LA CARTA DE AJUSTE POR RETROALIMENTACIÓN
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LA CARTA DE AJUSTE POR RETROALIMENTACIÓN
Suponer una variable de calidad Y, que tiene un “target” T.
Suponer una variable controlable X que influye en el valor de Y mediante la relación gX = Y , es decir 1 unidad de X es equivalente a una g unidades de Y.
La carta de ajuste trata de mantener el valor de Y lo más cerca posible de T a través de manipular el valor de X.
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Funcionamiento de la carta de Ajuste
Sea y = Y – T la desviación de Y a T.Sea x = Xnueva – Xanterior
1) Se tiene yi .2) Mediante un modelo de pronóstico, se estima yi+1 .3) Con la estimación de yi+1 se incrementa el valor de X
en x unidades para que anule la desviación pronósticada de yi+1 .
Nota: Se supone el incremento en X, causa efecto en el siguiente valor de y.
Se repiten los pasos 1), 2), 3).
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EL MODELO DE PRONÓSTICO EWMA
0con
) 1(
1
11
y
yyy iii con 0 < < 1
El valor de es aquel que minimiza la suma del cuadrado de los errores.
2
ii yySCE
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El valor de se puede también determinar, aplicando el modelo de pronóstico EWMA directamente a los valores de Y , es decir:
.1 0 ,con
) 1(
1
11
TY
YYY iii
El valor de es aquel que minimiza la suma del cuadrado de los errores.
2
ii YYSCE
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Algoritmo de la Carta de Ajuste
Suponer que en la observación i se tiene Yi , Xi .
Entonces la desviación de Yi es: yi = Yi – T .
La relación que conecta a x con la posición de Y en “target” es:
ii yg
x
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Entonces el valor de Xi se incrementa en xi unidades para que en la observación Yi+1 se tenga una desviación controlada de:
])1( [ 11)(
iiiiiic yyyyyy
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Ejemplo.
Se desea controlar la temperatura de un proceso químico, la cual depende de la presión que se le aplique la cual es una variable controlable.
Aquí la variable a controlar es Y = Temperatura
La cual depende de: X = Presión
A continuación se tienen valores observados de la temperatura dejando el proceso trabajar libremente.
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Ejemplo. Suponer los siguientes valores de Y con T=200.
192193194195196197198199200201202
0 20 40 60 80 100
Te
mp
era
tura
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Primero debemos estimar el valor adecuado para , ésto lo haremos con las primeras 50 observaciones de Y.
Considerando = 0.1, debemos calcular la SCE.
Tenemos que para Y1, Yp(1) = 200. Entonces el error 1 es 199.07 – 200 = -0.93 y el cuadrado es (-0.93)2 = 0.865
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Para Y2 tenemos que su pronóstico es, Yp(2) = (0.1)199.07 + (0.9)200 = 199.907 El error es 201.008 – 199.907 = 1.101 El (error)2 = (1.101)2 = 1.212
Para Y3 tenemos que su pronóstico es, Yp(3) = (0.1)201.008 + (0.9)199.907 = 200.017 El error es 198.195 – 200.017 = -1.822 El (error)2 = (-1.822)2 = 3.32
Etc.
Sumando los cuadrados de los errores tenemos que para = 0.1,
SCE = 105.507
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lambda = 0.1 SCE= 105.507
obs Y Ypron error error cuad 1 199.070 200.000 -0.930 0.865 2 201.008 199.907 1.101 1.212 3 198.195 200.017 -1.822 3.320 4 199.385 199.835 -0.450 0.202 5 199.413 199.790 -0.377 0.142 6 199.090 199.752 -0.662 0.439 7 196.910 199.686 -2.776 7.706 8 198.675 199.408 -0.733 0.538 9 198.301 199.335 -1.034 1.069
10 195.581 199.232 -3.651 13.327 11 198.448 198.867 -0.419 0.175 12 196.966 198.825 -1.859 3.455 13 198.115 198.639 -0.524 0.274 14 197.709 198.586 -0.877 0.770 15 198.819 198.499 0.320 0.103 16 199.974 198.531 1.443 2.083 17 197.150 198.675 -1.525 2.326 18 198.951 198.523 0.428 0.184 19 198.619 198.565 0.054 0.003 20 197.846 198.571 -0.725 0.525 21 195.321 198.498 -3.177 10.095 22 196.735 198.181 -1.446 2.090 23 197.790 198.036 -0.246 0.061 24 197.971 198.011 -0.040 0.002 25 194.888 198.007 -3.119 9.730
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obs Y Ypron error error cuad 26 196.069 197.695 -1.626 2.645 27 196.665 197.533 -0.868 0.753 28 194.696 197.446 -2.750 7.563 29 197.583 197.171 0.412 0.170 30 194.899 197.212 -2.313 5.351 31 195.806 196.981 -1.175 1.380 32 195.073 196.863 -1.790 3.206 33 196.014 196.684 -0.670 0.449 34 196.388 196.617 -0.229 0.053 35 193.659 196.594 -2.935 8.617 36 196.517 196.301 0.216 0.047 37 195.359 196.322 -0.963 0.928 38 195.983 196.226 -0.243 0.059 39 195.601 196.202 -0.601 0.361 40 198.330 196.142 2.188 4.789 41 197.152 196.361 0.791 0.626 42 197.327 196.440 0.887 0.787 43 196.678 196.528 0.150 0.022 44 197.529 196.543 0.986 0.971 45 196.576 196.642 -0.066 0.004 46 195.944 196.635 -0.691 0.478 47 195.992 196.566 -0.574 0.330 48 197.820 196.509 1.311 1.719 49 195.867 196.640 -0.773 0.597 50 194.858 196.563 -1.705 2.906
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Hacemos variar el valor de para seleccionar el que minimiza la SCE. Obtenemos la siguiente tabla:
lambda SCE0.01 381.4110.1 105.5070.2 84.4850.3 81.2580.4 82.7040.5 86.7490.6 92.7530.7 100.5000.8 110.0060.9 121.4920.99 133.896
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Ahora se aplica la carta de ajuste a las últimas 50 observaciones.
