UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER Escuela de Fsica

Laboratorio de Fsica II

L6. DESCARGA DE UN CONDENSADOR INTRODUCCIN: Cuando un circuito pasa de estar sin tensin a estar bajo tensin, durante un corto tiempo que se conoce como periodo transitorio, las corrientes en las ramas y las cadas de tensin en los elementos varan desde sus valores iniciales hasta otros nuevos. Cuando transcurre este periodo de transicin, que se llama rgimen transitorio, el circuito se estabiliza y pasa a estar en el rgimen permanente. El objeto de esta prctica es estudiar la corriente y la tensin de un condensador, cuando se carga y se descarga a travs de una resistencia, en una C.C. OBJETIVOS Analizar experimentalmente un circuito RC sometido a voltaje constante y determinar parmetros propios de este circuito. Estudiar los procesos de carga y de descarga de un condensador a travs de una resistencia. FUNDAMENTO TERICO Los circuitos ms simples consisten slo elementos pasivos (resistencias) y en los que las corrientes se mantienen constantes en el tiempo. Al introducirse el condensador, como otro elemento del circuito, lleva a considerar corrientes variables con el tiempo. Se utiliza en el estudio el circuito de la Fig. 1, en el que se tiene un condensador, de capacidad C, que puede cargarse y descargarse a travs de una resistencia R.

Figura 1

Se considera el circuito RC de la figura 1, en el cual el condensador esta inicialmente descargado. Cuando se cierra el interruptor S, el condensador se carga hasta que la diferencia de potencial entre sus armaduras sea igual a V0 (voltaje de la fuente). Si, una vez que el condensador ha adquirido su carga, se abre el interruptor, el condensador se descarga a travs de la resistencia externa RE y de la resistencia interna del voltmetro RV. Mediante la regla de mallas de Kirchhoff puede demostrarse que, durante el proceso de descarga, el voltaje en el condensador vara en la forma V = V0e-t/RC en donde R = RE + RV. Ni el proceso de carga, ni el proceso de descarga son instantneos, requiriendo ambos un tiempo que depende, segn se ver, del valor de C y del valor de R. Proceso de Carga. Se representa por q la carga y por i la intensidad de la corriente de carga en un cierto instante contado a partir del momento en que se coloca el conmutador en la posicin superior. Las diferencias instantneas de potencial Vac y Vcb son

iRVac = CqVcb = (1) y por tanto

CqiRVVVV cbacab +=+== (2)

donde V es constante. La intensidad i es entonces

RCq

Rqi = (3)

En el instante de efectuar las conexiones, cuando q = 0, la intensidad inicial I0 es

RVI =0 (4)

que sera la intensidad permanente si no hubiera condensador. Cuando la carga va aumentando, crece el trmino q/RC, y la intensidad disminuye hasta anularse finalmente. Cuando t = 0, finaliza el proceso de carga y el condensador queda cargado con una carga final Qf, dada por

0CVQ f = (5) Para obtener las expresiones de q, i, Vac y Vcb en funcin del tiempo, derivando la ec. (3) respecto al tiempo y sustituya dq/dt por i. As

RCi

dtdi = (6)

Por integracin de (6) se obtiene i(t) y sustituyendo i por dq/dt, mediante una segunda integracin, se obtiene q(t). Una vez halladas i(t) y q(t), las ecuaciones (1) dan Vac(t) y Vcb(t). En las preguntas, al final de la prctica, se propone demostrar que

RCt

eIi = 0 (7)

= RCtf eQq 1 (8) de modo que tanto la intensidad como la carga son funciones exponenciales del tiempo Las Figuras 2 y 3 muestran las grficas de las funciones (7) y (8), respectivamente. Obsrvese que debe transcurrir un tiempo infinitamente grande para que la intensidad se anule y el condensador adquiera la carga final de equilibrio, ya que tanto la intensidad como la carga se aproximan asintticamente a dichos valores.

