ABACOM Boletín Matemático

Actualmente, casi en todas las actividades que desarrolla el ser humano, se da el fenómeno de la competitividad. Por ejemplo en una empresa se premia y destaca periódicamente al funcionario más eficiente, en los colegios se entregan reconocimientos a fines de año a los alumnos de acuerdo a logros obtenidos. La matemática no es ajena a es-to. En la edición Nº 20 se hacía referencia a la Medalla Fields, que equivale al Premio Nobel de Matemáticas. Este reconoci-miento se entrega cada cuatro años y destaca el trabajo de los mejores matemáticos menores de cuarenta años. Este reconoci-miento es para profesionales de esta ciencia. Para estudiantes se realizan

anualmente diversas competen-cias a todo nivel. En colegios, a nivel nacional e internacional. Así tenemos los Juegos Matemá-ticos que organiza el Colegio San Mateo de Osorno , la Olim-píada Nacional de Matemática (ver NOTICIAS), la Olimpíada Iberoamericana de Matemática y la Olimpíada Mundial de Mate-mática. Nuestro país ha obtenido varios logros a nivel internacional y en particular nuestra región se ha destacado en este aspecto. El año pasado el alumno Héctor Pasten del Colegio Alemán de La Unión obtuvo medalla de bronce en la XXI Olimpíada Iberoame-ricana de Matemáticas realizada en Ecuador. Nuestro boletín también promue-ve la competencia con nuestro concurso Desafío a tu Ingenio, donde, en cada edición, se plan-tean dos problemas que son de ingenio, pero requieren del uso de la matemática para su resolu-ción. Para los problemas plan-teados en la edición anterior lle-gó una buena cantidad de solu-ciones (en la sección del Concur-so se destaca a los participantes). Esperamos contribuir así a la di-fusión y al gusto por la matemá-tica en los jóvenes.

JULIO 2007

AÑO 6 N°23 Editorial

COMPETENCIAS MATEMÁTICAS

En esta edición

Visítanos en: www.uach.cl/abacom Contáctanos en: abacom@uach.cl

pág

Modelamiento Matemático…………...2 Probabilidad y Estadística ................... 2 Reflexiones ......................................... 3 Construcciones con Regla y Compás…..4 Concurso

• Desafío a tu Ingenio ..................... .5 • Sopa Matemática.......................... .5 • Sólo una Pesada………………......5 • Un pequeño Truco……………......5

Geometría

• De la medición de tierras a la Geometría…………………....…6 • Herón de Alejandría........................ .6 • El Teorema de Pick………………7 • Rodeando la Tierra……………. ...7 • Geometría: una Introducción……..7 • Torpedo de Geometría………..…..8

Matemátic@s……………………...….10 . Epitafios………………………….…...10 Frases Célebres…………………….....10

Matemática Entrete

• Tipos de Números........................ 11 • Una aplicación de las proporciones................................. 11 • La Matemática...con risa entra…..11 • Humor ......................................... 11

Noticias • XIX Olimpíada Nacional de Matemática………..……………..12 • Juegos Matemáticos Colegio San Mateo de Osorno………........….12

J U L I O 2 0 0 7

Luis Véliz Matus

2

La trayectoria de un cohe-te, o de un proyectil balísti-co, se puede determinar prácticamente con toda la precisión que se necesite. Del mismo modo se podría determinar cual es el nú-mero que “saldrá” cuando se lanza un dado o se tira una moneda al aire, sería

cuestión de hacer todos los estudios e invertir el tiempo y los recursos necesarios. La diferencia entre hacerlo y no hacerlo crea un espacio de incertidumbre, algo desconoci-do pero presente: el azar. Cuando lanzamos una moneda y nos preocupamos sola-mente de la imagen que mostrará al caer al suelo, sabe-mos que los “resultados” posibles son cara o sello, y sólo uno de ellos, pero no sabemos cual. La diferencia entre la información que tenemos antes de lanzar la moneda y

aquélla que tenemos después que cayó la moneda se lla-ma entropía (es una diferencia de información). Sin em-bargo el hecho que salga cara o sello está determinado por lo que llamamos azar. Aquellas situaciones o experimentos de los cuales sabe-mos todos los resultados posibles, pero desconocemos cuál de tales resultados de realizará efectivamente, se llaman fenómenos aleatorios o experiencias aleatorias. Así las cosas, da la impresión que el azar, o lo aleatorio, es una cuestión de desconocimiento. Es cierto, pero no es toda la verdad. Hay más. La ciencia es el conocimiento acumulado por la especie humana a lo largo de su existencia y la población actual es depositaria de dicho conocimiento. Ahora bien, la pobla-ción actual analiza y acrecienta la ciencia acumulada. Así, es clave que hay una diferencia de información entre lo que la humanidad sabe hasta hoy del mundo que nos rodea y lo que sabrá mañana. Así la incertidumbre está presente en la vida de la especie humana

El azar Luis Vergara Bascuñán

En la edición anterior de ABACOM se dio una descripción general acerca del modelamiento y, en particular, el modela-miento en ingeniería. En esta ocasión se ha escogido un trabajo desarrollado en el curso de Modelamiento en Ingeniería por alumnos de la carrera de Ingeniería Civil en Informática de la U.A.Ch.

Congelamiento de Frambuesas El trabajo consiste en modelar el congelamiento de una frambuesa mediante el uso de aire frío, es decir, predecir los valores de la tempera-tura de la frambuesa en cualquier punto de ella y en cualquier tiempo desde que se pone a congelar. Conocimientos previos y supuestos. Como primera etapa se debe estudiar los conceptos básicos de la trans-ferencia de calor en un cuerpo, conducción, convección y radiación. Luego se deben considerar algunos supuestos para facilitar el proble-ma: cuerpo esférico, volumen pequeño, masa pequeña, radio promedio r, densidad homogénea, formada prácticamente por agua (86%). Planteamiento Matemático. No es el objetivo de este artículo desarrollar y explicar con claridad las ecuaciones utilizadas, además necesitaríamos por lo menos una edición completa de ABACOM. Lo importante en este sentido es que, en teoría, las ecuaciones usadas para modelar son de tipo continuas, pero las usadas posteriormente para el cálculo de las soluciones mediante el computador son discretas, y en el caso de las formas esféricas el número de ecuaciones depende del número de capas a estudiar.

