico y la diferencia de potencial eléctrico, dada por: ∆ù = − k ∆ cos_k, ∆ê ` En esta ecuación establecemos la relación entre la variación del potencial eléctrico (∆V) y la intensidad del campo eléctrico (E) También podemos expresar la diferencia de potencial en función del trabajo, el trabajo necesario para mover una carga eléctrica de prueba desde un punto A hasta un punto B será igual a: ¢ ´#ù < ù&

EJEMPLO 36. Calcular el trabajo necesario para mover una carga eléctrica de - 8 [µC] desde una posición de 50 [cm] a otra de 250 [cm] medidos a partir de la carga de 120 [µC].

SOLUCIÓN. En este caso la carga que genera el campo eléctrico es la de 120 [µC] y la carga de prueba que se mueve dentro del campo es la de – 8 [µC], por lo tanto tendremos: ¢ ´#ù < ù& como ù a ¥ tenemos: ¢ ´ wa < a x a â w 1 < 1x ¢ 9 ∗ 10¤ ∗ 120 ∗ 10¢Å#−8 ∗ 10¢Å& w 10.5 − 12.5x ¢ <13.82[q] El trabajo es negativo porque entre las cargas eléctricas existe una fuerza de atracción, esto significa que las carga de -8 [µC] y 120 [µC] se irán acercando de manera natural y la fuerza que se necesite para alejar una carga de la otra tendrá que ser contraria a la fuerza eléctrica, por lo tanto la fuerza eléctrica forma 180° con el desplazamiento de la carga y su



valor será consecuentemente negativo. También podemos interpretar este trabajo negativo como un trabajo externo positivo que se necesita para poder separar a las cargas eléctricas.

EJEMPLO 37. Calcular la energía necesaria para formar el sistema de cargas de la figura, considere que todas las cargas son iguales a 6 [µC] y son opuestas en signo las diametralmente opuestas, el lado del cuadrado que forman es de 10 [cm].

SOLUCIÓN Recordemos que la energía es igual al trabajo ¢ <∆kd, por lo tanto la energía la calculamos como el trabajo necesario para traer cada una de las cargas desde el infinito hasta el punto donde será colocada superando el campo eléctrico de las anteriormente

colocadas, ¢ <∆kd kd < kd , en esta ecuación podemos considerar que la energía potencial eléctrica en el punto infinito es nula,

por lo tanto tendremos ¢ <∆kd kd kd a ¥ .

Para traer la primera carga eléctrica al primer vértice del cuadrado no necesitamos realizar ningún trabajo eléctrico puesto que no hay carga eléctrica con la que interactúe, para colocar la segunda carga eléctrica en el segundo vértice entonces tendremos kd a ¥¦¥ , al traer la tercera

carga eléctrica, esta interactuará con las dos que ya están presentes y su energía será kd a ¥¦¥å√N Y a ¥¥å , finalmente, al traer la cuarta carga

eléctrica interactuará con las tres ya presentes siendo kd a ¥¦¥ Ya ¥¥√N Y a ¥å¥ ahora bien, la energía necesaria total será: kdLL a S N+ Y a S ]+√2 Y a N ]+ Y a S ^+ Y a N ^+√2 Y a ] ^+

kdLL a< N+ Y a N+√2 Y a< N+ Y a< N+ Y a N+√2 Y a< N+

kdLL a N+ w<1 Y 1√2 < 1 < 1 Y 1√2 < 1x a N+ _√2 < 4` kdLL <8.387q8LL 8.387q8 El hecho que la energía para configurar el sistema sea negativa significa que el trabajo es positivo, es decir que se debe efectuar trabajo interno positivo para conformar el sistema o un trabajo externo negativo para configurarlo.


1) Bibliografía de Alessandro Volta, investigación de la pila voltaica.

2) ¿Cuál es la unidad de medida del potencial eléctrico en el SI?

3) Escribe las ecuaciones del potencial eléctrico una en función de la carga eléctrica generadora y la otra en función de una carga eléctrica de prueba o testigo.

4) ¿Qué relación matemática podemos establecer entre la diferencia de potencial eléctrico tanto con el trabajo como con el campo eléctrico?

5) ¿Qué interpretación física damos tanto al trabajo eléctrico positivo como al negativo? Consolidación práctica.

6) Dos esferas cargadas eléctricamente con 5 [µC] y 12 [µC] están separadas 80 [cm], calcular el trabajo necesario para:

+ q

+ q

- q - q



a) Acercarlas a 20 [cm]. b) Alejarlas hasta 1.4 [m]

7) Calcular la energía necesaria para configurar cuatro cargas eléctricas iguales a 8 [mC] en los vértices de un cuadrado de 5 [cm] de arista, tres de las cargas son positivas y una negativa.

8) Calcular la distancia a la que una carga eléctrica genera un potencial de 200 [V] y un

campo eléctrico de 100 r 9) Calcular el potencial eléctrico de un dipolo

eléctrico con 15 [µC] de carga, separación de 0.5 [cm] y a una distancia de 2 [m] del dipolo.

10)Dos cargas eléctricas de 4 [µC] y – 6 [µC] se encuentran separadas por 20 [cm], calcular el o los puntos sobre la recta que las une en los que el potencial eléctrico se anula.

11)Una carga eléctrica de 3 [µC] es movida desde el punto A hasta otro B dentro de un campo eléctrico, si el trabajo realizado es de 9 * 10-3 [J], calcular la diferencia de potencial entre los puntos A y B; si elegimos el potencial del punto A como 0 [V] ¿cuál es el potencial del punto B?

12)Una esfera de 2 [g] de masa y cargada con 2 [µC] se mueve debido a la presencia de un campo eléctrico desde un punto A donde el potencial eléctrico es de 100 [V] hasta otro punto B donde el potencial es nulo. ¿Cuál es la velocidad de la esfera en el punto A si al

llegar al punto B su velocidad es de 0.4 ?

13)Dentro de una válvula termoeléctrica, los electrones son emitidos desde el cátodo (placa negativa) y acelerados hacia el ánodo (placa positiva), entre ambas placas existe una distancia de 3 [cm] y una diferencia de potencial de 300 [V], ¿cuál es la fuerza ejercida sobre el electrón?

14)Una partícula alfa es el átomo de helio sin sus dos electrones (por lo tanto tiene una carga eléctrica +2e) y una masa 7000 veces mayor que el positrón que es una partícula que tiene una carga +e y una masa de 9.11 * 10-31 [kg]. Cuando el positrón está a 10-10 [m] de la partícula alfa se aleja de ella (debida a la repulsión eléctrica) con una velocidad de 3 * 106 [m/s] ¿cuál será la velocidad del positrón cuando se haya alejado hasta una distancia de 2 *10-10 [m] de la partícula alfa? ¿Cuál será la velocidad del positrón cuando esté muy lejos de la partícula alfa (infinito)?

15)Dos cargas eléctricas +3 [nC] y -3 [nC] están separadas por 3 [cm]; una partícula de polvo de 5 * 10-9 [kg] de masa y con una carga eléctrica de 2 [nC] está a 1 [cm] de la carga positiva y sobre el segmento que une las dos cargas. Si la partícula parte del reposo ¿con qué velocidad llegará a 1 [cm] de la carga negativa sobre el mismo segmento?

16)Siguiendo el modelo atómico de Bohr ¿cuál será la energía mecánica con la que el electrón orbita al núcleo atómico si su radio orbital es de 5.29 * 10-11 [m].

7.2. PLACAS PARALELAS CON CARGA OPUESTA . Dos placas planas y paralelas, cargadas eléctricamente y con la misma carga son capaces de almacenar en su interior un campo eléctrico uniforme dado por k ¥ ÍÎ donde q es la carga eléctrica de cada placa,

A es el área de cada placa y Ït es la constante de permitividad del medio que está entre ambas placas, cuando haya algún material entre las placas tendremos k = ¥ ÍÎ Íi. Usando la relación ∆ù = − k ∆ cos_k, ∆ê `,

podemos expresar el campo eléctrico entre placas paralelas como ∆ù = k d, donde d es la distancia entre las dos placas, por lo tanto, para el campo eléctrico confinado entre dos placas tenemos: k = ï Ït Ï ∆ù = k d ∆ù = ,ï Ït Ï

Una carga eléctrica de prueba dentro de este campo eléctrico se moverá con una aceleración dada por la ecuación: E â k ,6,4 E = 1 + Dependiendo del ángulo que forme la velocidad inicial con la dirección del campo eléctrico el

+ + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - -

E



movimiento de la carga de prueba será rectilíneo o parabólico.

EJEMPLO 38. Un electrón es lanzado perpendicularmente a la placa positiva y desde ella con una velocidad de 4 * 106 [m/s], la distancia entre las placas paralelas es de 8 [cm] y entre ellas hay una diferencia de potencial de 50 [V]. Calcular la distancia de máximo acercamiento del electrón hacia la placa negativa.

SOLUCIÓN. El electrón tiene carga negativa, por lo tanto es atraído por la placa positiva y repelido por la negativa, pero se le da un impulso que le obliga a moverse hacia la placa negativa desacelerándose, una vez que su velocidad sea cero “caerá” hacia la placa positiva, lo que nos piden es el máximo acercamiento hacia la placa negativa, eso podemos calcular mediante: N tN Y 2+∆=∆= <tN2+

Donde ya consideramos el hecho de que la velocidad final del electrón sea nula, la aceleración del electrón la calculamos mediante: + < E1 < âk1 < â∆ù1, ∆= tN1,2 â∆ù 7.37[18 Como la distancia entre las placas es de 8 [cm] el máximo acercamiento que tiene el electrón a la placa negativa es de 0.7 [cm].

EJEMPLO 39. Un electrón entra perpendicularmente al campo eléctrico formado por dos placas planas y paralelas que están separadas por 4 [cm] y que están conectadas a una diferencia de potencial de 30 [V]; la velocidad con que penetra el electrón es de 8 * 106 [m/s], calcular cuánto se desvía el electrón al salir de las placas si el ancho de estas es de 12 [cm], considere que el electrón penetra a las placas por la mediatriz del segmento que une las placas.

SOLUCIÓN. Por el juego de cargas eléctricas, el electrón penetra horizontalmente pero es atraída por la placa positiva, por lo tanto el electrón sigue una trayectoria parabólica que hará salir al electrón por una cierta distancia más arriba de la horizontal por donde penetró, esa es la distancia que nos están pidiendo encontrar. Cinemáticamente resolvemos el problema mediante: = ty 12 +N4-,4[5y +=N2tN

La aceleración la calculamos mediante: + E1 âk1 â∆ù1, y â∆ù=N21,tN 1.57[18 El electrón se desvía 1.5 [cm] hacia la placa positiva.


17)Dibuje adecuadamente las placas positiva y negativa de un sistema de placas paralelas para que el campo eléctrico entre ambas placas sea:

+ + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - -

E v0

e-

+ + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - -

E

v0 e-



a) Vertical y hacia arriba. b) Vertical y hacia abajo. c) Horizontal a la derecha. d) Horizontal a la izquierda.

18)La unidad que hemos usado para el campo eléctrico es [N/C], demuestre que también se puede medir en [V/m].

19)Si dos placas planas y paralelas se separan más de lo que están, el campo eléctrico entre ambas placas ¿aumenta o disminuye?, ¿qué sucede con el campo eléctrico si las placas se juntan más?

20)Si dos placas planas y paralelas se separan más de lo que están, la diferencia de potencial eléctrico entre ambas placas ¿aumenta o disminuye?, ¿qué sucede con la diferencia de potencial eléctrico si las placas se juntan más?

21)¿Qué dirección y sentido tiene la aceleración respecto al campo eléctrico donde se mueve una carga eléctrica de prueba?

22)Si una carga eléctrica entra a un campo eléctrico uniforme moviéndose inicialmente en dirección perpendicular al campo, la trayectoria que describe, ¿será una recta, un círculo una parábola o una elipse?

23)¿Qué tipo de trayectoria tendrá una carga eléctrica de prueba que se mueve inicialmente en dirección paralela o antiparalela al campo eléctrico? Consolidación práctica.

24)Calcular el campo eléctrico y la diferencia de potencial eléctrico entre las placas de un sistema de placas paralelas rectangulares de 2 [cm] por 5 [cm] separadas por 3 [cm] y cargadas cada una con 8 [µC] si entre ellas hay: a) El vacío. b) Mica. c) Vidrio.

25)Dos placas planas paralelas y circulares están separadas por una distancia de 2 [cm] y entre ellas generan una diferencia de potencial de 80 [V] cuando la carga que acumulan es de 25 [µC], ¿cuál es el radio de las placas si entre

ellas se hace el vacío? ¿Cuál es el campo eléctrico entre las placas? ¿cómo cambian estos resultados si entre las placas se inserta mica?

26)Calcular el campo eléctrico y la diferencia de potencial que existe entre dos placas planas y paralelas cargadas una positivamente y la otra negativamente, la densidad de carga de cada una es de 12 [nC] y la separación entre ambas es de 3 [cm].

27)Dos placas cargadas eléctricamente generan un campo eléctrico horizontal dirigido de

izquierda a derecha, la placa derecha es negativa y la izquierda es positiva. Determinar la velocidad mínima con que deberá ser lanzada la carga positiva de 0.04 [µC] desde la placa negativa para que llegue a la otra placa, la separación entre

las placas es de 20 [cm] y la intensidad del

campo eléctrico es de 4 * 105 r. 28)Dos placas paralelas con la misma carga pero

de signo contrario tienen una densidad

superficial de carga de 0.9 Ú generan un

campo eléctrico donde se mueve una carga de 0.2 [nC] y de 0.08 [mg] partiendo desde la

placa negativa con una velocidad de 400 y

formando un ángulo de 30° con la placa, calcular: a) La intensidad del campo eléctrico. b) La aceleración a la que está sometida la

carga. c) La separación mínima entre las placas

para que la partícula cargada pueda volver a la placa negativa.

d) El tiempo que le toma retornar al la placa negativa.

e) La distancia que avanza a lo largo de la placa negativa.


CAPÍTULO 8:C ONEXIÓN DE CAPACITORES .

Contenido Orientaciones metodológicas ¿Qué es un capacitor? • Definir con sus propias palabras lo que es un capacitor.

Capacitancia. • Diferenciar entre el capacitor y la capacitancia, identificar las

unidades de medida de la capacitancia y su relación matemática. • Analizar física y matemáticamente el capacitor plano.

Conexión de capacitores en serie. • Reconocer las conexiones en serie de dos o más capacitores.

Conexión de capacitores en paralelo.

• Reconocer las conexiones en paralelo y las mixtas de dos o más capacitores.

Energía de un capacitor.

• Asociar la energía de un capacitor a la energía mecánica de un resorte.




8.1. ¿QUÉ ES UN CAPACITOR? El capacitor es el elemento que usamos en los circuitos para poder almacenar campo eléctrico, el capacitor más común es el de placas planas y paralelas conocido como capacitor plano; la característica principal de un capacitor es que tiene sus dos conductores cargados igualmente pero opuestos, de tal manera que se pueda generar un campo eléctrico entre los dos conductores, para aumentar la capacidad de los capacitores se coloca entre ambos conductores un material dieléctrico.

8.2. CAPACITANCIA . Tal como vimos, la diferencia de potencial entre dos placas planas y paralelas (capacitor plano) está

expresada por ∆ù ¥ÍÎÍi La capacitancia de un condensador la definimos como el cociente entre

las cargas del capacitor y la diferencia de potencial entre las placas, es decir: ∆ù ?s+6 ïÏtÏ, Ï t

La unidad de medida de la capacitancia de un condensador en el sistema internacional es el Faradio, que simbolizamos con [F] y, de acuerdo a la ecuación que la define será 7E8 , que en unidades fundamentales del SI será @. Tal como podemos observar en la figura, la diferencia de potencial entre las placas de un condensador está proporcionada por una batería cuyo símbolo en los circuitos es de dos rayas paralelas una más corta que la otra y el símbolo para el capacitor es de dos rayas iguales y paralelas.

8.3. CONEXIÓN DE CAPACITORES EN SERIE . Si conectamos mediante cables conductores dos o más capacitores, decimos que la conexión es en serie si la placa negativa de un capacitor está conectada con la placa positiva del siguiente capacitor o viceversa, otra forma de reconocer una conexión en serie es que a todos los capacitores conectados los unes un solo conductor, es decir, el conductor no se sub divide al conectar un capacitor con otro. Si la batería carga una placa del primer capacitor con una carga negativa, por inducción la otra placa se cargará positivamente, es decir, expulsará electrones por el conductor hacia la otra placa del siguiente capacitor cargándolo, de esta manera, negativamente, así sucesivamente hasta que la última placa del último capacitor expulse los electrones hacia la batería. La carga pasa de un capacitor a otro por un solo conductor, es decir, no hay dónde se pierda o se gane carga eléctrica por lo tanto todos los capacitores conectados en serie tendrán la misma carga eléctrica en sus placas, lo que varía es el potencial, el que proporciona la batería se debe distribuir entre todos los capacitores conectados en serie de tal manera que la suma de la diferencia de potencial entre las placas de cada capacitor sea igual a la diferencia de potencial de la batería.

∆ù P∆ùQRQS 4-,4[5∆ù ∆ùS Y ∆ùN Y ∆ù]

De la ecuación de capacidad despejamos la diferencia de potencial y tenemos: ∆ù S Y N Y ] * 1S Y 1N Y 1].∆ù 1S Y 1N Y 1]

C

∆V

+ Q

- Q

E d

S

C1

∆V

C3 C2

∆V1 ∆V2 ∆V3 + Q + Q + Q

- Q - Q - Q

C

∆V

- Q + Q



El primer miembro de esta ecuación podemos asociar a un capacitor supuesto que sea el total. 1L = 1S + 1N + 1]

Si todos los capacitores están con algún dieléctrico tendremos: 1L = 1ÏSS Y 1ÏNN Y 1Ï]]

Para n capacitores en serie tendremos: 1L = P 1QRQS ó 1L = P 1Ï

QRQS

8.4. CONEXIÓN DE CAPACITORES EN PARALELO . Si conectamos mediante cables conductores dos o más capacitores, decimos que la conexión es en paralelo si la placa negativa de cada capacitor está conectada el borne negativo de la batería y el borne positivo de la batería está conectada a cada una de las otras placas de cada capacitor, para que suceda esto es necesario que el conductor se divida o se ramifique creando dos o más nudos; son en estos nudos donde la carga se divide pero como cada capacitor está conectado directamente a la batería entonces la diferencia de potencial entre las placas de cada uno será siempre la misma. Como la cantidad total de carga que sale de la batería debe distribuirse entre los capacitores que están conectados en paralelo tenemos: P

QRQS 4- ,4[5 = S + N + ]

De la ecuación de capacidad despejamos la carga eléctrica y tenemos: = S∆ù + N∆ù + ]∆ù = ∆ù[S + N + ]] ∆ù = S + N + ]

El primer miembro de esta ecuación podemos asociar a un capacitor supuesto que sea el total. L = S + N + ] Si todos los capacitores están con algún dieléctrico tendremos: L = ÏSS Y ÏNN Y Ï]] Para n capacitores en serie tendremos:

L PQRQS ó L = P Ï

QRQS

8.5. ENERGÍA DE UN CAPACITOR . El que un capacitor almacene campo eléctrico ya es bueno pero ¿cuánto de eso puedo usar? En otras palabras ¿cuánta energía puede darme un capacitor? Esto no es complicado, la energía que puede proporcionar un capacitor es la misma que la que se necesita para formarlo, es decir, necesitamos cierta cantidad de energía para poder cargar las placas conductoras, para mover cada carga eléctrica desde la batería (que es la que proporciona la diferencia de potencial) hasta la placa conductora, toda esa energía que gastamos en el proceso es la misma que nos podrá dar posteriormente el capacitor ¿y cuánto vale? La energía potencial eléctrica almacenada en un capacitor la podemos asociar a la energía potencial elástica almacenada en un resorte y su ecuación será: kd 12 ùN

Podemos usar la relación de la capacidad = y reemplazar la capacidad o el potencial eléctrico

C1

∆V

C3

C2

∆V

∆V

∆V

+ Q1

+ Q2

+ Q3

- Q1

- Q2

- Q3



paro obtener estas otras ecuaciones alternativas. kd 12 ùN = 12 ù = 12 N

Al igual que en los casos anteriores, para condensadores que tienen dieléctricos deberá multiplicarse la capacidad por la constante de permitividad relativa o también llamada constante dieléctrica.

