La Enseñanza de La Geometría

Universidad Pedaggica

Veracruzana

ESQUEMAS DE ARGUMENTACIN EN ALUMNOS DE EDUCACIN

PRIMARIA: UN ACERCAMIENTOA LA ENSEANZA DE LA DEMOSTRACIN EN ACTIVIDADES DE GEOMETRA

Jaime Jesus Espiritu Cadena*

RESUMEN Del conjunto de asignaturas que conforman el currculo de educacin primaria en Mxico, las Matemticas se ubican en la parte medular de la formacin integral de los estudiantes, pues constituyen una herramienta ineludible para la resolucin de problemas a lo largo de toda la vida. Desde esta perspectiva, el desarrollo del pensamiento reflexivo a travs de la matemtica es esencial en esa formacin, pues provee al alumnado de la base necesaria para engarzar nuevos aprendizajes, formalizar la construccin del conocimiento y problematizar las acciones que lleva a cabo dentro y fuera de la escuela. En este artculo se exponen los resultados de un estudio acerca de las prcticas argumentativas que emplean los alumnos de educacin primaria (en particular, de cuarto, quinto y sexto grados) cuando resuelven problemas de geometra euclidiana. Para llevarlo a cabo, se realiz un experimento de enseanza mediante un taller denominado Aprendo a pensar a travs de la resolucin de problemas geomtricos. La investigacin gir en torno a una pregunta central: qu tipo de esquemas de argumentacin emplean los alumnos para validar sus conjeturas cuando resuelven problemas geomtricos? Los resultados muestran como los estudiantes validan sus conjeturas a travs de distintos esquemas de argumentacin.

Palabras clave: Demostracin matemtica, prcticas argumentativas, esquemas

de argumentacin, geometra euclidiana, alumnos de educacin primaria y problemas geomtricos.

ABSTRACT Talking about the subjects that set up the curriculum of elementary education in

Mxico. Mathematics is the core of the integral instruction of students, because it is a

necessary tool for solving problems throughout life. From this perspective, developing

reflective thinking from Mathematics is an essential part of that instruction as it gives

the students the necessary basis for threading new learning; it makes the building of

knowledge formal, and analyzes the actions done in and out of school.

This article explain the results of a research done the argumentative practices used

by elementary school students, (mostly fourth, fifth, and sixth grades) when solving

* Alumno de la Maestra en Educacin Bsica, Sede Orizaba. Se desempea como docente de 4 grado de la Esc. Prim. "Ignacio Zaragoza" clave 30EPRI055Z Ixcapantla, Veracruz de Ixhuatlan del Caf.

LABORATORIO DE METODOLOGA DE LA EDUCACIN BSICA. PENSAMIENTO MATEMTICO

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Euclidian geometry problems. This research was done using a teaching experiment in

a workshop entitled I learn to think from solving geometric problems the main

question of this research is what kind of pattern of reasoning are used by students

for validating their hypothesis when solving geometric problems. The research shows

that students use differents patterns of reasoning for validating their hypothesis when

solving geometric problems.

Key words: Mathematical proof, argumentative practices, patterns of reasoning, Euclidean geometry, elementary school students and geometric problems.

INTRODUCCIN Una de las problemticas que afronta nuestro sistema educativo en la actualidad, es el bajo desempeo de los estudiantes de educacin bsica en las pruebas estandarizadas que evalan el aprendizaje en las reas de lectura, ciencias y matemticas. Esta tendencia tiene implicaciones ineludibles para el progreso del pas, por un lado, ameritan la revisin de las prcticas pedaggicas que se llevan a cabo en las aulas y, por el otro, crean la necesidad de analizar los factores que inciden en la generacin de dichos resultados.

Desde esta perspectiva, la evaluacin sistemtica de la situacin actual que guardan los procesos de enseanza y de aprendizaje constituye una base para atender la diversidad, fortalecer la prctica docente y contribuir a la formacin integral de los nios y jvenes que cursan los distintos niveles educativos en Mxico. En particular, segn mi postura, el anlisis de la competencia matemtica demostrada por los estudiantes tiene una importancia capital, ya que de acuerdo a Flores, C., Gmez, A. y Flores, H., 2010, la educacin matemtica puede aportar a nuestros estudiantes el desarrollo, entre otras habilidades, de la capacidad de pensar matemticamente hacindolos ms crticos y reflexivos (p.185).

