La carga eléctrica.

D. Sierra-Porta

Índice

1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Algunos experimentos sencillos . . . . . . . . . . . 22.1. Experimento de Gilbert moderno y sencillo . . . . 22.2. Experimento: La bolsa voladora . . . . . . . . . . . 22.3. Este fósforo gira. Otra versión del experimento de

Gilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4. Demostración de dos tipos de electricidad . . . . . 33. Conservación de la carga. Cargando eléctricamen-

te un cuerpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. Métodos de cargar cuerpos eléctricamente . . . . . 44.1. Cargas por fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.2. Carga por contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.2.1. Carga por conducción usando un objetocon carga negativa . . . . . . . . . . . . . . 4

4.2.2. Carga por conducción utilizando un objetocargado positivamente . . . . . . . . . . . . 5

4.3. Carga por inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3.1. Carga de un sistema de dos esferas con un

objeto con carga negativa . . . . . . . . . . 55. Mas sobre conservación de la carga . . . . . . . . . 66. Cuantización de la carga . . . . . . . . . . . . . . . 66.1. Experimento de la gota de aceite de Millikan . . . 77. Distribuciones uniformes de carga . . . . . . . . . . 77.1. Cargas distribuidas linealmente . . . . . . . . . . . 77.2. Cargas distribuidas superficialmente . . . . . . . . 8

1. Introducción

En un curso normal de cualquier asignatura que se impar-te en la Universidad a menudo los estudiantes se enfrentana los mismos desafíos que los pioneros de los grandes (y pe-queños pero importantes) descubrimientos que dan origena leyes y formulaciones que intentan describir los fenóme-nos que vemos a diario. Desde luego que como estudiantespartimos muchas veces de cosas que ya sabemos de cursosanteriores, o estudios anteriores o grados iniciales de edu-cación, pero también de fenómenos que vemos a diarios. Ladiferencia sustancial de nuestra experiencia es que los pio-neros o fundadores de la ciencia, han logrado enfocarse yconcentrarse en la sistematización y aislamientos de cadauno de estos fenómenos para lograr una comprensión inicialo profunda de lo que vemos en términos de leyes y relacionesque permiten predecir y modelar cada situación.

En el caso de la electricidad y el magnetismo, esta tareaproviene desde muchos años atrás, casi desde el inicio mismode la historia. Existen referencias históricas acerca de que losGriegos antiguos sabían de la existencia de unas rocas mi-nerales particulares, llamadas magnéticas, que básicamente

contienen porciones de óxido de hierro Fe3O2). De esta ma-nera desde hace ya muchos años se conocía que algunos obje-tos experimentaban fuerzas de atracción y repulsión. Desdeotro lado del mundo, los Chinos también conocían estos ma-teriales y más aún ya desde hace más de 1800 años, ellosya usaban algunos artefactos rudimentarios que hoy día sonmuy parecidos a las brújulas magnéticas y las usaban parala navegación. Hoy día todos estos conocimientos represen-tan los inicios de la comprensión de una física que modela ydescribe las interacciones electromagnéticas de la materia.

Electricidad finalmente deriva su nombre de élektron (ooriginalmente ηλεκτρoν) la cual es la traducción de “ám-bar” la cual como sabemos es una resina fosilizada de lasque se conocen más de 200 variedades diferentes y usadaprincipalmente como insumo para la joyería. Obviamente, elnombre de electricidad acuñado actualmente es mucho másmoderno en el sentido en el que la entendemos hoy día. Yaen el año 600 A.C. Thales de Mileto conocía de algunas delas propiedades eléctricas de este material al descubrir quecuando éste era frotado con un trozo de tela por ejemplo,algunos materiales ligeros como plumas, pequeños restos depaja y cabello eran atraídos hacía el. Otra muestra más delos prolegómenos a la comprensión de un fenómenos que hoyconocemos bien.

La historia del descubrimiento o concienciación deque los cuerpos tienen una propiedad adicional a lasconocidas por interacciones gravitatorias, en este caso laspropiedades eléctricas o magnéticas, que se resumen enque los cuerpos poseen cargas, es muy larga, y abarcaexperiencias y experimentos a lo largo de todo el mundo,en varias civilizaciones y también a lo largo de muchosaños. Una revisión interesante y bastante completa acercade estas cuestiones históricas pueden ser revisadas yconsultadas en el libro de Brian Baigrie (Electricity andMagnetism: A Historical Perspective (Greenwood Guidesto Great Ideas in Science). https://www.amazon.com/Electricity-Magnetism-Historical-Perspective-Greenwood/dp/0313333580. ISBN-13: 978-0313333583, ISBN-10:0313333580) y también en el libro de Wayne M. Sas-low (Electricity, Magnetism, and Light. http: // www.sciencedirect. com/ science/ book/ 9780126194555 .ISBN: 978-0-12-619455-5).