Por ejemplo: Ecuación de Conducción del Calor:

(donde: T = temperatura, t = tiempo, r = radio, a = constante)

Mediante el método de Diferencias Finitas: Para cada capa de la frambuesa a estudiar se debe considerar una ecua-ción como la anterior. Para este trabajo en particular se pudo calcular entre 100 y 600 capas, esto quiere decir que el computador debió resol-ver un sistema de entre 100 y 600 ecuaciones. Finalmente se pudo sa-ber el tiempo que demoró en congelarse la frambuesa capa por capa. Este tipo de estudios se realiza bastante y con métodos más complejos, en la industria de los alimentos. Esto, con el fin de determinar que tan rápido o a qué temperatura congelar o calentar los alimentos de manera de mantener el sabor, la consistencia y los nutrientes, además de poder controlar aspectos bacteriológicos.

22

1T Trt r r r

α⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por el Instituto de

Matemáticas de la Universidad Austral de Chile.

Director: Juan Leiva V. Director Alterno: Victor Alvarado A. Redacción Periodística : Carolina Leiva C. Diagramación: Katherine Inalef P.

Instituto de Matemáticas. Facultad de Ciencias. UACh.

Casilla 567 Valdivia. E.mail: abacom@uach.cl

Fono (63)221828 Fax (63)293730

www.uach.cl/abacom

ABACOM Boletín Matemático

REFLEXIONES

Permítanme relatarles un antiguo cuento hindú, de autor anónimo, adaptado a nuestros días. Érase una vez un joven estudiante, ya cansado de estudiar y estudiar para sus pruebas porque para peor, casi siempre entendía muy poco y obtenía malas notas. Un día se encontraba intentando ob-tener las raíces de una ecuación de segundo grado y como no po-día aplicar la resolvente, para entretenerse conectó su compu-tador y para su sorpresa apareció un mensaje en la pantalla que decía: “Soy un computador mági-co, pídeme lo que quieras”. Al instante nuestro amigo le siguió la corriente y deseó una mente clara y transparente que pudiera calcular potencias, raíces, hacer factorizaciones, graficar curvas y todas esas cosas. Su deseo fue cumplido y sintió como su univer-so mental se expandía y los más sorprendentes y maravillosos se-cretos de la matemática quedaron a su disposición. Luego quiso conversar con Pitágoras para con-sultarle sobre la magia de los nú-meros; al instante apareció Pitá-goras y entablaron una lúcida dis-cusión. Relajado, nuestro amigo entró en un plácido sueño, pero antes de dormir pensó “y que tal si después de todo esto igual me fuera mal en mi Prueba de Alge-bra de mañana”. Bueno, ¿qué creen ustedes que sucedió al otro día? , pues sí, en efecto, le fue muy mal. Moralejas de la historia: 1. Como nuestro estudian-te no había adquirido esas habili-

dades matemáticas a través de su esfuerzo y de su trabajo, ter-minó por dudar de ellas frente a una prueba. 2. La matemática contribuye a desarrollar la voluntad y a disci-plinar la mente del estudiante, con el objeto que se pueda con-centrar en un proyecto hasta ter-minarlo. Una mente no concen-trada en un objetivo es como un barco sin timón en el océano, ter-minará por naufragar. La mente puede ser disciplinada a través de un trabajo constante y con la aplicación de la fuerza de volun-tad para el logro de una meta de-seable. Si no hay metas deseables en la mente: no hay motivación, no hay trabajo, no hay voluntad y tampoco hay ningún aprendizaje significativo. Entonces, parece ser que el funcionamiento de la men-te depende de nosotros, la men-te es un instrumento de aprendi-zaje sobre nosotros mismos y el mundo que nos rodea, a través del conocimiento de la ciencia, y en particular, de la matemática. La mente es como ese poderoso computador, puede hacer mila-gros. Pero para eso tiene que funcionar y por ello primero hay que encenderla, así como encen-demos el computador. Lo que “enciende” nuestra mente es nuestra voluntad y nuestro interés por aprender y conocer. Lo que hace partir la mente es nuestro interés y deseo de resol-ver las situaciones problemáticas que el hecho de vivir nos plantea. Lo que nos hace buenos estudian-tes y entonces buenos profesio-nales, es nuestro deseo inicial de aprender nuestra matemática, nuestra física, nuestra química y todas nuestras asignaturas. Un estudiante sin interés ni deseo de conocer, tendrá una mente permanentemente apagada y es-tará constantemente pensando “que tal si mañana me va mal en la prueba”. La mente es como el motor de un vehículo, no se enciende sola, la

enciende el interés del estudiante. Sabemos que, a diferencia del cuento hindú, no hay actos mági-cos que puedan reemplazar el trabajo continuo, constante y per-manente del estudiante y produz-can esa iluminación mental sin esfuerzo. La verdadera magia es justamente que nosotros tome-mos esa decisión de hacer un tra-bajo sistemático, esforzado y res-ponsable y lo hagamos, esa capa-cidad del ser humano de ejercer su voluntad para superar sus pro-blemas, y estudiar para aprender, y no solamente para “hacer prue-bas”, eso es verdaderamente lo mágico. Pero es una magia a nuestro alcance, es la magia que ha logrado crear profesionales exitosos, seres responsables y útiles a la sociedad. Apodérate de la magia , transfór-mate en un estudiante mágico, uno que se interesa por aprender, uno que cumple con sus deberes, uno que está constante y perma-nentemente alegre por esta opor-tunidad que no todos tienen, la oportunidad de ser un verdadero estudiante.