EJEMPLO 40. Tres capacitores al vacío están conectados como indica la figura, si los capacitores valen C1 = 8 [µF], C2 = 4 [µF], C3 = 2 [µF] y la ddp proporcionada por la batería es de 80 [V] calcular la carga, la ddp entre las placas y la energía almacenada en cada capacitor.

SOLUCIÓN. Estos problemas no son nada difíciles pero es conveniente ir paso a paso y ser ordenados, por eso nos vamos a ayudar de gráficos y una tabla. Primero resolvemos C2 y C3 que están conectados en paralelo, el resultado de esto llamaremos Cp1 y en el dibujo sustituye a ambos capacitores, su valor es: dS = N + ] = 4 + 2 = 6[×E] Ahora en el circuito nos han quedado solo dos capacitores que están conectados en serie, los reemplazaremos con Ct que será la capacitancia total cuyo valor lo calculamos mediante: 1L = 1S + 1dS = 18 + 16 = 724

L = 247 [×E] = 3.43[×E] Ahora vayamos llenando la tabla para eso nos ayudamos de los circuitos simplificados, empezamos con el último dibujo, tenemos la capacidad 247 [µF] y el potencial pues es el mismo que el de la batería 80

[V], con estos datos calculamos Q y E mediante = ù y kd = SN ùN.

Continuamos retrocediendo y en el gráfico anterior tenemos dos capacitores y escribimos sus valores en la tabla; Como

están en serie la carga que tenía el anterior capacitor = S¤NtÖ

será la carga de ambos y anotamos en nuestra tabla; con ù = calculamos la caída de potencial en cada capacitor y también

la energía con la anterior ecuación, debemos notar que la suma de los dos potenciales nos da el de la batería porque este potencial se distribuye a ambos capacitores. Notemos que hasta aquí ya tenemos resuelto lo de C1 ahora pasemos al primer circuito, donde aparece C2 y C3 en reemplazo de Cp1, los datos de estos capacitores son conocidos y los anotamos en la tabla como la conexión es en paralelo entonces el potencial de ambos capacitores es el mismo que tenía su reemplazo y los copiamos en la tabla, el resto de la tabla completamos con las ecuaciones conocidas. Con esto tenemos resuelto todo el circuito.

EJEMPLO 41.

C [µF] Q [µC] V [V] kd [µJ] 247

19207 80

768007

8 1920

7 2407

11755125

6 1920

7 3207

11284918

4 1280

7 3207

11284927

2 6407

3207

10240049

C1

C2

C3

∆V

C1 Cp1

∆V

Ct

∆V



Un capacitor ha sido fabricado con dos capas al vacío y tres dieléctricos tal como se indica en la figura, calcular la energía que puede almacenar cuando la carga de las placas es de 8 [µC], considere que la superficie de las placas del capacitor es de 50 [cm2] y que la distancia de separación entre las placas es de 16.1 [cm]

SOLUCIÓN. El condensador que tenemos que resolver es plano y está compuesto de varios materiales, lo más aconsejable en este caso es ir separándolos uno por uno y representarlos en un circuito como si fuesen varios capacitores, empezamos de la placa superior e inmediatamente debajo de ella tenemos una capa al vacío, esa representará un condensador, debajo de esta capa hay dos materiales la mica y el vidrio, esto deberá ser representado por dos condensadores conectados directamente al de arriba, pero aún mas debajo del de vidrio hay otro condensador con plástico luego este se une con la mica para conectarse con otro condensador al vacío, todo lo descrito está representado en el circuito de la figura. Ahora tenemos más clara la figura, el condensador de vidrio y el de plástico están en serie, el resultado de ambos está en paralelo con el de mica y el resultado de estos en serie con los dos al vacío, por lo tanto empezamos a resolver; primero calcularemos el valor de cada capacitancia con la ecuación del condensador de caras planas y paralelas. S Ï Ït, Ït15, 5Ït,

N Ï Ït, 5.4Ït 2610, 9Ït2,

] Ï Ït, 7Ït 2310, 35Ït3,

^ Ï Ït, 2.3Ït 2310, 23Ït6,

Æ S

Serie S S¦å§ ¦ ¿tÆÍÎNÖ¤

Paralelo N N Y S ^SNSÍÎÆÆ¿

Serie L S¦¦§ ¦§ ¦Ò ¿tÆÍÎ^]S 0.5137?E8 El capacitor tiene una capacitancia total de 0.513 [pF], la energía que podrá almacenar la calculamos con: kd 12N 62.347q8

15 d

15 d

310 d

310 d

Mica

Vacío

Vacío

Plático

Vidrio

C1

C2

C3

C5

C4

C1

C2

Ce1

C5



Consolidación teórica. 1) ¿Por qué un capacitor puede almacenar

energía eléctrica entre sus capas? 2) Defina física y matemáticamente la

capacitancia. 3) Deducir la ecuación para el cálculo de la

capacitancia de un condensador plano. 4) Describa los procesos físicos que intervienen

en una conexión en paralelo y en serie de dos o más capacitores.

5) ¿Cuál es el sentido físico de un capacitor equivalente en un circuito de varios capacitores?

6) Haga una deducción matemática detallada para el cálculo de capacitancias equivalentes en circuitos en serie y en paralelo. Consolidación práctica.

7) Considere los siguientes capacitores al vacío con valores de: C1 = 1 [µF], C2 = 2 [µF], C3 = 3 [µF], C4 = 4 [µF], C5 = 6 [µF], C6 = 8 [µF], C7 = 10 [µF], ∆V = 100 [V] y calcule la carga, la ddp y la energía almacenada en cada uno de los capacitores de los siguientes circuitos.

8) Un capacitor de 2 [µF] es cargado mediante

una batería de 200 [V], luego se lo desconecta de la batería y se lo conecta paralelamente a otro capacitor de 3 [µF] totalmente descargado, ¿cuál es la ddp entre las terminales del sistema?

9) Dos capacitores al vacío están conectados independientemente a baterías de 300 [V] y 100 [V], luego que se han cargado se los saca y se los conecta en paralelo, al medir la ddp entre las terminales de la asociación se verifica que da una lectura de 250 [V]. Determinar la relación que existe entre las capacidades de los capacitores.

10)Un capacitor está construido con varios dieléctricos, tal como indica la figura, calcular la energía que puede almacenar el capacitor cuando se lo conecte a una ddp de 250 [V]. Considere que el área del capacitor es de 24 [cm2], la separación de las placas es de 5 [mm] y que los dieléctricos son er1 = plástico, er2 = vidrio, er3 = agua, er4 = goma, er5 = alcohol, er6 = mica y er7= papel.

V

C5

C4 C3

C2

C1

V

C7C2

C1

V C7

C6

C5C4

C3

C2C1

V

C7 C5

C4

C2

C1

V

C6

C5

C3


CAPÍTULO 9:L EY DE OHM .

Contenido Orientaciones metodológicas V vs. I • Indicar las limitantes que presenta la ley de Ohm.

Ley de OHM.

• Establecer física y matemáticamente la ley de Ohm para conductores óhmicos.

• Analizar física y matemáticamente el efecto Joule en las resistencias.

El material, el largo y la sección de los conductores.

• Identificar las variables que determinan la resistencia de un conductor.

Dividiendo V y conservando i. • Reconocer las conexiones en serie de dos o más resistores.

Dividiendo i y conservando V.

• Reconocer las conexiones en paralelo y las mixtas de dos o más resistores.

• Asociar la energía disipada por una resistencia a la energía mecánica de fricción proporcional a la velocidad.


Ley de Ohm.


9.1. V VS. I Consideremos un circuito en el que tenemos una batería variable conectada a un elemento eléctrico y dos medidores, uno para medir la intensidad de corriente (Amperímetro) y otro para medir la diferencia de potencial en el elemento eléctrico (Voltímetro) en la figura vemos que el amperímetro se conecta en serie con el elemento y el voltímetro se conecta en paralelo con el elemento. Con este circuito podemos obtener datos experimentales variando el potencial de la batería y leyendo la intensidad de corriente y la ddp que llegan al elemento eléctrico, la tabla que presentamos nos da once lecturas aplicadas a dos elementos diferentes con las que construimos las gráficas mostradas.

V [V] 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 Elemento 1 i [A] 0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00 21.00 24.00 27.00 30.00 Elemento 2 i [A] 1.00 1.44 2.07 2.97 4.27 6.14 8.83 12.69 18.25 26.23 37.71

Estas dos gráficas nos muestran que no todos los elementos eléctricos se comportan de la misma manera frente a una ddp, al primero se denomina elemento lineal y al segundo elemento no lineal, en este capítulo nos concentraremos en los elementos lineales, es decir, aquellos cuya representación gráfica de la ddp versus la intensidad de corriente es una recta.

9.2. L EY DE OHM. Los elementos eléctricos lineales también son llamados elementos óhmicos o simplemente resistencias ya que fue Ohm, en su trabajo acerca de las corrientes galvánicas, el que publicó la dependencia entre la ddp y la intensidad de corriente para ciertos conductores llamando resistencia a la pendiente de la recta en la gráfica V vs. i. Se la llama resistencia porque mide la resistencia que ofrecen los conductores al paso de las cargas libres a lo largo del conductor, los átomos, las moléculas y las impurezas que contiene el conductor son los que impiden que los electrones libres del conductor se muevan libremente disminuyendo la corriente eléctrica. Simbolizando la resistencia con la letra R tenemos entonces: e ∆ù5 ∆ù 5e

La unidad de medida de la resistencia en el SI es el Ohm y se simboliza mediante la letra griega omega

mayúscula 7Ω8 . En la ecuación, i es la corriente eléctrica que atraviesa la resistencia que en el

SI está medida en Amperios [A], ∆V es la ddp entre los extremos de la resistencia que normalmente se la conoce como caída de potencial ya que al ser circulada por la corriente i en el sentido mostrado



en la figura, VA > VB, en el SI se mide en Voltios [V] por lo tanto: e ù < ù5

Como la resistencia se opone al movimiento de las partículas cargadas en su interior, fundamentalmente por la fuerza de roce y las múltiples colisiones que estas cargas tienen con los átomos, moléculas, impurezas, etc. generando de esta manera energía calorífica o energía disipativa (debido a fuerzas disipativas) cuyo trabajo será ¢ â∆ù donde q’ es la carga que se mueve dentro del campo generado por una batería generando una corriente dada por â 5∆ reemplazando esta ecuación tenemos ¢ 5∆∆ù 5∆ù∆ 5#ù < ù&∆. No perdemos generalidad al suponer que VB = 0. ¢ 5ù∆ Ayudados de la ley de Ohm también podemos expresar esta relación como:

¢ 5ù∆ 5Ne∆ ùNe ∆ Otro concepto que debemos recordar de mecánica es el de potencia, definida como la rapidez con que se realiza un trabajo, es decir, el cociente entre el trabajo y el tiempo, pasando el tiempo a dividir en las anteriores ecuaciones tenemos para la potencia: ¢∆ 5ù 5Ne ùNe

Debemos verificar que estas relaciones nos dan como resultado dimensional el watt [W] que es la unidad de medida de la potencia. Aquí demostraremos una unidad de trabajo muy usada en la cotidianidad por las empresas que venden energía eléctrica, se trata del kilowatt hora. Kilowatt [kW] significa simplemente 1000 [W], es decir, 1 [kW] = 1000 [W], pero esta es una unidad de potencia, entonces recordemos que trabajo = (potencia) * (tiempo) si multiplicamos esta unidad de potencia, el [kW], por la unidad de tiempo, el [s], obtenemos una unidad de trabajo que será [kW s] y al convertir los segundos a horas (1[h] = 3600 [s]) obtenemos el [kW h] como nueva unidad de medida del trabajo cuya equivalencia con el Joule será: 1 [kW h] = 1000 [W h] = 1000 * 3600 [W s] = 3 600 000 [J] = 3.6 * 106 [J]

Otra unidad muy usada para el trabajo es la caloría cuya equivalencia es 1 [cal] = 4.18 [J]. En los circuitos, la resistencia se representa con el símbolo mostrado en la figura. El efecto Joule.

9.3. EL MATERIAL , EL LARGO Y LA SECCIÓN DE LOS CONDUCTORES . Hagamos un experimento muy sencillo dividido en tres partes, en cada una de ellas variamos un parámetro y mantenemos constantes los otros dos parámetros de los que mencionamos en el subtítulo. i) Dos conductores de diferente material pero de igual longitud e igual sección, si en los extremos de cada uno de ellos conectamos la misma ddp, al medir la intensidad de corriente observaremos que por cada uno de ellos circula una corriente diferente, esto nos indica que ambos materiales poseen una resistencia diferente, o, que la resistencia de los conductores depende del material del que están hechos, esta

dependencia de la resistencia con el material fue tomada como directamente proporcional y simbolizada con la letra griega rho ρ. ii) Ahora tomaremos dos conductores del mismo material y la misma sección transversal pero de diferente longitud, al aplicar la misma ddp en ambos conductores veremos que también por ellos circulan corrientes diferentes y las conclusiones son similares, ambos tienen diferente resistencia o en esencia la resistencia depende de la longitud de los conductores, de tal manera que a mayor longitud

∆V

i

Ley de Ohm.


se obtenía una mayor resistencia, es decir, la longitud era directamente proporcional a la longitud. iii) Finalmente hagamos el análisis para conductores del mismo material, de igual longitud pero de secciones diferentes, procedemos de igual manera, aplicamos a ambos la misma ddp y medimos la intensidad de corriente, de igual manera nos dará lecturas diferentes para cada conductor, por lo tanto concluimos que la resistencia también depende de la sección del conductor,

de tal manera que a menor sección correspondía menor resistencia, es decir, la sección era inversamente proporcional a la resistencia. Como conclusión de estos tres experimentos podemos decir que la resistencia de un conductor depende de su longitud (l), su sección transversal (S) y del material del que está fabricado que lo representaremos mediante una constante rho (ρ) que será la resistividad del material cuyos valores presentamos en la tabla, la

unidad de medida de esta constante es 10¢Å7Ωm8, la primera es

más usada pero para conversiones necesitamos de la segunda, la tabla está dada en [Ω m]. La ecuación matemática para la resistividad del conductor estará dada por: e ú s

EJEMPLO 42. Tenemos cuatro variables para analizar en los circuitos con resistencias, la intensidad de corriente que pasa por la resistencia, la potencia que disipa (el trabajo por unidad de tiempo), la caída de potencial entre sus extremos y la resistencia del resistor en función de sus características físicas, normalmente dos de estas variables nos presentan las características tecnológicas de los aparatos domésticos, por ejemplo, en un foco podemos leer la potencia que suministra (100 [W]) y la ddp que puede soportar (220[V]), a partir de estos dos datos determinar las otras dos variables. La compañía ELFEC cobra Bs. 0.62 por cada [kW h], calcular cuánto consume el foco en un mes de 30 días si en promedio el foco está encendido 5 [h] por día.

SOLUCIÓN. Con la ley de Joule podemos realizar ambos cálculos, veamos: 5ù ùNe

Con la primera identidad podemos calcular la intensidad de corriente que puede circular por la resistencia, con la última podemos calcular la resistencia del foco. 5 ù 100782207ù8 0.457ï8

e ùN #2207ù8&N10078 4847Ω8 El cálculo del costo lo evaluamos mediante la relación de trabajo.

Material ρ [Ω m] Aluminio 2.8 * 10-8 Cobre 1.7 * 10-8 Hierro 10 * 10-8 Níquel 6.8 * 10-8 Plata 1.6 * 10-8

∆V

i

∆V

i



¢ ∆ 100785 * u,í+. 307,í+8 17a81000780.627ç-817au8 ¢ 9.307ç-8 EJEMPLO 43.

Deseamos conducir electricidad a través de un conductor de 300 [m] de largo y sección transversal de 3 [mm2]; se aplica una ddp de 200 [V] entre sus extremos y la corriente que circula es de 8 [A], calcular la resistividad del material.

SOLUCIÓN. En la ecuación e ú tenemos la longitud y la sección pero no

tenemos la resistencia del material, esto podemos evaluar mediante la ley de Ohm V = i R, es decir: e ù5 2007ù887ï8 257Ω8

e ú s ⇒ ú es 257Ω83711N8300718 Ø 171810007118ÙN ú 2.5 10¢Ö7Ωm8


1) Bibliografía de George Ohm. 2) Escriba la ecuación que define la resistencia y

explique el significado físico de cada uno de los términos en la ecuación.

3) ¿Por qué la ddp entre los extremos de una resistencia se denomina caída de potencial?

4) Dibuje por lo menos 3 resistencias en diferentes posiciones y con corrientes eléctricas en diferentes sentidos, en cada dibujo identifique el extremo de la resistencia que se encuentra a mayor potencial y el que está a menor potencial.

5) Hacer una demostración de las tres ecuaciones de trabajo expresadas en la parte teórica.

6) Haga una demostración completa y justificada de la equivalencia entre [kW h] y [J]. Consolidación práctica.

7) Las instrucciones de la resistencia de una

ducha domiciliara indican que soporta una ddp de 220 [V] y genera una potencia de 5400 [W], ¿cuál es la resistencia y la intensidad de corriente que circula por el conductor?, si el material de la resistencia es aluminio de 1.2 [mm2] de sección transversal, ¿cuál es la longitud del conductor?, ¿cuánto costará un baño de 20 [min]?

8) Dos conductores, uno de cobre y el otro de hierro, tienen la misma longitud y están sometidos a la misma ddp, calcular la relación entre los radios de sus secciones transversales para que por ellos circule la misma intensidad de corriente.

9) ¿Será posible que una resistencia de 20 [Ω] diseñada para dar 80 [W] de potencia se pueda conectar a una ddp de 100[V]?

9.4. DIVIDIENDO V Y CONSERVANDO I . Una resistencia funciona con 4 [V] y puede disipar 2 [W], se dispone de una batería de 12 [V] para conectar la resistencia ¿cómo podemos evitar que la resistencia se queme? Si la batería nos proporciona 12 [V] y solo requerimos de 4 [V] para hacer funcionar nuestro resistor, es necesario diseñar una caída de potencial de 8 [V] ¿cómo? con otra resistencia que cumpla la ley de Ohm, es decir, 8 [V] = i R, pero ¿qué corriente circulará por este resistor? Pues hagamos que circule la misma corriente que circula por el anterior resistor, eso lo calculamos con 2 [W] = i 4 [V], es decir,

i = 0.5 [A], entonces la resistencia buscada será ¿78t.Æ78 = 16 [Ω]; la potencia que genere esta nueva

resistencia será P = 0.5 [A] 8 [V] = 4 [W], es decir, que la batería debe ser capaz de proporcionar 6

Ley de Ohm.