De acuerdo con el supuesto anterior, la formacin matemtica representa una

va fundamental para el desarrollo de habilidades de pensamiento en virtud de que los individuos enfrentan situaciones (ir de compras, cocinar, viajar o fabricar un producto con ciertas caractersticas, por mencionar algunas) dentro y fuera de la escuela, que les demandan el empleo de razonamientos cuantitativos y espaciales as como otras capacidades matemticas para resolverlas (INEE, 2010). En este sentido, el diagnstico de las prcticas argumentativas de los estudiantes ofrece la oportunidad de evaluar su competencia matemtica y tener un mejor parmetro para la intervencin pedaggica, pues de esta valoracin depende la implementacin de estrategias didcticas encaminadas hacia el desarrollo progresivo del razonamiento matemtico.

En esa misma lnea, la matemtica escolar puede contribuir en gran medida a

la formacin de estudiantes crticos y reflexivos a travs del fomento de un razonamiento deductivo y de la enseanza de la demostracin matemtica (Flores, 2007, p. 144). Por esta razn, es conveniente analizar la forma en que los


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estudiantes proceden al resolver problemas y los esquemas de argumentacin que utilizan para validar sus conjeturas, pues la evaluacin no slo permite identificar debilidades, sino tambin reas de oportunidad que se pueden potenciar a favor de un aprendizaje significativo.

Con base en las ideas anteriores, el experimento de enseanza que articul el

estudio, tuvo como propsito explorar los esquemas de argumentacin que emplean los alumnos al validar sus conjeturas en la resolucin de problemas geomtricos. Desde esta perspectiva, pretendi responder a la siguiente pregunta de investigacin:

Qu tipo de esquemas de argumentacin emplean los alumnos de cuarto, quinto y sexto de educacin primaria para validar sus conjeturas a travs de la resolucin de problemas geomtricos?

En las siguientes lneas se presentan los resultados del estudio partiendo de

una revisin terica acerca del tema, el desarrollo del experimento de enseanza y una serie de reflexiones generadas a lo largo de la investigacin. 1. ANTECEDENTES

La enseanza de la demostracin matemtica Si consideramos que la demostracin constituye el mtodo que permite validar el conocimiento cientfico producido en una ciencia en particular, en este caso la Matemtica (Larios, 2003), es posible establecer algunas comparaciones entre dicho objetivo, los planteamientos curriculares de la educacin matemtica en Mxico y la manera en que el tema ha sido abordado por distintos investigadores desde una perspectiva integral.

En sincrona con la idea anterior, existen pocas referencias acerca de la formacin del pensamiento deductivo a travs de la demostracin, sobre todo en ambientes de geometra euclidiana, pues hay evidencia de un abordaje prctico de la matemtica en lugar de la formalizacin progresiva del conocimiento. Por esta razn, la forma en que se plantea su enseanza en los programas de estudio induce, en gran medida, la interpretacin que el docente efecta para disear las situaciones didcticas que servirn de base en la construccin del conocimiento. As lo manifiestan Flores, Gmez y Flores (2010) al sealar que

La mayora de los programas de la temtica bsica del pas (niveles de primaria, secundaria y bachillerato) se basan en la resolucin de problemas y en un uso ms prctico y menos abstracto de la matemtica, pero poco se dice de la formacin de conjeturas y su validacin y del desarrollo de esquemas de argumentacin en los estudiantes. (p. 186)


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Prcticas argumentativas y esquemas de argumentacin En la literatura enfocada al estudio de la demostracin matemtica, hay evidencia de que la preocupacin por la enseanza y el aprendizaje de la prueba va creciendo considerablemente en virtud de los resultados poco halagadores de los estudiantes en distintas reas del conocimiento (Williams, 1980; Senk, 1985; Recio y Godino, 1996, Harel y Sowder citados en Godino y Recio, 1997). As encontramos investigaciones significativas al respecto a partir de la dcada de los setenta, en las que prevalece un nfasis por la interpretacin del significado de la demostracin (Lester, 1975; Bell, 1976; Fischbein, 1982 y Balacheff, 1987 citados en Godino y Recio, 1997).