Luis Castro Haase

3

ABACOM Boletín Matemático

EL MAGICO PODER DE LA MENTE MATEMATICA

J U L I O 2 0 0 7

♦ Construcción de segmentos a + b, a – b, a · b, y a / b, a partir de segmentos de longitudes dadas a y b

(Por efectos prácticos, identificamos los segmentos con sus longitudes). Para construir a + b, transportamos a una recta el segmen-to a desde un punto O hasta un punto A, y a continuación el segmento b, a partir de A hasta un punto B, obtenién-dose el segmento a + b. Para construir a – b, con a > b, transportamos a una recta el segmento a desde un punto O hasta un punto A, y a continuación devolviéndose, el segmento b, a partir de A hasta un punto B obteniéndose, con O y B, el segmento a – b. Para construir a · b trazamos en dos semirrectas de ori-gen O, OA = a, OB = b, buscamos sobre OB un punto D tal que OD = 1. La recta paralela a AD por B corta a OA en C, con OC = a · b. (Por Teorema de Thales, ver Torpe-do) (Fig. 1) Para construir a / b trazamos en dos semirrectas de ori-gen O, OA = a, OB = b, buscamos sobre OB un punto D tal que OD = 1. La recta paralela a AB por D corta a OA en C, con OC = a / b. (Por Teorema de Thales) (Fig. 2) Como aplicación de lo anterior veamos como hallar dos seg-mentos a y b, dados la suma a + b y la diferencia a – b de los dos segmentos. Algebraicamente, tenemos que (a + b) + (a – b) = 2a, de manera que si sumamos los segmentos dados, la mitad del segmento obtenido dará el segmento a. Si restamos los segmentos a + b y a tendremos el segmento b. ♦ Construcción de segmento ra , con . Para construir na , con , sumamos el segmento a, n veces. Para construir a / n , con , desde un extremo del segmento a trazamos n veces un segmento fijo sobre una semirrecta de origen ese extremo de a, trazamos una re-cta por el último punto y por el otro extremo de a, y la re-cta paralela a la última recta por el primer punto corta a a en a / n. (Por teorema de Thales). ♦ Construcción de algunas rectas importantes La recta perpendicular a una recta por un punto de ella se obtiene trazando arcos de una circunferencia de centro el punto dado que intersectan a la recta en dos puntos desde los cuales se trazan arcos de una circunferencia que se intersectan en dos puntos por los cuales pasa la recta pe-dida.

La recta perpendicular a una recta por un punto fuera de ella se obtiene trazando una circunferencia de centro el punto dado y que intersecta a la recta en dos puntos desde los cuales se trazan dos arcos de una circunferencia que se intersectan en otro punto que al unirlo con el punto dado entrega la recta pedida. La simetral de un segmento (recta perpendicular al seg-mento en su punto medio), se obtiene trazando una recta por los dos puntos de intersección de dos circunferencias de centros los extremos del segmento y de radio mayor que la mitad de la longitud del segmento (También sirve para obtener el punto medio del segmento). La bisectriz de un ángulo (recta que divide a un ángulo en otros dos de igual medida), se obtiene trazando un arco de circunferencia de centro el vértice del ángulo que inter-secta a los lados del ángulo en dos puntos, trazando dos arcos de circunferencia del mismo radio con centros estos dos puntos y luego uniendo el punto de intersección de es-tos dos arcos con el vértice del ángulo. Con estas construcciones, podremos construir algunas rec-tas importantes en un triángulo, lo que haremos en el próximo número de ABACOM.

4

Víctor Alvarado Alvarado

, 0r r∈ >Qn∈N

n∈N

O a A C

b

D 1

B

OC = a b 1 OC = a·b

Fig. 1

⇒

Fig. 2

OC = 1 a b OC = a/b ⇒

A

1

a

D

C

B b

O

Algunas construcciones básicas

ConcursoConcursoConcursoConcursoConALUMNOS PARTICIPANTES Para los Problemas planteados en la edición anterior y para la Sopa Matemática han enviado soluciones los siguientes alumnos: Gabriela Carrasco 2º M. Windsor School, Valdivia, Diego Hernández 3º M. L. Rector Abdón Andrade C., La Unión, Víctor Ibáñez 3º M. L. San Felipe Benicio, Coyhaique, Juan Pablo López 2º M. L. San Felipe Benicio, Coyhaique , Hugo Martínez 4º M. L. Rector Abdón Andrade C., La Unión , Lucía Martínez 4º M. C. Santa Cruz, Río Bueno, Felipe Mendoza 3º M. L. Rector Abdón Andrade C., La Unión, Marcelo Ojeda 1º M. C. Santa Cruz, Río Bueno, Grecia Rodríguez 1º M. L. San Felipe Benicio, Coyhaique, Carla Vidal 2º M. Windsor School, Valdivia.

5

ABACOM Boletín Matemático

Problema 1: La isla de la mentira Un turista llega a una isla en que todos los habitantes mienten los días martes, jueves y sábados, mientras que dicen la verdad los demás días de la semana. El turista se acerca a un nativo y enta-bla el diálogo siguiente: Turista: ¿Qué día es hoy? Nativo: Sábado. Turista: ¿Qué día será mañana?

Nativo: Miércoles. ¿Qué día de la semana es? Problema 2: Descomposición de 100 El número 100 se puede expresar con los dígitos del 1 al 9, en ese orden, intercalando alguno de los signos aritméti-cos: +, – , · , ÷ . ¿Puedes hacerlo? ¿De cuántas formas?

PROBLEMAS EDICIÓN Nº 23

ursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConc

Viola García Paredes

Sólo una pesada (Colaboración del profesor Ara Pinilla Palma) En la pasada edición se propuso resolver un problema efectuando dos pesadas, con una balanza. Aquí presentamos un proble-ma que se resuelve con sólo una pesada. Juan, el dueño de una fábrica de pastillas, llama a José, encargado de la mantención de las máquinas, y le dice que una de ellas en vez de producir pastillas de 10 gramos, produce pastillas con un gramo menos. José llega a la fábrica y se encuentra con 8 má-quinas. Afirma que sa-cando diferentes cantida-des de cada máquina y usando una sola vez una pesa sabrá cual es la que esta fallando. ¿Cuántas pastillas es necesario extraer de las máquinas para saber qué máquina esta fallando? Solución: Basta sacar una pastilla de la má-quina 1, dos de la máquina 2, tres de la máqui-na 3,… y ocho de la máquina 8 y ya que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 3 6, todas ellas deberían pesar 3 6 0 gramos. Así, si falla la máquina 1 la suma será 3 6 0 - 1 = 3 5 9, si falla la máquina 2 la suma será 3 6 0 - 2 = 3 5 8,…, y si falla la máquina 8 la suma debe ser 3 6 0 - 8 = 3 5 2.

