Jocs d'atzar

62
Jocs d’atzar Angel Corberán i Francisco Montes Departament d’Estadística i I. O. Universitat de València

Transcript of Jocs d'atzar

Page 1: Jocs d'atzar

Jocs d’atzar

Angel Corberán i Francisco MontesDepartament d’Estadística i I. O.

Universitat de València

Page 2: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 2

Probabilitat i jocs d’atzar (1)

La Probabilitat li ho deu tot als jocs d’atzar, pot ser l’afirmació us semble una mica exagerada , però així és. Si el Cavaller de Meré no li hagués posat a Pascal aquells dos famosos problemes, tot seguit en parlem, i aquest no li hagués fes partícip a Fermat de l’assumpte ...

Page 3: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 3

Probabilitat i jocs d’atzar (2)

Parlarem doncs de jocs d’atzar, d’alguns d’ells és clar. En farem una mica d’història, obtindrem les probabilitats associades i, si cal, alguna anècdota.

Page 4: Jocs d'atzar

Els origens. El cavaller de Méré

Page 5: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 5

Els origens. El Cavaller de Méré (1)

L’any 1654 Antoine Gombauld, cavaller de Méré, va proposar a Pascal dos famosos problemes. Varen donar lloc a una fructífera correspondència entre Pascal i Fermat que és per a molts autors l’origen del Càlcul de Probabilitats modern.

Page 6: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 6

Els origens. El Cavaller de Méré (2)

“Un problema relatiu als jocs d’atzar, proposat a un auster janseniste per un home de món, ha estat l’origen del Càcul de Probabilitats.” (Poisson, Recherches sur la Probabilité, 1837)

Page 7: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 7

Blaise Pascal 1623-1662

Pierre Fermat 1601-1665

Els origens. El Cavaller de Méré (3)

Heus aquí als personatges:

Page 8: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 8

Els origens. El Cavaller de Méré (3)

I heus aquí el lloc:

Page 9: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 9

Pierre Remond de Montmort, al seu assaig sobre les jocs d’atzar conta l'història i recull part de la correspondència entre Pascal i Fermat.

Els origens. El Cavaller de Méré (4)

Page 10: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 10

“En 1654 van proposar al Sr. Pascal aquests dos problemes. 1er. A dos jugadors els falten un cert nombre de punts es volen conèixer les seus sorts. 2on. Es vols conèixer en quants llançaments de dos daus es pot aconseguir avantatge d’obtenir sonnés”:

Els origens. El Cavaller de Méré (5)

Page 11: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 11

Anem a pams. Parlem primer del segon problema, de la seua solució i dels comentaris que Pascal i Fermat en creuaren.

Aquest problema es també conegut en la literatura com la Paradoxa del cavaller de Méré. Veureu per què.

Els origens. El Cavaller de Méré (6)

Page 12: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 12

Del que es tractava era de trobar el número mínim de llançament de dos daus per tal que la probabilitat d’obtenir al menys un doble 6 (sonnés) siga més gran (avantatge) que la de no obtenir-ne cap. Es a dir, que siga superior a 0.5

solució

La paradoxa del cavaller de Méré (1)

Page 13: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 13

La solució no li va agradar al cavaller de Méré. Llegiu el que conta Montmort al respecte.

La paradoxa del cavaller de Méré (2)

Page 14: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 14

I no li va agradar perquè el bon cavaller pensava que la probabilitat devia seguir les regles de l’Aritmètica. Pascal li ho explica a Fermat en aquesta carta.

La paradoxa del cavaller de Méré (3)

Carta de Pascal a Fermat el 29 de juliol de 1654

Page 15: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 15

El comentari final de Pascal és ...

“... és un bon esperit, però no és Geòmetra; la qual cosa és, com sabeu, un gran defecte.”