Con relacin a las prcticas argumentativas y los esquemas de argumentacin, existen trabajos de carcter exploratorio que caracterizan la forma en la que estudiantes universitarios, profesores de bachillerato, docentes en formacin inicial, estudiantes de licenciatura y maestros en activo involucrados en la enseanza de la matemtica, justifican sus conjeturas en distintas ramas de la Matemtica (Harel y Sowder, 1998; De Gamboa, G., Planas, N. y Edo, M. 2010; Flores, 2007; Flores, Gmez y Flores, 2010). En particular, Harel y Sowder (1998) enfatizan el carcter inacabado de su investigacin sealando que

We characterize the results of this research as exploratory. The system of proof schemes described here must be validated by other researchers through multiple teaching experiments taught by various instructors in various institutions. Also, this report is not a full account by laying out the landscape and descriptive vocabulary (p. 238).

En esa misma lnea, Harel y Sowder (1998) conceptualizan a los esquemas de demostracin como todo aquello que conforma el autoconvencimiento y la persuasin para una persona (citado en Flores, 2007, p. 146) e identifican tres tipologas: esquemas de conviccin externa, empricos y analticos. En los esquemas de argumentacin externa, la argumentacin es vlida si es una autoridad quien la propone (esquema autoritario), si depende de su apariencia (esquema ritual) o si durante el proceso hay evidencia de un empleo poco pertinente de la simbologa matemtica (esquema simblico). En los esquemas empricos, las conjeturas se validan aludiendo hechos fsicos (esquema inductivo) o experiencias de percepcin sensorial (esquema perceptivo). Finalmente, los esquemas analticos son aquellos en los que el estudiante utiliza una cadena deductiva para validar sus conjeturas.

Para los fines de esta investigacin, se retoman los planteamientos tericos de Flores (2007) y Flores, Gmez y Flores (2010) quienes centraron sus estudios en las prcticas argumentativas de profesores de bachillerato en activo, estudiantes de licenciatura y docentes involucrados en la enseanza de la matemtica. Desde esta perspectiva, el marco terico gira en torno a los siguientes esquemas de argumentacin:

Autoritarios. Las argumentaciones se apoyan en las afirmaciones hechas por alguna autoridad, puede ser un libro de texto, el instructor del curso u otro compaero.


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Simblicos. El estudiante utiliza un lenguaje matemtico y smbolos de una manera superflua y poco consistente, sin llegar realmente a las conclusiones a las que quiere llegar. En este tipo de esquemas pueden mencionar conceptos poco claros o inventados.

De recuento fctico o simplemente fcticos. En los que el profesor hace un recuento de lo que hizo a manera de explicacin o justificacin de algn resultado. El estudiante expone una serie de pasos a manera de algoritmo.

Empricos. El estudiante se apoya en hechos fsicos o en un dibujo. En este caso, el dibujo o el hecho fsico constituye un argumento por s mismo y no un apoyo para el argumento.

Analticos. El estudiante sigue una cadena deductiva, sin que por ello llegue forzosamente a una conclusin vlida. Las proposiciones de este tipo de esquema se pueden estructurar en oraciones si..., entonces... (Flores, Gmez y Flores, 2010, p. 189).

Las diferencias entre cada esquema de argumentacin estriban en el uso

apropiado del razonamiento deductivo para validar las conjeturas. Por este motivo, en la investigacin se recuperan los conceptos y las definiciones ofrecidas por los investigadores partiendo de una tesis fundamental: un pensamiento crtico y reflexivo en los alumnos se puede lograr a partir de un razonamiento deductivo y de su capacidad para resolver problemas (Flores, 2007, p. 144). En el siguiente apartado se incluyen algunas precisiones al respecto.

2. MARCO TERICO

Marco conceptual A partir de una perspectiva histrica, Larios (2003) apunta que la concepcin del significado de la demostracin, no ha variado mucho desde la Grecia clsica hasta nuestros das, razn por la cual, se puede reconocer una caracterstica comn entre las definiciones propuestas: el seguimiento de una cadena de deducciones abstractas sobre la base de la naturaleza del conocimiento matemtico. En este sentido, la prueba o demostracin ha existido por la necesidad de justificar conocimientos abstractos que tienen que ser validados, proporcionando simultneamente razones sobre su plausibilidad (p. 167).