Problema 1: En la primera pesada se colocan 2 monedas en cada platillo. Si queda equilibrada, la moneda falsa es una de las dos que no se han pesado. Así en una segunda pesada, se sabrá cuál de éstas es la falsa. Si la balanza se inclina hacia un lado, entonces la moneda falsa está en el otro platillo. Una segunda pesada permite determinar cual de ellas es.

Problema 2: Como se debe cumplir la igualdad A · B = A + B, basta despejar B de esta igualdad, resultan-do B = A / (A – 1). Así se obtienen pares de números A y A / (A – 1), con A ≠ 1, que cum-plen la igualdad. Algunos ejemplos son: 3 y 3/2, 4 y 4/3; 5 y 5/4 , que se obtienen para valores de A iguales a 3, 4 y 5 respectivamente.

RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 22

Un pequeño truco

Pablo Briceño, uno de nuestros lectores nos en-vía este pequeño truco:

Yo puedo adivinar el número resultante tuyo... Primero piensa en un número de 3 cifras, pero teniendo cuidado que la primera cifra no se repita con la tercera. Ahora considera su “inverso”, es decir, la primera cifra se transforma en la última y ésta en la prime-ra. Resta el número menor del mayor. El resultado súmalo con su “inverso”. Tu resultado si no me equivoco es...1089!!! ¿Cierto? Un ejemplo para lo anterior: Si se piensa el número 321, se le resta 123, obte-niendo: 321 - 123=198. Ahora se le suma 891 y queda 198+891= 1089.

P I R A M I D E L O R S O M E O T P O R I U X R M I B R N D S A L O D L D U O E M U R I D E N V C A A S F E A D A L E C G H O R F E S T I E B O T E N S I L C D W E H E X A E D R O T O R D N I L I C D

SOPA MATEMÁTICA EDICIÓN Nº 23

SOLUCIÓN EDICIÓN Nº 22

Te proponemos que descubras diez (10) palabras relacionadas con Geometría. Pueden encontrarse en forma vertical, horizontal o en diagonal, de arriba hacia abajo (o viceversa), de izquierda a dere-cha (o viceversa).

Las palabras relacionadas con Álgebra son: Cero, ecuación, factor, fracción, incógnita, polinomio, potencia, problema, raíz y solu-ción.

P A T I N G O C N I S O L U C I O N O A P R L A M Z K N I M T O C I U L O B C E R U T E N I N S A L A O R E C O E Y U B S O T C N L M A C O P I A C R C H I E R L R E P A S I C O P F A M A Y F R A I Z

Envía tus soluciones (indicando Nombre, Colegio y Curso) a: A B A C O M Boletín Matemático Casilla 567 Valdivia · email: abacom@uach.cl · Fax (63) 293730 Recepción de soluciones hasta el 14 de Septiembre 2007 A fin de año se entregarán reconocimientos a los participantes.

J U L I O 2 0 0 7

Los orígenes de la Geometría son muy similares a los de la Aritméti-ca, ambas nacen de actividades de la vida diaria. El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios el descubrimiento o invención de la Geometría, ya que según él, las fre-cuentes inundaciones del río Nilo, que les modificaba sus fronteras, los obligaba a medir frecuentemente sus tierras. Hay que recordar, que la palabra Geometría significa, pre-cisamente, medición de tierras. Los desarrollos geométricos de los egipcios, se centraron principal-mente en el cálculo de áreas y volú-menes; sin embargo sus resultados carecían del sustento teórico de teo-remas y demostraciones formales. En sus logros se observan también, nociones incipientes de Trigonome-tría y semejanzas de triángulos. En la civilización mesopotámica, también se observan nociones geo-

métricas centradas en el cálculo de áreas y volúmenes de determinados cuerpos y en la semejanza de figu-ras. En la cultura helénica, sus mate-máticos continuaron prestando gran atención a los problemas matemáti-cos que derivaban de la vida cotidia-na; pero éstos poco a poco se fueron separando de la Matemática propia-mente tal, para constituir una disci-p l ina p rop ia denominada “Logística”. Al tiempo que esto su-cedía, la escuela Pitagórica inicia un proceso tanto de recopilación de hechos matemáticos abstractos co-mo la integración de ellos en siste-mas teóricos. En este período, se introdujeron y perfeccionaron los métodos de demostración geométri-ca. Se consideraron especialmente las siguientes cuestiones geométri-cas: el teorema de Pitágoras, los problemas sobre la cuadratura del

círculo, la trisección de un ángulo, y la duplicación del cubo. En esta tarea, emprendida por los griegos, constituye un hecho funda-mental la obra Los Elementos de Euclides, quien en trece libros reúne un conjunto de axiomas y teoremas que servirán de base para el poste-rior desarrollo de la Geometría. Con posterioridad al trabajo se-ñero de estos matemáticos, las Ma-temáticas sufrieron un fuerte cam-bio tanto en su forma como en su contenido, hasta llegar a un período de estancamiento temporal. En la época del dominio romano, destacan algunos formularios en forma de reglas que permitían el cálculo de áreas y volúmenes, desta-ca entre ellas la conocida fórmula de Herón, que permite calcular el área de un triángulo conocidas las longi-tudes de los lados.

Iván Medrano Tello

6

DE LA MEDICIÓN DE TIERRAS A LA GEOMETRÍA

Fue un brillante ingeniero y mate-mático griego cuyo talento floreció en Alejandría. No existen datos fidedignos sobre su fecha de naci-miento (¿126 a.C.? ) ni de su muer-te ( ¿50 a.C.? ) , tampoco hay certe-za que efectivamente nació en Ale-jandría. Sí se puede mencionar más fundadamente, su origen humilde y su oficio de zapatero en su juventud.

En su principal trabajo sobre Geometría: Métrica, expone diferentes maneras de hallar el área de triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares de tres a doce lados, círculos, elipses y también el área de superficies y volú-menes correspondientes a cilindros, conos y esferas. En este trabajo, presenta y demuestra su conocida fórmula

para calcular el área de un triángulo, conocida las longi-tudes de sus lados; además, como dato anecdótico, da a conocer un método para calcular en forma aproximada la raíz cuadrada de un número, que es usado hoy en día por los modernos computadores. Héron no sólo destacó en Matemáticas, sino fue tam-bién un ingenioso y notable inventor; entre sus creaciones destacan: el odómetro (sistema de engranajes combinados para contar las vueltas que da una rueda); la eolipila, un ingenio que utilizaba la energía del vapor de agua y se basaba en una aplicación intuitiva del principio de acción y reacción, formulado siglos más tarde por Newton; esta máquina se puede considerar precursora de la actual tur-bina de vapor. También son notables sus invenciones de máquinas autómatas, que podemos considerar anteceso-ras de los actuales robots.