[W] de potencia para alimentar las dos resistencias lo que significa que la corriente que atraviese la batería debe ser 6 [W] = i 12 [V], i = 0.5 [A], la misma corriente que circula por las resistencias, esto significa que batería y resistencias deben ser conectadas mediante un solo conductor para que la corriente no tenga por donde dividirse. Esta conexión en la que el potencial de la batería se divide en los resistores y la intensidad de corriente se mantiene se llama conexión en serie, dibujemos el circuito y analicemos algebraicamente desde otro punto de vista. Como todos los elementos están conectados mediante un solo conductor, la intensidad de corriente es la misma en los tres elementos porque no hay por dónde se pierda o gane más cargas conductoras de las que proporciona la batería. El potencial entregado por la batería debe ser absorbido por las resistencias, en ambas resistencias existe una caída de potencial que las llamaremos V1 y V2 respectivamente, por lo tanto: V = V1 + V2, aplicando la ley de Ohm en cada resistencia tenemos V = i R1 + i R2 = i (R1 + R2) = i Req donde:

e¥ eS Y eN ⇒ e¥ PeQRQS

La resistencia equivalente para un circuito de resistencias conectadas en serie es igual a la suma de cada una de las resistencias que intervienen.

Resolviendo para i tenemos 5 ¦§ por lo tanto la caída de potencial en cada resistencia será:

ùS 5eS ùeS Y eN eS eSeS Y eN ùyùN 5eN ùeS Y eN eN eNeS Y eN ù

En general tendremos: ù 5e ùe¥ e ee¥ ù

Como vemos la caída de potencial será menor al potencial de la batería porque una de las resistencias siempre será menor a la suma del total de resistencias, pero si sumamos las caída de potencial serán igual a la ddp de la batería. La potencia que genera cada resistor será:

ùNe w ee¥ ùxNe eNùNe¥N e ee¥N ùN

Si sumamos todas las potencias disipadas por las resistencias del circuito nos dará la potencia entregada por la batería. En este capítulo consideraremos conductores perfectos (los cables que interconectan los diferentes elementos del circuito), es decir conductores que no poseen ninguna resistencia y que dejan circular la corriente libremente sin disipar energía.

EJEMPLO 44. En el divisor de voltaje mostrado en la figura, R1 = 2 [kΩ], R2 = 8 [kΩ] y R3 = 4 [kΩ] siendo el valor de R4 desconocido. La potencia entregada por la batería es de 8 [mW] y la caída de potencial en la segunda resistencia es de un cuarto del potencial de la batería, calcular el valor de la resistencia desconocida, el potencial entregado por la batería, la intensidad de corriente que circula por el circuito y la caída de potencial en cada resistencia.

SOLUCIÓN. Como el circuito es un divisor de voltaje o una conexión de resistencias

V

R4

R3

R2

R1



en serie, la intensidad de corriente es la misma en todos los elementos y la llamaremos simplemente i, aplicando la ley de OHM en la segunda resistencia tenemos: ùN 80005 14ùù 320005 Por otra parte tenemos la potencia generada por la batería, aplicando la primera relación de Joule, 0.008 = i V, combinando ambas ecuaciones tenemos: 0.008 53200055N 2.5 10¢Ö5 5 10¢^7ï8 5 0.571ï8ù 167ù8 La potencia entregada por la batería la podemos escribir como: ùNe¥ e¥ ùN #16&N0.008 320007Ω8 327aΩ8 Con este valor calculamos la resistencia desconocida. e¥ eS Y eN Y e] Y e^32 2 Y 8 Y 4 Y e^e^ 187aΩ8 La caída de potencial en cada resistencia podemos calcularla mediante: ù ee¥ ù

ùS eSe¥ ù 232 #16& 17ù8ùN eNe¥ ù 832 #16& 47ù8 ù] åÒ ù ]N #16& 27ù8ù Ò ù S¿]N #16& 97ù8 Comprobemos que la suma de las caídas de potencial en cada resistencia es igual a la ddp entregada por la batería.

EJEMPLO 45. En el divisor de voltaje mostrado en el ejemplo anterior y empleando los mismos valores, discutir el valor de los potenciales en cada uno de los puntos indicados, note que entre los puntos D y E existe una conexión a tierra, eso significa que el potencial en ese punto es igual a cero.

SOLUCIÓN. El sentido técnico de la corriente es desde el polo positivo de la batería hacia el polo negativo, por lo tanto la primera resistencia la circula desde A hasta B lo que significa que el potencial en A es mayor que el potencial en B VA > VB lo mismo podemos decir de VC > VD, VE > VF y VG > VH. Iniciemos nuestro análisis con los puntos D y E puesto que estos están

conectados a tierra sus potenciales tienen que ser cero, es decir, VD = VE = 0 [V]; como en la segunda resistencia existe una caída de potencial de 4 [V] entonces es necesario que VC = 4 [V], en la cuarta resistencia la caída de potencial es de 9 [V] por lo tanto VF = - 9 [V], entre B y C no hay ningún elemento por lo tanto ambos puntos están al mismo potencial VB = VC = 4 [V], lo mismo ocurre entre los puntos F y G, VF = VG = - 9 [V], la tercera resistencia tiene una caída de 2 [V], es decir VG – VH = 2 [V] lo que implica que VH = - 11 [V] = VI ya que entre H e I no hay ningún elemento. En la primera resistencia tenemos VA – VB = 1 [V] lo que implica VA = 5 [V]. VI = - 11 [V] al pasar al punto J experimentamos una subida de

Punto Potencial Caída de V A 5 B 4 -1 C 4 0 D 0 -4 E 0 0 F -9 -9 G -9 0 H -11 -2 I -11 0 J 5 16

Ley de Ohm.


potencial porque la batería es la que proporciona el potencial de 16 [V] al circuito por lo tanto VI < VJ ó VI – VJ = - 16 [V] que nos da VJ = 5 [V] que es idéntico al potencial del punto A ya que entre ambos no hay ningún elemento. La tabla nos presenta un resumen de los resultados anteriores, el potencial de cada punto esta medido en [V] y la diferencia de potencial se refiere al potencial final menos el potencial inicial según el sentido de la intensidad de corriente, en esta columna observamos que las caída de potencial en las resistencias son negativas y la ganancia de potencial en la batería es positivo.


1) Dibuje un circuito con una batería y tres resistencias divisoras de voltaje.

2) ¿Para qué nos sirve un circuito de resistencias en serie?

3) Demuestre la relación para el cálculo de la resistencia equivalente para un circuito divisor de voltaje. Consolidación práctica.

4) Una batería de 6 [V] se conecta a tres resistencias divisoras de voltaje de 2, 6 y 4 [Ω] respectivamente, calcular: a) La resistencia equivalente del circuito. b) La intensidad de corriente que circula por el

circuito. c) La potencia entregada por la fuente. d) La caída de potencial en cada resistencia. e) La disipación de energía por la segunda

resistencia. 5) En un circuito dos resistencias se conectan en

serie con una batería de 16 [V], la primera resistencia es de 24 [Ω] y la caída de potencial en la primera resistencia es de 4 [V]. Calcular: a) El valor de la segunda resistencia. b) La intensidad de corriente. c) La potencia disipada por cada resistencia.

6) En el circuito de la figura las resistencias están medidas en [kΩ] haga el análisis de potencial en cada uno de los puntos de conexión de cada resistencia y de la batería.

9.5. D IVIDIENDO I Y CONSERVANDO V. En la figura tenemos un circuito con una batería, un par de resistencias y un par de nodos, este circuito sencillo pero importante es un circuito divisor de corriente ya que al llegar la corriente eléctrica al nodo superior esta se divide hacia dos conductores donde están las resistencias, pero la caída de potencial en cada resistencia es la misma que el potencial que entrega la batería ya que las terminales de cada resistencia están conectadas directamente a las terminales de la batería sin que medie ningún otro elemento; este tipo de conexión también se llama conexión en paralelo, ahora analicemos matemáticamente. Empecemos por la característica principal de este circuito, la división de corriente, si nombramos a la corriente eléctrica que sale de la batería con la letra i, al llegar al nodo se divide hacia los dos conductores, estas corrientes las llamaremos i1 e i2, por lo tanto i = i1 + i2, aplicando la ley de Ohm a cada resistencia tenemos: 5 VeS Y VeN ù w 1eS Y 1eNx ⇒ 5ù 1eS Y 1eN ⇒ 1e¥ 1eS Y 1eN

Es decir, la suma de los recíprocos de las resistencias en paralelo será igual al recíproco de la resistencia equivalente, para el caso general tenemos:

8

64 [V]4

2

10



1e¥ = P 1eQRQS

Veamos ahora cómo se divide la intensidad de corriente, resolviendo la ecuación = S¦ + S para la

variable V tenemos ù ¦¦§ ¦, aplicando la ley de Ohm a cada resistencia obtenemos:

5S ùeS 51eS + 1eNeS =

51e¥eS = 5 e¥eS = e¥eS 5 5N = ùeN =51eS + 1eNeN =

51e¥eN = 5 e¥eN = e¥eN 5 Estas ecuaciones nos indican que las corrientes se dividen en proporción inversa a las resistencias, es decir, por la mayor resistencia circula una menor corriente o por una menor resistencia circula mayor corriente. La generalización de la división de corriente es: 5R = e¥eR 5 Ahora analizaremos la potencia disipada en cada resistor.

S = eS 5SN = eS we¥eS 5xN = e¥NeS 5N

N = eN 5NN = eN we¥eN 5xN = e¥NeN 5N

Generalizando podemos decir que:

R = e¥NeR 5N

Cada estudiante debe demostrar que la suma de estas disipaciones es igual a la potencia total entregada por la batería.

EJEMPLO 46. Analizar todas las variables eléctricas del circuito de la figura, las resistencias están medidas en [Ω].

SOLUCIÓN. Empecemos haciendo notar algunos errores comunes, existe gran tendencia a creer que las resistencias de 3 y 8 [Ω] están en serie y esto no puede ser porque entre ellas existe un nodo, es decir, existe un divisor de corriente y un circuito en serie es un circuito divisor de

voltaje (no tiene nodos); otro error corriente es creer que las tres resistencias están en paralelo esto no es cierto porque si bien una terminal de cada una de las resistencias está conectada a un solo punto (el nodo superior), la otra terminal de cada resistencia no tiene un punto de contacto común, las resistencias de 8 y 56 [Ω] están conectadas al nodo inferior pero la resistencia de 3[Ω] tiene su otra terminal conectada a la batería. En este breve análisis descubrimos que las resistencias de 8 y 56 [Ω] tienen ambas terminales conectadas a puntos comunes, el nodo superior y el nodo inferior, por lo tanto estas dos resistencias están conectadas en paralelo y así las evaluamos. 1e¥ = 1eS + 1eN = 18 + 156 = 17 ⇔ e¥ = 7 [Ω]

80 [V] 8 56

3

80 [V] 7

3

Ley de Ohm.


En el circuito de la figura hemos reemplazado las dos resistencias por su equivalente, ahora si podemos asegurar que las dos resistencias que quedaron, la de 3 y la de 7 [Ω], están conectadas en serie, por lo tanto podemos sustituirla por una resistencia equivalente, tal como indica la figura, cuya magnitud será. e¥ LL = eS + e¥ = 3 + 7 = 10 7Ω8 Para determinar las otras variables eléctricas en cada elemento (caída de potencial, intensidad de corriente y potencia) partimos de la última simplificación donde tenemos la batería de 80 [V] y la resistencia equivalente total de 10[Ω], esto nos permite calcular la intensidad de

corriente que circula por el conductor 5 = = ¿tSt = 8 7ï8 y la potencia

disipada por esta resistencia será P = i V = 8 * 80 = 640 [W]. Con estos resultados subimos al circuito en serie, como no hay nodos la corriente que circula por los conductores y las resistencias es de 8 [A] el potencial de la batería se divide en ambas resistencias (circuito divisor de voltaje) V = i R = 8 * 3 = 24 [V] en la primera resistencia y V = i R = 8 * 7 = 56 [V], que es evidente ya que la suma de ambas caídas debe ser igual a la ddp de la batería; las potencias disipadas serán P = i V = 8 * 24 = 192 [W] para la primera y P = i V = 8 * 56 = 448 [W], la suma de ambas es la potencia entregada por la batería 640 [W] (resultado ya obtenido). Volvemos al circuito original aprovechando los resultados obtenidos, como el circuito es en paralelo ambas resistencias están conectadas al mismo potencial, es decir, 56 [V], esto nos permite calcular la corriente

que circula por cada resistencia 5 = = ÆÅ¿ = 7 7ï8 en la resistencia de

la izquierda y 5 = = ÆÅÆÅ = 1 7ï8 en la resistencia de la derecha, como

era evidente la suma de ambas corrientes es igual a la corriente original de 8 [A]; las potencias disipadas serán: P = i V = 7 * 56 = 392 [W] para la primera y P = i V = 1 * 56 = 56 [W], para la segunda, la suma de ambas potencias disipadas es igual a la potencia disipada por la resistencia equivalente. Todos los resultados los resumimos en la tabla donde la última fila se refiere a la batería, en este caso el voltaje no representa una caída de potencial como en las resistencias sino es la ddp que entrega la batería, la potencia que genera y la corriente que circula por ella, en el caso de la potencia de las resistencias es potencia disipada por cada una de ellas.

EJEMPLO 47. Un elemento resistivo requiere 3 [A] y absorbe 48 [W]. Si solo se dispone de una batería de corriente de 6 [A] armar un circuito que permita el funcionamiento del elemento resistivo.

SOLUCIÓN. Como la batería proporciona 6 [A] y para el elemento resistivo sólo necesitamos 3 [A] es evidente que no podemos construir un circuito divisor de voltaje, debemos construir un circuito divisor de corriente, además la corriente que circule por la resistencia auxiliar también debe ser de 3 [A].

R [Ω] V [V] i [A] P [W] 3 24 8 192 8 56 7 392 56 56 1 56 7 56 8 448 10 80 8 640 Batería 80 8 640



La caída de potencial en el elemento resistor es ù = Ã = ^¿] = 167ù8. Como el circuito es divisor de corriente, conserva la ddp por lo tanto en la resistencia auxiliar debemos tener la misma caída de potencial 16 [V] y su resistencia será: e ù5 163 5.337Ω8


1) Dibuje un circuito con una batería y tres resistencias divisoras de corriente.

2) ¿Para qué nos sirve un circuito de resistencias en paralelo?

3) Demuestre la relación para el cálculo de la resistencia equivalente para un circuito divisor de corriente. Consolidación práctica.

4) Calcular la intensidad de corriente, la caída de potencial y la potencia que disipa cada una de las resistencias de los circuitos de la figura, todas las resistencias están medidas en [Ω]. a) R1 = 4 [Ω], R2 = 2 [Ω]; R3 = 4 [Ω]

b) c) R1 = R2 = 3 [Ω]; R3 = R4 = R5 = 4 [Ω]

d) R1 = 2 [Ω], R2 = 12 [Ω], R3 = 4 [Ω], R4 = 16 [Ω], R5 = 6 [Ω], R6 = 8 [Ω].

e) R1 = 1 [Ω], R2 = 4 [Ω], R3 = 90 [Ω], R4 = 22

[Ω], R5 = 8 [Ω], R6 = R7 = 4 [Ω].

f) R1 = 5 [Ω], R2 = 16 [Ω], R3 = 6 [Ω], R4 = 12

[Ω].

g) R1 = 6 [Ω], R2 = R3 = 4 [Ω], R4 = 6 [Ω], R5

= 8 [Ω], R6 = 2 [Ω].

V3 [A]

R3

R2R1

40

30120 [V]

12

10

R5R4

R3R2

R1

100 [V]

R6R5R4R3R2R1

30 [V]

R7R6

R5R4

R3

R2R1

20 [V]

R4R3

R2

R1 120 [V]

R6

R5

R4

R3

R2

R148 [V]

R6 [A] 3 [A]48 [W]


CAPÍTULO 10:L AS LEYES DE KIRCHHOFF .

Contenido Orientaciones metodológicas Kirchhoff. • Establecer el modelo matemático de un conductor ideal. Ley circuital de Kirchhoff.

• Asociar la ley circuital de Kirchhoff a la ley de conservación de la energía mecánica.

Ley de nodos de Kirchhoff.

• Asociar la ley de nodos de Kirchhoff a la ley de conservación de la carga eléctrica.

• Plantear las ecuaciones de un circuito aplicando las leyes de Kirchhoff.

Circuitos con capacitores.

• Reflexionar acerca de la función que cumple un capacitor en un circuito.

• Trabajar con el tiempo de carga y de descarga de un capacitor en un circuito.


Las leyes de kirchhoff.


10.1.KIRCHHOFF Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887), físico alemán en 1847 formuló dos leyes (la ley de nodos y la ley de mallas) que permiten obtener las intensidades de corriente que recorren los distintos conductores de un circuito que tiene derivaciones interconectadas a elementos eléctricos. Antes de empezar nuestro estudio cabe recalcar que al igual que en el capítulo anterior, en este consideraremos conductores perfectos, es decir conductores que no poseen ninguna resistencia y que dejan circular la corriente libremente sin disipar energía.

10.2.LEY CIRCUITAL DE K IRCHHOFF . Esta ley es también conocida como ley de mallas, se aplica a dos puntos del circuito uno inicial y otro final, ambos puntos pueden coincidir, en este caso se trata de una trayectoria cerrada, si ambos puntos son diferentes se trata de una trayectoria abierta; al recorrer el circuito entre ambos puntos se van tomando en cuenta todas las caídas o las subidas de potencial debido, ya sea a elementos resistivos o a baterías que se encuentren en el recorrido.

La ley habla de suma algebraica esto significa que habrán voltajes positivos y voltajes negativos, la asignación de estos signos es totalmente convencional, nosotros optaremos por considerar un voltaje positivo si al circular por el elemento existe una elevación de potencial y será negativo si al circular por el elemento hay una caída de potencial.

EJEMPLO 48. Para aplicar esta ley analicemos el circuito de una linterna corriente, la linterna consta de dos baterías, un foco y el armazón que contiene todos los elementos, las baterías se conectan en serie porque el polo positivo de una (la de abajo) se conecta con el polo negativo de la otra (la de arriba), el polo positivo de la batería de arriba está conectado a una terminal del foco, el polo negativo de la otra batería está conectado a la otra terminal del foco a través del resorte que ajusta las baterías (asegurando un buen contacto entre ellas) y de la cáscara de la linterna que mediante un cable llega finalmente al foco, el interruptor esta en medio de este recorrido.

SOLUCIÓN. El foco es una resistencia que se calienta y al hacerlo proporciona luz, en nuestro circuito la llamaremos Rf; pero en este circuito existen algunas resistencias que son parásitas, es decir que absorben energía de la batería pero no son utilizadas en la iluminación esas son las resistencias internas de cada batería que las simbolizaremos con la letra r, finalmente está la resistencia que ofrece el resorte y el cable que conduce la corriente hasta el foco que la simbolizaremos con Rc. Tomando en cuenta estos elementos tendremos el circuito de la figura, donde podemos apreciar que se trata de un circuito divisor de voltaje (serie) que lo analizaremos a la luz de la ley de Kirchhoff expuesta.