De lo anterior se desprende la necesidad de proponer a los estudiantes, situaciones didcticas que los orienten hacia la demostracin, entendida como el proceso deductivo que lleva a la validacin de conjeturas matemticas (Flores, 2007, p. 144). No podemos esperar que conozcan el espritu de la ciencia matemtica completamente si se elimina una parte medular y epistemolgicamente indispensable (Larios, 2003, p. 171) en la enseanza de la matemtica escolar. En ese tenor, la prueba no slo es un medio para la validacin del conocimiento, tambin un medio de comunicacin en el seno de la comunidad en el que es aceptada.

Para fines del presente estudio, en las siguientes lneas clarifico una serie de

conceptos clave que fundamentan el anlisis de los resultados. Entre ellos, destacan: razonamiento deductivo, prctica argumentativa y esquema de argumentacin.


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Nicols Balacheff (citado en Godino y Recio, 1997) define el razonamiento como la actividad intelectual, la mayor parte del tiempo no explcita, de manipulacin de informaciones para producir nuevas informaciones a partir de datos (p. 2). En particular, entenderemos por razonamiento deductivo a la cadena de ideas o razones que llevan a una conclusin (Flores, 2007, p. 150) en la que existen una o ms afirmaciones, denominadas premisas, que la apoyan.

En cuanto al concepto de prctica argumentativa, ser definido como el

conjunto de acciones y razonamientos que un individuo pone en juego para justificar o explicar un resultado o para validar una conjetura nacida durante el proceso de resolucin de un problema. Por consiguiente, A la manera en que el individuo utiliza sus razonamientos durante una prctica argumentativa se le llamar esquema de argumentacin (Flores, 2007, p. 149).

Finalmente, entenderemos a la demostracin como el resultado de una prctica argumentativa que se apoya en esquemas analticos cuyos razonamientos son vlidos (Flores, 2007, p. 150). Si la prctica argumentativa se realiza a travs de la resolucin de problemas matemticos como en el taller diseado ex profeso, entonces se estar aludiendo a una prueba o demostracin matemtica. Marco metodolgico El experimento de enseanza consisti en un curso-taller denominado Aprendo a pensar mediante la resolucin de problemas geomtricos cuya duracin fue de 8 horas distribuidas en 4 sesiones de 2 horas aproximadamente. Se imparti a 9 alumnos de cuarto, quinto y sexto grado de educacin primaria (tres por cada grado escolar) elegidos mediante un muestreo no probabilstico (de casos-tipo).

Comprendi actividades de exploracin de conocimientos previos, resolucin de problemas geomtricos (ver anexo 1), discusiones (en equipos y grupales) y reflexiones individuales (incluidas en las bitcoras COL). Las actividades tuvieron como propsitos:

Poner en juego sus habilidades bsicas de pensamiento (observar, describir, comparar y clasificar) a travs de la resolucin de problemas geomtricos que impliquen el uso del Tangram.

Obtener el rea de algunos cuadrilteros mediante la transformacin de figuras y el anlisis de sus propiedades en situaciones que involucren el planteamiento y la resolucin de problemas geomtricos.

Argumentar sus conjeturas y comunicar informacin matemtica en actividades de exploracin geomtrica.

De acuerdo con Flores (2007), uno de los principales objetivos de un

experimento de enseanza sera minimizar la divisin que existe entre investigacin y prctica (p.151). Por esta razn, la ruta metodolgica del estudio estuvo sustentada en el modelo de la investigacin-accin que proponen Lewin, 1946; Mora,


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2005; Carr y Kemmis, 1986 (citados en Flores, 2007) y pretendi favorecer en el investigador (profesor), procesos reflexivos que facilitaron el anlisis de la prctica docente.

Los instrumentos que permitieron responder la pregunta de investigacin fueron

las hojas de trabajo que consignaron la resolucin de los problemas geomtricos (ver anexo 2.1), los formatos de evaluacin diseados ex profeso (ver anexo 4.1) y la videograbacin de la sesin 3. Para llevar a cabo el anlisis, se compararon los esquemas de argumentacin utilizados por los participantes y, de manera concreta, se establecieron nexos entre cada prctica argumentativa y los supuestos tericos incluidos en el marco conceptual.