La paradoxa del cavaller de Méré (4)

Carta de Pascal a Fermat el 29 de juliol de 1654

Page 16: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 16

El problema dels punts (1)

El 1er problema que de Mèrè proposa a Pascal està lligat, al seu torn, a un altre: com repartir-se l’aposta quan el joc s’atura sense que cap dels jugadors haja assolit el nombre de punt necessaris per a guanyar.

Proposa Pascal que la manera justa de repartir-se l’aposta és fer-ho proporcionalment a la probabilitat que cada jugador té de guanyar el joc si aquest es reprengués.

Page 17: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 17

El problema dels punts (2)

Podem enunciar el problema de la següent manera:

Dos jugadors A i B juguen a un joc consistent en un número indeterminat de partides. La probabilitat de guanyar en cada partida es p per a A i 1-p per a B. Aquell dels dos que abans arriba a vencer en r partides guanya el joc i l’aposta que feren. Si el joc es interromput abans de finalitzar, com hauria de repartir-se l’aposta?

Page 18: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 18

El problema dels punts (3)

Vejam la solució i una taula de com repartir-se l’aposta en funció de p i r i els punts que li falten a cada jugador en interrompre’s el joc.

A B A Bp 5 5 3 6

0,1 0,0009 0,9991 0,0381 0,96190,2 0,0196 0,9804 0,2031 0,79690,3 0,0988 0,9012 0,4482 0,55180,4 0,2666 0,7334 0,6846 0,31540,5 0,5000 0,5000 0,8555 0,1445

Page 19: Jocs d'atzar

El joc del Tretze

Page 20: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 20

El joc del Trezte (1)

Page 21: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 21

El joc del Trezte (2)

En essència el joc consisteix en que el jugador que per sorteig té la mà alça 13 cartes a l’atzar d’un baralla, una rere l’altra. Si en cap ocasió carta i ordre coincideixen paga a la resta de jugadors el que cadascun haja apostat i passa la mà al de la seua dreta. En cas contrari, guanya les apostes dels altres i comença de nou el compte d’1 a 13.

Page 22: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 22

El joc del Trezte (3)

Al seu assaig sobre el jocs d’atzar, Montmort estudia el joc del Trezte i planteja i resol diferents problemes, que no són més que variants del jocs.

Aquest joc ha donat lloc al que en la literatura actual anomemen problema de les coincidències i que té múltiples versions.

Page 23: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 23

El joc del Trezte (4)

Neutra.- Probabilitat de que al permutar aleatòriament els n primers números cap d’ells coincideisca amb el seu ordre natural.

Laboral.- Una secretaria introdueix a l’atzar n cartes adreçades a n clients en n sobres que tenen escrites les adreçes, probabilitat de que cap d’elles arribe al seu destinatari.

Lúdica.- En eixir d’una festa n convidats agafen els seus n barrets a l’atzar, probabilitat de que cap d’ells haja agafat el seu barret.

Page 24: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 24

El problema de les coincidències (1)

Vegem les solucions i algunes curiositats relacionades amb el problema:

•la que va proposar el propi Montmort

•a partir del principi d’inclusió-exclusió

•emprant probabilitats condicionades

Page 25: Jocs d'atzar

La Primitiva

Page 26: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 26

La Primitiva (1)

En què consisteix el joc?

En endevinar total o parcialment els número de la combinació guanyadora, consistent en 6 números trets a l’atzar sense reemplaçament d’entre el 49 primers enters.

Hi ha una també extracció d’un número complementari d’entre els 43 que no formen part de la combinació guanyadora.

Page 27: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 27

La Primitiva (2)

Els premis:

Categoria Números encertats1ª 62ª 5 + C3ª 54ª 43ª 3

Page 28: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 28

La Primitiva (3)

Com de difícil és encertar alguns dels premis? Prou més del que ens agradaria com veure’m tot seguit.

Vegem-ho.

Page 29: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 29

La Primitiva (4)

No cal dir que per a la resta de jocs de la família, Bonoloto i Gordo de La Primitiva, les probabilitats són les mateixes.