LA LEY CIRCUITAL DE KIRCHHOFF SE APLICA DE LA SIGUI ENTE MANERA “LA SUMA ALGEBRAICA DE TODOS LOS VOLTAJES A LO LARGO DEL CAMINO ES IGUAL A LA DIFERENCIA DE POTENC IAL ENTRE LOS PUNTOS DE REFERENCIA DEL CIRCUITO, SI LA TRAYECTORIA ES CERRADA ENTONCES LA IGUALDAD SERÁ CERO”.



Debemos asignar un punto de inicio, digamos el vértice inferior izquierdo, luego elegimos el sentido en que recorreremos el circuito, hagámoslo en sentido horario, esto nos lleva primero a la batería donde pasamos del polo + al polo -, es decir hay una bajada de potencial (signo -) luego está la resistencia interna de la primera batería que la recorremos desde un potencial menor a un potencial mayor por lo tanto estamos frente a una subida de potencial (signo +), con la segunda batería nos sucede lo mismo que con la primer (signo -), las resistencias interna de la segunda batería, la resistencia del cable y la resistencia del foco las recorremos desde un potencial bajo a un potencial alto, por lo tanto los signos de los voltajes en estas resistencias son positivos. Con este recorrido la ley circuital de Kirchhoff será: −ùS + ùS − ùN + ùN + ù + ù = 0 Igualamos a cero por tratarse de una circulación cerrada, aplicando la ley de Ohm tenemos: −1.5 + 5 S − 1.5 + 5 N + 5 e Y 5 ev = 0 Resolvemos para i 5 = 3S + N + e Y ev 3e¥

En esta última relación hemos podido demostrar nuevamente que la suma de las resistencias que están conectadas en serie es igual a la resistencia equivalente, tal como lo vimos en el capítulo precedente.

Recapitulemos la aplicación de esta ley con la ayuda del gráfico del potencial en función de la distancia recorrida en el circuito. Empezamos en un punto donde el potencial puede tener cualquier valor (asignémosle cero), el primer elemento que atravesamos es la primera batería yendo de mayor a menor potencial, (caída de potencial) luego atravesamos la resistencia de un potencial menor a otro mayor (subida de potencial) otra caída de potencial en la segunda batería y tres subidas de potencial consecutivas al atravesar las resistencias restantes para terminar con el mismo potencial con el que partimos puesto que llegamos al mismo punto. Si analizamos el circuito partiendo desde el mismo punto pero circulando en

sentido antihorario tendremos la siguiente gráfica. En este caso al cruzar las resistencias tendremos caídas de potencial por pasar de un potencial mayor a otro menor y al cruzar las baterías tendremos subidas de potencial por atravesarlas desde un potencial menor a otro mayor, la ecuación para este recorrido será −5 ev − 5 e < 5 N + 1.5 − 5 S + 1.5 = 0

r2

r1

V2=1.5 [V]

V1=1.5 [V]

Rf

Rc

i

i

r2r1 V2=1.5 [V]V1=1.5 [V] RfRc

V d

i

V d

i

r2 r1V2=1.5 [V] V1=1.5 [V]Rf Rc



10.3.LEY DE NODOS DE K IRCHHOFF . El nodo es el punto del circuito donde los conductores se dividen para ir a diferentes componentes, analicemos el circuito de la figura, aparentemente existen 4 nodos o puntos donde existen divisiones de cables, bueno si, los cables se dividen en cuatro puntos del circuito pero no todos ellos son nodos, empecemos por el punto a, en este punto hay tres conductores el vertical de abajo va a la batería (va a un elemento) el vertical de arriba va a la resistencia 1 (va a un elemento) el horizontal va hasta el punto c (no va a ningún elemento) sólo conecta los puntos a y c que pueden ser un solo punto. En el punto b también hay tres conductores el vertical va hasta el punto d (no va a ningún elemento) sólo conecta los puntos b y d que pueden ser un solo punto, el horizontal izquierdo va a la resistencia 2 (va a un elemento) el horizontal a la derecha va a la resistencia 3 (va a un elemento), es decir que los puntos a y c los podemos unir en uno solo al que lo llamaremos A y en él estarán conectados un extremo de la resistencia 1, el polo negativo de la batería, un extremo de la resistencia 3 y un extremo de la resistencia 4. Los puntos b y d se pueden unir en uno solo al que lo llamaremos B y en él podemos conectar un extremo de la resistencia 2, un extremo de la resistencia 3, un extremo de la resistencia 5 y el polo positivo de la batería. Dibujemos los puntos y construyamos el nuevo circuito.

Al hablar de suma algebraica de corrientes implica que debemos asignarles signo de manera totalmente convencional, asumiremos que las corrientes que llegan al nodo son positivas y las corrientes que salen del nodo son negativas, por lo tanto en los nodos A y B del circuito de la figura tenemos: ¾,ï ⇒ 5 < 5S < 5N < 5] 0 ¾,ç ⇒ 5S Y 5N Y 5] < 5 0 Si bien hemos obtenido dos ecuaciones, una podemos deducir de la otra, es decir, la ecuación del nodo A multiplicada por menos uno nos da la ecuación del Nodo B, entonces, para fines matemáticos sólo nos sirve una de ellas, cualquiera, y en general si un circuito tiene n nodos, sólo podemos usar n – 1 ecuaciones, la última será combinación de las anteriores. Por lo tanto para resolver circuitos ya sea en serie, en paralelo, combinados o circuitos más complejos tenemos las dos leyes de Kirchhoff, la de nodos que podemos emplear a todos los nodos del circuito menos uno y la ley de mallas que es la que complementará nuestro sistema de ecuaciones, podemos elegir cualquier malla, abierta,

LA LEY DE NODOS DE KIRCHHOFF SE APLICA DE LA SIGUIE NTE MANERA “LA SUMA ALGEBRAICA DE TODAS LAS CORRIENTES QUE CONFLUYEN EN UN NODO ES CERO Ó LA SUMA DE LAS CORRIENTES QUE LLEGAN A UN NODO ES IGUAL A LA SUMA DE CORRIENTES QUE SALEN DEL NODO”.

R5R4R3R2R1

80 [V]a

d

c b



cerrada, interna externa, etc.

EJEMPLO 49. En el circuito de la figura determinar la intensidad de corriente que circula por cada conductor, las resistencias están medidas en [Ω].

SOLUCIÓN. Como podemos observar en el circuito se pueden definir cinco intensidades de corriente que las llamaremos i, i1, i2, i3 e i4. Hay tres nodos, los puntos de división b, c y f; el punto g no es nodo pues se lo puede unir al punto f ya que no hay ningún elemento. Como hay tres nodos escribimos las ecuaciones para dos de ellos. ¾, É ⇒ 5 − 5S − 5N = 0 ¾, [ ⇒ 5N − 5] − 5^ = 0

Como debemos encontrar cinco corrientes, necesitamos cinco ecuaciones, es decir, nos faltan tres que las sacaremos del análisis de mallas. +ss+ +Ébℎ+ ⇒ −85S + 80 = 0 +ss+ É[ÈbÉ ⇒ −125N − 405] + 85S = 0 +ss+ [,4È[ ⇒ −105^ + 405] = 0 Con esto completamos las cinco ecuaciones, lo que nos queda es resolverlas, para eso podemos emplear cualquier método o ayudarnos de una hoja de cálculo (Excel), los resultados que obtenemos son: 5 = 14 7ï8, 5S = 10 7ï8, 5N = 4 7ï8, 5] = 45 7ï8, 5^ = 165 7ï8 Los mismos resultados lograríamos si el circuito lo hubiésemos resuelto mediante las combinaciones serie – paralelo.

EJEMPLO 50. Analicemos un circuito que no pueda resolverse por la combinación serie – paralelo tal como el de la figura, las resistencias están medidas en [Ω].

SOLUCIÓN. En el circuito hemos indicado las seis intensidades de corriente que las llamamos i, i1, i2, i3, i4 e i5. Hay cuatro nodos, los puntos de división c, d, e y g. Aplicando la ley de Kirchhoff a los nodos c, d y e tenemos: ¾, [ ⇒ 5 − 5S − 5N = 0 ¾, , ⇒ 5N − 5] − 5^ = 0 ¾, 4 ⇒ 5] + 5S − 5Æ = 0

Aplicando la ley de Kirchhoff a las mallas hcdgh, gdefg y abeca tenemos: +ss+ ℎ[,bℎ ⇒ 100 − 55N − 405^ = 0 +ss+ b,4Èb ⇒ 405N − 105] − 155Æ = 0 +ss+ +É4[+ ⇒ −205S + 105] + 55N = 0 Con esto completamos las seis ecuaciones que necesitamos, al resolverlas obtenemos: 5 = 6 7ï8, 5S = 2 7ï8, 5N = 4 7ï8, 5] = 2 7ï8, 5^ = 2 7ï8, 5Æ = 4 7ï8

ab c d

efgh

i

i1 i2

i3

i4

80 [V] 8 40

12

10

a b

cd

e

fgh

i

i1 i2 i3

i4 i5

5

40

20

15100 [V]

10




1) Mediante dibujos y con todas las combinaciones posibles entre circulación y sentido de la corriente explique la subida o la caída de potencial en una resistencia.

2) Explicar cuándo existe subida y cuándo caída de potencial al atravesar una batería.

3) Explicar con sus propias palabras la ley circuital de Kirchhoff.

4) Explicar con sus propias palabras la ley de nodos de Kirchhoff.

5) Explicar cómo se resuelve un sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

6) ¿Cuándo decimos que dos o más baterías están conectadas en serie?

7) ¿Cuándo decimos que dos o más baterías están conectadas en paralelo? Consolidación práctica.

8) Haga un diagrama de la caída o subida de tensión para los siguientes circuitos, tanto la dirección de la corriente como la circulación por el circuito deben ser determinadas por el estudiante.

9) Calcular las intensidades de corriente de los siguientes circuitos, tanto la dirección de la corriente como la circulación por el circuito deben ser determinadas por el estudiante. Las resistencias están medidas en [Ω].

10.4.CIRCUITOS CON CAPACITORES . Recordemos que un capacitor es un elemento que consta de dos placas paralelas, es decir que no hay un conductor a través del cual circule la corriente eléctrica, pero necesitamos de la corriente para

r3

r2

r1

V3

V2

V1

R2

R1

r2

r1V2

V1R3

R2

R1

r3

r2

r1

V3

V2

V1R3R1

64 [V]40 [V]

4

20

2

10

1

6

5 [V]

5

40 [V]

4

30 20

10

6

5

460 [V]

4

3

230 [V]

2

115 [V]1

1



cargar al capacitor y una vez que está totalmente cargado la corriente no circula por el circuito, mas bien, si se desconecta la batería el condensador actúa como una pequeña batería y proporciona corriente al circuito hasta que se descarga.

EJEMPLO 51. En el circuito de la figura determinar la carga máxima del capacitor de 4 [µF], las resistencias están medidas en [Ω], ¿qué energía está almacenando el capacitor en ese instante?

SOLUCIÓN. Si aplicamos la ley de nodos al nodo de arriba tenemos: 5 − 5S − 5N = 0 Aplicaremos la ley de mallas a la malla izquierda y a la externa. 24 < 5 < 35 < 4 10¢Å 045 Y 5N4 10¢Å 24 24 < 5 < 35 < 25S 045 Y 25S 24

Cuando el capacitor esté totalmente cargado (a toda su capacidad) entonces cesará la corriente por este conductor, es decir, i2 = 0 con esta condición la primera y la tercera ecuación se convierten en: 5 < 5S 05 5S 45 Y 25S 2465 245 47ï8 5S La segunda ecuación deja de ser válida puesto que existe un producto de cero (la corriente eléctrica 2) por infinito (el tiempo, ya que teóricamente, un capacitor se carga totalmente en un tiempo infinito). Calculando la ddp entre los “nodos” (como i2 = 0, dejan de ser nodos) del circuito podemos calcular la carga del conductor, entonces empezamos del nodo inferior, recorremos por la izquierda y llegamos al nodo superior obteniendo: ùRv Y 24 < 5 < 35 ù d ù d < ùRv 24 < 45 87ù8 Esto significa que la ddp entre las placas del condensador es de 8 [V] por lo tanto: 47×E887ù8 327×8 La energía almacenada por el capacitor podemos calcularla con

cualquiera de las relaciones kd SNùN SN ù SN ¥ ; kd 12ùN 1247×E8#87ù8&N 1287×q8

Consolidación teórica. 1) Demostrar que el producto de la resistencia

(R) por la capacidad (C) R C tiene unidades de tiempo [Ω F] = [s].

2) ¿Por qué no circula corriente eléctrica cuando un capacitor se ha cargado a su capacidad máxima?

3) ¿Teóricamente, cuánto tiempo tarda un capacitor en cargarse totalmente?

4) ¿Qué sucedería si conectamos un capacitor totalmente cargado a un foco pequeño sin la

presencia de una batería? 5) ¿Cuál es la función de un capacitor en un

circuito eléctrico? Consolidación práctica.

6) En los siguientes circuitos determinar la carga máxima del capacitor y la energía que almacena en ese instante, considerar que las resistencias están medidas en [Ω] y los capacitores en [µF].



30 [V] 3

2100 [V]1

10 1

9

50

3

18 [V]

15

12

65

4

2

10 [V]

1

6 [V]

5

2

101

9 [V] 6

3 [V] 2

12 [V]

1

6

3 [V] 3

2

12 [V]

1


CAPÍTULO 11:I NTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA

Contenido Orientaciones metodológicas Semiconductores. • Definir con sus propias palabras lo que es un semiconductor. Semiconductor tipo n • Describir la construcción de diodos tipo n

Semiconductor tipo p • Describir la construcción de diodos tipo p. • Establecer la diferencia entre un semiconductor n con un

semiconductor p. Unión n – p o diodo semiconductor. • Definir las características de los diodos ideales y reales.

¿Cómo funciona un diodo? • Describir la conducción mediante huecos. • Resolver los problemas pertinentes a éste capítulo.



11.1.SEMICONDUCTORES . Hemos visto dos tipos de materiales, los conductores que son los que permiten la circulación de la corriente eléctrica y los aislantes que son los que no permiten el paso de la corriente eléctrica. Ahora vamos a ver otro tipo de materiales que los llamaremos semiconductores, por el nombre es fácil presuponer que son materiales intermedios entre los conductores y los aislantes, pero no es así, los semiconductores son materiales que permiten la circulación de la corriente en un sentido pero no en el otro tal como se muestra en los circuitos de la figura donde tenemos al semiconductor entre las terminales libres. Antes de describir el comportamiento interno de un semiconductor exploremos el nivel atómico del silicio y del germanio que tienen números atómicos de 14 y 32 respectivamente, sus distribuciones electrónicas serán:

14 Si: 1 s2 2 s2 2 p6 3 s2 3 p2 32 Ge: 1 s2 2 s2 2 p6 3 s2 3 p6 4 s2 3d10 4p2

Ambos tienen una característica común que es la de tener 4 electrones en su capa externa, el silicio con 3 s2 3 p2 y el germanio con 4 s2 4p2 por lo tanto cuando tenemos un material ya sea de silicio o de germanio, se unen fácilmente completando el octeto tal como se muestra en la figura, lo mismo sucede con el germanio, formando un red cristalina. Una pequeña dosis de energía térmica aplicada al material de germanio o de silicio arranca un electrón de la capa externa y lo convierte en un electrón libre o electrón de conducción convirtiéndose el germanio o silicio en un conductor.

11.2.SEMICONDUCTOR TIPO N Para tener mayor cantidad de electrones libres, en el cristal de germanio o en el de silicio se introducen impurezas, por ejemplo, átomos de antimonio (Sb) reemplazando a átomos de germanio, elegimos los átomos de antimonio porque tienen cinco electrones de valencia o de conducción, de tal manera que al reemplazar un átomo de germanio en el cristal, quedará un electrón libre que se convierte en un electrón de conducción, tal como podemos observarlo en el dibujo. Este germanio “dopado” se convierte en un conductor de tipo n (negativo) porque ante una diferencia de potencial estos electrones libres se mueven ordenadamente, pero se queda un átomo de antimonio fijo en la estructura cristalina ionizado positivamente; en este caso a los electrones se los llama portadores mayoritarios y a los iones positivos (huecos) se los llama portadores minoritarios.

11.3.SEMICONDUCTOR TIPO P Al cristal de germanio o de silicio también se le puede dopar con átomos trivalentes o que tienen tres electrones en su última capa, por ejemplo el boro (B), en este caso existe un número de electrones insuficiente para completar el octeto, el lugar del electrón vacante que queda se denomina hueco cuya carga es positiva debido a la ausencia de la carga negativa del electrón, este hueco aceptará fácilmente un electrón que obviamente viene de otro átomo dejando en él un hueco o carga positiva, si bien son los electrones los que se mueven para tapar los huecos que dejan otros, existe un “movimiento” de los

Hay corriente

No hay corriente

Elemento

Elemento

V.

V

2

1



huecos o de las cargas positivas por eso este semiconductor se llama tipo p (positivo). En el semiconductor tipo p el hueco es el portador mayoritario y el electrón es el portador minoritario.

Semiconductor Portador mayoritario Portador minoritario Tipo n Electrón Hueco Tipo p Hueco Electrón

11.4.UNIÓN N – P O DIODO SEMICONDUCTOR . El diodo semiconductor o también llamado diodo cristalino, se forma juntando los semiconductores tipo n con el tipo p, construidos ya sea de germanio o de silicio.

En el momento de la unión los huecos de n alejan o repelen a los huecos de p (los electrones de p se acercan a la juntura) y los electrones de p alejan o repelen a los electrones de n (los huecos de n se acercan a la juntura), de tal manera que en la juntura de ambos semiconductores hay

un exceso de carga negativa en p y un exceso de carga positiva en n generando, de esta manera, una barrera de potencial.

11.5.¿CÓMO FUNCIONA UN DIODO ? Veamos dos casos conocidos como polarización inversa y polarización directa. Polarización directa. Esto se presenta cuando conectamos el polo negativo de la batería con el semiconductor tipo n y el polo positivo de la batería con el semiconductor tipo p, tal como indica la figura.

En este caso los electrones de la batería (del polo negativo) llegan hasta n y repelen a los que están ahí que atravesarán la barrera de potencial (atraídos por los huecos de n y de p) y llegarán hasta el polo positivo de la batería generando una corriente eléctrica.

Polarización inversa. Esto se presenta cuando conectamos el polo negativo de la batería con el semiconductor tipo p y el polo positivo de la batería con el semiconductor tipo n, tal como indica la figura. En este caso los electrones que salen del polo negativo de la batería serán

atraídos por los huecos de p y no atravesarán la barrera de potencial, en consecuencia no habrá paso de corriente.

Diodo Polarización directa. Polarización inversa.

Circula corriente No circula corriente. Por la importancia que tiene es bueno mencionar que existen diodos que cuando circula corriente por ellos emiten luz, estos se conocen como LED (Light emitting diode), muy usados en calculadoras, relojes, etc. Los dos circuitos presentados anteriormente los representamos mediante:

Circula corriente No circula corriente

EJEMPLO 52.

V.V

Diodo.Diodo



En el circuito con un diodo ideal de la figura determinar la resistencia equivalente del circuito, las resistencias están medidas en [Ω].