A partir de las reflexiones individuales y grupales sobre las actividades

desarrolladas a lo largo del taller, se recab informacin para determinar los aprendizajes logrados. Este insumo se complement con algunos registros anecdticos del instructor elaborados durante las sesiones de trabajo. En particular, las actividades de exploracin de conocimientos previos fueron interpretadas a partir de una lista de cotejo. De esta manera, la evaluacin consider tanto el desempeo de los estudiantes como el rendimiento del profesor. 3. DESARROLLO DEL EXPERIMENTO DE ENSEANZA Sesin 1 El taller comenz con una presentacin de parte del asesor en la que se dieron a conocer los propsitos de la propuesta didctica y se hizo el encuadre general. Despus se realiz la actividad A formar figuras para explorar conocimientos previos de los participantes. Esta consista en formar figuras con un estambre de acuerdo a la cantidad de puntos obtenidos al lanzar un dado (tantos lados como puntos indique el dado). Ms tarde, se brindaron dos consignas:

1) Formen todos los cuadrilteros que puedan combinando las piezas del Tangram. Luego, dibjenlos en hojas blancas y describan sus caractersticas.

2) Recorten las figuras que se incluyen en el material recortable y clasifquenlas como crean conveniente. Mientras lo hacen, registren los criterios de clasificacin que empleen.

Sesin 2 La sesin dio inicio con una recapitulacin del primer episodio tomando como referencia la informacin que los estudiantes plasmaron en la bitcora COL (ver anexo 4.3). Despus, los participantes se agruparon en equipos multigrado (en cada equipo se integr un alumno de cada grado escolar) para continuar las actividades de exploracin de la sesin anterior. sta consisti en clasificar las figuras del material recortable y describir sus caractersticas.

En un segundo momento, se expusieron las evidencias de trabajo haciendo hincapi en los criterios utilizados para la clasificacin de las figuras. As lo muestran las hojas de trabajo correspondientes que describen la caracterizacin efectuada por


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los estudiantes. Ms tarde, se resolvi el Problema geomtrico uno: Piso firme para la vivienda de doa Paula en equipos, por grado escolar. Debido a la premura del trabajo, la puesta en comn y la redaccin de la bitcora COL quedaron pendientes para la sesin tres.

Sesin 3 Para dar inicio a las actividades, los chicos hicieron la lectura de las bitcoras COL. Con base en las ideas generadas se retroaliment el trabajo y se brindaron sugerencias para aprovechar el resto del taller. Luego, se llev cabo la puesta en comn de los resultados del primer problema geomtrico. Acto seguido, los participantes enriquecieron las ideas expresadas tomando como referencia las hojas de trabajo de la sesin uno.

El resto del episodio se destin a la sntesis de resultados y a las reflexiones finales que dieron la pauta para la redaccin de la bitcora COL. Durante la puesta en comn fue indispensable utilizar el software de Geometra Dinmica The Geometers Skectchpad para corroborar las ideas de los participantes y sintetizar el proceso didctico de la clase; dicha actividad se realiz con el equipo de Enciclomedia. La validacin de las conjeturas tambin se apoy de la funcin de arrastre la cual facilit el anlisis de la reconfiguracin geomtrica (Duval, 1999; citado en Snchez, 2003) y la comparacin de las propiedades geomtricas de los cuadrilteros.

Sesin 4 La actividad central del ltimo episodio del taller consisti en la resolucin del Problema geomtrico dos: Rafael recibe el apoyo del programa federal Piso firme. En l se solicit la obtencin del rea de un trapecio issceles tomando como base las ideas generadas en las sesiones anteriores. Por ello, la intervencin directa del investigador fue mnima pues se trat de que los estudiantes trabajaran de manera autnoma en el diseo de un patrn de validacin (Brousseau, 1997, citado en Flores et al., 2010, p. 188) acorde a la situacin didctica planteada. Finalmente, la sesin concluy con la puesta en comn de los resultados obtenidos por los participantes. 4 .ANLISIS DE LOS RESULTADOS Con relacin a la primera actividad, destaco los conocimientos previos de los participantes caracterizados en el cuadro uno (ver anexo 3.1). Como se observa, hay una cierta vaguedad en la definicin de conceptos, permean trminos confusos, conjeturas basadas en argumentos empricos e incluso, hay evidencia de un uso indiscriminado de algunas generalidades geomtricas (sobre todo, en la diferencia entre los elementos de una figura y un cuerpo geomtrico). No obstante, prevalecen ideas significativas que dan cuenta del procesamiento, discurso que utilizan los estudiantes al trabajar con actividades geomtricas. As, puede destacarse que para tener acceso a una figura desde un punto de vista geomtrico, es necesario que la significacin de algunos elementos de la figura y de algunas de sus relaciones sea establecida de antemano (Snchez, 2003, p. 30).