Por ahora podemos decir que los cuerpos poseen una pro-piedad distinta a la masa (que produce interacción gravi-tacional) y que permite establecer interrelación entre ellosdesde un punto de vista microscópico. Esta propiedad mo-

1

2 Algunos experimentos sencillos 2

dernamente la llamamos carga eléctrica y decimos que ahoralos cuerpos que poseen cargas eléctricas interaccionan pro-duciendo reacciones entre ellos. Más aún nuestros predece-sores se dieron cuenta de la existencia de dos tipos de cargaseléctricas que producían consecuencias distintas aun cuan-do todo puede explicarse con la misma física. Más aún, aestos dos tipos de cargas las llamamos positiva o negativarespectivamente.

2. Algunos experimentos sencillos

Como hemos dicho anteriormente algunas civilizacionesy en tiempos antiguos ya se sabia de la existencia de unapropiedad de la materia que resultaba curiosa y extraña ala vez. Acá vemos una serie de experimentos sencillos quenos ayudan a entender algunas de estas propiedades. Sonactividades que cualquiera pudiera hacer en su casa o engrupo.

2.1. Experimento de Gilbert moderno ysencillo

En 1600, el inglés William Gilbert, médico de la reina Isa-bel, publicó De Magnete. Este trabajo, escrito en latín, fueleído ampliamente, e incluso fue mencionado por Shakes-peare. Dedicado principalmente al magnetismo, señaló quela tierra parece actuar como un gran imán. Gilbert confir-mó personalmente o negó una gran cantidad de reclamos einformes de otros, y mostró cómo repetir sus experimentos,alentando a otros a no creerle.

Una forma de recrear este experimento es la siguiente.Podemos tomar un corcho como el que se consigue en lostapones de las botellas de vino. Lo cortamos a la mitad lon-gitudinalmente y lo colocamos en un envase lleno de aguacon la cara plana en contacto con el agua. Buscamos unalambre delgado forrado en plástico como el que es usadopara cerrar y sellar alimentos en bolsas para conservación.Esto también pudiera hacerse con un clip (que es más difícilde doblar), o simplemente con un trozo de cable fino conrecubrimiento plástico. Ahora la idea es doblar el alambreen forma de W como se muestra en la figura, de tal maneraque la punta baja de la W podemos clavarla en el corcho.El corcho a su vez colocado sobre el agua le dará estabilidada la estructura. Una vez que haya conseguido nivelar y ba-lancear el alambre lo más que se pueda, entonces tome unpeine o un objeto de plástico (que no tenga mucha masa) yfrótelo con un trozo de tela por un tiempo. Luego acérquelocuidadosamente a un extremo de la W (sin tocarlo) y vealo que pasa, acérquelo al otro extremo y mire lo que pasa.Intente además frotar un pedazo de espuma con algún otromaterial, o con su propio pantalón y repita el procedimien-to. Tome además también un pedazo de cinta adhesiva ypéguela sobre una mesa y a continuación retírela muy rápi-damente. Para los dos cuerpos anteriores repita lo que hizocon el peine.

Fig. 1: Simple montaje para el experimento moderno de Gilbert.

Si todo ha salido bien veremos que el alambre W girará enun sentido o en otro dependiendo del material que hayamosacercado a los extremos. Esto es un indicativo que existe unapropiedad eléctrica de atracción o repulsión de la materia.

2.2. Experimento: La bolsa voladora

¡Cargue un globo y use las cargas eléctricas de electricidadestática para crear objetos voladores! ¿Quién necesita unavarita mágica para crear objetos levitando cuando tienes unglobo? En el experimento las cargas eléctricas puede resultaren un truco que haría que Harry Potter, Gandalf el Gris eincluso Merlín se pusieran celosos.

Use un par de tijeras para cortar una tira del extremoabierto de la bolsa normal de productos. Una vez que secorta la tira, debe tener una banda o anillo de plástico. Inflaun globo a su tamaño completo y ata el extremo. Frote latoalla de algodón sobre la superficie del globo durante 30-45segundos. Aplane la banda de plástico sobre una superficiedura y frote suavemente la toalla sobre la banda durante30-45 segundos. Sostenga la banda de plástico aproximada-mente 30 centímetros sobre el globo y suéltelo. ¡La bandade plástico está levitando!

2.3. Este fósforo gira. Otra versión delexperimento de Gilbert

Cuando se equilibra con cautela un fósforo en el borde deuna moneda que también se ha balanceado precariamenteen otra moneda, puede parecer que girar la varilla de cerillahará que todo se caiga. Ese podría ser el caso si fueras a usartus manos. ¿Qué pasaría si tuvieras que usar electricidadestática para rotar la cerilla?

Coloque una moneda plana sobre una mesa y equilibrecuidadosamente otra moneda verticalmente sobre la prime-ra que está sobre la mesa. Equilibre un fósforo en la monedaverticalmente equilibrada. Teniendo cuidado de no golpeartu aparato balanceado, coloca el vaso de plástico sobre todoel conjunto. Infla y ata un globo. Frota el globo contra tucamisa, cabello o contra una alfombra para generar electrici-dad estática. Coloca el globo alrededor del exterior del vasode plástico y observa cómo el fósforo sigue al globo.

3 Conservación de la carga. Cargando eléctricamente un cuerpo. 3

Fig. 2: Simple montaje para el experimento de levitación con unglobo y una banda de plástico.

