UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNAFACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA

LA ELIPSELa elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

En una elipse se pueden reconocer los siguientes elementos: EJES DE SIMETRIA: Rectas que permiten reflejar una mitad de la elipse sobre la

otra. Una elipse tiene dos ejes: EJE MAYOR o eje focal, sobre el cual se encuentran los focos EV. EJE MENOR o eje secundario MM´. FOCOS: Puntos fijos F1 y F2 ubicados sobre el eje mayor. CENTRO: Punto medio entre los focos. Es además el punto donde se interceptan el

eje mayor y el eje menor ( C ). Vértices: Puntos de la elipse que se interceptan con los ejes de simetría, se les

llama: Vértices menores, a los ubicados sobre el eje menor M, M´. Vértices mayores, a los ubicados sobre el eje mayor E, V. SEMIEJES. Segmentos que unen el centro con uno de los vértices. Se les llama;

Semieje mayor, si une el centro con un vértice mayor es el semieje más largo CV y lo llamamos a.

Semieje menor, une el centro con un vértice menor es el semieje más corto CM y lo llamamos b.

NOTA : La distancia del centro a un vértice mayor , que llamamos a , es igual a la distancia del foco a un vértice menor; c es la distancia del foco al centro y se puede obtener por el teorema de Pitagoras c = CUERDA. Es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la elipse

CUERDA FOCAL. Es una cuerda que pasa por uno de los focos AB

DIAMETRO. Es una cuerda que pasa por el centro MM´ ó EV

LADO RECTO: es una cuerda focal al eje principal QR. La elipse posee dos lados rectos

vérticeC FFE V

Y

o

M

M´

A

B

O

P

Q

R

ELEMENTOS DE LA ELIPSE CONOCIDA LA ECUACIÓN GENERAL

Centro: C = ( h , k )

Distancia entre los vértices: 2.a ó 2.b

Distancia entre los dos focos 2c.

Longitud del eje mayor: 2.a ó 2.b Longitud del eje menor: 2.a ó 2.b

Las coordenadas de los vértices Si a > b eje principal paralelo al eje x V1 = ( h – a , k ) ; V2 =( h + a , k )

Las coordenadas de los focos si a > b F1 = ( h – c , k ) ; F2 = ( h + c , k )

Las coordenadas de los vértices Si a < b eje principal paralelo al eje y V1 = ( h , k – b ) ; V2 = ( h , k + b )

Las coordenadas de los focos si a < b F1 = ( h , k – c ) ; F2 = ( h , k + c ) donde c =

Longitud del lado recto es 2y =

EJEMPLO 1:

Si las coordenadas de los vértices de una elipse son V1 = ( 3 , 0 ) , V2 = ( - 3 , 0 ) , V3 = ( 0, 5 ) y V4 = ( 0 , - 5) , determinar:

a. Centrob. Longitud del eje mayor .c. Longitud del eje menord. Coordenadas del foco

SOLUCIÓN:

a.) Ubicamos los vértices y trazamos la elipse.

b.) El centro es el punto medio entre los vértices mayor o menor luego el centro esta en C = ( 0 , 0) porque C = ( x , y )

x = y =

x = = ( 3 – 3 ) /2 = 0/2 = 0

y = = ( 5 – 5 )/2 = 0/2 = 0

b. La longitud del eje mayor se determina por la longitud del segmento que une el centro con un vértice mayor. Luego el semieje mayor es b = 5

c. La longitud del semieje menor se determina por la longitud del segmento que une el centro con un vértice menor. Luego el semieje menor a = 3

d. Los focos deben ubicarse sobre el eje mayor . En este caso sobre el eje Y entre el centro y un vértice mayor. Como b = 5 entonces por la nota anterior d ( F, V 1 ) = 5 sabemos que a = 3 y c = d ( C, F) Por lo tanto c 2 = b2 - a2 es decir c2 = 25 - 9 = 16 Luego c = 4 entonces las coordenadas de los focos son F1 = (0 , 4) , F2 = ( 0 , - 4)

ECUACION CANONICA DE LA ELIPSE CON C = ( 0 , 0 )

La ecuación canónica de la elipse con eje mayor sobre el eje X y centro en ( 0, 0) es:

( a > b )

La ecuación canónica de la elipse con eje mayor sobre el eje Y y centro en ( 0, 0)

es: ( a < b )

ECUACION CANONICA DE CENTRO EN ( h , k )

La ecuación canónica de una elipse con centro en un punto ( h , k ) y el eje mayor paralelo al eje X es:

a > b

Ejemplo1. Analizar la ecuación 4x2 + y2 + 24x – 6y + 29 = 0, encontrar:

a.) Los valores de a, b, y cb.) La ecuación del lado rectoc.) Coordenadas de los vérticesd.) Coordenadas de los focos

