MODELO DE KRONING PENNEY Y ECUACION DE SCHORINGER

MODELO DE KRONIG PENNEY Y ECUACION DE SCHORINGERPRESENTADO A

Hctor Julio Romero

PRESENTADO POR

Jessica Marcela Cardona Reinoso

CODIGO

162205110

UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA

FACULTAD DE INGENIERIA

INGENIERIA ELECTRONICA

FISICA DEL ESTADO SOLID

FUSAGASUGA

2007

MODELO DEL ELECTRN EN UNA RED PERIDICA: MODELO DE KRONIG-PENNEYEl modelo del electrn libre no tiene en cuenta los efectos debidos a interacciones de los electrones con la red cristalina. Recordemos que cuando un electrn pasa cerca de un tomo es acelerado, y cuando se aleja es desacelerado hasta que entra dentro del campo de accin del prximo tomo, establecindose niveles de energa potencial que delimitan el movimiento del electrn a travs de la red. Desde el punto de vista de la mecnica cuntica un electrn en un cristal se encuentra en un potencial peridico del tipo mostrado en la figura 1.a.

Para estudiar el comportamiento del electrn en una red peridica unidimensional se utiliza un modelo de potencial peridico formado por un arreglo de pozos y barreras rectangulares de potencial que tienen la periodicidad de la red, como se muestra en la figura 1.b. Este es el modelo de Kronig-Penney. La figura 2 muestra el potencial peridico unidimensional utilizado para estudiar el comportamiento del electrn en este modelo.

La solucin del sistema requiere resolver la ecuacin de Schr(dinger:Sujeta a las condiciones en las regiones: I (V(x) = 0) y II (V(x) = Vo), resultando:Regin I:

Regin II:

A, B, C y D son coeficientes constantes. ( y ( estn dados por:Como la red cristalina es peridica se introduce el factor de periodicidad por medio del teorema de Bloch, por lo cual:

Donde la periodicidad de la red L, requiere que:

u(x) = u(x + L) = u(x + nL), n es entero.

Se obtienen funciones peridicas en las regiones I y II:

Los coeficientes A, B, C y D se obtienen de las condiciones de continuidad para la funcin de onda y su primera derivada, las que deben ser continuas donde ocurre un cambio abrupto de potencial. Es decir:

Y adems:

Aplicando estas condiciones resulta un sistema de cuatro ecuaciones. La solucin del sistema se puede expresar como:

El lado derecho de la ecuacin se puede convertir en una funcin de la energa f(E):

Esta funcin queda limitada entre los valores +1 y -1 por la condicin impuesta por el segundo miembro de la ecuacin, se debe cumplir f(E) = cos kL. La figura 3 muestra una representacin esquemtica de dicha relacin, para valores positivos de k.

Como puede verse f(E) permanece dentro del rango [-1, 1] slo para ciertos valores de energas. Estos valores de "energas permitidas" forman las denominadas "bandas de energa permitidas". Los valores restringidos de energa forman las denominadas "bandas de energa prohibidas" o "gap" de energa. El agrupamiento de los valores de energa permitidos en bandas es una de las caractersticas ms importantes del comportamiento de los electrones en las redes peridicas.

Utilizando la curva obtenida anteriormente se puede graficar la energa E como una funcin de k, como se muestra en forma esquemtica en la figura 4, donde se la compara con la obtenida para el electrn libre (lnea de trazos).

El movimiento de los electrones en la red se puede asimilar a la propagacin de una onda electromagntica en un cristal. La dispersin de la onda electromagntica por los tomos de la red da lugar a una onda dispersada que se refuerza cuando se cumple la condicin de Bragg:2 L = ( = 2 ( = 3 ( = n (Cmo se relacionan los valores de k con la condicin de Bragg para reflexin constructiva?

Se define la velocidad del electrn representado por un paquete de ondas centrado alrededor de la energa E y con un nmero de onda k por la relacin:

Si sobre el electrn acta una fuerza externa F, el trabajo realizado por esta fuerza en un intervalo de tiempo dt ser: F v dt, produciendo una variacin en la energa del electrn de magnitud dE:

entonces:

Diferenciando la velocidad respecto al tiempo se obtiene la aceleracin del electrn:

Asemejando la anterior a la forma de la segunda ley de Newton se obtiene: F = m* a donde m* se denomina masa efectiva y est dada por:

De este modo, asignando a los electrones en la red peridica una masa efectiva m* podemos tratarlos como si fuesen libres, y describir su movimiento en presencia de un campo aplicado de la misma forma que para un electrn libre. Las propiedades de la red cristalina determinan el valor de m* ya que determinan la forma de la funcin E(k) y de su derivada segunda d2E/dk2.

ECUACIN DE SCHRODINGER

La ecuacin de Schrdinger, desarrollada por el fsico austriaco Erwin Rudolf Josef Alexander Schrdinger en 1925, describe la dependencia temporal de los sistemas mecano cunticos. Es de importancia central en la teora de la mecnica cuntica, donde representa un papel anlogo a las leyes de Newton en la mecnica clsica.Ecuacin de Schrdinger dependiente del tiempoUsando la notacin bra-ket de Dirac, denotamos a un vector de estado en el instante de tiempo t del tipo introducido en la seccin anterior, como |(t). La ecuacin de Schrdinger es, entonces

Donde i es el nmero imaginario unidad, es la constante de Planck dividida por 2(constante reducida de Planck), y el Hamiltoniano H es un operador lineal hermtico y autoadjunto que acta sobre el espacio de estados. El hamiltoniano describe la energa total del sistema. Como con la fuerza en la segunda ley de Newton, su forma exacta no la da la ecuacin de Schrdinger, y ha de ser determinada independientemente, a partir de las propiedades fsicas del sistema cuntico.