2.4. Demostración de dos tipos deelectricidad

Corte dos cintas de 15 centímetros de largo (etiquétalascomo T1 y B1), y coloca el lado adhesivo de T1 sobre el ladono pegajoso de B1. Sepáralos. ¿Atraen o repelen? ¿Cada unose siente atraído por tu dedo? (Esto se explica mediantela inducción electrostática en su dedo, si cada cinta estácargada). Pegue los extremos de la cinta al borde de unamesa. Preparar otro conjunto, etiquetado T2 y B2. Registrecómo interactúan las seis combinaciones de pares de cintas(atracción o repulsión). Pegue los extremos de las cintas en elborde de una mesa, separados unos pocos centímetros. Frotaun peine por tu cabello y determina cómo el peine interactúacon cada cinta. Frote el lado de una taza de espuma depoliestireno contra su ropa y determine cómo interactúa concada cinta. Determine el signo de T1, y así sucesivamentebajo el supuesto de que el peine es resinoso (negativo).

3. Conservación de la carga. Cargandoeléctricamente un cuerpo.

En la sección anterior hemos visto que algunos cuerposen circunstancias especiales y bajo condiciones controladaspueden disponer de una propiedad de carga eléctrica. Lacuestión en la que queremos hacer hincapié es en el hechode que, por ejemplo, el globo podía repeler o atraer el fós-foro después de haber sido frotado con el pedazo de tela, loque quiere decir que sin haber sido frotado el experimentonos ofrece otro resultado o ninguno aparentemente. Esto sig-nifica que dicha propiedad eléctrica es inherente al cuerposiempre y cuando sea activada o no? O en otras palabras,

un cuerpo tiene carga eléctrica naturalmente o necesita dealgún procedimiento para poderse activar? Esta es una cues-tión interesante y además fundamental. Por ejemplo, en elcaso de la masa, cuando estudiábamos interacción gravita-cional entre dos cuerpos, esta pregunta no tenía lugar niinterés, puesto que todo cuerpo si es geométricamente finito(aun cuando fuera muy pequeño) tiene masa y entonces enconclusión siente interacción gravitacional. Acá el asunto esque el peine atrae los trocitos de papel solo después de ha-ber sido frotado, antes no. Esto significa que esta propiedadeléctrica o no está disponible hasta ese momento o de algunamanera es neutra.

Por otro lado uno de los experimentos de la sección an-terior consiste en darse cuenta que existen dos respuestasposibles para la interacción entre cuerpos (interacción eléc-trica). En 1733, Dufay hizo el importante descubrimiento deque dos láminas delgadas de oro, cada una electrificada cuan-do eran acercadas a un trozo de vidrio que también habíasido electrificado consecuentemente se repelían o separaban,pero más aún las láminas también se repelían entre sí. (Elvidrio y las hojas de oro estaban cargados con la misma car-ga, digamos positivamente.) Un estudio sistemático de estascuestiones también permitió experimentar con un trozo deámbar, para darse cuenta que el efecto es ahora contrario,es decir, ahora la láminas delgadas de oro eran atraídas porel trozo de ámbar. Dado que por convención se supuso quelas láminas estaban cargadas positivamente, entonces de lamisma manera se asumió que el ámbar poseía el otro tipode carga, digamos negativa. Una investigación posterior re-veló que existen dos clases de materiales, resinosos (de colorámbar, correspondientes a carga negativa) y vítreos (comoel vidrio, correspondientes a carga positiva), que se repe-len dentro de cada clase, pero atraen entre las clases. Dufaydescubrió que, para que se produjera la repulsión, ambosobjetos tenían que estar suficientemente electrificados; de locontrario, habría una atracción débil (debido al efecto ám-bar). Algunas sustancias pueden consumir cualquier tipo deelectricidad, dependiendo de cómo se frotaron o tocaron.

Por otro lado en 1745 Franklin, quien con un indudableingenio, para el momento disponía de una riqueza que lepermitía ser bastante libre en sus inclinaciones e investiga-ciones. Disponía de una gran biblioteca (librería), un labora-torio y dinero proveniente de sus publicaciones para tener lalibertad de dedicarse al pensamiento filosófico de las cienciasnaturales. ese año, a partir de correspondencia que llegabaa Inglaterra de otras partes de mundo decidió continuar unainvestigación propia acerca de cómo se relacionaban los ra-yos y la electricidad del cual fue predecesor Bose. Franklin ysus amigos inmediatamente comenzaron a realizar sus pro-pios experimentos eléctricos. En una serie de cartas, Franklinresumió e interpretó sus experimentos. Quizás lo más impor-tante es que describió un experimento que llevó a Franklina su primera versión del modelo de fluido eléctrico.