SOLUCIÓN. La corriente eléctrica va desde el polo positivo de la batería hacia la rama derecha, en el primer nodo se divide en dos para las resistencias de 30 [Ω], pasa por las resistencias de 60 [Ω] y luego vuelve a la batería, no circula por el diodo ideal porque está conectado con polarización inversa, por lo tanto es como si no existiera esa parte del circuito y podemos reorganizarlo como muestra la figura. En este circuito observamos que hay resistencias en paralelo y en serie. e¥ S = 30 7Ω8 + 60 7Ω8 = 90 7Ω8 1e¥ N = 130 + 190 = 245 e¥ N = 22.5 7Ω8 e¥ = 22.5 7Ω8 + 60 7Ω8 = 82.5 7Ω8

EJEMPLO 53. Un diodo real conlleva consigo una cierta caída de potencial debido a pérdidas internas propias de la fabricación, por esta razón, para analizar un circuito con un diodo real cuando este esté en su estado de encendido se lo puede reemplazar con una pequeña batería de 0.7 [V] si el diodo es de SI o de 0.3 [V] si el diodo es de Ge, para el circuito de la figura determinar la intensidad de corriente que circula por el conductor, considere el caso mostrado en la figura y el de la polaridad invertida. La resistencia está medida en [kΩ].

SOLUCIÓN. El diodo es real, por lo tanto si está en encendido debemos reemplazar por una batería, en el circuito del problema la corriente circula en el sentido de las manecillas del reloj por lo tanto el diodo está en estado de encendido (circula corriente por el diodo) y el circuito sustituto será el de la figura al que aplicamos la ley de mallas de Kirchhoff.

8 -0.7 – 2200 i = 0 Resolviendo para la corriente tenemos: i = 3.32 [mA]. Al invertir la polaridad de la batería se genera una corriente en sentido contrario a las manecillas del reloj y el diodo se encontrará en estado de apagado por lo tanto no habrá circulación de corriente i = 0 [A].

EJEMPLO 54. Para el circuito de la figura determinar la intensidad de corriente que circula por el conductor, la resistencia está medida en [kΩ].

SOLUCIÓN. La batería proporciona una corriente que circula en sentido horario haciendo que el diodo quede en estado de encendido, pero si aplicamos la ley de Kirchhoff a la malla:

0.5 – 0.7 – 1200 i = 0 i = - 0.17 [mA] ¡Sorpresa! La corriente circula hacia el otro lado lo que significa que el diodo no la dejará pasar, por lo tanto no existe corriente eléctrica, además es obvio porque la batería proporciona una ddp más baja de la que necesita el diodo para trabajar; si el diodo fuese de germanio

V

Diodo

60.

60

30.

30

V60.

60

30.

30

Si

8 [V]

2.2

8 [V]

2.2

0.7 [V]

Si

1.2

0.5 [V]



entonces sí habría corriente eléctrica en sentido horario.

EJEMPLO 55. Para el circuito de la figura determinar la intensidad de corriente que circula por los diodos y el potencial en el punto terminal derecho del circuito, la resistencia está medida en [kΩ].

SOLUCIÓN. La terminal izquierda del circuito tiene un potencial de + 12 [V] lo que significa que la corriente eléctrica circula hacia la derecha y pone a los diodos en estado de encendido, para calcular la

intensidad de corriente hagamos la ley de mallas para el circuito desde la terminal izquierda hasta el punto de tierra.

12 - 0.7 – 0.3 – 5600 i = 0 Igualamos a cero porque terminamos en tierra, resolviendo para i tenemos.

i = 1.96 [mA] Para calcular el potencial del extremo derecho hagamos el recorrido desde el extremo izquierdo hasta el extremo derecho, llamemos Vd al potencial del extremo derecho.

12 - 0.7 – 0.3 = Vd Vd = 11 [V]

Consolidación teórica. 1) Defina con sus propias palabras al

semiconductor. 2) Describa cómo se logra construir un

semiconductor tipo n. 3) Describa cómo se logra construir un

semiconductor tipo p. 4) Investiga lo que es una barrera de potencial. 5) ¿Cuál es la diferencia entre un semiconductor

tipo n y un semiconductor p? 6) Describa con sus propias palabras la

conducción eléctrica mediante huecos. 7) ¿Qué es un diodo? 8) ¿Cuáles son las características del diodo ideal? 9) ¿Cómo determinamos los estados de

encendido y apagado para un diodo? 10)¿Cuáles son las características del diodo real?

Consolidación práctica. 11)En el problema del EJEMPLO 52 cambiar la

polaridad de la batería y calcular la resistencia equivalente del circuito.

12)¿Qué corriente circula por el diodo ideal del problema anterior si la batería es de 165 [V]?

13)Resolver el problema planteado en el EJEMPLO 52 considerando que el diodo es real y considerar ambas polaridades en la batería.

14)En el circuito de la figura determinar la

intensidad de corriente que circula a través del diodo ideal, las resistencias están medidas en [kΩ].

15)Resolver el problema anterior invirtiendo la

polaridad de la batería. 16)En el circuito de la figura las resistencias están

medidas en [kΩ], calcular: a) La intensidad de corriente que circula por

el diodo de silicio. b) La caída de potencial en cada resistencia. c) El potencial de la terminal derecha del

circuito.

17)Calcular la intensidad de corriente que circula

Diodo

4

3

2

100 [V]

1



por cada diodo del circuito de dos diodos conectados en paralelo, la resistencia se mide en [kΩ], ¿cuál es la energía disipada por la resistencia?

18)Resolver el problema anterior invirtiendo la

conexión de uno de los diodos.

19)Resolver el problema 17) para el caso de un diodo de silicio y el otro de germanio.

20)Calcular la intensidad de corriente que circula por cada diodo del circuito de la figura, la resistencia se mide en [kΩ].

Si.Si10 [V]

0.33

Si.

Si

Ge4.7

4 [V]


FÍSICA MODERNA.

Capítulos Temas.

Relatividad.

• Una dosis clásica • Relatividad del tiempo y de la velocidad. • El experimento de Michelson y Morley • Los postulados de Einstein. • Transformadas de Lorentz. • El cálculo de velocidades relativas • Masa y energía.

Planck y Einstein.

• Radiación térmica. • Alrededor de una parrillada. • Ley del desplazamiento de Wien. • Ley de Stefan-Boltzmann • Ley de Rayleigh - Jeans. • Teoría de Planck. • Otra controversia. • Frecuencia y longitud de onda.


CAPÍTULO 12:R ELATIVIDAD .


Una dosis clásica • Representar las posiciones de un cuerpo respecto a dos sistemas de

referencia, uno fijo y el otro móvil teniendo en cuenta la geometría euclidiana del espacio.

Relatividad del tiempo y de la velocidad.

• Establecer el principio de relatividad de Galileo y sus transformadas tanto espacio temporal como de velocidades.

• Considerar el tiempo como un absoluto físico y por lo tanto independiente de los cambios espaciales y de velocidad de los cuerpos en movimiento.

El experimento de Michelson y Morley

• Considerar el experimento de Michelson y Morley como una base que contradice a la física clásica.

Los postulados de Einstein.

• Relacionar los postulados de Einstein con la solución planteada por Lorentz.

Transformadas de Lorentz.

• Considerar las transformadas de Lorentz como una solución a la controversia planteada por el experimento de Michelson y Morley.

El cálculo de velocidades relativas

• Desarrollar el cálculo de velocidades relativas desde el paradigma einsteniano.

Masa y energía. • Reformular la ley de conservación de la masa por la relación entre

masa y energía como consecuencia de la teoría de la relatividad. • Resolver los problemas pertinentes a éste capítulo.

Relatividad.


12.1.UNA DOSIS CLÁSICA Observemos la figura adjunta, en ella vemos dos móviles un jeep y un auto. Ambos móviles se mueven respecto a los ejes de coordenadas x – y, en un cierto instante (tiempo inicial), sus respectivas posiciones son xA y xB respecto a este sistema de coordenadas al que denominaremos como sistema de referencia fijo donde ubicamos al observador O. Pero también podemos asignar un sistema de referencia fijo al jeep, es decir, un sistema de referencia móvil que se mueva junto a él (al jeep), en este sistema de referencia el jeep siempre estará en el origen de coordenadas al que llamaremos observador O’, pero el auto estará inicialmente en la posición x’B, es decir la posición del auto (móvil B) respecto al jeep (móvil A). Luego de un instante de tiempo ∆t = tf – t0 las respectivas posiciones son xfA, xfB y x’ fB, las dos primeras son las posiciones respecto al observador O y la tercera es la posición respecto al observador O’. De la geometría del problema podemos escribir: = = Y =â =v =v Y =vâ Restando miembro a miembro tenemos: =v < = _=v < =` Y _=vâ < =â ` ∆= ∆= Y ∆=â

12.2.RELATIVIDAD DEL TIEMPO Y DE LA VELOCIDAD . Si consideramos que el sistema O’ se mueve con una velocidad V respecto al sistema O la ecuación de los cambios de posición podemos escribirla como: ∆= ù∆ Y ∆=â ∆=â ∆= < ù∆ Que se la conoce como transformada directa de Galileo, la transformada inversa la escribimos como: ∆= ∆=â Y ù∆ En ambas ecuaciones, ya sea en la transformada directa o en la inversa podemos dividir entre el tiempo ya que para Galileo Galilei el tiempo es el mismo para todos los observadores.

∆=∆ ∆=â∆ Y ù Esta ecuación podemos escribir como: â Y ù Que es la transformada inversa para las velocidades, la transformada directa será:

EL TIEMPO ES INDEPENDIENTE DE LA VELOCIDAD CON QUE SE MUEVEN LOS CUERPOS Y ES EL MISMO PARA TODOS LOS OBSERVADORES QUE SE MUEVEN UNO RESPECTO A LOS OTROS.

FÍSICA MODERNA.


â = − ù En esta ecuación también podemos tomar variaciones, es decir: ∆â = ∆ − ∆ù ∆â = ∆ − ï ∆ ∆â∆ = ∆∆ − ï +â = + − ï + = +â + ï Resumiendo hasta aquí tenemos:

Transformada Galileana Posición Velocidad Aceleración Tiempo Directas =â = = − ù ∆ â = − ù +â = + − ï t'=t Inversas = = =â + ù ∆ = â + ù + = +â + ï t=t'

Donde: =â, â y +â son las medidas de la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula móvil

realizadas por el observador O’. =, y + son las medidas de la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula móvil

realizadas por el observador O. ù ∆, ù y ï son las medidas de la posición, la velocidad y la aceleración del sistema móvil O’

realizadas por el observador O. Si bien estas ecuaciones las hemos deducido para una sola dimensión (eje x) podemos generalizarlas a dos o tres dimensiones con la notación vectorial de la siguiente manera:

Transformada Galileana Posición Velocidad Aceleración Tiempo Directas â = − ù ∆ â = − ù +â = + − ï t'=t

Inversas = â + ù ∆ = â + ù + = +â + ï t=t'

EJEMPLO 56. Un río de 200 [m] de ancho fluye con una velocidad de 5 en

dirección S 30° E. Un remero puede comunicarle al bote la velocidad de

8 respecto al agua y en dirección hacia el norte. Calcular la

velocidad del bote respecto a tierra, el tiempo que tarda el remero en cruzar el río y la distancia desde el punto que se encuentra justo al frente

de su partida hasta el punto donde atracará el velero.

SOLUCIÓN Identifiquemos los elementos (sistema fijo, sistema móvil y cuerpo en movimiento) y luego hagamos un dibujo del triángulo de velocidades. El sistema fijo es la tierra. El sistema móvil es el río. El cuerpo en movimiento respecto a ambos sistemas es el bote.

Con esta asignación tenemos:

La velocidad del río será: ù = 5 30° k.

La velocidad del bote respecto al agua será: â = 8 ¾

La velocidad que desconocemos es tanto en magnitud como en dirección, es decir, la velocidad del bote respecto a tierra.

x

y N

S

E O

x'

y'

v'

V

Relatividad.


La ecuación que usamos es: = â + ù Que representa una suma vectorial, por lo tanto debemos dibujar el triángulo vectorial que la define, es decir, a la punta del vector ù le añadimos la cola del vector â y el resultado que obtenemos es el vector que nace en la cola y llega hasta la punta de los vectores ù y â respectivamente. Adicionalmente notemos que el ángulo de 30° se repite como ángulo interior del triángulo por ser alterno interno, esto nos permite conocer la magnitud del vector mediante la ley de cosenos: || = X8N + 5N − #2&#8&#5& cos#30& = 4.44 1- Para conocer su dirección podemos calcular el ángulo del vértice B del triángulo con la ley de senos, es decir: sin_çè`5 = sin#30&4.44 çè = 34.26° Con este ángulo expresamos la velocidad el bote respecto a tierra como: = 4.44 1- ¾ 34.26° k

La distancia que el bote respecto a tierra es la recta AB, que la podemos calcular aprovechando el triángulo rectángulo ABC donde la recta AC es el ancho del río 200 [m], por lo tanto: sin#34.26 + 30& = 200ïç ïç = 222.02 718 Con esta distancia calculamos el tiempo de viaje mediante: = ïç = ïç = 222.024.44 = 50 7-8 La distancia a la que atracará el bote será la recta BC que también podemos calcularla con el triángulo rectángulo ABC, es decir: tan#34.26 + 30& = 200ç ç = 96.41 718 Resolviendo por componentes rectangulares tenemos: Ü = Üâ + ùÜ Ü = 0 + 5 sin#30°& = 2.5 1- ~ = ~â + ù~ ~ = 8 − 5 cos#30°& = 3.67 1- || = X2.5N + 3.67N = 4.44 1-

= tan¢S w3.672.5 x = 55.74° k6 4s ?514 [·+,+64 = 4.44 1- k 55.74° ¾ = 4.44 1- ¾ 34.26° k

EJEMPLO 57. Un observador parado en la tierra ve que la lluvia cae desviada hacia el norte un ángulo de 25° respecto a la vertical; en la misma región un

motociclista viaja hacia el norte a razón constante de 90 @A , este

motociclista ve que la lluvia está desviada 10° hacia el sud ¿Cuál es la rapidez de las gotas de lluvia?

ù

â

30° 30°

A

B

C

FÍSICA MODERNA.


SOLUCIÓN. Resolviendo por componentes rectangulares tenemos: Ü = Üâ + ùÜ sin#25°& <â sin#10°& Y 25 ~ ~â Y ù~ < cos#25°& <â cos#10°& Y 0 Eliminando v’ entre ambas ecuaciones tenemos: sin#25°& cos#10°& <â sin#10°& cos#10°& Y 25 cos#10°& cos#25°& sin#10°& â cos#10°& sin#10°& sin#25°& cos#10°& Y cos#25°& sin#10°& 25 cos#10°& sin#25° Y 10°& 25 cos#10°& 25 cos#10°&sin#25° Y 10°& 42.9 1- â 39.5 1-

Para resolver por triangulación debemos sumar el vector v’ con V para obtener v, tal como mostramos en la figura, luego determinamos los ángulos de la base, el de la izquierda es de 80° y el de la derecha de 65°, con esto podemos escribir la ley de senos como: 25sin#35°& sin#80°& âsin#65°& 25 sin#80°&sin#35°& 42.9 1-

â 39.5 1-

Consolidación teórica. 1) ¿Cuáles son las transformadas directas de

Galileo? 2) En las transformadas Galileana el tiempo es

absoluto o relativo? 3) ¿Cuáles son los elementos de un vector? 4) ¿Cómo formamos el triángulo de velocidades

o de posiciones o aceleraciones? 5) En trigonometría tenemos las funciones seno,

coseno y tangente, también tenemos las leyes de senos y cosenos. ¿En qué tipo de triángulos usamos las funciones y en cuáles las leyes? Consolidación práctica.

6) Un río fluye hacia el norte con una rapidez de

5 @A . Un hombre rema un bote para cruzar

el río con una velocidad relativa al agua de 65 @A en dirección este.

a) ¿Cuál es la velocidad del bote respecto a tierra?

b) Si el río tiene 1.5 [km] de ancho, ¿a qué distancia del punto opuesto al de la partida atracará el bote en la otra orilla?

c) ¿Cuál es la duración del viaje?

7) La rapidez de un bote es de 55 @A . Se quiere

ir de un lugar a otro situado a una distancia de 80[km] con rumbo S 20° E. La corriente en

esta región tiene una rapidez de 20 @A y

rumbo S 70° O ¿Con qué rumbo deberá enfilarse el bote y cuánto tiempo empleará en recorrer la distancia indicada?

8) Dos ciudades A y B están una frente a la otra en las orillas opuestas de un río de 0.8 [km] de

ancho. La velocidad del agua es de 4 @A Un

hombre en A quiere ir a la ciudad C que se encuentra 6 [km] aguas arriba de B y en la misma ribera. Si la embarcación que utiliza

tiene una velocidad máxima de 10 @A en el

agua, ¿que dirección debe tomar y cuánto tiempo emplea en conseguir su propósito?

9) Un buque se mueve sobre el agua en dirección

N 60° O con una rapidez de 40 @A , en un

lugar donde la dirección de la corriente es tal que el movimiento resultante del barco es

y Vertical

x N S

x'

y'

V

25° ′ 10°

35° ′ V

Relatividad.


hacia el Oeste con una rapidez de 50 @A . Obtenga la velocidad de la corriente en magnitud y dirección.

10)El piloto de un aeroplano desea volar hacia el norte. El viento está soplando hacia el sur este

con una velocidad de 45 @A . Si la velocidad

relativa del aeroplano respecto al aire es de

300 @A . a) ¿En qué rumbo deberá el piloto orientar el

aeroplano? b) ¿Cuál será la velocidad del aeroplano

respecto a tierra?

11)Un tren viaja al sur con una rapidez de 27 bajo una lluvia desviada hacia el sur por el viento. La trayectoria de las gotas de lluvia forma un ángulo de 21.6° con la vertical para un observador estacionario en la tierra, sin embargo, otro observador sentado en el tren ve los trazos de lluvia perfectamente verticales a través de la ventana. ¿Cuál es la rapidez de las gotas de lluvia?

12)Para un observador sobre un barco que se

mueve directamente al sur a 16 @A el viento

parece soplar del este. Después que el barco ha cambiado su rumbo y se mueve directamente

al oeste a 16 @A , el viento parece soplar del

noreste. Suponiendo que durante el periodo de observación la velocidad del viento se mantiene constante, determinar su magnitud y dirección.

13)Un avión puede desarrollar una velocidad

relativa al aire de 240 @A . El piloto del avión

desea conducirlo desde una ciudad A hasta una ciudad B recorriendo una distancia de 400[km] y según un rumbo S 32° O. Sí el informe meteorológico manifiesta que en este trayecto prevalece un viento oeste este con una

velocidad media de 48 @A a) ¿Qué rumbo deberá tomar el piloto? b) ¿Cuál es la duración del viaje?

14)Un avión desea ir desde una ciudad hasta otra que se encuentra a 800 [km] directamente al Noreste de la primera y luego retornar a la primera ciudad. En esta región el viento sopla

con una velocidad de 20 @A en dirección

Sudeste. Calcular el tiempo que le toma el viaje redondo, si consideramos que la velocidad del viento permanece constante en magnitud y dirección y que el avión es capaz

de desarrollar una velocidad de 600 @A . 15)Un piloto debe volar hacia el este desde A

hasta B y después volver hacia A dirigiéndose hacia el oeste. La velocidad del avión en el aire es v’ y la velocidad del aire es V. La distancia entre A y B es L y la rapidez v’ del avión es constante. a) Sí V = 0 (no hay viento) encontrar el

tiempo t0 del viaje de ida y vuelta. b) Suponiendo que la velocidad del viento es

hacia el este (o hacia el oeste) demuestre que el tiempo de viaje de ida y vuelta es: = t1 − g ùâhN

c) Suponiendo que la velocidad del aire es hacia el norte (o hacia el sur) demuestre que el tiempo de viaje de ida y vuelta es: = tÂ1 − g ùâhN

16)Para un pasajero que se encuentra en una

camioneta que viaja a razón de 40 @A hacia

el Noreste, el viento parece soplarle desde el norte. En cambio, un automovilista que viaja en la misma región con una velocidad de 90 @A hacia el oeste, siente el viento soplando

en la dirección E 22° 30' S. Calcular la magnitud y dirección de la velocidad del viento.