Tots tres jocs són un pou sense fons a l’hora de proveir material d’estudi i exemples.

Page 30: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 30

La Primitiva (5)

La gent juga perquè els premis son sucosos i perquè confia en el que el LAE diu:

“el sorteig és a l’atzar”

Pot ser el primer que caldria fer es comprovar-ho. Hi moltes maneres de fer-ho. Vegem-ne algunes.

Page 31: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 31

La Primitiva (6)

La primera i més obvia és veure si els números apareixen com cal. Es a dir, si les extraccions són de debò aleatòries.

Quantes vegades han apareguts el 49 números en la combinació guanyadora al llarg del temps? Comprovem si les freqüències són les que caldria esperar.

Page 32: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 32

La Primitiva (7)

Si parlem de “... les freqüències que caldria esperar” és perquè sabem la probabilitat de que qualsevol del 49 números aparega en qualsevol de les 6 extraccions de cada sorteig.

Tenim clar que aquesta probabilitat es 1/49?

A partir d’aquí caldrà fer una mica d’Estadística amb les dades que segueixen.

Page 33: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 33

número

50454035302520151050

freq

üènc

ia

700

680

660

640

620

600

580

560

47

45

40

39

35

28

27

24

21

20

16

Freqüències dels 49 números en els 5088 sorteigs de La Primitiva, Bonoloto i Gordo

(des de 17/10/1985 fins a 08/6/2003)

Page 34: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 34

numero total esper. numero total esper.

1 634 623.02 26 639 623.022 605 623.02 27 655 623.023 623 623.02 28 592 623.024 616 623.02 29 604 623.025 598 623.02 30 647 623.026 641 623.02 31 646 623.027 627 623.02 32 641 623.028 599 623.02 33 645 623.029 601 623.02 34 632 623.0210 620 623.02 35 649 623.0211 615 623.02 36 628 623.0212 601 623.02 37 605 623.0213 604 623.02 38 631 623.0214 620 623.02 39 686 623.0215 604 623.02 40 588 623.0216 593 623.02 41 630 623.0217 631 623.02 42 629 623.0218 612 623.02 43 615 623.0219 617 623.02 44 633 623.0220 577 623.02 45 665 623.0221 650 623.02 46 611 623.0222 643 623.02 47 648 623.0223 640 623.02 48 627 623.0224 586 623.02 49 611 623.02

25 614 623.02

dist 38.0934dist. max 65.1708

Sorteigs de La Primitiva, Bonoloto i Gordo (des de 17/10/1985 fins a 08/6/2003)

5088 sorteigs

Page 35: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 35

La Primitiva (10)

Una segona podiem dir-li “La comprovació del desconfiat”És la d’aquell que juga sempre el mateixos 6 números i un bon dia se’n adona que fa un bon grapat de setmanes que algun d’ells no ha eixit. D’aquí a la desconfiança del “... ja savia jo que això de que tots el números eixen per igual ...” no hi ha res.Vegem fins a quin punt en té motius.

Page 36: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 36

La Primitiva (11) Sumas

Podríem també emprar la suma del números de la combinació guanyadora per a comprovar que el joc és “correcte”.

Page 37: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 37

La Primitiva (12) Sumas

Page 38: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 38

La Primitiva (13) Sumas

Page 39: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 39

La Primitiva (14) Sumas

Page 40: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 40

La Primitiva (15)

Però el joc dona també per a moltes curiositats, particularment aquells relacionades amb com juga la gent.

Trien els jugadors les seues apostes a l’atzar o ho fan deixant-se dur per Deu sap què?