Una cuestión interesante acerca de los experimentos deFranklin, que trataban de metodologías y procesos por el

4 Métodos de cargar cuerpos eléctricamente 4

medio del cual ciertos objetos podían ser electrizados o car-gados, es el hecho que en su modelo del flujo eléctrico podíatransferido de un cuerpo a otro, pero como sucede en lanaturaleza y dado los acontecimientos en otras áreas de lasciencias naturales, este fluido no podía ser creado de la nada,lo cual indicaba un principio de conservación para la carga,lo cual simplemente se escribe como

Qantes = Qdespués ⇒∑

Qi = Qantes−Qdespués = 0. (1)

Esta ley es simple y profunda al mismo tiempo de lo que sedesprenden importantes consecuencias en adelante, ademáses análoga y permite engrosar el conjunto de leyes conocidaspor la física como la conservación de energía, del momentumlineal, o del momento angular, etc. Lo importante acá es queesta simple expresión si bien es cierto no permite determi-nar nada acerca del proceso mismo de electrificación o cargade un cuerpo (dado que intervienen muchísimas variables),si que puede dar cuenta de una seguridad acerca de que lacantidad de carga transferida de un cuerpo a otro debe serigual a la cedida por el primero. Como siempre esta expre-sión es una ley en toda regla, lo cual quiere decir que essujeto de experimentación diaria. Como sucede con las de-más leyes de la naturaleza, a menudo muchos investigadoresen todo el mundo reportan numerosos experimentos en lasque inicialmente parecen haber conseguido una excepción ala regla. Afortunadamente, hasta los momentos, ninguno hasido lo completamente conclusivo o determinante para de-mostrar que dicha ley no se cumple. Por el contrario, lo quese demuestra a diario es que no hay (hasta ahora) ningúnexperimento que demuestre lo contrario.

Lo anterior, y a partir de los experimentos de nuestropredecesores, nos permite ahora puntualizar acerca de lasdistintas maneras en las que un cuerpo puede adquirir cargaeléctrica.

4. Métodos de cargar cuerpos eléctricamente

4.1. Cargas por fricciónSupongamos que un globo de goma se frota con trozo

de tela. Durante el proceso de frotamiento, los átomos delcaucho son forzados a estar muy cerca de los átomos delmaterial de tela. Las nubes de electrones de los dos tiposde átomos se presionan juntas y se acercan a los núcleos delos otros átomos. Los protones en los átomos de un materialcomienzan a interactuar con los electrones presentes en elotro material. Así los átomos de un material, en este caso,los átomos de caucho, son más restrictivos con respecto areclamación de electrones del otro material. Como tales, losátomos de goma comienzan a tomar electrones de los átomosde la tela. Cuando el roce ha cesado, los dos objetos se hancargado. Uno con exceso de electrones (el globo) que hansido tomados de la tela, y el otro (la tela) queda cargadocon exceso de protones ya que ha cedido sus electrones alglobo.

El procedimiento de frotar un globo de goma contra tucabello se realiza con bastante facilidad. Cuando termines,probablemente notarás que el globo de goma y tu cabello seatraen entre sí. En un día seco, incluso puedes soltar el globoy adherirlo a tu cabello. Esta atracción entre los dos objetoscargados es una evidencia de que los objetos que se carganse cargan con cargas opuestas. Uno tiene carga positiva y elotro tiene carga negativa.

El proceso de carga por fricción resulta en una transferen-cia de electrones entre los dos objetos que se frotan entre sí.El caucho tiene una atracción mucho mayor para los electro-nes que para la tela. Como resultado, los átomos de gomasacan electrones de los átomos de la tela, dejando a ambosobjetos con un desequilibrio de carga. El globo de goma tie-ne un exceso de electrones y la piel del animal tiene unaescasez de electrones. Teniendo un exceso de electrones, elglobo de goma se carga negativamente. Del mismo modo, laescasez de electrones en la tela lo deja con una carga po-sitiva. Los dos objetos se han cargado con cargas opuestascomo resultado de la transferencia de electrones del materialque menos ama a los electrones al material que más ama alos electrones.

4.2. Carga por contactoLa carga por conducción implica el contacto de un objeto

cargado con un objeto neutral. Supongamos que una placade aluminio cargada positivamente se toca con una esferade metal neutro. La esfera de metal neutro se carga comoresultado del contacto con la placa de aluminio cargada.

Fig. 3: Proceso de carga eléctrica por contacto.

4.2.1. Carga por conducción usando un objeto con carganegativa

Para explicar el proceso de carga por contacto, primeroconsideraremos el caso de usar una esfera de metal con car-ga negativa para cargar un cuerpo neutro. Comprender elproceso exige que se comprenda que los cargas similares serepelen. Una esfera metálica cargada negativamente tieneun exceso de electrones. Esos electrones se encuentran re-pulsivos y se distancian lo máximo posible. El perímetro dela esfera es el extremo al que pueden llegar. De este modotodos estos electrones que se repelen entre si, necesitan bus-car otro espacio, necesitan espaciarse lo más posible. Dadoeste entendimiento de las repulsiones electrón-electrón, no

4 Métodos de cargar cuerpos eléctricamente 5

es difícil predecir qué exceso de electrones en la esfera metá-lica se inclinarían a la esfera neutra cuando fueran tocadasambas. Una vez que se hace el contacto de la esfera cargadacon el cuerpo neutro, un número incontable de electrones enexceso de la esfera se mueve hacia el cuerpo y se extiendealrededor del sistema de esfera-cuerpo. En general, el obje-to que ofrece la mayor cantidad de espacio para alojar loselectrones será el objeto que albergará el mayor número deelectrones en exceso. Cuando se completa el proceso de car-ga por conducción, el cuerpo adquiere una carga negativaen exceso debido al movimiento de los electrones desde laesfera metálica. La esfera metálica todavía está cargada ne-gativamente, solo que tiene menos carga negativa en excesoque antes del proceso de carga por conducción.