17)Un velero navega rumbo a un puerto que está a 24 [km] al Sudoeste de su posición actual; repentinamente, una espesa niebla lo rodea, y usando una brújula, el velero mantiene un

rumbo al Sudoeste y avanza a razón de 8 @A respecto al agua durante 3 [h], luego de este tiempo la niebla se levanta repentinamente. El capitán entonces se da cuenta que está a 3.65 [km] al norte de su destino, ¿cuál fue la velocidad de la corriente en el lapso de las 3 [h]? ¿En qué dirección debió viajar el velero

FÍSICA MODERNA.


para alcanzar su destino y cuánto tiempo le hubiera tomado el viaje?

18)Un piloto ajusta su rumbo hacia el Este y

vuela a una velocidad de 400 @A respecto al

aire, durante 1.5 [h]. Se encuentra a 560 [km]

al Este y a 80 [km] al norte de su punto de partida. ¿Cuál fue la velocidad del viento durante este tiempo? ¿Cuál era el rumbo que debería haber tenido el avión para llegar directamente al este?

12.3.EL EXPERIMENTO DE M ICHELSON Y M ORLEY Este es otro experimento en el que se obtienen resultados contradictorios con la teoría clásica de la física. Con este experimento se pretendía determinar el movimiento real de la tierra respecto al éter

(sistema de referencia absoluto). La idea del experimento consistía en enviar en destello de luz desde una fuente F en dos direcciones perpendiculares entre sí, reflejándose en los espejos A y B situados a la misma distancia D de la fuente F, luego de reflejarse los rayos de luz volvían al punto de partida y se registraban los tiempos de ida y vuelta para ambos rayos. Una buena suposición es que la tierra se mueve con una velocidad V a lo largo del rayo FA, por lo tanto la velocidad de la luz en su trayecto de ida (FA) es c - V (c es la velocidad de la luz) y en su trayecto de retorno (AF) será c + V. Por lo tanto en el trayecto de ida y vuelta (FAF) el tiempo que el rayo tarda será: S = [ − ù + [ + ù = #[ + ù& + #[ − ù&#[ − ù&#[ + ù& = 2 [[N − ùN = 2 [[N w1 − ùN[N x = 2 [ 11 − gù[ hN

El otro rayo tendrá una velocidad √[N − ùN por ser perpendicular a la velocidad de la tierra y en su recorrido de ida y vuelta (FBF) el tiempo que tarda será: N = √[N − ùN + √[N − ùN = 2 Â[N w1 − ùN[N x = 2 [ 1Â1 − gù[ hN

Michelson y Morley esperaban una relación de tiempos de de:

SN =2 [ 11 − gù[ hN

2 [ 1Â1 − gù[ hN= Â1 − gù[ hN

1 − gù[ hN = 1Â1 − gù[ hN

Es decir que t1 > t2 y con esta relación de tiempos poder determinar la velocidad de la tierra respecto al éter. ¡SORPRESA! El experimento no registró ninguna diferencia de tiempos, por mucho que aumentaron la precisión del experimento y lo realizaron en diferentes épocas del año y en diferentes lugares de la tierra el resultado siempre fue el mismo no había diferencia de tiempos. Este experimento estaba en contradicción con la teoría clásica.

12.4.LOS POSTULADOS DE E INSTEIN . Albert Einstein explicó la discrepancia entre el experimento de Michelson y Morley con la teoría basándose en dos postulados.

Todos los fenómenos físicos transcurren de igual modo en todos los sistemas de referencia inerciales (sin aceleración), es decir, no podemos tener un sistema de referencia inercial que sea privilegiado, todos son igualmente equivalentes.

La velocidad de la luz es constante independientemente de la velocidad de la fuente que la

V

c - V

c + V F

A

B

Â[2 − ù2

Relatividad.


emite y de la dirección en que la emita, es decir, la velocidad de la luz es la misma en todos los sistemas de referencia inerciales. Ningún cuerpo o señal puede propagarse a una velocidad mayor a la de la luz.

A la luz de estos postulados revisemos los cálculos de Michelson Morley para el trayecto FBF.

En el sistema x’ y’ o, lo que es lo mismo, el rayo de luz visto desde la tierra, la distancia que recorre

es 2 D y el tiempo que tarda en su viaje de ida y vuelta es t = N porque su velocidad es c (invariante).

En el sistema x y o lo que es lo mismo, la luz vista desde el “éter” la luz recorre un camino más largo dado por la hipotenusa del triángulo sombreado, en su viaje de ida y vuelta recorre dos veces esa

distancia que tal como se muestra en la figura 4s[5,+, LRLd , es decir: ,5-+6[5+ u5?46·-+ 4s[5,+, 541? = [ 2

Tomamos la mitad del tiempo porque es la mitad del recorrido; con el mismo razonamiento obtenemos el otro cateto del triángulo, por lo tanto por el teorema de Pitágoras tenemos: w[ 2 xN = wù 2 xN + N ⇒ [N N = ùN N + 4 N

N #[N − ùN& = 4 N ⇒ = 4 N[N w1 − ùN[N x = 2 [ 1Â1 − gù[ hN

Como t = N , entonces podemos relacionar los tiempos mediante: tÂ1 − gù[ hN

Aquí vemos que t > t0, donde t0 conocemos como tiempo propio, es decir, es la medida del tiempo en el cual el reloj y el rayo (o cualquier fenómeno) se mueven juntos; y t es el tiempo medido por un reloj en el cual el rayo (o cualquier fenómeno) se mueve respecto al reloj

F

B

c D

x’

y’

F

B

F

B

ù 2

D

x

y

F

B

V

[ 2

FÍSICA MODERNA.


Para el trayecto FAF en el sistema x- y- tenemos que el viaje de ida y vuelta del rayo es: t = 2 zt[

Para el sistema x y tenemos la secuencia de tres dibujos, entre el primero y el segundo el rayo está de ida avanzando una distancia total hasta el espejo de c t1, en el mismo tiempo tanto la fuente como el espejo se han movido la distancia V t1, por lo tanto [ S = z + ù S despejando el tiempo de ida

tenemos S = ½¢.

El viaje de retorno se representa entre el segundo y el tercer gráfico, en este tramo la fuente y el espejo siguen avanzando una distancia dada por V t2 y el rayo recorre una menor distancia dada por c t2; en

estas condiciones tenemos [ N = z − ù N, despejando el tiempo de retorno tenemos: N = ½§. Por

lo tanto el viaje de ida y vuelta en este sistema estará dado por: S Y N z[ < ù Y z[ Y ù 2 z [[N − ùN = 2 z [[N w1 − ùN[N x = 2 z[ 11 − gù[ hN

Por la relación de tiempos tenemos: = LÎÂS¢g !h 2 z[ 11 − gù[ hN = 2 zt[Â1 − gù[ hN

Simplificando tenemos:

z0 = [ 02

z0 = [ 02

F

A

x’

y’

x

y

L

V t1

F

A

c t1

V t2

F

A

c t2

L F

A

Relatividad.


z = zt Á1 − wù[ xN

EJEMPLO 58. Un ejemplo interesante es la aparición de muones como radiación secundaria procedente de la radiación cósmica. Los muones se desintegran aproximadamente en 1.87 [µs] cuando están en reposo. Puesto que estos muones se crean (a partir de la desintegración de mesones π) a una gran altura en la atmósfera (a varios millares de metros sobre el nivel del mar) pocos muones deberán llegar al nivel del mar. Un muón típico que se mueve con una velocidad 0,998c. a) ¿Qué distancia recorrerá? b) ¿Cuál será el período de vida medio del muón medido en el sistema de referencia de la Tierra? c) ¿Qué distancia recorrerá este muón para un observador en la tierra?

SOLUCIÓN. a) El tiempo de vida media del muón en reposo es 1.87 10-6 [s], en este tiempo recorrerá una distancia de: , = = 0.998 #3 ∗ 10¿& ∗ 1.87 ∗ 10¢Å = 559.88 718 Esta es una distancia muy pequeña para que los muones puedan llegar a la superficie de la tierra, pero son muchos los muones que llegan a la superficie terrestre, veamos. b) Según la relación de Einstein tenemos: = tÂ1 − gù[ hN = 1.87 ∗ 10¢Å

Â1 − g0.998 [[ hN = 2.96 ∗ 10¢Æ 7-8 Este será el tiempo de vida media observado desde tierra. c) La distancia que recorra para un observador respecto a la tierra será: , = = 0.998 #3 ∗ 10¿& ∗ 2.96 ∗ 10¢Æ = 8862.24 718 Esto si explica el por qué los muones llegan a la superficie terrestre antes de desintegrarse. Para verificar resultados, supongamos que un muón está a una altura de 8862.24 [m] sobre la superficie de la tierra, medida por el muón en su sistema ¿cuál será la altura medida por el observador en tierra?

z = 8862.24 Á1 − w0.998 [[ xN = 560.22 718 Salvo por unos decimales que se perdieron en los cálculos las respuestas coinciden, es decir, los muones en su propio sistema recorren una distancia pequeña.

EJEMPLO 59. ¿Con qué velocidad deberá moverse una barra para que su longitud sea 0.5 % menos que su longitud propia?

SOLUCIÓN. Lo que queremos es que z = zt − t.ÆStt zt = 0.995 zt

FÍSICA MODERNA.


0.995zt ztÁ1 < wù[xN

0.995 1 < wù[xN ⇒ wù[xN 1 < 0.995 0.005

V = 0.071 c

Consolidación teórica 1) ¿Cuál es la controversia entre el experimento

de Michelson y Morley con la teoría clásica de la física?

2) ¿Cuáles son los postulados de Albert Einstein acerca de la relatividad?

3) ¿Qué es el tiempo propio? 4) ¿Qué es la longitud propia? 5) ¿Cuáles son las relaciones matemáticas para la

dilatación del tiempo y para la contracción de la longitud? Consolidación práctica.

6) Los mesones pi tienen una vida media de 1.8 * 10-8 [s]. a) ¿Qué distancia recorrerá si se mueve a

razón de 0.8 c? b) ¿Cuál es el tiempo de vida media de los

mesones pi para un observador en la tierra?

c) ¿Qué distancia recorrerá para el observador de la tierra?

7) Una nave espacial tiene una longitud propia de 200 [m] y se mueve a velocidad 0,7 c respecto a la Tierra. ¿Cuál será su longitud respecto a la Tierra?

8) Una partícula posee una vida media en reposo de 5 [ms]. Si se mueve a una velocidad 0,95 c respecto al laboratorio. ¿Cuál será su vida media medida respecto al laboratorio?

9) Determinar la velocidad a la que se mueve una varilla que tiene una longitud igual a la mitad de su longitud propia.

10)Una nave espacial se dirige hacia la luna y pasa por la tierra con una velocidad de 0.8 c a) ¿Qué tiempo demorará el viaje de la tierra

a la luna para un observador en la tierra? b) ¿Qué tiempo demorará el viaje para un

observador en la nave? c) ¿Qué distancia mide el observador de la

nave entre la tierra y la luna? 11)La vida media de un neutrón como partícula

libre en reposo es de 15 [min]. Se desintegra espontáneamente en un protón, un electrón y un neutrino a) ¿Cuál es la velocidad mínima con la que

un neutrón debe dejar el sol para llegar a la tierra antes de desintegrarse?

b) ¿Cuál será el tiempo de vida media medido desde tierra?

12)El tiempo propio de vida media de una partícula es de 10 [ns] ¿cuál es la distancia que recorre antes de desintegrarse en un sistema de referencia de laboratorio en el que su tiempo de vida es de 20 [ns]?

13)El período de gestación de los elefantes es 21 meses. Suponga que una elefanta recién embarazada es enviada al espacio en un cohete a velocidad (constante) de 0,9 c. a) ¿A qué distancia de la tierra nacerá el

elefantito? b) Si se monitorea la salud del elefantito por

radio, ¿a qué distancia después de su partida de la tierra se escucharán sus primeros llantos?

Relatividad.


12.5.TRANSFORMADAS DE L ORENTZ . Consideraremos un sistema de referencia A en supuesto "reposo" y otro B en movimiento uniforme a lo largo del eje x de A (con velocidad v). Partimos de una situación en la que ambos sistemas están superpuestos en un instante t0 = 0 [s]. Entonces un rayo de luz es disparado desde el origen de coordenadas de A (que coincidía con el de B en t = t' = t0 = 0 [s]) a lo largo del eje X y en un punto de coordenada x respecto a A un detector percibe el rayo de luz en un instante t para A (y t' para B). Esta detección ocurriría, desde el punto de vista de A, en una coordenada x – v t del sistema B. Pero por culpa de la contracción de longitudes de Lorentz tendremos que para B sus reglas de medir son menores y por lo tanto esa coordenada x' será mayor

en un factor SÂS¢g !h, entonces:

=â = = − ù Â1 − gù[ hN

Por otro lado por el principio de relatividad, tenemos que ambos observadores deberían medir la velocidad para los rayos de luz, por lo que va ocurrir que x = c t y que x' = c t', sustituyendo en la anterior ecuación obtenemos:

â = − ù[N =Â1 − gù[ hN

La coordenada y no está afectada por la transformada de Lorentz porque la velocidad no está dirigida en esa dirección por lo tanto las transformaciones directas e inversas serán las que presentamos en la tabla

EJEMPLO 60. Para un observador O, dos acontecimientos están separados por 600 [m] y por 8 * 10-7 [s] ¿Con qué velocidad deberá moverse un observador O’ para que estos acontecimientos: a) sean simultáneos para él? b) ocurran en el mismo punto para él?

SOLUCIÓN. La separación espacial ∆x = x2 – x1 = 600 [m] y la separación temporal ∆t = t2 – t1 = 8 * 10-7 [s] las podemos expresar mediante las transformadas de Lorentz: ∆=â = ∆= − ù ∆Â1 − gù[ hN = 600 − ù #8 ∗ 10¢Ö&

Â1 − gù[ hN

∆â = ∆ − ù[N ∆=Â1 − gù[ hN = #8 ∗ 10¢Ö& − ù[N #600&

Â1 − gù[ hN

Transformadas de Lorentz Directas Inversas =â = = − ù Â1 − gù[ hN = = =′ Y ù ′Â1 − gù[ hN

y’ = y y = y’

â = − ù[N =Â1 − gù[ hN = ′ Y ù[N =′

Â1 − gù[ hN

x

y

t0 = 0 [s]

x'

y’

V

c t c t’

x

y t > t0

x'

y’ V

FÍSICA MODERNA.


a) Para que los acontecimientos parezcan simultáneos para el observador O’ ∆t’ = 0 [s], por lo tanto:

0 #8 ∗ 10¢Ö& < ù[N #600&Â1 < gù[hN ⇒ #8 ∗ 10¢Ö& < ù[N #600& 0

V = 0.4 c b) Para que los acontecimientos parezcan encontrados (en el mismo punto) para el observador O’ ∆x’ = 0 [m], por lo tanto: 0 600 < ù#8 ∗ 10¢Ö&

Â1 < gù[hN ⇒ 600 < ù#8 ∗ 10¢Ö& 0

V = 2.5 c Como la velocidad es mayor a la de la velocidad de la luz los dos acontecimientos nunca podrán ser vistos como si ocurriesen en el mismo punto para O’. En general podemos decir que dos acontecimientos separados espacial y temporalmente en una sistema de referencia en el otro podrán ser vistos o simultáneamente o en un mismo punto pero no las dos opciones a la vez.


1) ¿Qué entendemos por eventos simultáneos? 2) Los eventos simultáneos para un observador

serán necesariamente simultáneos par otro observador que se mueve respecto al primero?

3) ¿Por qué los cuerpos no pueden viajar a una velocidad mayor que la luz? Consolidación práctica.

4) Un evento ocurre en las coordenadas x = 40 [m] y t = 2 [s] ¿Cuáles serán las coordenadas de este evento para un observador que se mueve con una velocidad de: a) 0.6 c respecto al primero? b) - 0.6 c respecto al primero?

5) Un observador O’ en el sistema x’ – y’ se mueve con una velocidad de 0.8 c respecto a otro observador O en el sistema x – y. Si sus orígenes de coordenadas coinciden plenamente en el instante t = t’ = 0 [s].

6) Un destello de luz se origina en el punto x = 60 [m] y en el tiempo t = 2.5 [s] ¿cuál es la posición y el tiempo que mide el observador O’ para este evento?

7) Un segundo destello se origina en x’ = 20 [m] y t’ = 4 [s] ¿cuál es la posición y el tiempo que

mide el observador O para este segundo evento? a) ¿Cuál es la separación espacial para los

dos eventos medida tanto por O como por O’?

b) ¿Cuál es la separación temporal para los dos eventos medida tanto por O como por O’?

8) Para un observador O, dos acontecimientos están separados por 200 [m] y por 8 * 10-7 [s] ¿Con qué velocidad deberá moverse un observador O’ para que estos acontecimientos estén en el mismo punto?

9) Para un observador O’, dos acontecimientos están separados por 600 [m] y por 6 [s] ¿Con qué velocidad deberá moverse un observador O’ para que estos acontecimientos sean simultáneos para el observador O?

10)Un cuerpo se mueve con una velocidad de 0.5 c a lo largo del eje x’ para un observador O’. Si la velocidad de O’ respecto a O es de 0.6 c también a lo largo de los ejes x – x’, calcular la velocidad de la partícula respecto al observador O.

12.6.EL CÁLCULO DE VELOCIDADES RELATIVAS A velocidades v<<c, las transformadas Galileanas son válidas, por eso es bastante sencillo calcular

Relatividad.


velocidades relativas, diciendo que las mismas se suman o restan según sean las direcciones de los movimientos. En el caso de velocidades cercanas a la de la luz, esta forma de calcular velocidades relativas no es correcta porque llegaríamos al absurdo de que la luz puede moverse a velocidades superiores a c si saliera de una fuente que se mueve a la velocidad v. Veamos una deducción simple: Ü = =v − =tv − t y Üâ = =vâ − =tâvâ − tâ

Reemplazando los valores de las transformadas de Lorentz tenemos:

Ü = =v − =tv − t ==vâ + ù vâÂ1 − gù[ hN − =tâ + ù tâÂ1 − gù[ hN

vâ + ù[N =vâÂ1 − gù[ hN − tâ + ù[N =vtâÂ1 − gù[ hN

= =vâ + ù vâ − =tâ − ù tâvâ + ù[N =vâ − tâ − ù[N =vtâ

Ü = _=vâ − =tâ ` + ù _vâ − tâ `ù[N _=vâ − =vtâ ` + _vâ − tâ ` = =vâ − =tâvâ − tâ + ù1 + ù[N =vâ − =tâvâ − tâ

= Üâ + ù1 + ù Üâ[N

Para el eje y tenemos: ~ = yv − ytv − t y ~â = yvâ − ytâvâ − tâ

Reemplazando los valores de las transformadas de Lorentz tenemos:

~ = yv − ytv − t = yvâ − ytâvâ + ù[N =vâÂ1 − gù[ hN − tâ + ù[N =vtâÂ1 − gù[ hN

= yvâ − ytâvâ + ù[N =vâ − tâ − ù[N =vtâ Á1 − wù[ xN

~ = yvâ − ytâù[N _=vâ − =vtâ ` + _vâ − tâ ` = yvâ − ytâvâ − tâ1 + ù[N =vâ − =tâvâ − tâ= ~â1 + ù Üâ[N

Á1 − wù[ xN

El mismo desarrollo tenemos para el eje z por lo que obtenemos:

" = "â1 + ù Üâ[NÁ1 − wù[ xN

Resumiendo tenemos:

Ü = Üâ + ù1 + ù Üâ[N ~ = ~â1 + ù Üâ[NÁ1 − wù[ xN " = "â1 + ù Üâ[N

Á1 − wù[ xN

Las transformadas inversas de Lorentz para las velocidades las obtenemos simplemente cambiando V por –V en las anteriores ecuaciones, por lo tanto tenemos:

FÍSICA MODERNA.