Page 41: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 41

5088 5088 5088 5088 5088

,78 5 200 10711 194809

0 1 64 4488 89503

0 0 5 644 16864

114 866 5392 108490 1444991

SORTEOS

Media

Moda

Mínimo

Máximo

ACERT6 ACERT5_C ACERT5 ACERT4 ACERT3

PERCENTILES

0 0 51 3163 60526

0 1 65 3962 76527

0 1 80 4679 89055

0 2 95 5374 99889

0 3 113 6209 113350

1 4 140 7389 131900

1 5 203 11444 211323

1 7 305 17823 341045

2 11 440 23867 430723

10

20

30

40

50

60

70

80

90

ACERT6 ACERT5_C ACERT5 ACERT4 ACERT3

Una estadística sobre els encertants de totes les categories en els 5088 sorteigs

La Primitiva (16)

Page 42: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 42

ACERTANTES DE 6

3042 59,7877

1222 24,0173

459 9,0212

185 3,6360

78 1,5330

37 ,7272

20 ,3931

9 ,1769

10 ,1965

5 ,0983

5 ,0983

1 ,0197

4 ,0786

1 ,0197

2 ,0393

1 ,0197

1 ,0197

1 ,0197

1 ,0197

1 ,0197

1 ,0197

1 ,0197

1 ,0197

5088 100

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

14

15

17

18

19

20

23

24

56

114

Total

Frecuencia Porcentaje

7,2%

9,0%

24,0%59,8%

3 o más

2

10

… i dels encerts dels 6 números

La Primitiva (17)

Page 43: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 43

10 20 30 40

1 11 21 31 41

2 12 22 32 42

3 13 23 33 43

4 14 24 34 44

5 15 25 35 45

6 16 26 36 46

7 17 27 37 47

8 18 28 38 48

9 19 29 39 49

114 acertantes

10 20 30 40

1 11 21 31 41

2 12 22 32 42

3 13 23 33 43

4 14 24 34 44

5 15 25 35 45

6 16 26 36 46

7 17 27 37 47

8 18 28 38 48

9 19 29 39 49

20 acertantes

10 20 30 40

1 11 21 31 41

2 12 22 32 42

3 13 23 33 43

4 14 24 34 44

5 15 25 35 45

6 16 26 36 46

7 17 27 37 47

8 18 28 38 48

9 19 29 39 49

17 acertantes

I si la gent és capritxosa i una mica maniàtica a l’hora de jugar?

Com són les combinacions amb molts encertants? Heus aquí algunes d’elles.

La Primitiva (18)

Page 44: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 44

número

50484644424038363432302826242220181614121086420

freq

üènc

ia

800

700

600

500

400

300

3626

25

15

75

Freqüència dels 49 números en les combinacions encertades

La Primitiva (19)

Page 45: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 45

número

50484644424038363432302826242220181614121086420

freq

üènc

ia

440

420

400

380

360

340

320

45

44

39

383230

… i en les que no hi ha cap encertant

La Primitiva (20)