4.2.2. Carga por conducción utilizando un objetocargado positivamente

El ejemplo anterior de carga por conducción involucrabatocar un objeto cargado negativamente con un objeto neu-tral. Al entrar en contacto, los electrones se movieron desdeel objeto cargado negativamente al objeto neutral. Cuandoterminó, ambos objetos se cargaron negativamente. Pero,¿qué sucede si un objeto cargado positivamente se toca conun objeto neutral? Para investigar esta pregunta, considera-mos el caso de una placa de aluminio cargada positivamenteque se utiliza para cargar una esfera de metal neutro por elproceso de conducción.

Una placa de aluminio cargada positivamente tiene un ex-ceso de protones. Cuando se mira desde una perspectiva elec-trónica, una placa de aluminio cargada positivamente tieneuna escasez de electrones. En términos humanos, cada exce-so de protones cargados positivamente será una situación dedesequilibrio y estos necesitarán electrones para alojar, pro-ducto de las interacciones de cargas de distinto signo en lascuales hay atracción. Sin embargo, dado que un protón estáestrechamente unido en el núcleo de un átomo, es incapaz dedejar un átomo en busca de un electrón. Sin embargo, puedeatraer un electrón móvil hacia sí mismo. Entonces, cuandola placa de aluminio cargada positivamente se toca con laesfera de metal neutral, innumerables electrones en la esfe-ra de metal migran hacia la placa de aluminio. Existe unamigración masiva de electrones hasta que se redistribuye lacarga positiva en el sistema de esfera de metal y placa dealuminio. Habiendo perdido electrones en la placa de alu-minio cargada positivamente, hay una escasez de electronesen la esfera y una carga general positiva. La placa de alumi-nio todavía está cargada positivamente, solo que ahora tienemenos carga positiva en exceso que antes de que comenzarael proceso de carga.

4.3. Carga por inducciónLa carga por inducción es un método que se utiliza pa-

ra cargar un objeto sin tocarlo realmente con ningún otroobjeto cargado. Una comprensión de la carga por inducción

requiere una comprensión de la naturaleza de un conductory una comprensión del proceso de polarización.

Fig. 4: Proceso de carga eléctrica por inducción.

4.3.1. Carga de un sistema de dos esferas con un objetocon carga negativa

Una demostración común realizada en un aula de físicaimplica la carga por inducción de dos esferas de metal. Lasesferas de metal se apoyan en soportes aislantes para quecualquier carga adquirida por las esferas no pueda viajar alsuelo. Las esferas se colocan una al lado de la otra para for-mar un sistema de dos esferas. Al estar hechos de metal (unconductor), los electrones pueden moverse libremente entrelas esferas, desde la esfera A a la esfera B y viceversa. Si unglobo de goma se carga negativamente (tal vez frotándolocon un trozo de tela) y se acerca a las esferas, se induciráa los electrones a alejarse del globo. Este es simplementeel principio de que las cargas similares se repelen. Estandocargados negativamente, los electrones son repelidos por elglobo negativo. Y al estar presentes en un conductor, pue-den moverse libremente por la superficie del conductor. Pos-teriormente, hay una migración masiva de electrones de laesfera A a la esfera B. Esta migración de electrones hace queel sistema de dos esferas esté polarizado. En general, el sis-tema de dos esferas es eléctricamente neutro. Sin embargo,el movimiento de electrones fuera de la esfera A y dentro dela esfera B separa la carga negativa de la carga positiva. Alobservar las esferas individualmente, sería preciso decir quela esfera A tiene una carga positiva general y la esfera B tie-ne una carga negativa general. Una vez que el sistema de dosesferas está polarizado, la esfera B se separa físicamente dela esfera A mediante el soporte aislante. Una vez que se haalejado del globo, es probable que la carga negativa se redis-tribuya sobre la esfera B. Mientras tanto, el exceso de cargapositiva en la esfera A permanece ubicado cerca del globocon carga negativa, de acuerdo con el principio de que lascargas opuestas se atraen. A medida que se retira el globo,hay una distribución uniforme de carga sobre la superficiede ambas esferas. Esta distribución se produce cuando loselectrones restantes en la esfera A se mueven a través de lasuperficie de la esfera hasta que la carga positiva en exceso

5 Mas sobre conservación de la carga 6

se distribuye uniformemente.

