TEORA DE EXPONENTES

UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA EPIE

III UNIDADDERIVADAS Y DIFERENCIALAhora iniciaremos el estudio formal del CALCULO DIFERENCIAL

1. DEFINICION DE DERIVADAEl lmite de la relacin entre el incremento de la funcin y el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero, se llama derivada de la funcin dada. Es decir:

Se lee: Derivada de f con respecto a x.

Si hacemos x = h, tendremos la forma simple:

Ejemplo: Derivar f (x) = x3Resolucin:

Evaluando cuando h 0

, luego:

Esta manera de calcular una derivada se llama derivada por definicin, que no se aplicara en la resolucin de los problemas. 1.1 Notacin: Si y = f(x) Luego: y= f(x) Indistintamente se puede usar y o f(x) para denotar la derivada de una funcin. 2. Interpretacin Geomtrica de la Derivada.Es la pendiente de la recta secante a una curva, en el lmite es la pendiente de la recta tangente y por ende la derivada de la funcin en ese punto.

Sea la pendiente = m

Donde:

De donde: m = f(x)

f(x)=m

m = pendiente de la rectaNotemos que la derivada de la funcin nos da la pendiente m en el punto (x, f(x) sea: m = f(x, f(x)) y nos dara un valor numrico para la pendiente.

4. Reglas de Derivacin.Sean y, u, v funciones en variables x; osea u=f(x) y v=g(x) , c, a y n constantes. 1. y = c y = 02. y = x y = 13. y = c u y = c u4. y = u v y = u v5. y = u v y = u v + v u (producto)6. y = y = (cociente)7. y = xn y = n xn18. 8. y = un y = n un1 u

5. Derivadas de Funciones Trigonomtricas:1. y = sen u y = cos u u2. y = cos u y = sen u u3. y = tan u y = sec2 u u4. y = cot u y = csc2 u u5. y = sec u y = sec u tan u u6. y = csc u y = csc u cot u u

6. Derivadas de Funciones Exponenciales y Logartmicas:1. y = au y = au u ln a2. y = ln u y = u3. y = log a u y = 4. y = eu y = eu u5. y= 6. y = log a 7. REGLA DE LA CADENA Si:1. y = , u = g(x) y=n.un: es constante y puede ser un quebrado.

y = f(u)

1. = 3(y= 3(6+3)y= 9(2+1) Rpta

= ) =2sen.(=2sen).cos(.(y=2sen).cos(.2ln((ln(y= 2sen).cos(.2ln(()y= 4sen).cos(ln(.y= Rpta.

3. y=16 Rpta. 4. y = 3-8+6 +1 y = 3- 8 + 6 +1 y= 3.-6. y= 2-y= - - Rpta. 5. y = y= y= y= y= = Rpta.

6. y= (.ln(y= ()ln( (= (y= 2x.ln(y= 2x.ln(.y= 2x[ln(+1] Rpta.

7. 7. y =8. y= y= y= y= y= Rpta.

PRACTICA 1Hallar la derivada de las siguientes funciones:1. 2. y = 3. y = 4. y = 2 ++6x-35. y =

6. (1)(7. y = 8. y = 9. y = 10. 11. )12. 13. y =

PRACTICA 2 A)Derivar las siguientes funciones racionales e irracionales:01. y = 02. y = .

03.04. y = 05. y= 06. y =

07.08. y =

09.

10.11. y =

12. 13. y =

PRACTICA 3Derivar las siguientes funciones logaritmo natural:

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.11. y = ln()12. y = ln()13. y = 2 ln()PRACTICA 4Derivar las siguientes funciones logartmicas vulgares:

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.11. f(x) = log() 12. f(x) = log(x-2)(x-3)13. f(x) = logPRACTICA 5Derivar las siguientes funciones exponenciales:

01.

02.

03.

04.+

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

PRACTICA 6 Derivar las siguientes funciones trigonomtricas:

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

PRACTICA 7Problemas miscelneos

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

Reglas de Derivacin para las Funciones Trigonomtricas Inversas.

Sea u = u(x), una funcin derivable en x, entonces:

a) Si

b) Si

c) Si

d) Si

e) Si

f) Si PRACTICA 81.

Rpta. 2.

Rpta. 3.

Rpta. 4.

Rpta. 5. Rpta. 6.

Rpta. 7.

Rpta. 8.

Rpta. 9.

Rpta. 10.

Rpta. 11. y = arctg( Rpta.y=

12. y = arctg() Rpta y=

13. y = arcsen(lnx) Rpta. y= PRACTICA 9

Calcular las siguientes Derivadas:1.

Rpta. 2.

Rpta. 3.

Rpta. 4.

Rpta. 5.

Rpta. 6.

Rpta.

7.

Rpta. 8.

Rpta. 9.

Rpta. 10.

Rpta. 11.

Rpta.

12.

Rpta.

EJERCICIOS PROPUESTOS13.

Rpta. 14.

Rpta. 15.

Rpta.

Docente: Ing Luis Nina Ponce Tacna, 16 de marzo del 2015Pg. 5