La Ecuación de La Recta en El Espacio
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• Introducción:• Como estudiamos en el plano,
una recta queda definida a través de dos puntos, y esta es única. Cuando estamos en el espacio diremos que una recta queda definida por un punto P0=(x0, y0, z0) y un vector no nulo que llamaremos vector director o direccional de la recta. La ecuación de la recta puede adoptar diferentes formas , que estudiaremos a continuación.
v
Ecuación en forma vectorial
La recta que pasa por el punto P0=(x0, y0, z0)
y tiene por vector director ;es el conjunto
de puntos P del espacio que verifican la relación vectorial
• con
( , , )x y zV v v v��������������
0P P v
R
z
o y
x
rP0
V�������������� P
• Teniendo en cuenta la suma de vectores se verifica:
Donde λ es el numero de veces que el vector
0 0
0
, identificamos el punto P con el
vector que va desde el origen de coordenadas hasta
el punto P, se obtiene
Se denomina
ecuacion v
OP OP P P Si
OP
P P V
������������������������������������������
��������������
��������������
ectorial de la recta en el espacio
0 contiene al P P V����������������������������
Ecuación de la recta en forma paramétrica
• .
0
0 0
0 0 0
0
0
0
partiendo de P=P
, , , , , , ,
, , , , ,
Ecuacion en forma Parame
o x y z
x y z
y
z
V podemos escribir
x y z x y z v v v operando
x y z x v y v z v
x x v
igualandocomponentes r y y v
z z v
��������������
������������������������������������������
������������������������������������������
��������������
��������������
ntica
Ecuación de la Recta en Forma Continua
• .
0 0 0
0 0 0
0, 0, 0
, ,
igualando las expresiones tenemos
forma "continua de la ecuacion de la recta"
x y z
x y z
x y z
consideramos que v v v
x x y y z z
v v v
x x y y z z
v v v
Ecuación de la recta en forma cartesiana o implícita
• .
0 0 0 0
A partir de la ecuacion continua de la recta podemos
obtener las dos ecuaciones siguientes:
,
las que podemos escribir de la forma
. . . 0r
.́ '. '. ´ 0
Ecuacion
x y y z
x x y y y y z z
v v v v
a x b y c z d
a x b y c z d
implisita o carteciana de la recta
Ecuación del Plano
• Si N es un vector dado diferente del vector cero y P0
es un punto dado, entonces el conjunto de todos los puntos para los cuales y N son ortogonales
• definen al plano que pasa por y tiene a N como • Vector normal
0V PP��������������
0P
• .
Z
X
Y
,
0 0 0 0( , , )P x y z( , , )P x y z
N��������������
Teorema
• .
0 0 0 0
0 0 0
, , es un punto del plano
y (a,b,c) es un vector normal al plano,
entonces una ecuacion del plano es:
a. 0
Si P x y z
x x b y y c z z
• .
0
0
0 0 0 0
Refieranse a la figura anterior, donde N=<a,b,c>, sea
P(x,y,z) cualquier punto del plano. V( ) el vector
que tiene a una representacion; de modo que
V , , 1
de l
P P es
P P como
P P x x y y z z
��������������
��������������
��������������
0
0 0 0
a definicion anterior y la propiedad de que el producto
punto de dos vectores ortogonales es cero se tiene: V . , , 0
De 1 y de la ecuacion anterior se obtiene
a 0
P P a b z
x x b y y c z z
��������������
• Ejemplo 1: Obtenga una ecuación del plano que contiene al punto (2, 1, 3) y tiene al vector 3i-4j+k como vector normal.
• Solución : del teorema anterior , es el punto (2,1,3) y <a,b,c> es el vector <3,-4,1>, entonces la ecuación del plano será:
• 3.(x-2)-4(y-1)+(z-3)=0 3x - 4y + z – 5 = 0
0 0 0, ,x y z
• Ecuación Paramétrica del Plano
• z
o y
x
u
v
xP
Para que el punto P pertenezca al plano el vector
tiene que ser coplanario con es decir que
dependa linealmente de
PX u y v
u y v
PX u v
������������������������������������������
������������������������������������������
Ecuación Paramétrica del plano
• Por igualdad de las componentes de vectores la ecuación paramétrica resulta:
0 1 1
0 2 2
0 3 3
x x u v
y y u v
z z u v
Ecuación General del Plano• Un punto está en el plano π si tiene solución el
sistema:
0 1 1
0 2 2
0 3 3
x x u v
y y u v
z z u v
• Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.
0 1 1
0 2 2
0 3 3
0
x x u v
y y u v
z z u v
• Desarrollando el determinante obtenemos:
• Damos los valores:
2 2 1 1 1 10 0 0
3 3 3 3 2 2
. . . 0u v u v u v
x x y y z zu v u v u u
2 2 1 1 1 1
3 3 3 3 2 2
u v u v u vA B C
u v u v u u
• Sustituimos:
• Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:
• Obtenemos la ecuación general de plano:
0 0 0 0A x x B y y C z z
0 0 0D Ax By Cz
0Ax By Cz D