5. Mas sobre conservación de la carga

Desde un punto de vista moderno todas las reacciones departículas elementales deben conservar carga. A menos queesté considerando el mundo sub-hadrónico, todas las partí-culas elementales cargadas tienen una carga que es un múlti-plo entero positivo o negativo de la carga del electrón. Dadala carga de todas las partículas involucradas en una reacción,la carga neta de las partículas iniciales debe igual a la carganeta de las partículas finales. Esto ocurre en innumerablesreacciones de decaimiento en el mundo cuántico en dondetienen lugar estas interacciones. En esencia el decaimientode partículas elementales o la emisión de ciertos núcleos ató-micos producto de interacciones de la materia sub-atómica,produce innumerables partículas secundarias con diferentespropiedades atómicas, sin embargo, como regla general algu-nas de las propiedades antes y después de la interacción nocambian, permanecen invariables. Esto sucede por ejemploen el decaimiento elemental de varias reacciones, como

p+ π− → e+ + e−, Decaimiento del piónn→ p+ e− + νe, Generación de neutrino electrónico

son ejemplos de estos tipos de reacciones en las que la cargaes una cantidad conservada. En estos casos en particular véa-se que el electrón (e−) como partícula fundamental apareceen ambas, acompañada de otras partículas como el neutrino(νe), el protón (p), el pion (π+,−), el neutrón (n), etc.

estas reacciones ocurren a diario mientras leemos estas pá-ginas en cantidades enormes. Lo importantes es que ningunade ellas, responsables de los adelantos tecnológicos que tene-mos hoy día, violan el principio de conservación de la carga.

Otro ejemplo se presenta en el decaimiento del núcleo deun átomo inestable. La carga eléctrica siempre se conservaen estos procesos. El carbono-10 tiene la relación protón-neutrón de 4 neutrones a 6 protones. Necesita más neutronespara ser estable, por lo tanto, un protón puede convertirseen un neutrón a través de la desintegración beta-plus,

106 C →10

5 B +01 e, (2)

observe que la carga eléctrica se conserva. El carbono-10tiene una carga de +6, y la carga de boro +5 agregada a lacarga de +1 del positrón es igual a +6.

El carbono-14 tiene la relación protón-neutrón 8 neutronesa 6 protones, y esto no está en el rango estable, sin embargo,un neutrón tiene que convertirse en un protón, y lo hace através de la desintegración beta-menos.

146 C →14

7 B +0−1 e, (3)

otra vez la carga eléctrica es conservada.Desde un punto de vista más formal el concepto de conser-

vación de la carga se entiende como una ecuación de conser-vación aplicada sobre la transferencia de carga de un cuerpo.

Digamos que consideramos un cuerpo en el cual la carga en-cerrada en un elemento de volumen Vvol en un instante detiempo ∆t es Q, entonces, la fracción de acumulación decarga está dada por ∆Q/∆t. De esta manera si hay unatransferencia de cargar entre el cuerpo y su exterior pode-mos escribir

dQ

dt= lım

∆t→0

∆Q

∆t= Qdentro(t)− Qfuera(t), (4)

donde Qdentro(t) y Qfuera(t) son las razones de cambio decargas dentro y fuera del cuerpo debido a una transferencianeta general de la propiedad en el instante de tiempo t sobrela cantidad de volumen Vvol. En este caso el punto denotaderivada temporal.

La expresión anterior puede ser integrada para obtener

Q(t) = Q(t0) +

∫ t

t0

(Qdentro(τ)− Qfuera(τ)

)dτ. (5)

La condición Q(t) = Q(t0) para t > t0 corresponde a laausencia de cambio en la cantidad de carga en el volumende control, lo que significa que el sistema ha alcanzado unestado estable. A partir de la condición anterior, lo siguientetambién es cierto:∫ t

t0

(Qdentro(τ)− Qfuera(τ)

)dτ = 0

⇒ Qdentro(t) = Qfuera(t), para t > t0. (6)

por lo tanto, Qdentro(t) y Qfuera(t) son iguales (no nece-sariamente constantes) a lo largo del tiempo, entonces lacarga general dentro del volumen de control no cambia. Es-ta deducción podría derivarse directamente de la ecuaciónde continuidad, ya que en el estado estacionario dQ

dt = 0 secumple, e implica Qdentro(t) = Qfuera(t).

6. Cuantización de la carga

Los bloques de construcción de la materia son átomos, queconsisten en un núcleo y electrones. El núcleo tiene protonescargados positivamente y neutrones que son de carga neu-tra. Los electrones con carga negativa se mueven alrededordel núcleo. Se ha observado que la carga eléctrica de todaslas partículas es múltiplo integral de un valor elemental decarga. Denotando la magnitud de la carga de un electrón, lacarga de todas las partículas es

±e, ±2e, ±3e, ......, ±Ne, (7)

con N un número entero.Esto se conoce como cuantización de carga. Las partículas

neutras, como los neutrones y los fotones, tienen carga nu-la. Los físicos han revisado su pensamiento anterior de quelas partículas como los neutrones y los protones son partí-culas fundamentales. Ahora se considera que pertenecen a

7 Distribuciones uniformes de carga 7

un grupo de partículas llamadas Hadrones, que están for-madas por constituyentes fundamentales llamados quarks,que tienen una carga fraccional de magnitud de un tercioo dos de una carga electrónica. Los electrones, por otro la-do, se consideran partículas elementales, pertenecientes a ungrupo llamado Leptones.