Page 46: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 46

25

11

20 30

21 31 41

12 22

13 23 43

4 14 24 34

5 15 35 45

16 26 36 46

7 27 37

40

44

28 48

3

6

17 47

8

9 19 39

10

1

2 32 42

33

18 38

29 49

25

11

20 30

21 31 41

12 22

13 23 43

4 14 24 34

5 15 35 45

16 26 36 46

7 27 37

40

44

28 48

3

6

17 47

8

9 19 39

10

1

2 32 42

33

18 38

29 49

25

11

20 30

21 31 41

12 22

13 23 43

4 14 24 34

5 15 35 45

16 26 36 46

7 27 37

40

44

28 48

3

6

17 47

8

9 19 39

10

1

2 32 42

33

18 38

29 49

25

11

20 30

21 31 41

12 22

13 23 43

4 14 24 34

5 15 35 45

16 26 36 46

7 27 37

40

44

28 48

3

6

17 47

8

9 19 39

10

1

2 32 42

33

18 38

29 49

25

20 30

21 31 41

12 22

13 23 43

4 14 24 34

15 35 45

16 36

11

5

26 46

7 27 37

40

44

28 48

3

6

17 47

8

9 19 39

10

1

2 32 42

33

18 38

29 49

25

20 30

21 31 41

12 22

13 23 43

4 14 24 34

15 35 45

16 36

11

5

26 46

7

11

5

26 46

7 27 37

40

44

28 48

3

6

17 47

8

9 19 39

10

1

2 32 42

33

18 38

29 49

25

20 30

21 31

22

43

14 24 34

15 45

16 36

11

5

26 46

7

41

12

13 23

4

35

27 37

40

44

28 48

3

6

17 47

8

9 19 39

10

1

2 32 42

33

18 38

29 49

25

20 30

21 31

22

43

14 24 34

15 45

16 36

11

5

26 46

7

11

5

26 46

7

41

12

13 23

4

35

27 37

41

12

13 23

4

35

27 37

40

44

28 48

3

6

17 47

8

9 19 39

10

1

2 32 42

33

18 38

29 49

2515

36

11

5

26 46

7

41

12

13 23

4

35

27 37

40

44

28

20 30

21 31

22

43

14 24 34

45

16

48

3

6

17 47

8

9 19 39

10

1

2 32 42

33

18 38

29 49

2515

36

11

5

26 46

7

11

5

26 46

7

41

12

13 23

4

35

27 37

41

12

13 23

4

35

27 37

40

44

28

20 30

21 31

22

43

14 24 34

45

16

48

3

6

17 47

8

9 19 39

20 30

21 31

22

43

14 24 34

45

16

48

3

6

17 47

8

9 19 39

10

1

2 32 42

33

18 38

29 49

2515

36

11

5

26 46

7

41

12

13 23

4

35

27 37

40

44

28

20 30

21 31

22

43

14 24 34

45

16

48

3

6

17 47

8

9 19 39

10

1

2 32 42

33

18 38

29 49

2515

36

11

5

26 46

7

11

5

26 46

7

41

12

13 23

4

35

27 37

41

12

13 23

4

35

27 37

40

44

28

20 30

21 31

22

43

14 24 34

45

16

48

3

6

17 47

8

9 19 39

20 30

21 31

22

43

14 24 34

45

16

48

3

6

17 47

8

9 19 39

10

1

2 32 42

33

18 38

29 49

10

1

2 32 42

33

18 38

29 49

2515

36

11

5

26 46

7

41

12

13 23

4

35

27 37

40

44

28

20 30

21 31

22

43

14 24 34

45

16

48

3

6

17 47

8

9 19 39

10

1

2 32 42

33

18 38

29 49

2515

36

11

5

26 46

7

11

5

26 46

7

41

12

13 23

4

35

27 37

41

12

13 23

4

35

27 37

40

44

28

40

44

28

20 30

21 31

22

43

14 24 34

45

16

48

3

6

17 47

8

9 19 39

20 30

21 31

22

43

14 24 34

45

16

48

3

6

17 47

8

9 19 39

10

1

2 32 42

33

18 38

29 49

10

1

2 32 42

33

18 38

29 49

10 20 30 40

1 11 21 31 41

2 12 22 32 42

3 13 23 33 43

4 14 24 34 44

5 15 25 35 45

6 16 26 36 46

7 17 27 37 47

8 18 28 38 48

9 19 29 39 49

10 20 30 40

1 11 21 31 41

2 12 22 32 42

3 13 23 33 43

4 14 24 34 44

5 15 25 35 45

6 16 26 36 46

7 17 27 37 47

8 18 28 38 48

9 19 29 39 49

10 20 30 40

1 11 21 31 41