( -3 , 0) (3 . 0)

(0, -5)

Solucióna.) Llevamos la ecuación a la forma canónica 4x2 + y2 + 24x – 6y + 29 = 0

así:

Asociamos en un paréntesis los términos en x y en otro los términos en y pasando al otro miembro el término independiente ( 4x2 + 24x + ) + ( y2 – 6y + ) = – 29

Factorizamos cada paréntesis de tal forma que el coeficiente del término al cuadrado sea uno así: 4(x2 + 6x + ) + ( y2 – 6y + ) = – 29

Formamos en cada paréntesis un trinomio cuadrado perfecto sumando en cada paréntesis el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término de cada paréntesis y este mismo valor lo sumamos en el segundo miembro de la ecuación multiplicada por el coeficiente de cada paréntesis así: 4[x2+ 6x +(3)2 ] + [y2 – 6y + (3)2] = – 29 + 4(3)2 + (3)2.

Factorizamos los paréntesis que son trinomios cuadrados perfectos y efectuamos el segundo miembro así: 4(x + 3 )2 + ( y – 3)2 = – 29 + 4( 9 ) + 9 4(x + 3 ) 2 + ( y – 3)2 = – 20 + 36 4(x + 3 )2 + ( y – 3)2 = 16 ahora llevamos la ecuación a la

forma dividiendo cada

término de la ecuación por el segundo miembro así;

; entonces la ecuación queda después de

simplificar . Por lo tanto = 2 ; b = = 4

y = = = 23 Por lo tanto a = 2 ; b = 4 ; c = 23 y el eje mayor es paralelo al eje Y ya que a < b.

b.) La longitud del lado recto es 2x = 2a2/b 2x = 2( 2 )2 / 4

2x = 2 x = 1c.) Las coordenadas de los vértices son; V1 = ( h , k – b ); V2 = ( h ,

k + b ); donde h = – 3; k = 3; b = 4 entonces V1 = ( –3, 3 – 4) ; V2 =(–3, 3+ 4 ) V1 = ( – 3 , – 1) ; V2 = ( – 3 , 7 )

d.) Las coordenadas de los focos son: F1 = ( h , k – c ) ; F2 = ( h , k + c ) donde h = – 3 ; k = 3 ; c = 2 3 : luego F1 = (– 3 , 3 – 2 3 ) ; F2 = (– 3, 3 + 2 3 )

e.) Grafica de la ecuación 4x2 + y2 + 24x – 6y + 29 = 0 de C = ( h , k) es

f.) Las coordenadas de los focos es a = 2; b = 4

Revisada hasta aquí

EJEMPLO 2 Dada la ecuación Encontrar :

a. Las coordenadas del centro b. Coordenadas de los vértices c. Dibujar la gráfica

Solución

Las coordenadas de los centro son C = (1 , - 3)

a.) Como a2 = 4 entonces a = 2 y como b2 = 9 entonces b = 3 y como la elipse es paralela al eje y porque a < b, los vértices mayores son: V1( h , k – b ); luego V 1 = (1, -3 – 3) V1 = (1 , – 6 ) y V2 ( h , k + b ); V2 = (1,– 3 + 3) por lo tanto V2 = (1 , 0 )

b.) Gráfica de la ecuación

Ejemplo 3

Hallar las coordenadas del centro y los radios de la elipse cuya ecuación general es: 9x2 + 4y2 – 54x – 40y + 145 = 0Solución:1. Expresamos la ecuación en forma canónica organizando los trinomios y

completando para factorizar:

9 (x2 – 6x + ) + 4(y2 – 10y + ) = – 145

9(x2 – 6x + 32 ) + 4(y2 –10y + 52 ) = – 145 + 81 + 100

9 ( x2 – 6x + 32 ) + 4 ( y2 – 10y + 52 ) = 36

9 ( x – 3 )2 + 4 ( y – 5 )2 = 36

Luego las coordenadas del centro son: ( 3 , 5 ) radio mayor 3 sobre el eje y , radio menor 2 sobre el eje x

TALLER # 30

A. Expresar en forma canónica cada una de las siguientes ecuaciones generales.

1. 5y2 + 36x2 – 60y + 216x + 324 = 02. 12y2 + 4x2 – 168y – 64x + 796 = 03. 2y2 + 11x2 + 36y + 44x + 184 = 04. 24y2 + 2x2 + 48y +4x – 22 = 05. 14x2 + 11y2 – 22y – 252x + 991 = 06. 32x2 + 30y2 – 120y – 64x – 808 = 0

B. Expresar en forma general cada una de las ecuaciones canónicas

1.) 2.)

3.) 4.)

5.)