6.1. Experimento de la gota de aceite deMillikan

La cuantización de la carga fue establecida experimental-mente por Robert Millikan en 1909. Millikan pulverizó unafina niebla de gotas de aceite en una cámara al vacío utili-zando un atomizador. La cámara tiene dos placas de metal,que se cargan con alta tensión. Algunas de las gotas de acei-te encuentran su camino en la región entre estas dos placasa través de un orificio en la placa superior. En esta regiónse mueven bajo la acción de la gravedad y la resistencia delaire. Si estas gotas se exponen a una radiación ionizante deuna fuente de rayos X, algunos de los electrones del aire io-nizado se unen a las gotas de aceite, lo que hace que estasgotas se carguen negativamente. Las gotitas están ilumina-das por una fuente de luz en ángulo recto a un microscopiode observación. Con un cambio cuidadoso de la tensión, lagota se puede observar durante mucho tiempo. Inicialmente,las placas están descargadas. Una gota adquiere una veloci-dad terminal v0 cuando cae entre las placas bajo la acciónde la gravedad y la resistencia del aire.

Resistencia del aire = Mg = 6πηav0, (Ley de Stoke),(8)

donde a es el radio de la gota de aceite y la velocidad termi-nal podía calcularse midiendo el tiempo que tarde en caer ala otra placa. La densidad y Masa de la gota de aceita sonρ y M respectivamente, con M = 4πa2ρ/3. Una vez que sedetermina la masa, la gota se somete a un campo eléctricotal que la gota comience a moverse hacia arriba. En estasituación, la resistencia del aire (que es opuesta a la direc-ción de la velocidad), así como el peso de la gota, equilibrala fuerza eléctrica y la gota adquiere una nueva velocidadterminal v.

qE = mg + 6πηav ⇒ q =6πηa

E(v + v0). (9)

Midiendo el tiempo de caída entre dos posiciones, se deter-mina la velocidad terminal. Se encuentra que la carga en lagota es un múltiplo integral de una carga elemental. El valorde la carga elemental actualmente aceptado de un electrónes

qe = −1.602× 10−19 Coulomb (10)

El experimento muestra que la carga eléctrica existe enunidades naturales básicas enteras y el valor de la unidadbásica es igual a la magnitud de la carga de un electrón.

7. Distribuciones uniformes de carga

Hasta ahora hemos hablado de la carga de modo general.Cuando queremos comprobar algunas propiedades sobre laelectricidad usualmente hacemos uso de cargas puntuales.Dado que, como se ha demostrado, la carga eléctrica de unobjeto extendido parece estar dada en términos de núme-ros enteros de cantidad de carga del electrón como partículafundamental. Usualmente los cuerpos y materiales que con-seguimos en la naturaleza no poseen carga, o mejor, poseencarga eléctrica nula. Esto implica que la cantidad de electro-nes es igual a la cantidad de protones contenidos en el núcleode los átomos que lo componen. Sin embargo, si se tiene unexceso de electrones, por ejemplo, entonces la carga eléctri-ca ya no es nula y su carga total será igual a la carga delelectrón multiplicada por la cantidad total de electrones enexceso respecto de los protones totales en la distribución decarga. Para medir la carga de un cuerpo normalmente puedeusarse un instrumento llamado electroscopio, el cual vamosa describir muy bien en el capítulo siguiente. Sin embargo,este instrumento consiste en un par de láminas delgadas quese encuentra en el interior de un tubo aislado de interaccio-nes exteriores. Las láminas se unen a una esfera metálica enel exterior. Cuando un objeto cargado es puesto en contactocon la esfera anterior, esta transfiere carga a las láminas quese cargan con el mismo signo, entonces las láminas se sepa-ran un ángulo determinado. Cuando las láminas se separany en consideración del ángulo, la carga puede ser estimada.

Cuando no conocemos la carga total de un cuerpo es po-sible suponer el en algunas ocasiones la carga pudiera estardistribuida uniformemente en la geometría del objeto. Aquíhay tres casos posibles entonces:

la carga se distribuye linealmente, por ejemplo, si elobjeto fuera un alambre muy fino que solo tiene dimen-siones de largo,

la carga se distribuye superficialmente, por ejemplo, siel objeto es geométricamente plano y tiene dos dimen-siones,

la carga se distribuye volumétricamente, por ejemplo,un objeto material en tres dimensiones.

Veamos algunos casos por separado.

7.1. Cargas distribuidas linealmenteImaginemos que disponemos de una distribución geomé-

trica en la cual las cargas se distribuyen linealmente, es de-cir, en la dimensión de longitud del material, esto pudieraser un hilo, o un alambre conductor muy delgado, como losmostrados en la figura 5, etc. En este caso la carga total al-macenada en el hilo conductor estará dada simplemente por

qtotal = lım∆qi⇒0

∑i

∆qi =

∫dq =

∫dq

dsds =

∫λds, (11)

7 Distribuciones uniformes de carga 8

en este caso hemos definido una nueva cantidad λ = dq/dsque llamaremos densidad de carga lineal de la distribución.Se dice en este caso que el cuerpo posee una densidad dcarga lineal y que podemos considerar la carga por unidadde longitud. Cuando decimos que el cuerpo, en este caso, estáuniformemente cargado, suponemos que la carga por unidadde longitud λ es constante, lo que quiere decir que en igualespedazos de longitud la carga es exactamente la misma o muyaproximadamente la misma. Si la densidad de carga lineales constante, entonces la carga total es simplemente

qtotal =

∫λds = λ

∫ds = λl⇒ λ =

q

l, (12)

Fig. 5: Distribuciones de carga lineal.