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En lo referido a la descripcin y la clasificacin de las figuras, se observa que los nios de cuarto grado carecen de algunos conceptos geomtricos fundamentales (eje de simetra, altura y diagonal) para establecer diferencias entre una y otra, mientras que los chicos de quinto grado evidencian una comprensin ms pormenorizada de esta terminologa, aunque tambin prevalecen imprecisiones y vaguedades menores. Por lo que respecta a sexto grado, se observa un manejo ms puntual del paralelismo y la perpendicularidad, sin embargo, no hay una relacin tan evidente entre dichos conceptos y otras propiedades geomtricas de las figuras. As lo muestra el anexo 3.1 y las hojas de trabajo consignadas en las primeras sesiones (ver anexo 2.1 y anexo 2.2).

En otro orden de ideas, la resolucin del problema geomtrico uno permiti observar que la mayora de los participantes puso en juego prcticas argumentativas diferenciadas de acuerdo a la siguiente caracterizacin:

Cuarto grado Quinto grado Sexto grado

Los nios de cuarto grado recurrieron a esquemas de argu-mentacin empricos, aludiendo a que el slo hecho de cuadricular la figura y contar los cuadritos, asegura la obtencin directa del resultado. Prescindieron de las operaciones aritmticas, sin em-bargo, su forma de proceder permiti observar que su concepto de rea refiere a la medida de la superficie (contaron los cuadritos completos y los incompletos aunque en realidad haban trazado romboides). As lo muestra la figura 1 en la que se incluye el esquema correspondiente (ver anexo 2.3.1).

En el caso de los chicos de quinto grado, hay indicios de un acercamiento a la argumentacin analtica pues al justificar el resul-tado siguieron una cadena de ideas desde la trans-formacin de la figura hasta la comprobacin del rea mediante la frmula corres-pondiente. Aunque el dibu-jo representa un argumento en s mismo, tambin les permite apoyar la argu-mentacin haciendo un recuento de su forma de proceder. As lo muestra la figura dos (ver anexo 2.3.2) en la que se incluye el esquema de argumenta-cin apoyado en la re-configuracin geomtrica de la figura.

Finalmente, los nios de sexto grado optaron por abreviar el procedimiento aplicando la fr-mula BxH pues se dieron cuenta que el rombo se poda trans-formar en cuatro tringulos rectngulos. Recurrieron a un esquema simblico pues hay imprecisiones tanto en el uso de la frmula como el empleo in-discriminado de las medidas de cada dimensin de la figura. Se aprecia claramente una tendencia operacional (Thompson, Philipp, Thompson y Boyd, 1994; citados en Estrada, 2003) puesto que realizan operaciones sin tener en cuenta el contexto y los con-ceptos que le dan soporte a la resolucin (ver figura tres en el anexo 2.3.3).

En lo concerniente a la resolucin del segundo problema geomtrico, se observan diferencias significativas en los esquemas de argumentacin. Hay evidencia de que el uso de la transformacin implementada por el equipo de 5 grado en la sesin tres, sirvi como referencia para resolver este problema. En la forma de proceder de los estudiantes de 6 grado prevalecieron confusiones, as lo muestra la figura seis (ver anexo 2.4.3), donde se aprecia cmo los nios realizan trazos auxiliares para apoyar su justificacin, aunque al obtener el resultado definitivo el dibujo slo les haya servido como un fin en s mismo ms que como un instrumento de apoyo en su prctica argumentativa. Observemos la siguiente tabla:


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Cuarto grado Quinto grado Sexto grado

En este caso, los chicos probaron dos opciones. La primera fue tratar de convertir el trapecio issceles en un rectngulo pero al ver que no era factible, decidieron hacer uso de las medidas incluidas en el trazo. Luego, multiplicaron las medidas de los lados desiguales del trapecio y a partir de ese producto, llevaron a cabo nuevas multiplicaciones con un alto grado de imprecisin. No existi claridad en la justificacin pero la prctica argumentativa da cuenta de un uso permanente de esquemas simblicos. As se evidencia en la figura cuatro (ver anexo 2.4.1).