Herón de Alejandría (s. I a.C.)

Existen fórmulas para calcular el área de diferentes figuras geométri-cas, tales como triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios, círculos, etc. (ver TORPEDO). Veremos a continuación una fórmula muy simple que permite calcu-lar el área de un polígono con sólo saber contar. Esta fórmula fue ideada por George Alexander Pick en 1899. Pick fue un matemático austriaco nacido en Viena (1859) y que murió en un campo de con-centración nazi durante la II Guerra Mundial (se cree que en 1943). Se debe considerar una red en el plano, esto es, un conjunto de pun-tos dispuestos sobre rectas horizontales y verticales de modo que la distancia de cada uno de ellos al más próximo en la horizontal o verti-cal sea igual a una unidad. El teorema de Pick afirma lo siguiente: “El área (A) de un polígono, cuyos vértices son puntos de una red en el plano, está dada por: A = F / 2 + I - 1 , donde F es el número de puntos de la red situados en la frontera del polígono e I es el número de puntos de la red en el interior del polígono”. Por ejemplo para el trapecio de la figura tenemos que el área es: A = 14 / 2 + 9 – 1 = 15, pues el polígono contiene 14 puntos de la red en su frontera y 9 puntos en su interior. (Observemos que usando la fórmula dada en el Torpedo para el área de un trapecio se obtiene:

7

ABACOM Boletín Matemático

El Teorema de Pick (O como calcular áreas si se sabe contar)

GEOMETRÍA : UNA INTRODUCCIÓN.

AC DE=

AB DB1,72

=0,8 2

x

3 7 3 15 ).2 2

a bA h+ += ⋅ = ⋅ =

Si tuviésemos un cordel lo suficiente-mente largo y con él “amarrásemos” la Tierra por el Ecuador, ¿cuánto cordel sería necesario agregar para rodear la tierra a medio metro de altura? (supondremos que la Tierra es una esfe-ra). A cualquiera que se le plantee esta pre-gunta, seguramente responderá que se necesita agregar unos cuantos kilómetros de cordel, pero … aunque parezca increí-

ble se necesita mucho menos, la respuesta les sorprenderá. Sea L la longitud del cordel necesario para rodear la Tierra y si lla-mamos r al radio de la Tierra entonces, de acuerdo a la fórmula de la longitud de una circunferencia, tenemos: L = 2 π r (r en metros). Sea ahora L’ la longitud del cordel que rodea la Tierra a medio metro de altura, entonces: L’ = 2 π ( r + 0,5 ) y así: L’ – L = 2 π ( r + 0,5 ) - 2 π r = π. Por tanto se necesita agregar sólo…3,14 metros aproximadamente. (Observemos que el cálculo efectuado no depende del radio de la Tierra; así, cualquier esfera que rodeemos, y luego se quiera rodear alejado a medio metro de ella, basta agregar la misma cantidad, o sea aproximadamente 3,14 metros).

RODEANDO LA TIERRA

Suponga que se quiere medir la altura de un ár-bol. Para ello una persona usa la estrategia si-guiente: coloca un espejo en el suelo a 2 metros del pie del árbol y luego se aleja, en una direc-ción alineada con el espejo y el árbol, hasta que en el espejo observa el punto más alto del árbol. Esto lo logra estando a 0,8 metros del espejo. Si los ojos de la persona están a 1,72 metros del suelo, ¿cómo obtiene la altura del árbol? La siguiente fi-gura grafica esta situación: Se han formado dos triángulos que se denomi-nan semejantes por tener los án-gulos corres-pondientes de igual medida y los lados pro-porcionales. Pa-ra verificar esto basta considerar que los triángulos tienen dos pares de ángulos respectivamente iguales (Criterio de semejanza AA, ver TORPEDO). Estos ángulos son ∠BAC y ∠BDE, ambos rectos; ∠ABC y ∠DBE, pues el ángulo de inci-dencia es igual al ángulo de reflexión. Así co-mo los triángulos son semejantes entonces sus lados respectivos son proporcionales y por tanto: , o sea de donde se obtiene que x = 4,3. La altura del árbol es de 4 metros y 30 centímetros. Esta es una aplicación de la geometría, que es-tudia figuras geométricas planas como: triángu-los, cuadriláteros, círculos, etc., figuras geo-métricas en el espacio como: cubos, prismas, pirámides, cilindros, etc. y las relaciones entre ellas. De estas figuras se pueden calcular perímetros, áreas y volúmenes según la naturaleza de la figura. Todo esto se refiere a la Geometría Euclidiana (Elemental) que es la que se estudia en el cole-gio, pero … existen otras ramas de la matemáti-ca denominadas geometría, como: Geometría Riemanniana, Geometría Algebraica, Geometría Diferencial, entre otras.

C

E

x

A B D

1,72

2 0,8

J U L I O 2 0 0 7

8

Ángulos ♦ Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos (o

perpendiculares) son iguales o suplementarios. ♦ Si dos rectas paralelas son intersectadas por una tercera recta, se

forman ocho ángulos que son iguales o son suplementarios y recíprocamente.

Triángulos ♦ En todo triángulo se cumplen las propiedades :

1. La suma de los ángulos internos es 180º. 2. La suma de los ángulos externos es 360º. 3. Cada ángulo externo es igual a la suma de los ángulos internos

no adyacentes a él. Perímetro y área de un triángulo ♦ Perímetro de un triángulo de lados a, b y c es: P = a + b + c ♦ Área de un triángulo es:

(Fórmula de Herón) (b: base, h: altura, s = P/2: semiperímetro). Congruencia de triángulos Dos triángulos son congruentes si sus ángulos y sus lados corres-pondientes son iguales. ( ∆ABC @ ∆A'B'C' ) ♦ Criterios de congruencia : Dos triángulos son congruentes si tienen:

1. Sus tres lados respectivamente iguales (LLL) 2. Dos lados y el ángulo comprendido, iguales (LAL) 3. Dos ángulos y el lado comprendido, iguales (ALA) 4. Dos lados y el ángulo opuesto al mayor, iguales (LLA)

♦ Teorema de Thales Si dos rectas son cortadas por tres o más paralelas, se determinan segmentos proporcionales y viceversa.