Ejemplo: Un alambre recto cargado linealmente.

Suponga que el alambre de la figura 5(b) posee una carga dis-tribuida de modo que el material del cual está hecho permiteacumular mas carga en uno de los extremos del mismo, es de-cir, suponiendo que designanos uno de los extremos como elpunto de origen, digamos que el alambre acumula más carga amedida que la longitud se hace más grande siguiendo el eje Xpositivo. Supongamos que el alambre acumula carga siguien-do una ley cuadrática λ = cl2. En este caso la carga total delalambre estará data por

qtotal =

∫λds =

∫ l

0

cs2ds =c

3l3 ⇒ qtotal =

c

3l3. (13)

Como podemos ver a medida que aumenta la longitud acu-mulada de la distribución también aumenta su densidad decarga y por ende también aumenta la carga total acumulada.En este ejemplo c es alguna constante con unidades de cargapor unidad de longitud y es arbitraria. En la figura se mues-tra en el eje Y tanto la densidad de carga y la carga totalnormalizadas por la constante c.

Ejemplo: Carga sobre un conductor circular.

Considere la distribución de la figura 5(c) en la cual el conduc-tor tiene una densidad de carga lineal que varía con el ángulotal que λ = ca sin2 θ, donde a es el radio de la distribución. Eneste caso,

qtotal =

∫λds =

∫ π/2

0

λadθ =

∫ π/2

0

ca2 sin2 θdθ

= ca2θ − sin θ cos θ

2

∣∣∣π/20

= 0.786ca2. (14)

Véase que la longitud de arco total es l =∫ds =

∫ α0

= aα.Como es esperado, si α = 2π (círculo completo), entonces lalongitud total es l = 2πa. La densidad de carga promedio estádata por λ = q/l = ca

(1− sinα cosα

α

). Si se hubiera conside-

rado un círculo completo de distribución de carga entonces lacarga total sería ca2π. En este ejemplo c es alguna constantecon unidades de carga por unidad de longitud y es arbitraria.En la figura se muestra en el eje Y tanto la densidad de cargay la carga total normalizadas por la constante c.

7.2. Cargas distribuidas superficialmenteComo en el caso anterior, cuando en este caso las cargas

se distribuyen en el área total de una distribución planadecimos que la carga se distribuye superficialmente y en estecaso designamos la densidad de carga superficial como

σ =q

A, (15)

donde A es el área total en la que se distribuyen las cargas.En este caso tendremos que la carga total es

qtotal = lım∆qi⇒0

∑i

∆qi =

∫dq =

∫dq

dAdA =

∫σdA.

(16)

Fig. 6: Distribuciones de carga superficial.

7 Distribuciones uniformes de carga 9

Ejemplo: Carga sobre un conductor circular.

Considere la distribución de la figura 6(c) en la cual el conduc-tor tiene una densidad de carga superficial en toda el áreadel círculo. Como es esperado, el área total del circulo esA =

∫dA =

∫ R0

2πrdr = πR2. Dado que el círculo tiene si-metría radial entonces podemos escribir

qtotal =

∫σdA =

∫ R

0

σ(2πr)dr. (17)

Ahora imaginemos que la densidad de carga superficial estádada por la expresión σ = α(a2 − r2)−1/2, donde α es unaconstante arbitraria (que tiene unidades de carga por unidadde longitud) y a es el radio externo del círculo. En este caso,

qtotal =

∫σdA =

∫ a

0

α(a2 − r2)−1/2(2πr)dr

= 2πα

∫ a

0

rdr

(a2 − r2)−1/2= 2παa. (18)

Así la densidad de carga promedio es

σ =q

A=

q

2πa2=

2α

a. (19)

Ejemplo: Carga de una superficie cilíndrica de radio a y largol.

Considere la distribución de carga alojada en la superficie deun cilindro de radio a y largo l como en la figura, en la cualla densidad de carga varía de acuerdo a σ = cz, donde z es lalongitud del cilindro medido en el eje de simetría del mismo yc es una constante arbitraria, la cual tiene unidades de cargapor unidad de volumen.

Como es esperado, el área total del circulo es A =∫dA =∫ l

02πadz = 2πal. También podemos ver esto de manera dife-

rencial considerando el pequeño rectángulo o sector superficialcon dimensiones dz y ds. Véase que dA = dsdz = adθdz, de es-te modo si se integra parcialmente desde 0 hasta 2π, se obtieneque dA = 2aπdz, y esto nos da el área de la franja circular.Dado que el cilindro tiene simetría axial entonces podemos es-cribir

qtotal =

∫σdA =

∫ l

0

(αz)(2πadz) = 2πaα

∫ l

0

zdz = παal2.

(20)Así la densidad de carga promedio es

σ =q

A=

q

2πal=αl

2. (21)