Figura 2 Figura 3

El producto RC, que aparece en el exponente, tiene dimensiones de tiempo (comprubelo) y se denomina constante de tiempo o tiempo de atenuacin o relajacin del circuito. Cuando transcurre un tiempo t = RC es

00 37,0 Ie

Ii == (9) ( ) ff QeQq 63,011 == (10)

de modo que la constante de tiempo representa el tiempo que tarda el condensador en adquirir el 63% de su carga final de equilibrio. El semiperiodo del circuito o tiempo de vida media, t1/2, es el tiempo necesario para que el condensador adquiera la mitad de su carga final o para que la intensidad se reduzca a la mitad. Colocando i = I0/2 en (7), se obtiene

2ln2ln21 == RCt (11) Proceso de descarga. Supngase que el condensador haya adquirido una carga Q0 y que se pasa el conmutador a la posicin inferior, de modo que pueda descargar a travs de la resistencia R. Ntese que Q0, representa la carga inicial en un proceso de descarga y que no es necesariamente igual a la Qf definida anteriormente. Solo si el conmutador ha permanecido en la posicin superior un tiempo t >> RC ser Q0 Qf. Se representa de nuevo por q la carga y por i la intensidad de la corriente de descarga en un cierto instante contado a partir del momento en que se coloca el conmutador en la posici6n inferior. Dado que ahora no hay f.e.m. en el circuito (esto es V = 0) la ecuacin (3) se escribe

RCqi = (12)

y, en el instante de iniciarse la descarga, puesto que q = Q0 la intensidad inicial I0, es

RCQI 00

= (13) y a medida que el condensador se va descargando, la intensidad disminuye hasta anularse. El signo negativo en las expresiones anteriores pone de manifiesto que la corriente de descarga va en sentido contrario al indicado en la Fig. 1. Para obtener las expresiones de q, i, Vac y Vcb en funcin del tiempo, se sustituye en (12) i por dq/dt, y se integra para obtener q(t). Por derivacin de q(t) respecto al tiempo se obtendr i(t) y sustituyendo estas funciones en (1) se tiene Vac(t) y Vcb(t). Demuestre que

RCt

eQq = 0 (14) RC

teIi = 0 (15)

de modo que, de nuevo, tanto la carga como la intensidad decrecen exponencialmente en el tiempo, debiendo transcurrir un tiempo infinitamente grande para que el condensador se descargue totalmente. Las Figuras 4 y 5 muestran las grficas de las funciones (14) y (15), respectivamente.

Figura 4 Figura 5

Es fcil comprender que, en el proceso de descarga, la constante de tiempo o tiempo de relajacin del circuito, RC, representa el tiempo que tarda el condensador en reducir su carga a un 37% de su valor inicial, esto es en perder el 63% de su carga. El semiperiodo o tiempo de vida media (t1/2 = RC ln2), representa el tiempo que tarda el condensador en reducir su carga a la mitad. Medida de capacidades Se puede utilizar el circuito de la Fig. 1 para la medida de las capacidades De acuerdo con todo lo expuesto, bastar determinar la constante de tiempo o el semiperiodo del circuito, bien en el proceso de carga o en el de descarga. Si se conoce el valor de la resistencia se podr, entonces, determinar el valor de la capacidad. TEMAS PARA CONSULTAR 1. Capacidad Elctrica y Condensadores 2. Circuitos Transitorios RC. BIBLIOGRAFA RECOMENDADA ALONSO M., FINN E. Fsica. Volumen II. Ed. Fondo Educativo Interamericano. RESNICK R., HALLIDAY D., Fsica, Parte II Compaa Editorial Continental S.A. TIPLER P. Fsica, Volumen 2, editorial Revert S.A. SEARS, ZEMANSKY. Fsica Volumen II. Ed Aguilar. TIPPENS, PAUL E. Fsica conceptos y aplicaciones, Volumen II, editorial McGraw-Hill SERWAY, RAYMOND A. Fsica, tomo II. Editorial McGraw-Hill FRANCO GARCA A., Fsica con ordenador Curso Interactivo de Fsica en Internet:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/campo_electrico/plano/plano.htm; http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/campo_electrico/rc/rc.htm

EQUIPO Alimentacin de potencia: tensin continua de 12V, Cronmetro (puede servir el reloj del alumno) Voltmetro. Resistores y Condensadores, elegirlos de modo que RC sea del orden de 100 segundos (por ejemplo: R = 560K, C = 250F) y una resistencia de carga y descarga rpida apropiada (por ejemplo: r = 100 (2W)).