Semejanza de Triángulos Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. (∆ABC ~ ∆A'B'C' ) ♦ Criterios de semejanza : Dos triángulos son semejantes si tienen:

1. Dos pares de ángulos iguales (AA) 2. Los tres pares de lados proporcionales (LLL)

3. Dos pares de lados proporcionales y los ángulos comprendidos iguales (LAL)

4. Dos pares de lados proporcionales y los ángulos opuestos a los lados mayores, iguales (LLA)

♦ Teoremas de Euclides: h² = pq, a2= cp , b2 = cq ♦ T. Pitágoras: a2 + b2 = c2 Circunferencia ♦ Circunferencia: conjunto de todos los puntos del plano que

están a la misma distancia de un punto O. El punto O se llama centro y la distancia entre O y cada punto de la circunferencia se llama radio.

♦ Elementos de una circunferencia Radio: segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de ella. Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia. Diámetro: cuerda que pasa por el centro. Secante: recta que intersecta a la circunfe-rencia en dos puntos. Tangente: recta que intersecta a la circunferencia en un punto. Arco: parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. Semicircunferencia: arco igual a media circunferencia.

♦ Ángulos en una Circunferencia

Ángulo del Centro: su vértice es el centro de la circunferencia y los lados contienen a dos radios. Ángulo Inscrito: su vértice es un pun-to de la circunferencia y los lados contienen a dos cuerdas Ángulo Interior: su vértice está en el interior de la circun-ferencia. Ángulo Exterior: su vértice está en el exterior de la circun-ferencia y los lados la intersectan.

♦ Propiedades: 1. Toda tangente es perpendicular al radio en el punto de

tangencia. 2. Ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son

iguales. 3. Todo ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo del

centro que subtiende el mismo arco. 4. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. 5. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma

de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados y sus prolongaciones.

6. La medida de un ángulo exterior es igual a la semidife-rencia de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados.

♦ Longitud de la circunferencia de radio r es

1 ( )( )( )

2A b h s s a s b s c= ⋅ = − − −

TORPEDO DE GEOMETRÍA

2L rπ=

h

9

ABACOM Boletín Matemático

Círculo ♦ Círculo es la unión de la circunferencia y su interior.

♦ Área de un círculo de radio r es : ♦ Elementos de un círculo:

Segmento circular: parte de un círculo limitada por una cuerda y su arco. Semicírculo: segmento circular determinado por un diáme-tro. Sector circular: parte de un círculo limitada por dos

radios y el arco correspondiente. Cuadriláteros ♦ Cuadrilátero: figura geométrica formada por cuatro segmen-

tos tales que dos a dos se intersectan solamente en sus extre-mos.

♦ En todo cuadrilátero se cumple que la suma de los ángulos internos es 360º y la suma de los ángulos externos es 360º.

♦ En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, sus ángulos opuestos son suplementarios.

Tipos de cuadriláteros ♦ Paralelógramo: sus lados opuestos son paralelos.

Entre los paralelógramos están : Rectángulo: sus ángulos son iguales. Rombo: sus lados son iguales. Cuadrado: sus lados y sus ángulos son iguales.

♦ Trapecio: un par de lados opuestos paralelos (bases). ♦ Trapezoide: no tiene lados paralelos. Propiedades de los cuadriláteros

En un paralelógramo: 1. Los lados opuestos son iguales y recí-

procamente. 2. Los ángulos opuestos son iguales y

recíprocamente. 3. Las diagonales se bisectan y recíprocamente. 4. El área es igual al producto de la base por la altura.

(Cualquier lado puede ser base y la altura es la distancia desde la base al lado opuesto).

En un rectángulo: 1. Los ángulos son rectos. 2. Las diagonales son iguales. 3. El área es el producto de dos lados con-

secutivos. En un rombo: 1. Las diagonales son perpendiculares. 2. Las diagonales bisectan a los ángulos. 3. El área es igual al semiproducto de las diagonales. En un trapecio: 1. El segmento que une los puntos me-

dios de los lados no paralelos se llama mediana (m), es paralela a las bases (a, b) y su longitud es la semisuma de ellas.

2. El área es igual al producto de la semisuma de las bases por la altura (h).

Polígonos ♦ Polígono: figura geométrica formada por tres o más segmentos

tales que dos a dos se intersectan solamente en sus extremos. ♦ Un polígono es regular si sus lados son iguales y sus ángulos

son iguales. ♦ La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es igual a: (n - 2)·180º ♦ La suma de los ángulos externos de cualquier polígono es igual a

360º. ♦ La congruencia y semejanza de polígonos se define en forma

análoga a la de triángulos. Cuerpos Sólidos ♦ Poliedro: cuerpo limitado por superficies planas, llamadas ca-

ras, la intersecciones de dos caras se llaman aristas, y los puntos donde éstas se cortan se llaman vértices.

♦ Algunos poliedros son: Prisma: poliedro limitado por dos polígonos congruentes de

lados respectivamente paralelos, llamadas bases y sus caras late-rales son paralelógramos . La distancia entre las bases es la altu-ra del prisma.

El Cubo y el Paralelepípedo rectangular son prismas. Pirámide: poliedro con base un polígono y caras laterales trián-

gulos con un vértice común, llamado vértice de la pirámide. La distancia entre el vértice y la base es la altura de la pirámide.

♦ Cuerpo redondo: está limitado por superficies curvas o planas y curvas.

♦ Los principales cuerpos redondos son: Cilindro, Cono y Esfe-ra.