Ecuacin de Schrdinger independiente del tiempoPara cada hamiltoniano (si la energa potencial es independiente del tiempo), existe un conjunto de estados cunticos, conocidos como estados propios para la energa que satisfacen la ecuacin de valores propios:

Donde soluciones de la ecuacin de SchrdingerSe pueden obtener soluciones analticas de la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo para varios sistemas relativamente sencillos. Estas soluciones sirven para entender mejor la naturaleza de los fenmenos cunticos, y en ocasiones son una aproximacin razonable al comportamiento de sistemas ms complejos (como en mecnica estadstica se aproximan las vibraciones moleculares como osciladores armnicos). Algunas de las soluciones analticas ms comunes son:

Nmeros Cunticos

La partcula en una caja

La partcula en un anillo

La partcula en un potencial de simetra esfrica

El oscilador armnico cuntico

El tomo de hidrgeno

La partcula en una red monodimensional

Sin embargo, para muchos sistemas no hay solucin analtica a la ecuacin de Schrdinger. En estos casos, hay que recurrir a soluciones aproximadas, como:

La teora perturbacional

El mtodo variacional

Las soluciones Hartree-Fock

Los mtodos cunticos de Monte Carlo

ParmetrosLas diferentes versiones de la ecuacin de Schrdinger contienen los siguientes parmetros:

Constante de Plank, : es la energa por unidad de frecuencia de cada cuanto de luz. Entra en la ecuacin de Schrdinger para satisfacer las relaciones de conmutacin cannicas, .

Constante imaginaria, : indica el carcter complejo de las funciones de onda. Representa una cantidad compleja tal que .

Energa propia, : valor propio del hamiloniano asociado a su n-simo estado propio.

Condiciones de validezLa ecuacin de Schrdinger es til en aquellas situaciones en que la accin del sistema (la integral temporal de la funcin lagrangiana) es muy pequea, comparable al valor de la constante de Plank.

Por otra parte, la ecuacin de Schrdinger deja de ser vlida en las condiciones siguientes:

Cuando la energa cintica, es comparable a la energa en reposo, en cuyo caso son importantes las correcciones relativistas.

Cuando existe creacin y destruccin de partculas, en cuyo caso deben utilizarse los mtodos de la teora cuntica de campos (que tambin pueden incorporar la relatividad).

en general, el formulismo de la ecuacin independiente del tiempo tiene sentido tan solo cuando el propio hamiltoniano es tambin independiente del tiempo.

La ecuacin de Schrdinger tan solo se puede resolver analticamente a travs del formalismo del operador de evolucin, o mediante la teora de ecuaciones diferenciales una vez se ha escrito en una base concreta (usualmente en la base de posiciones o en la de momentos).

Sin embargo, los problemas de muchas partculas (es decir, ms de una), tan solo existe solucin exacta para los sistemas en que la ecuacin diferencial se puede separar en tantas ecuaciones mono-particulares como partculas existan.

Por otra parte, la ecuacin de Schrdinger de una sola partcula (mono-particular) tiene solucin analtica en los siguientes casos:

Problemas unidimensionales, o que por separacin de variables se pueden descomponer en varias ecuaciones unidimensionales, donde el potencial es constante a trozos.

Problemas tridimensionales en regiones finitas, rodeadas por paredes impenetrables, con geometra adaptada a algn tipo de coordenadas curvilneas.

Problemas unidimensionales con potenciales cuadrticos en la posicin (oscilador harmnico, campos elctricos y magnticos constantes y perpendiculares entre si, etc.).

En otros casos, la solucin de la ecuacin de Schrdinger exige mtodos numricos, o bien simulaciones por ordenador.

BIBLIOGRAFIA Fsica vol. III - Alonso-Finn, Cap. 6.3, 6.4, 6.5

Fsica de los semiconductores- Mc Kelvey- Cap. 8.1, 8.2, 8.3, 8.4

Physical principles of microelectronics - Yepifanov- 5.2, 5.3, 5.4

http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Kronig-Penney http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuacin_de_Schrdinger"

Figura 1.a

Potencial real

Figura 1.b

Modelo de Kronig-Penney

Vo

-b 0 a a+b

E

II

I

L = a + b

x

V(x)

Figura 2

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

E

+1

-1

0

k = 0

k = (/L

k = 2(/L

k = 3(/L

k = (/L

E1

E2

E3

E4

E5

E6

k = 2(/L

k = 3(/L

E7

k = 4(/L

E8

Banda permitida

Banda prohibida

f(E)

Figura 3

B permitida

Figura 4

E(k)

gap

Banda permitida

gap

Banda permitida

gap

Bandas de energa

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

k

Primera zona de Brillouin

EMBED Equation.3

Segunda zona de Brillouin

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Ecuacin de una onda plana cuya amplitud es modulada por el factor u(x) que expresa la periodicidad de la red cristalina.

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_1110619717.unknown

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L

L

a

b