- Se considera que = 0.3.
- Se supone que g = 1.9 .
- Se supone que el incremento en X hace efecto en la siguiente observación de Y.
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obs Y Y cont y ycont x ypron51 196.473 ***** -3.527 ***** 0.557 0.00052 195.654 196.712 -4.346 -3.288 0.519 -1.05853 194.562 196.606 -5.438 -3.394 0.536 -2.04454 195.798 198.861 -4.202 -1.139 0.180 -3.06355 195.997 199.401 -4.003 -0.599 0.095 -3.40456 196.108 199.692 -3.892 -0.308 0.049 -3.58457 196.124 199.800 -3.876 -0.200 0.032 -3.67658 194.352 198.088 -5.648 -1.912 0.302 -3.73659 194.580 198.890 -5.420 -1.110 0.175 -4.31060 196.666 201.309 -3.334 1.309 -0.207 -4.64361 195.512 199.762 -4.488 -0.238 0.038 -4.25062 195.957 200.279 -4.043 0.279 -0.044 -4.32263 194.882 199.120 -5.118 -0.880 0.139 -4.23864 194.629 199.131 -5.371 -0.869 0.137 -4.50265 196.614 201.377 -3.386 1.377 -0.217 -4.76366 197.262 201.612 -2.738 1.612 -0.254 -4.35067 195.777 199.643 -4.223 -0.357 0.056 -3.86668 193.214 197.187 -6.786 -2.813 0.444 -3.97369 196.449 201.266 -3.551 1.266 -0.200 -4.81770 195.795 200.232 -4.205 0.232 -0.037 -4.43771 195.807 200.175 -4.193 0.175 -0.028 -4.36872 196.492 200.807 -3.508 0.807 -0.127 -4.31573 195.337 199.410 -4.663 -0.590 0.093 -4.07374 195.995 200.245 -4.005 0.245 -0.039 -4.25075 195.970 200.147 -4.030 0.147 -0.023 -4.177
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Para la observación 51 se tiene que
y51 = 196.473 – 200 = -3.527
x51 = (-0.3/1.9)(-3.527) = 0.557
esto trae una desviación controlada en la observación 52
de yc(52) = -4.346- [0.3(-3.527) + 0.7(0)]
yc(52) = -4.346 – (-1.058) yc(52) = -3.288
lo que significa una Yc(52) = 200 – 3.288 = 196.712 .
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Para la observación 52 se tiene que
x52 = (-0.3/1.9)(-3.288) = 0.519
esto trae una desviación controlada en la observación 53
de yc(53) = -5.438 – [0.3(-4.346) + 0.7(-1.058)]
yc(53) = -5.438 – (-2.044) yc(53) = -3.394
lo que significa una Yc(53) = 200 – 3.394 = 196.606.
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Para la observación 53 se tiene que
x53 = (-0.3/1.9)(-3.394) = 0.534 , esto trae una desviación
controlada en la observación 54 de
yc(54) = -4.202 – [0.3(-5.438) + 0.7(-2.044)]
yc(54) = -4.202 – (-3.062)yc(54) = -1.14
lo que significa que
Yc(54) = 200 – 1.14 = 198.86 etc.
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Aspecto de las observaciones de Y sin controlar y controlados.
Observaciones controladas y no controladas
192
194
196
198
200
202
204
50 60 70 80 90 100
Te
mp
era
tura
Y no cont.
Y cont.