Áreas

Cilindro:

Cono:

Esfera: Volúmenes

Prisma: V = B · h (B = área basal) Pirámide: Cilindro: Cono: Esfera:

TORPEDO DE GEOMETRÍA

2A rπ=

22 2A r rhπ π= +2 2 2A r r r hπ π= + +

24A rπ=

1

3•V B h= 2V r hπ=

21

3V r hπ= 34

3V rπ=

m

J U L I O 2 0 0 7

10

MATEMATIC@S Hipatia (370 – 415)

Hipatia nació en Ale-jandría, Egipto, en el año 370 de nuestra era. Su padre, Teón de Alejandría, un cé-lebre matemático y astrónomo, quiso hacer partícipe de sus conocimientos a su propia hija, algo ver-daderamente insólito en el siglo IV. Hipatia por su parte era una

mujer abierta a todo el saber que su padre quisiera volcar sobre ella y así fue cómo se educó en un ambiente académico y culto, adquiriendo conoci-mientos sobre matemáticas y astronomía, además de la pasión por la búsqueda de lo desconocido. Los historiadores han llegado a asegurar que inclu-so superó al padre, y que muchos de los escritos conservados que se suponen de Teón, son en reali-dad de la hija. Fue una mujer científica, filósofa neoplatónica y maestra, que con su sabiduría y sus enseñanzas contribuyó en gran medida al desarrollo de las Ma-temáticas y la Astronomía. Escribió muchas obras, pero ninguna ha llegado a nuestros días, sólo referencias de ellas de parte de sus discípulos. Hipatia también se dedicó a la mecánica e inventó un aparato para destilar agua, un hidrómetro para medir densidad de los líquidos y un artefacto para medir el nivel del agua. Aprendió también sobre la historia de las diferentes religiones que se conocían en aquel entonces, sobre oratoria, sobre el pensa-miento de los filósofos y sobre los principios de la enseñanza. Viajó a Atenas y a Roma, siempre con el mismo afán de aprender y de enseñar. Hipatia era pagana y sufrió en una ciudad que se iba haciendo cada vez más cristiana. Así fue como para algunos no era considerada una mujer científi-ca sino una bruja peligrosa. El obispo Cirilo de Alejandría era enemigo de esta mujer a la que te-mía y admiraba a la vez, y no pudiendo consentir que una mujer se dedicase a las ciencias creó un clima de odio hacia ella haciéndola matar en el año 415 por un grupo de fanáticos. De esta manera cre-yeron dar muerte a lo que ellos llamaban idolatría y herejía.

Epitafios ARQUÍMEDES (287 a.C., 212 a.C.) Matemático griego.

En su tumba se dice que había como único epitafio un cilindro circunscrito a una esfera (Arquímedes había demostrado que el volu-men de una esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro circunscrito (*)) La tumba fue hallada por el tribuno romano Cicerón, quien así relata tal hallazgo: “Puse todo mi desvelo en encontrar la tumba, guiado por una inscripción que se decía tenía grabada, que se refería a una esfera y un cilin-dro. Hallé entre zarzas y malezas el sepulcro

del más inteligente de los ciudadanos de Siracusa”. (*) El volumen de una esfera de radio r es y el volumen de un cilindro de radio r y altura h es Así, si el cilindro está circunscrito a la esfera su altura es el doble del radio de ésta, siendo su volumen

y por tanto el volumen de la esfera es 2/3 del volu-men del cilindro.

343

rπ2 .r hπ

2 3(2 ) 2r r rπ π=

FRASES CÉLEBRES ACERCA DE LA MATEMÁTICA… …dichas por no matemáticos “Las matemáticas son una gimnasia del espíritu y una prepara-ción para la filosofía”.

Isócrates (436 a.C. – 338 a.C.), filósofo griego. “El olvido de las Matemáticas perjudica a todo el conocimiento, ya que el que las ignora no puede conocer las otras ciencias ni las cosas de este mundo”.

Roger Bacon (1214 – 1294), filósofo y científico inglés. “No hay certidumbre allí donde no es posible aplicar ninguna de las ciencias matemáticas ni ninguna de las basadas en las mate-máticas”.

Leonardo Da Vinci (1452 – 1519), sabio italiano. “Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”.

Galileo Galilei (1564-1642) físico y astrónomo italiano. “¡Cómo es posible que la matemática, un producto del pensa-miento humano independiente de la experiencia, se adapte tan admirablemente a los objetos de la realidad!”

Albert Einstein (1879 – 1955), físico alemán.

Un profesor muy despistado se trasladaba de casa y como su esposa sabía como era, cuando esa mañana se fue a la Universidad le entregó un papel con la nueva dirección. Por la tarde se fue a la antigua casa y al llegar allí encontró con que estaba vacía. Sólo allí recordó lo del cambio de casa, buscó el papel, pero lo había perdido. Desesperado salió a la calle y a una chica que pasaba le dice: - Yo he vivido aquí durante años y ahora nos

cambiamos de casa, por casualidad … ¿no sabes algo de esto?

La niña le contesta: - No te preocupes papá,… si mi mamá me man-

dó a buscarte.

***** Un científico, ya retirado de sus labores académi-cas, decidió continuar dictando conferencias en diferentes universidades y centros culturales. Después de un tiempo sólo dictaba siempre la misma conferencia. Su chofer, que lo acompaña-ba a todas partes, ya se sabía de memoria la con-ferencia, incluso las respuestas a las preguntas que hacía el auditorio. En una oportunidad el científico le propone al chofer que éste de la conferencia. El chofer acep-ta y el científico, vestido como el chofer se ubica al final del salón. El chofer da en forma brillante la conferencia, que se sabía de memoria, y al final invita a la concurrencia a que hagan consultas. Uno de los asistentes hace una consulta que nunca se había hecho antes y por consiguiente el chofer no sabía la respuesta. Ante esto responde: - Me extraña su consulta, es tan elemental que

hasta mi chofer la puede contestar. Por favor James, respóndale al señor.

La matemática… ... con risas entra

11

ABACOM Boletín Matemático

En la edición pasada se vio ciertos tipos de números, como: número primo, número compuesto, número perfecto, entre otros. Veamos ahora otros tipos de números agrupados de dos o más.