Üâ = Ü − ù1 − ù Ü[N ~â = ~1 − ù Ü[NÁ1 − wù[ xN "â = "1 − ù Ü[N

Á1 − wù[ xN

EJEMPLO 61. Dos cohetes, A y B, se mueven en sentidos opuestos pero en la misma dirección. Un observador en tierra dice que la velocidad de A es 0.75c y la de B es 0.85c. Encuentre la velocidad de B respecto a A.

SOLUCIÓN. En este problema nos piden hallar la velocidad relativa de B respecto a A, esto nos da la pauta para asignar al cohete A el sistema de referencia móvil ya que el sistema de referencia en reposo será la tierra, matemáticamente significa que V = 0.75 c moviéndose a lo largo del eje x. Por otra parte la velocidad del cohete B que nos proporcionan es respecto a tierra, eso simbolizamos matemáticamente como Ü = −0.85 [, es negativa porque su sentido es contrario a la del cohete A y también la tomamos en el eje x por tener la misma dirección. En consecuencia nos están pidiendo la velocidad del cohete B respecto al sistema móvil, matemáticamente expresamos como Üâ . Üâ = Ü − ù1 − ù Ü[N = −0.85 [ − 0.75 [1 − #0.75 [&#−0.85 [&[N = −1.6 [1 + 0.6375 = 0.977 [

Como ~ = " = 0 sus correspondientes velocidades en el sistema

móvil también son nulas, es decir: ~â = "â = 0 . EJEMPLO 62.

Dos cohetes, A y B, se mueven respecto a la tierra. El cohete A viaja a la velocidad de 0.75c en dirección del eje x y el cohete B a la velocidad de 0.85c formando un ángulo de 53° con el eje x y en el plano XY. Encuentre la velocidad de B respecto a A.

SOLUCIÓN. Al igual que en el ejemplo anterior tenemos V = 0.75 c por las razones expuestas ahí. Para la velocidad relativa del cohete B no podemos hacer lo mismo ya que no viaja en el eje x sino en el plano XY y formando un ángulo de 53° con el eje x, por lo tanto: Ü = 0.85 [ cos#53& = 0.51 [ y en consecuencia tenemos: ~ = 0.85 [ sen#53& = 0.68 [. Ambas componentes son positivas porque se encuentra en el primer cuadrante. Üâ = Ü − ù1 − ù Ü[N = 0.51 [ − 0.75 [1 − #0.75 [&#0.51 [&[N = −0.24 [1 − 0.3825 = −0.389 [

~â = ~1 − ù Ü[NÁ1 − wù[ xN = 0.68 [1 − #0.75 [&#0.51 [&[N

Á1 − w0.75 [[ xN

~â = 0.7284 [

Relatividad.


Debemos notar que en este caso "â = 0 . Por lo tanto, la velocidad

relativa del cohete B respecto al cohete A es: â X#<0.389[&N Y #0.7284[&N 0.8256[ Esta velocidad está en el segundo cuadrante y forma un ángulo con el eje + x de: O tan¢S w0.7284[<0.389[x 118.1°


1) Haz una demostración detallada de la

transformación que da origen a: Üâ à$¢S¢ %$!

2) Demuestra que si un sistema móvil viaja a la velocidad de la luz y emite un rayo de luz en la misma velocidad de su movimiento, el observador en el sistema fijo también medirá la velocidad de la luz.

3) ¿Cuál será la medida para la luz desde el sistema en reposo si usamos las transformadas Galileanas?

4) ¿Habrá algo que se mueva con una velocidad mayor a la de la luz? ¿por qué? Consolidación práctica.

5) Un observador en el sistema en reposo emite un fotón en la dirección +Y (vy = c). Calcule las componentes X e Y de la velocidad del fotón, vistas por un observador en un sistema en movimiento que se desplaza a velocidad “V” en el sentido +X, respecto al observador en reposo. Calcule también el módulo de dicha velocidad.

6) En el sistema laboratorio (en reposo) una partícula se mueve en el plano XY con velocidad 0.7 c a un ángulo de 40º con el eje +X. Encuentre la velocidad (vector) de esta partícula respecto a un navío espacial que se mueve (respecto al laboratorio) con 0.9 c en el sentido +X.

7) Un navío espacial viaja hacia Antares a 0.8 c respecto a la tierra. Un año (terrestre) después sale un modelo más moderno en la misma dirección a 0.9 c (respecto a tierra). a) ¿Con qué velocidad supera el nuevo

modelo al antiguo (respecto al antiguo)?

b) Visto desde tierra, ¿a qué distancia se encuentran ambos navíos?

c) En ese instante, ¿a qué distancia están los miembros de la tripulación del navío de tierra (medida desde su propio sistema de referencia)?

8) El cohete A viaja con una velocidad de 0.80 c paralelo al eje Y de un sistema “fijo”. Calcule la velocidad (magnitud y dirección) de este cohete si es observado por otro cohete (B) que viaja a 0.60 c paralelo al eje X del sistema de referencia “fijo”.

9) Un pulso luminoso viaja en el plano X’Y’ de un sistema móvil formando un ángulo de 45º con el eje X’. El sistema móvil se mueve a 0.60 c paralelo al eje X de otro sistema de referencia fijo. Calcule el ángulo con que se observa el pulso luminoso en el sistema fijo (respecto al eje X).

10) Dos galaxias se alejan de la tierra en direcciones opuestas cada una con velocidad 0.75 c respecto a la tierra. ¿A qué velocidad se mueven una respecto a la otra clásica y relativísticamente?

11) Suponga que 2 protones (provenientes de los rayos cósmicos) tienen velocidades (relativas a la tierra) de 0.6 c y – 0.8 c.

a) ¿Cuál es la velocidad de la tierra relativa a cada uno de los protones?

b) ¿Cuál es la velocidad de cada protón respecto al otro?

12)Un observador mide la velocidad de 2 electrones y encuentra que una es c/2 en la dirección +x y otra es c/2 en la dirección +y. ¿Cuál es la velocidad relativa entre los electrones?

12.7.MASA Y ENERGÍA . De acuerdo con la mecánica clásica, por la segunda ley de Newton, si una fuerza actúa sobre un cuerpo éste adquirirá una aceleración directamente proporcional a la fuerza aplicada, donde la constante de proporcionalidad sería su masa inercial. En consecuencia, una fuerza constante podría elevar la

FÍSICA MODERNA.


velocidad de un objeto de forma indefinida. Este aspecto chocaría con la imposibilidad de superar la velocidad de la luz (el segundo postulado de Albert Einstein). La consecuencia más notoria de los postulados de la Relatividad Especial obtenida por Albert Einstein fue la equivalencia o conversión entre masa y energía. La relación requiere un cambio en la ley de la conservación de la masa para que pueda cumplirse el principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal; Einstein logró relacionar la masa de un cuerpo en función de su velocidad mediante la relación: 1 = 1tÂ1 − gù[ hN

Donde m es la masa o masa relativista del cuerpo, m0 es la masa en reposo o masa propia y V la velocidad con que se mueve el cuerpo. Lo que indica esta fórmula es que la masa de un cuerpo es mayor cuando está en movimiento relativo respecto a un observador que cuando se encuentra en reposo respecto a dicho observador. A partir de esta ecuación podemos deducir la energía cinética relativista que será: k #1 < 1t&[N Y la energía total: k 1 [N El primer experimento que confirmaba la masa relativista fue el descubrimiento por Bücherer en 1908 de que la relación de la carga del electrón y su masa (e/m) era menor para electrones rápidos que para los lentos. Posteriormente, incontables experimentos confirman los resultados y fórmulas físicas anteriores. La masa y la energía se convierten así en dos manifestaciones de la misma cosa. Los principios de conservación de la masa y de la energía de la mecánica clásica pasan a configurar el principio de conservación de la energía-masa relativista más general. Asimismo, se mantiene el principio de igualdad entre masa inercial y masa gravitatoria de Isaac Newton.

EJEMPLO 63. Calcular la energía en reposo de un electrón.

SOLUCIÓN. La masa en reposo de un electrón es de 9.11 * 10-31 [kg] por lo tanto: kt = 1t [N = 9.11 ∗ 10¢]S ∗ #3 ∗ 10¿&N = 8.2 ∗ 10¢S^ 7J8

EJEMPLO 64. Un cuerpo en reposo se desintegra espontáneamente en dos partículas que se mueven en sentidos opuestos. Las masas en reposo y las velocidades de cada una de las partes son: 3 * 10-20 [kg] a 0.85 c y 8 * 10-21 [kg] a 0.9 c. Calcular la masa en reposo del cuerpo original.

SOLUCIÓN. El invariante en este problema es la energía, por lo tanto la energía en reposo de la partícula original tiene que ser igual a la suma de las energías totales de las partículas emitidas. kt = kS + kN ⇒ 1t[N = 1S[N + 1N[N 1t[N = 1tSÂ1 − gùS[ hN [N + 1tNÂ1 − gùN[ hN [N

Relatividad.


1t = 1tSÂ1 − gùS[ hN + 1tNÂ1 − gùN[ hN = 3 10¢NtÂ1 − g0.85 [[ hN + 8 10¢NS

Â1 − g0.9 [[ hN

1t = 7.53 10¢Nt 7ab8 EJEMPLO 65.

Un electrón es acelerado a través de una diferencia de potencial de 1 [MV], si parte desde el reposo cuál es la velocidad que alcanza? a) Haga el cálculo clásico. b) Haga el cálculo relativista.

SOLUCIÓN. Por la teoría de campos eléctricos tenemos que = − â ∆ù, por otra parte, el trabajo es igual al cambio de la energía cinética cuando la fuerza es la total.

a) k ⇒ SN 1N = − â ∆ù reemplazando valores tenemos: 12 9.11 ∗ 10¢]SN = −#−1.6 ∗ 10¢S¤& #1 ∗ 10Å& = 1.98 [ La velocidad que obtenemos es mayor a la velocidad de la luz, por lo que la teoría clásica no es satisfactoria. b) Empleando la teoría relativista de Albert Einstein tenemos: k ⇒ #1 − 1t&[N = − â ∆ù

'( 1tÂ1 − g[hN − 1t)* [N = − â ∆ù

'( 1Â1 − g[hN − 1)*1t [N = − â ∆ù

1Â1 − g[hN − 1 = − â ∆ù1t [N

1Â1 − g[hN = − â ∆ù1t [N + 1

1− â ∆ù1t [N + 1 = Á1 − g[hN

Þ 1− â ∆ù1t [N + 1ßN

= 1 − g[hN

FÍSICA MODERNA.


g[hN = 1 < Þ 1< â∆ù1t[N Y 1ßN

[+1 < Þ 1< â∆ù1t[N Y 1ßN

[+1 < Þ 1<#<1.6 ∗ 10¢S¤&#1 ∗ 10Å&#9.11 ∗ 10¢]S&#3 ∗ 10¿&N Y 1ßN

0.94[ Resultado totalmente válido ya que es menor a la velocidad de la luz.


1) Escribe la ecuación que nos indica la relación de la masa con la velocidad.

2) ¿Cuál será la condición para considerar la masa como independiente de la velocidad?

3) ¿Qué entiendes por energía en reposo y cuál es su ecuación?

4) ¿Cuál es la relación entre la masa y la energía? 5) ¿Cómo definimos la energía cinética en la

teoría relativista? Consolidación práctica.

6) Calcular la energía en reposo del a) Protón. b) Neutrón. c) Positrón.

7) ¿Cuál será la velocidad de un electrón si su masa en movimiento es 5000 veces su masa en reposo?

8) Calcular la energía cinética de un protón que se mueve a 0.85 c.

9) Si la energía cinética de un electrón es de 500

[MeV], ¿cuál es la velocidad con que se mueve?

10)Un cuerpo en reposo se desintegra espontáneamente en dos partículas que se mueven en sentidos opuestos. Las masas en reposo y las velocidades de cada una de las partes son: 5 * 10-27 [kg] a 0.95 c y 2 * 10-25 [kg] a 0.75 c. Calcular la masa en reposo del cuerpo original.

11)¿Cuál es la relación entre la masa relativista a la masa en reposo para un electrón que es acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 15 [MV]?

12)¿Cuál debe ser la velocidad de una partícula para que su energía cinética sea igual a su energía en reposo?

13)¿Cuál es la masa de un electrón que se mueve a través de una ddp tal que, de acuerdo con la física clásica es capaz de acelerarlo hasta la velocidad de la luz?


CAPÍTULO 13:P LANCK Y EINSTEIN .


Radiación térmica. • Identificar en la cotidianidad la radiación en general y la radiación de un cuerpo negro en particular.

Alrededor de una parrillada.

• Definir físicamente un cuerpo negro en función de la radiación emitida y relacionar algunos cuerpos de la cotidianidad con el cuerpo negro.

Ley del desplazamiento de Wien.

• Conceptuar la ley de desplazamiento de Wien acerca de la radiación de un cuerpo negro.

• Calcular la longitud de onda máxima de la radiación en función de la temperatura.

Ley de Stefan-Boltzmann

• Conceptuar la ley de Stefan - Boltzmann acerca de la radiación de un cuerpo negro.

• Determinar y aplicar la relación matemática de la intensidad de potencia irradiada en función de la temperatura.

Ley de Rayleigh - Jeans.

• Conceptuar la ley de Rayleigh - Jeans acerca de la radiación de un cuerpo negro.

• Determinar y aplicar la relación matemática de la densidad volumétrica de potencia irradiada en función de la temperatura y la longitud de onda.

• Relacionar la ley de Rayleigh – Jeans con la ley de Wien.

Teoría de Planck.

• Conceptuar la teoría de Planck acerca de la radiación de un cuerpo negro.

• Determinar y aplicar la relación matemática de la densidad volumétrica de potencia irradiada en función de la temperatura y la frecuencia de onda.

• Establecer y aplicar la hipótesis de Planck a la energía de radiación.

Otra controversia.

• Relacionar la emisión de electrones libres de una placa metálica con la física clásica y establecer la controversia entre teoría y experimento.

• Aplicar la hipótesis de Planck y establecer la relación de Einstein acerca del denominado efecto fotoeléctrico.

Frecuencia y longitud de onda.

• Determinar por medios cinemáticos la relación entre la velocidad de la luz y la longitud y frecuencia de la onda electromagnética.

• Relacionar los conceptos de: energía, frecuencia de una onda, longitud de onda y velocidad de propagación de la onda.

• Reconocer la dualidad onda partícula como una propiedad de la materia.


Planck y einstein.


13.1.RADIACIÓN TÉRMICA . El fenómeno de la radiación consiste en la propagación de energía en forma de ondas electromagnéticas o partículas subatómicas (partículas α, neutrones, etc.) que se mueven a gran velocidad a través del vacío o de un medio material. Todos los cuerpos con temperatura superior a 0 K emiten radiación electromagnética, y, dependiendo de su temperatura, también la absorben de él. Si el cuerpo está más caliente que su entorno se enfriará ya que la rapidez con que emite radiación será mayor a la rapidez con que la absorbe, cuando alcance el equilibrio térmico las rapideces de absorción y de emisión serán iguales. Se denomina radiación térmica o radiación calorífica a la emitida por un cuerpo debido a su temperatura. A temperaturas ordinarias, la mayoría de los cuerpos son visibles, no por la radiación que emiten sino por la luz que reflejan. Si la temperatura de los cuerpos es muy elevada, entonces estos se hacen luminosos por sí mismos, se los puede ver brillando, por ejemplo al calentar una barra de hierro, primero la sentiremos caliente pero no veremos que radie energía, luego irá adquiriendo primero un color rojo opaco y después un color rojo brillante y a temperaturas muy elevadas un color blanco azuloso. Es decir, a medida que aumenta la temperatura barra de hierro emite más radiación térmica, pero nosotros podemos ver la radiación que está solo dentro del espectro visible, al igual que vemos la radiación de los carbones, la radiación del sol y la del filamento de un foco. La materia en un estado condensado (sólido o líquido) emite un espectro de radiación continuo.

13.2.ALREDEDOR DE UNA PARRILLADA . Cuando disfrutamos de la cocción de carne a la parrilla observamos que la cocemos con carbón, este es un cuerpo que irradia energía, a este tipo de cuerpos los llamamos “cuerpos negros” y la principal propiedad que tienen es el de irradiar energía que podemos utilizarla para cocinar, como en la parrillada, o en otras aplicaciones. Un cuerpo negro es un objeto que absorbe toda la luz y toda la energía que incide sobre él. Ninguna parte de la radiación es reflejada o pasa a través del cuerpo negro. A pesar de su nombre, el cuerpo negro emite luz y constituye un modelo ideal físico para el estudio de la emisión de radiación electromagnética. El nombre Cuerpo negro fue introducido por Gustav Kirchhoff en 1862. La luz emitida por un cuerpo negro se denomina radiación de cuerpo negro. Podemos simular con el modelo de una caja con una cavidad pequeña, por esta cavidad entrará la luz proveniente del exterior pero muy poca de esa energía podrá salir por esa cavidad y este se constituirá en un modelo muy aproximado de cuerpo negro. El punto físico que nos interesa es la controversia entre el experimento y la teoría clásica de la física. Mientras la teoría electromagnética predecía una irradiación predominantemente ultravioleta, experimentalmente se encontraba que la radiación predominante es una luz azul, a este efecto clásico se denominó como catástrofe ultravioleta. La solución a esta controversia vino por dos fuentes la empírica y la teórica, cada una con dos propuestas.

Leyes empíricas: Ley del desplazamiento de Wien. Ley de Stefan-Boltzmann.

FÍSICA MODERNA.


Leyes teóricas: Ley de Rayleigh-Jeans. Ley de Wien. 13.3.LEY DEL DESPLAZAMIENTO DE W IEN .

La Ley de Wien es una ley empírica que determina una relación inversa entre la longitud de onda en la que se produce el pico de emisión de un cuerpo negro y su temperatura. ,Ü = 0.0028976 71 »8f

Donde T es la temperatura del cuerpo negro en Kelvin [K] y λmax es la longitud de onda del pico de emisión en metros. Las consecuencias de la ley de Wien es que cuanta mayor sea la temperatura de un cuerpo negro menor es la longitud de onda en la cual emite.