PROCEDIMIENTO PARTE A Determinacin de la Constante de Tiempo 1. Realice el montaje del circuito indicado en la Fig. 1. Ponga atencin a las polaridades de los distintos elementos. Tome para C un valor

del orden de 100F y para RE un valor entre 1M y 10M. Seleccione para V0 un valor entre 40 y 60 voltios. 2. Conecte la fuente y espere un tiempo suficiente para que el condensador se cargue. En lugar de usar interruptor, ser suficiente hacer

contacto con el terminal de la fuente. Se dar por finalizado el proceso de carga del condensador cuando las lecturas de los instrumentos de medida permanezcan invariables en 2 o 3 observaciones seguidas.

3. Ajuste el voltmetro en la escala de 60 V. Observe que el voltmetro marca un valor cercano a la mitad del voltaje de la fuente. Cmo puede explicarse esto?

4. Desconecte la fuente del circuito y ponga en marcha, simultneamente, el cronmetro. Tome datos de tiempo (t) cada vez que la lectura en el voltmetro disminuya en 3 voltios.

5. Registre los datos en una tabla, la cual incluya t, V y lnV. PARTE B Determinacin del valor de la capacitancia C 6. Si fuera necesario, se puede acelerar el proceso de carga del condensador pulsando el pulsador P. Ajuste el voltmetro en la Escala de

60 V. Observe que el voltmetro marca un valor cercano a la mitad del voltaje de la fuente. Cmo puede explicarse esto? 7. Repita el procedimiento indicado para cargar el condensador, manteniendo los mismos valores para V0, C y RE. 8. Desconecte la fuente del circuito y ponga en marcha simultneamente el cronmetro. Detenga el cronmetro en el instante cuando la

lectura del voltmetro haya descendido a la mitad de su valor inicial. 9. Repita la medicin anterior escogiendo para RE otros cinco valores diferentes (entre 1M y 10M). 10. Tabule los datos obtenidos. RESULTADOS

Tabla 1. PARTE A. Determinacin de la Constante de Tiempo . RE = ___ C = ___

t(seg) V(voltios) lnV

Tabla 2. PARTE B. Medidas de capacidades. 1 2 3 4 5

V [Volts] V/2 [Volts]

t1/2 [s] RE [] C [F] Cprom = [F]

ANLISIS E INTERPRETACIN DE RESULTADOS 1. Obtenga las expresiones (7) y (8). 2. Utilizando la Regla de Mallas de Kirchhoff deduzca la expresin V = V0e-t/RC, para el voltaje en el condensador. 3. Compruebe que el producto RC tiene dimensiones de tiempo y que

11F = 1s 4. Demuestre que, cuando t = , V 0.37V0, y que la relacin entre la Constante de Tiempo y el Tiempo de Vida Media est dada por: t1/2

= ln2. 5. Elabore una grfica de ln V en funcin de R con los datos de la PARTE A. A partir de dicha grfica obtenga el valor experimental de la

constante de tiempo . 6. Calcule el tiempo que tarda el condensador en adquirir el 99.9% de su carga final. Expresar el resultado en funcin de la constante de

tiempo RC. 7. Obtenga las expresiones (14) y (15). 8. Elabore una grfica de t en funcin de R para los datos de la PARTE B. A partir de dicha grfica, obtenga el valor experimental de la

capacitancia C del condensador. 9. Compare los valores experimentales obtenidos para y C, con los respectivos valores tericos. Encuentre el porcentaje de error de sus

mediciones. Indique las posibles fuentes de error. OBSERVACIONES CONCLUSIONES