2 12 22 32 42

3 13 23 33 43

4 14 24 34 44

5 15 25 35

6 16 26 36 46

7 17 27 37 47

8 18 28 38 48

9 19 29

45

39 49

10 20 30 40

1 11 21 31 41

2 12 22 32 42

3 13 23 33 43

4 14 24 34 44

5 15 25 35

6 16 26 36 46

7 17 27 37 47

8 18 28 38 48

9 19 29

45

39

45

39 49

10 20 30 40

1 11 21 31

2 12 22 42

3 13 23 33 43

4 14 24 34 44

5 15 25 35

6 16 36 46

7 17 27 37

8 18 28

41

32

26

47

38 48

9 19 29

45

39 49

10 20 30 40

1 11 21 31

2 12 22 42

3 13 23 33 43

4 14 24 34 44

5 15 25 35

6 16 36 46

7 17 27 37

8 18 28

41

32

26

47

38

41

32

26

47

38 48

9 19 29

45

39

45

39 49

10 20 30 40

11

2 12

3 13 23

14 24 34 44

5 15 25 35

6 16

7 17 37

8 28

41

32

26

47

38

9 19 29

45

39

1 21 31

22 42

33 43

4

36 46

27

18 48

49

10 20 30 40

11

2 12

3 13 23

14 24 34 44

5 15 25 35

6 16

7 17 37

8 28

41

32

26

47

38

41

32

26

47

38

9 19 29

45

39

45

39

1 21 31

22 42

33 43

4

36 46

27

18 48

49

1 21 31

22 42

33 43

4

36 46

27

18 48

49

20 30

11

12

3 13 23

14 24 44

5 15 25

6

7

41

32

26

47

38

9

10 40

2

34

35

16

17 37

8 28

19 29

45

39

1 21 31

22 42

33 43

4

36 46

27

18 48

49

20 30

11

12

3 13 23

14 24 44

5 15 25

6

7

41

32

26

47

38

41

32

26

47

38

9

10 40

2

34

35

16

17 37

8 28

19 29

10 40

2

34

35

16

17 37

8 28

19 29

45

39

45

39

1 21 31

22 42

33 43

4

36 46

27

18 48

49

1 21 31

22 42

33 43

4

36 46

27

18 48

49

30

11

24 44

5 15 25

7

41

32

26

47

38

20

12

3 13 23

14

6

9

10 40

2

34

35

16

17 37

8 28

19 29

45

39

1 21 31

22 42

33 43

4

36 46

27

18 48

49

30

11

24 44

5 15 25

7

41

32

26

47

38

41

32

26

47

38

20

12

3 13 23

14

6

9

20

12

3 13 23

14

6

9

10 40

2

34

35

16

17 37

8 28

19 29

10 40

2

34

35

16

17 37

8 28

19 29

45

39

45

39

1 21 31

22 42

33 43

4

36 46

27

18 48

49

1 21 31

22 42

33 43

4

36 46

27

18 48

49

30

44

5

11

24

15 25

7

41

32

26

47

38

20

12

3 13 23

14

6

9

10 40

2

34

35

16

17 37

8 28

19 29

45

39

1 21 31

22 42

33 43

4

36 46

27

18 48

49

30

44

5

11

24

15 25

11

24

15 25

7

41

32

26

47

38

41

32

26

47

38

20

12

3 13 23

14

6

9

20

12

3 13 23

14

6

9

10 40

2

34

35

16

17 37

8 28

19 29

10 40

2

34

35

16

17 37

8 28

19 29

45

39

45

39

1 21 31

22 42

33 43

4

36 46

27

18 48

49

1 21 31

22 42

33 43

4

36 46

27

18 48

49

30

44

11

24

15 255

7

41

32

26

47

38

20

12

3 13 23

14

6

9

10 40

2

34

35

16

17 37

8 28

19 29

45

39

1 21 31

22 42

33 43

4

36 46

27

18 48

49

30

44

11

24

15 25

11

24

15 255

7

5

7

41

32

26

47

38

41

32

26

47

38

20

12

3 13 23

14

6

9

20

12

3 13 23

14

6

9

10 40

2

34

35

16

17 37

8 28

19 29

10 40

2

34

35

16

17 37

8 28

19 29

45

39

45

39

1 21 31

22 42

33 43

4

36 46

27

18 48

49

1 21 31

22 42

33 43

4

36 46

27

18 48

49

Els més jugats Els menys jugats

La Primitiva (21)

Page 47: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 47

números

50454035302520151050

freq

üènc

ia d

el g

rup

510

500

490

480

470

460

450

I les dates de naixement?