La prctica argumentativa de los nios se encamin a la deduccin de la frmula para obtener el rea de un tringulo issceles. En este caso, optaron por dividir el trapecio en dos tringulos y luego, aplicar la frmula correspondiente. Al tener ambos resultados hicieron una suma y de este modo, obtuvieron el rea total. Aunque hubo una ligera imprecisin en el uso de los trminos (consi-deraban a las bases de cada tringulo como permetro total) esto no impidi que el resultado y la cadena deductiva fuera correcta. As lo muestra la figura cinco (ver anexo 2.4.2).

Respecto a la prctica argu-mentativa de este grupo de alumnos, hay evidencia de un intento por justificar sus resultados a travs de un esquema emprico, sin em-bargo, su forma de pro-ceder tambin muestra indicios de un uso indis-criminado de las opera-ciones aritmticas. Esto permite ver que no hay claridad en cuanto al sig-nificado del trmino rea pese a que deberan tener una base slida del con-cepto segn los aprendi-zajes esperados a estas alturas de su trayecto for-mativo. Por consiguiente, prevalecen explicaciones vagas y confusas (ver figura seis en el anexo 2.4.3).

CONCLUSIONES La exploracin de las prcticas argumentativas que emplean los alumnos de cuarto, quinto y sexto grado de educacin primaria para validar sus conjeturas a travs de la resolucin de problemas, genera implicaciones en la enseanza de la demostracin matemtica desde dos perspectivas. Por un lado, el anlisis de los esquemas de argumentacin permite observar el tipo de razonamiento que no siempre se corresponde con los aprendizajes esperados en el mbito de la matemtica formal. Por el otro, hay evidencia de que la intervencin asertiva del profesor, incide considerablemente en el aprendizaje en virtud de la seleccin pertinente de los recursos didcticos, la gestin del propio ambiente de aprendizaje y sobre todo, la trasposicin didctica de los contenidos.

En sincrona con la idea anterior, el estudio permiti constatar que los alumnos del tercer periodo de la educacin bsica (3, 4 y 5 grado) utilizan, en su mayora, esquemas de argumentacin empricos y simblicos. El nfasis de la exploracin no slo estrib en reconocer las diferencias entre dichos esquemas, tambin en el anlisis de las condiciones que propician su implementacin. Si bien el curso tuvo una duracin breve, este acercamiento a la enseanza de la demostracin nos invita a reflexionar acerca del nivel de competencia matemtica que evidencian nuestros estudiantes pues hay argumentos para sostener que se necesita un trabajo sistemtico para contrarrestar las debilidades identificadas.

En ese orden de ideas, conviene sealar que las actividades de exploracin de conocimientos previos indican que la mayora de los participantes posee un bagaje


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de saberes geomtricos, sin embargo, prevalece una inconsistencia en su empleo al resolver problemas donde se demanda una integracin conceptual. De aqu se desprende que las nociones son fundamentales para la resolucin de problemas y constituyen la plataforma sobre la cual, es posible favorecer el desarrollo del pensamiento deductivo.

Llevar a cabo un experimento bajo la modalidad de taller, produce como toda intervencin didctica beneficios y limitaciones para el aprendizaje de los estudiantes. En cuanto a los primeros, existe la posibilidad de establecer relaciones interpersonales slidas que potencien el aprendizaje a travs de la tutora y la ayuda mutua. En relacin con las limitaciones destacan la falta de compatibilidad de horarios para los agrupamientos flexibles, el desconocimiento de las caractersticas particulares de los participantes, la falta de disponibilidad de medios tecnolgicos y la dificultad para establecer una generalizacin de los resultados.