Números primos entre sí: dos números enteros que no tienen ningún fac-tor primo en común, dicho de otra manera, si no tienen otro divisor común más que 1 y -1. Equivalentemente, son primos entre sí si y sólo si su máximo común divisor es igual a 1. También se denominan coprimos, o primos rela-tivos. Por ejemplo 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3. El número 1 es primo respecto de todos los enteros, mientras que 0 sólo lo es respecto de 1 y -1. Una curiosidad respecto a este tipo de números: si tomamos dos enteros al azar, la probabilidad que sean primos entre sí es igual a

Números amigos: parejas de números enteros que cumplen que la suma de los divisores propios de cada uno de ellos da como resultado el otro núme-ro. Por ejemplo, 220 y 284 son números amigos, ya que los divisores pro-pios de 220 cumplen: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284, y los divi-sores propios de 284 cumplen: 1+2+4+71+142 = 220. Números sociables: cumplen lo mismo que los números amigos pero en vez de ir en parejas van en grupos más grandes. La suma de los divisores del primer número da el segundo, la suma de los del segundo da el tercero, y así sucesivamente. La suma de los divisores del último da el primer número de la lista. Por ejemplo los números 12496, 14288, 15472, 14536 y 14264 son números sociables. Compruébalo tú.

π ≈26 0,6079/ .

En las laderas del monte Rushmore, en Dako-ta del Sur (EE.UU.) están esculpidos los ros-tros de cuatro presidentes norteamericanos: George Washington, Thomas Jefferson, Theo-dore Roosevelt, y Abraham Lincoln. Este colosal monumento de 18 metros de altura, que representa los primeros 150 años de la historia de los Estados Unidos, fue realizado por el escultor Gutzon Borglum, secundado por 400 trabajadores, entre 1927 y 1941. Para

trasladar a la roca los rasgos de los presidentes, hizo primero unos bustos a un doceavo del tamaño que tendrían los definitivos. En el centro de la cabeza de esas maquetas colocó un brazo giratorio del que pendía un hilo con una plomada. Ese peso podía moverse arriba y abajo y adelan-te y atrás a lo largo del brazo. Éste a su vez podía girar y regis-trar en cada momento su ángulo gracias a un transportador. Un brazo semejante pero mucho mayor (10 metros) fue colocado en el centro de lo que iba a ser la cabeza tallada en la roca. Para saber, por ejemplo, dónde había que situar la punta de la nariz, bastaba marcarlo con la plomada en la maqueta y luego trasladar las medidas, multiplicadas por 12, a la roca.

H U M O R

Una aplicación de las proporciones

Tipos de Números

ciasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasN

12

Carolina Leiva Cádiz

J U L I O 2 0 0 7

XIX OLIMPÍADA NACIONAL DE MATEMÁTICA En el mes de agosto la Sociedad de Matemática de Chile invita a los alumnos de Enseñanza Media a inscribirse para participar en la XIX Olimpíada Na-cional de Matemática. Este proceso corresponde a la inscripción y selección que la debe realizar cada establecimiento educacional seleccionando a lo más siete alumnos o diez estudiantes si cuenta con una matrícula de más de mil estudiantes. En cualquiera de los dos casos se debe inscribir al menos tres alumnos que al 31 de diciembre de 2007 tengan me-nos de 16 años. Posteriormente se efectuará la Clasificación Nacio-nal, el 25 de Agosto de 2007. En esa oportunidad los jóvenes desarrollarán una prueba escrita que se aplica en las sedes designadas por los Encargados Regionales. El encargado para las regiones X (excepto Osorno) y XI es el profesor Víctor Alvarado.

Una vez finalizada esta etapa se seleccionará a lo más ciento veinte estudiantes que serán finalistas. Por último se celebrará la Final Nacional entre el 11 y 13 de Octubre y consiste en una prueba escrita de desarrollo, la que define a los ganadores de la Olimpíada 2007. Esta etapa se realizará en Santiago. Si estás interesado(a), ten en cuenta que puedes con-cursar en dos categorías: Categoría A: Alumnos nacidos en los años 91 o inferiores y Categoría B: Alumnos nacidos en los años 92 o superiores. Además puedes tener más in-formación si visitas el sitio web www.olimpiadamatematica.cl para conocer las ba-ses generales, medallistas 2006, problemas resueltos de versiones anteriores de las Olimpíadas y así em-pieza a practicar y desarrollar tus talentos matemáti-cos.

JUEGOS MATEMÁTICOS INTER - REGIONALES EN COLEGIO SAN MATEO DE OSORNO

Con la finalidad de incentivar las habilidades matemáticas de los alumnos de Séptimo Bá-sico a Cuarto Medio, el Colegio San Mateo

de Osorno organiza cada año los Juegos Matemáticos Inter - Regionales. “Se pretende incentivar la investigación mate-mática, que el alumno se interese y motive por aprender más, profundizar contenidos por su propia iniciativa y así pueda desarrollar al máximo las potencialidades que Dios le dio”, señala Orlando Torres, profesor encargado de los Juegos Matemáticos.

La experiencia de estos juegos se mantiene desde el año 1999, cuando el Departamento de Matemática del Colegio San Ma-teo los originara gracias a las numerosas participaciones en concursos de Matemática y Olimpíadas y además del concur-so “Yo sé matemática” que este establecimiento realizaba.

Tal ha sido el éxito de este certamen que el año pasado partici-paron un total de 85 establecimientos educacionales entre co-legios, liceos y escuelas desde Temuco a Coyhaique, lo que representa un total de 1000 alumnos aproximadamente. Estos estudiantes participaron a través de 4 etapas y por equipos de tres alumnos en las siguientes series: 7° - 8° Básico; 1° - 2° Medio y 3° - 4° Medio.

Según declaraciones del profesor Torres las tres primeras eta-pas se realizaron al mismo tiempo en los colegios colaborado-res en sus respectivas ciudades: Temuco, Valdivia, Osorno, Puerto Varas, Castro y Coyhaique. En cambio la final se reali-zó en el Colegio San Mateo en la ciudad de Osorno en donde se recibieron los cinco equipos mejores por serie los que tuvie-ron que resolver algunos ejercicios y posteriormente exponer-los ante una asamblea y un jurado que evaluó las disertacio-nes. Los puntajes se sumaron y así se premiaron los tres mejo-res equipos.

“Estas iniciativas deben ser promovidas por los profesores de cada establecimiento edu-cacional para generar espa-cios en donde los alumnos se motiven en el aprendiza-je de la Matemática”, enfa-tiza Orlando Torres. Es por lo anterior que te invitamos a que preguntes a tus profe-sores cómo puedes partici-par y ser uno de los repre-sentantes de tu colegio.