La Primitiva (22)

Page 48: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 48

Quant deuria costar una aposta de La Primitiva?

El que s’asigna per a premis és aproximadament el 61% de la recaudació

Categoria Premio medio en € Probabilidad V*P 6 aciertos 2.995.829,56 1 entre 13.983.816 0,21425 + comp 73.863,33 6 entre 13.983.817 0,03175 aciertos 2.788,01 252 entre 13.983.818 0,05024 aciertos 76,26 113.545 entre 13.983.819 0,07393 aciertos 8,00 246.820 entre 13.983.820 0,1412reintegro 1,00 1 entre 10 0,1000

Esperanza 0,6112

La Primitiva (23)

Page 49: Jocs d'atzar

Jocs de guerra

No cal exgerar, digam-li

Sorteigs per a la guerra

Page 50: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 50

Excedentes de cupo del 98 en España (1)

A finales de 1997 se celebró un sorteo para elegir a los llamados excedentes de cupo del reemplazo del 98.

El sorteo no fue equiprobable y los mozos no gozaron de la garantía de igualdad de oportunidades exigible.

Page 51: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 51

Excedentes de cupo del 98 en España (2)El sorteo

• Los mozos implicados eran 165.342 y 16.442 habían de ser declarados excedentes de cupo.

• Se trataba de extraer un número entre el 1 (0) y el 165.342 (165.341) y designar excedentes a su poseedor y a los 16.441 siguientes (lista circular).

• El sorteo se efectuó con 6 bombos que contenían bolas numeradas tal como se indica:

B1={0,1}, Bk={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, k=2,…,6

Page 52: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 52

Excedentes de cupo del 98 en España (3)Mecánica del sorteo

Page 53: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 53

Excedentes de cupo del 98 en España (4)Probabilidades de extracción

La tabla anterior sugiere establecer la partición siguiente, constituida por subconjuntos en los que sí hay equiprobabilidad

Page 54: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 54

Excedentes de cupo del 98 en España (5)Probabilidades de extracción

Page 55: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 55

Excedentes de cupo del 98 en España (6)Probabilidades de extracción

Page 56: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 56

Excedentes de cupo del 98 en España (7)Probabilidad de formar parte del excedente de cupo

Un mozo cualquiera n será declarado excedente de cupo si y solo si el número extraído pertenece al conjunto

Jn={n-16.441, n},

con el extremo inferior igual a 165.341-|n-16.441| si n-16.441<0, dado el carácter circular de la lista. Si mediante Jn designamos también el suceso, el número extraído pertenece al conjunto Jn, entonces

P(n excedente)=P(Jn)

Page 57: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 57

Excedentes de cupo del 98 en España (8)Probabilidad de formar parte del excedente de cupo

Page 58: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 58

Excedentes de cupo del 98 en España (9)Probabilidad de formar parte del excedente de cupo

número

180.000150.000120.00090.00060.00030.0000

pro

bab

ilid

ad

0,16

0,15

0,14

0,13

0,12

0,11

0,10

0,09

0,08

0,07

0,06

Page 59: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 59

Excedentes de cupo del 98 en España (10)Conclusiones

• Las probabilidades obtenidas confirman lo que decíamos al principio y el diseño del sorteo hacía sospechar.

• Posibles alternativas hubieran podido ser:- Declarar excedentes a los 16.442 primeros, puesto

que la asignación de números había sido aleatoria- Efectuar extracciones de los bombos sin restricción

alguna hasta conseguir un número inferior al 165.342 (la probabilidad de repetir la extracción es 0.17)

Page 60: Jocs d'atzar

I per acabar ...

La versió moderna del jugador professional

Page 61: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 61

Page 62: Jocs d'atzar

Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 62