13.4.LEY DE STEFAN -BOLTZMANN La ley de Stefan-Boltzmann establece que un cuerpo negro emite radiación térmica con una intensidad de potencia emisiva superficial [W/m²] proporcional a la cuarta potencia de su temperatura: I = - f Donde Te es la temperatura efectiva o sea la temperatura absoluta de la superficie y sigma es la

constante de Stefan-Boltzmann: - = 5.67 × 10¢¿ . Ñ. Esta intensidad de potencia emisiva de un cuerpo negro (o radiador ideal) supone un límite superior para la intensidad de potencia emitida por los cuerpos reales. La potencia emisiva superficial de una superficie real es menor que el de un cuerpo negro a la misma temperatura y está dada por: I = Ï - f Donde épsilon (ε) es una propiedad radiactiva de la superficie denominada emisividad. Con valores en el rango 0 ≤ ε ≤ 1, esta propiedad es la relación entre la radiación emitida por una superficie real y la emitida por el cuerpo negro a la misma temperatura. Esto depende marcadamente del material de la superficie y de su acabado, de la longitud de onda, y de la temperatura de la superficie.

EJEMPLO 66. Primera determinación de la temperatura del Sol.

SOLUCIÓN. Utilizando su ley Stefan determinó la temperatura de la superficie del Sol. Tomó los datos de Charles Soret (1854–1904) que determinó que la densidad del flujo de energía del Sol es 29 veces mayor que la densidad del flujo de energía de una fina placa de metal caliente. Puso la placa de metal a una distancia del dispositivo de la medición que permitía verla con el mismo ángulo que se vería el Sol desde la Tierra. Soret estimó la temperatura de la placa que era aproximadamente de 1900 [C] a 2000 [C]. Stefan pensó que el flujo de energía del Sol es absorbido en parte por la atmósfera terrestre, y tomó para el flujo de

energía del Sol un valor 3/2 veces mayor, a saber 29 × ]N = 43.5.

(Las medidas precisas de la absorción atmosférica no se realizaron hasta 1888 y 1904). La temperatura que Stefan tomó era un valor intermedio de los anteriores, 1950 [C] ( 2223 [K]). Id - f d^ I = - f ^ I = 43.5 Id - f ^ = 43.5 - f d^ f ^ = 43.5 × 2223^ f = √43.5 × 22237»8 f = 5710 7»8 El valor moderno para la temperatura del sol es 5780 [K]. Éste fue el

Planck y einstein.


primer valor sensato para la temperatura del Sol. Antes de esto, se obtuvieron valores tan pequeños como 1800 [C] o tan altos como 13.000.000 [C].

13.5.LAS TEMPERATURAS Y RADIOS DE LAS ESTRELLAS . La temperatura de las estrellas puede obtenerse suponiendo que emiten radiación como un cuerpo negro de manera similar que nuestro Sol. La Luminosidad L de una estrella o la potencia con que emite energía luminosa es: = 4 9 N - f Donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann, 4 9 N es la superficie de la estrella, siendo R el radio estelar y T es la temperatura de la estrella. Con esta ecuación comparamos la potencia de la estrella desconocida con la potencia del sol.

= 4 9 N - f = Á 4 9 - f

= Á 4 9 - f ^ L = Á L4 9 - f L^

L = Á L4 9 - f L^Á 4 9 - f ^

= ÁL Á f ^f L^

L = w f f LxN ÁL

Con la ley de Stefan-Boltzmann, los astrónomos pueden inferir los radios de las estrellas fácilmente. La ley también se usa en la termodinámica de un agujero negro en la llamada radiación de Hawking.

EJEMPLO 67. La temperatura de la Tierra. Podemos calcular la temperatura de la Tierra igualando la energía recibida del Sol y la energía emitida por la Tierra. El Sol emite una energía por unidad de tiempo y área que es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura dada por: = 4 9 N - f ^ A la distancia de la Tierra dT-S, esa potencia es distribuida en la superficie de una esfera que tiene como radio la distancia sol tierra y que se distribuye sobre la superficie terrestre que la podemos considerar como un disco circular, es decir: L = 9 LN4 9 ,¢¼N = LN,¢¼N 9 N - f ^

L = 9 LN N,¢¼N - f ^

4 9 LN - f L^ = 9 LN N,¢¼N - f ^

FÍSICA MODERNA.


f L = Á 2 ,¢¼ f = 278.7 7»8 = 5.7 78 13.6.LEY DE RAYLEIGH - JEANS.

Lord Rayleigh obtuvo por primera vez el cuarto grado de la dependencia de la longitud de onda en 1900; una derivación más completa, la cual incluía una constante de proporcionalidad, fue presentada por Rayleigh y Sir James Jeans en 1905. Ambas leyes fueron derivadas de argumentos de la física clásica. Sin embargo, ésta predecía una producción de energía que tendía al infinito ya que la longitud de onda se hacía cada vez más pequeña. Esta idea no soportaba los experimentos y la falla se conoció como la catástrofe ultravioleta. ℰ#0& = 2 9 [ a f,^

Donde ℰ es la densidad volumétrica de potencia energética irradiada en la unidad de tiempo .å o

emisividad, c es la velocidad de la luz [ = 3 × 10¿ , a es la constante de Boltzmann a 1.38 ×10¢N] Ñ y T es la temperatura absoluta [K].

En términos de frecuencia ν, la radiación es: ℰ#1& = 2 9 È^ a f[]

13.7.TEORÍA DE PLANCK . Era el año 1900, el mes de octubre y un domingo por la tarde el instante en que Max Planck logró descubrir una ecuación que se ajusta a los resultados experimentales, su resultado contenía en los límites clásicos a las de Wien, Stefan – Boltzmann y Rayleigh – Jeans. La expresión matemática es: ℰ#0& = 2 9 ℎ [N,Æ 14 A @ 2 ¼ − 1

ℰ#1& = 2 9 ℎ ÈÆ[] 14 A v@ ¼ − 1

Donde ℰ es la densidad volumétrica de potencia energética irradiada en la unidad de tiempo .å o

emisividad, h es la constante de Planck ℎ = 6.626 × 10¢]^ 7q -8, c es la velocidad de la luz [ = 3 ×10¿ , a es la constante de Boltzmann a 1.38 × 10¢N] Ñ, T es la temperatura absoluta [K] y

λ es la longitud de onda de la radiación medida en [m]. ¿En qué contexto físico introdujo pues Planck la famosa constante h? (esto es lo que se llama “la hipótesis de Planck”). Bien, la hipótesis que Planck planteó fue que cada oscilador atómico absorbería o emitiría energía de manera discreta y no continua como se suponía en la física clásica. Planck propuso entonces que la energía E transferida durante la interacción entre la materia y la radiación electromagnética tendrían un valor E = n Ecuanto , donde n es un número natural (n = 1, 2, 3,…) y Ecuanto = h f es un cuanto (del latín quantum) de energía que depende de la frecuencia f de la radiación. Dicho cuanto sería pues la mínima cantidad posible de energía que se puede transferir en un proceso físico que involucre a los osciladores atómicos. k RL u È

Planck y einstein.


Esto significa que la energía sólo puede emitirse o absorberse en partes enteras de esta energía de cuanto o paquetes elementales de energía k = 6uÈ6 0, 1, 2, 3, 4,… Tal como podemos observar en la figura de arriba, según la física clásica la energía tiene valores con un espectro continuo, es decir no salta de un valor a otro como lo propone Max Planck, esta cuantización de Planck la podemos observar en la figura de abajo. Hasta el momento no existen pruebas ni a favor ni en contra al postulado de Max Planck para sistemas macroscópicos, como para un auto en movimiento, sólo para sistemas microscópicos y cuando la energía es muy pequeña estamos en posibilidad de probar este postulado revolucionario para la física.


1) ¿Qué es radiación y qué cuerpos la pueden emitir?

2) ¿En qué condiciones un cuerpo absorbe radiación del medio ambiente?

3) Define lo que entiendes por cuerpo negro. 4) ¿Cuándo los cuerpos se hacen luminosos por

sí mismos? 5) Según la hipótesis de Wien, al aumentar la

temperatura de un cuerpo, la longitud de onda máxima de la radiación ¿aumenta o disminuye?

6) ¿Quién o quienes postularon que la radiación de un cuerpo negro depende de la potencia cuarta de la temperatura?

7) ¿Cuál es el valor aceptado actualmente para la temperatura del sol?

8) ¿Cuál es la ecuación planteada por Rayleigh y Jeans para la radiación de un cuerpo negro? ¿qué constantes intervienen en esta ecuación y cuáles son sus valores en el SI?

9) ¿A qué ecuación llegó Planck al deducir la radiación de un cuerpo negro?

10)¿Cuál fue la hipótesis de Planck respecto a la redición de un cuerpo negro?

11)¿Cómo simbolizamos la constante de Planck y cuál es su valor en el SI? Consolidación práctica.

12)En 1983 el satélite astronómico detecta una nube de partículas sólidas irradiando con una longitud de onda máxima de 32 [µm] ¿cuál es la temperatura de esta nube de partículas?

13)A partir de la ley de desplazamiento de Wien, calcular la longitud de onda máxima de la radiación emitida a temperaturas de: a) La radiación cósmica de fondo 2.7 [K].

b) El cuerpo humano de 34 [C].

c) El filamento de Tungsteno de un foco de 1800 [K].

d) El sol con 5800 [K]. e) Un dispositivo termonuclear en explosión

con 107 [K]. f) El universo inmediatamente después del

Big Bang 1038 [K] 14)Calcular la potencia emisiva de una fogata con

una emisividad de 0.9, una superficie efectiva de radiación de 0.5 [m2] y una temperatura de radiación de 500 [C].

15)Podemos suponer que el cuerpo humano tiene una superficie efectiva de 1.8 [m2] y una emisividad de 1, con la temperatura de 34 [C] ¿cuál es la potencia térmica irradiada por el ser humano? ¿por qué no es luminiscente una persona en la oscuridad?

16)Una cavidad irradia energía a una potencia de 12 [mW] ¿Cuál será la potencia a la que irradie energía esta cavidad al doble de temperatura?

17)Calcular la densidad volumétrica de potencia energética irradiada en la unidad de tiempo o emisividad para la longitud de onda máxima emitida a temperaturas de (use la ley de Rayleigh – Jeans y la de Planck): a) La radiación cósmica de fondo 2.7 [K]. b) El cuerpo humano de 34 [C]. c) El filamento de Tungsteno de un foco de

1800 [K]. d) El sol con 5800 [K]. e) Un dispositivo termonuclear en explosión

con 107 [K]. f) El universo inmediatamente después del

k 07q8 k uÈ k 2uÈ k 3uÈ

k 4uÈ

k 07q8

FÍSICA MODERNA.


Big Bang 1038 [K] 13.8.OTRA CONTROVERSIA .

Otra predicción de la física clásica era que la luz podía provocar la emisión de electrones en una placa metálica ¡esto es cierto!, Obviamente la controversia no está en este punto sino que la física clásica predecía que esta emisión debería depender de la intensidad de la luz, es decir, que a mayor intensidad de luz los campos electromagnéticos serán más intensos y la fuerza con la que chocan sobre los electrones de la placa será mayor y podrán arrancarlos de su estructura (emitir). Albert Einstein adoptó la hipótesis de Max Planck y explicó este fenómeno conocido como “efecto fotoeléctrico” suponiendo que la luz se comporta como un corpúsculo, un fotón o paquetito de energía. Si la energía que lleva el fotón es pequeña no podrá arrancar al electrón pero si es lo suficientemente grande podrá no solo arrancarlo sino proporcionarle al electrón cierta cantidad de energía cinética adicional. Esta energía cinética con la que escapan los electrones de la placa estará dada por: k uÈ <k 4[,41- ·4k 121 N

Donde la energía umbral es la energía necesaria para arrancar al electrón de su estructura metálica. 13.9.FRECUENCIA Y LONGITUD DE ONDA .

La luz, considerada como una onda, tiene una relación íntima entre su frecuencia de oscilación y la longitud de su onda dada por: [ ,È

Donde c es la velocidad de la luz, es decir 310¿ . EJEMPLO 68.

¿Cuál será la energía cinética de los electrones emitidos por una luz de 450 [nm] cuando bombardean una superficie metálica que requiere 650 [nm] de longitud de onda para provocar emisión?

SOLUCIÓN. Con la longitud de onda necesaria para arrancar electrones del metal calculamos la energía umbral, es decir: k uÈt u [,t 6.6310¢]^ 310¿65010¢¤ 3.0610¢S¤7q8 Ahora aplicamos la ley de Einstein para el efecto fotoeléctrico. k uÈ <k 6.6310¢]^ 310¿45010¢¤ < 3.0610¢S¤ k 1.3610¢S¤7q8


1) ¿Qué es el efecto fotoeléctrico? 2) ¿En qué difiere un fotón de una partícula

material? 3) Distinga entre la relación de Planck k 6uÈ

y la de Einstein k uÈ. 4) ¿Cuál es la controversia entre el experimento

y la teoría clásica en el caso del efecto fotoeléctrico?

5) ¿Cómo definimos la energía umbral? 6) Explica cada uno de los términos que

intervienen en la ecuación de Albert Einstein respecto al efecto fotoeléctrico.

7) Describe la relación entre la longitud de onda y su frecuencia.

8) Dibuja el espectro electromagnético tanto en función de la frecuencia como de la longitud de onda. Consolidación práctica.

9) Calcular la energía umbral, la frecuencia umbral y la longitud umbral para una superficie de cobre si experimentalmente se

Planck y einstein.


determina que esta superficie empieza a emitir electrones cuando se la bombardea con una luz de 282 [nm].

10)La energía umbral de un material es de 4 [eV] (electrón volts 1 [eV] = 1.6 10-19 [J]) ¿cuál es la frecuencia mínima para permitir la emisión de electrones? ¿cuál es la longitud de onda umbral del material?

11)La energía umbral del Níquel es de 5.01 [eV], si una superficie de este material se ilumina con una luz de 200 [nm] ¿cuál es la energía cinética de los electrones emitidos?

12)La frecuencia umbral de un material es de 1.6 1015 [Hz]. Calcular la energía cinética y la velocidad con que los electrones abandonan la superficie del metal si se los alumbra con una luz de 2 1015 [Hz].

13)Un átomo absorbe un fotón que tiene una

longitud de onda de 375 [nm] e inmediatamente emite otro fotón que tiene una longitud de onda de 580 [nm] ¿Cuál fue la energía neta absorbida por el átomo en este proceso?

14)La luz ultravioleta proveniente de la radiación solar tiene un promedio de 200 [nm] de longitud de onda, poseen energía suficiente para disociar las molécula de oxígeno en:

O2 + h f = O + O El oxígeno obtenido se combina con el oxígeno molecular de la atmósfera para formar el ozono que a su vez se disocia absorbiendo radiación de un promedio de 300 [nm] mediante:

O3 + h f = O + O2 Calcular la energía absorbida de la luz ultravioleta en uno de estos procesos.


ANEXOS

Momento de inercia de algunos rígidos de uso frecuente.

Aro delgado girando alrededor de su centro.

I = m R2

Aro delgado girando alrededor de su diámetro.

I = 12 m R2

Disco sólido girando alrededor de su centro.

I = 12 m R2

Cilindro sólido girando alrededor de su eje.

I = 12 m R2

Cilindro hueco girando alrededor de su eje.

I = 12 m [ ]R2

1 + R22

Barra delgada girando alrededor de su centro.

I = 112 m l2

Barra delgada girando alrededor de su extremo.

I = 13 m l2

Esfera sólida girando alrededor de su diámetro.

I = 25 m R2

Esfera hueca girando alrededor de su diámetro.

I = 23 m R2

R

R

R

R

R

R

l

l

ANEXOS


Datos del sistema terrestre.

Cuerpo Radio [m] Masa [kg] Radio de la órbita [km]

Período orbital [s]

El Sol 6.96·108 1.98·1030

Mercurio 2.34·106 3.28·1023 5.79·1010 7.60·106 Venus 6.26·106 4.83·1024 1.08·1011 1.94·107 La Tierra 6.37·106 5.98·1024 1.49·1011 3.16·107 Marte 3.32·106 6.40·1023 2.28·1011 5.94·107 Júpiter 6.98·107 1.90·1027 7.78·1011 3.74·108 Saturno 5.82·107 5.98·1026 1.43·1012 9.30·108 Urano 2.37·107 8.67·1025 2.87·1012 2.66·109 Neptuno 2.24·107 1.05·1026 4.50·1012 5.20·109 La Luna (respecto a la Tierra) 1.74·106 7.34·1022 3.84·108 2.36·106

Constantes de permitividad eléctrica.

Sustancia εr ε (# * 10-12) [C2/N m2]

Sustancia εr ε (# * 10-12) [C2/N m2]

Aceite mineral 2.20 19.50 Nitrobenceno 35.00309.75

Acetona 21.58191.00 Papel duro 5.59 49.50

Agua 80.00708.00 Parafina 2.10 18.59

Aire 1.00 8.86 Plexiglas 3.40 30.09

Bakelita 5.00 44.25 Poliestireno 2.70 23.90 Cuarzo 5.00 44.25 Polietileno 2.20 19.47

Etanol (alcohol etílico)24.00212.40 Polifoam 1.10 9.74

Glicerina 50.00442.50 PVC plástico 1.10 9.74 Hielo 75.00663.75 PVC sólido 6.10 53.99

Madera prensada 2.20 19.47 Sílice (Si2 O) 3.80 33.63

Madera seca 2.40 21.24 Silicio 12.00106.20

Mármol 8.00 70.80 Suelo arenoso seco 3.40 30.09 Metanol 33.00292.05 Teflón 2.10 18.59

Mica 5.40 47.79 Tetracloruro de carbono 2.20 19.47

Neoprene 7.00 61.95 Vidrio 4.00 35.40 N-hexano 1.90 16.82

Planck y einstein.


Constantes de permeabilidad magnética.

Sustancia µr Sustancia µr Acero al Carbono 10 000 Hidrógeno 1.000000063 Acero al Cobalto 9 000 Hierro 5 000 Acero al Silicio 10 000 Nitrógeno 1.000000013 Acero al tugsteno 10 500 Oxígeno 1.0000019 Agua 0.999991 Permalloy 100 000 Aluminio 1.000023 Platino 1.00036 Bismuto 1.000176 Silicio 0.999986 Cobre 0.999990 Supermalloy 800 000 Cobre 1.0000088 Supermalloy 900 000 Gema 1.0000126 Wolframio 1.000079

Coeficientes de dilatación lineal de sólidos Coeficientes de dilatación volumétrica de líquidos

Coeficiente de conductividad térmica Material K Ñ K Plata 405.46 0.97 Cobre 384.56 0.92 Hierro 50.16 0.12 Agua 0.60 0.0014 Oro 296.00 0.71 Plomo 35.00 0.08 Vidrio 1.00 0.0024 Aluminio 201.00 0.48 Mercurio 8.00 0.02 Aire 0.02 5.74 * 10-5

Material [C-1] Acero 12 x 10-6 Aluminio 24 x 10-6 Cobre 17 x 10-6 Concreto 7 – 12 x 10-6 Cuarzo 0.4 x 10-6 Hielo 51 x 10-6 Hierro 12 x 10-6 Invar 0.4 x 10-6 Latón 18 x 10-6 Oro 15 x 10-6 Plata 20 x 10-6 Plomo 30 x 10-6 Vidrio 4 – 9 x 10-6 Zinc 26 x 10-6

Material [C-1] Agua 9.5 x 10-4

Alcohol etílico 10.5 x 10-4 Eter etílico 16 x 10-4 Gasolina 11 x 10-4

Glicerina 5 x 10-4 Mercurio 1.8 x 10-4

Petróleo 9 10-4

S2 C 11.5 x 10-4

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