Por la forma y, sobre todo, por el desempeo manifestado durante el taller, es

posible afirmar que este tipo de investigacin-accin representa una estrategia clave para analizar tanto los procesos de enseanza como de aprendizaje dado que ofrece una mirada distinta del trabajo docente. El abanico de posibilidades de teorizar se incrementa, pues adems de establecer diagnsticos certeros del nivel de competencia matemtica del alumnado, se genera la posibilidad de atender otras necesidades (por ejemplo, la competencia lectora) que apremian a la institucin escolar y pueden convertirse en el objeto de estudio de nuevas investigaciones. Claro, desde otras perspectivas y con variables metodolgicas diferentes.

En suma, el estudio me permite concluir que es posible contribuir al desarrollo del pensamiento deductivo a travs de la resolucin de problemas en equipos multigrado pues no slo se favorece la explicitacin de conocimientos previos, tambin se acompaa a los nios en la construccin de pruebas o demostraciones matemticas que les permiten validar progresivamente sus conjeturas. Por esta razn, el trabajo a partir de talleres resulta una opcin adecuada si lo que se espera es el aprendizaje de la matemtica y en sentido amplio, la formacin crtica y reflexiva de los nios y jvenes que cursan la escuela bsica.

Trabajos futuros Aunque la investigacin adquiri un carcter exploratorio, conviene sealar que debido a la metodologa empleada para responder a la pregunta de investigacin, se generaron procesos reflexivos de los cuales surgieron nuevas interrogantes:

De qu manera influye la modelacin matemtica en la enseanza de la demostracin en ambientes de geometra euclidiana y analtica?

Qu tipo de problemas geomtricos favorecen la transicin de esquemas empricos a esquemas analticos de argumentacin?

Cmo influyen los procesos de reconfiguracin geomtrica en la validacin de conjeturas?


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De qu manera impactan los sistemas de representacin (figural y discursivo) en la enseanza de la prueba matemtica a travs de resolucin de problemas geomtricos?

En qu medida las prcticas argumentativas del profesor-investigador, influyen en los esquemas de argumentacin de los estudiantes cuando se realizan actividades de exploracin geomtrica?

Las preguntas anteriores, no son exhaustivas ni acabadas. Al contrario,

pretenden abrir nuevas pautas de investigacin en relacin con la problemtica. Por este motivo, la invitacin queda abierta a otros investigadores que sin duda alguna, mejorarn tanto la metodologa como el planteamiento de los supuestos tericos que articulan el trabajo no slo en ambientes de geometra, tambin en otras ramas de la Matemtica.

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Veracruzana

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Instituto Nacional de para la Evaluacin de la Educacin. (2010). Mxico en PISA

2009 [Informe]. Mxico, D. F.: Autor. Larios, V. (2003). Si no demuestro enseo Matemtica? En Educacin

Matemtica, 15 (2), 163-178. Snchez, E. (2003). La demostracin en geometra y los procesos de

reconfiguracin: una experiencia en un ambiente de geometra dinmica. En Educacin Matemtica, vol. 15, nm. 2, Mxico. Pp. 27-53.

ANEXO 1 Experimento de enseanza.

14

ANEXO 1.1.


15


16

ANEXO 1.2.


17

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ANEXO 2.1. Ejercicio de trazo y descripcin de figuras geomtricas (consigna 1).

18

ANEXO 2.1.1.


19


20

ANEXO 2.1.2.


21

ANEXO 2.1.3.


22

Regresar


23

ANEXO 2.1.3.


24

ANEXO 2.2. Ejercicio de clasificacin de figuras geomtricas (consigna 2).

25

ANEXO 2.2.1.


26


27

Regresar


28

ANEXO 2.2.2.


29


30


31

ANEXO 2.2.3.


32


33

Regresar

ANEXO 2.3. Resolucin del problema geomtrico 1

34

ANEXO 2.3.1.


35

Regresar


36

ANEXO 2.3.2.


37

Regresar


38

ANEXO 2.3.3.

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Regresar

ANEXO 2.4.1.


ANEXO 2.4.2.


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ANEXO 2.4.3.


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ANEXO 3.1. Cuadro 1. Conocimientos previos de los alumnos respecto al tema de estudio.

ASPECTO ALUMNOS DE

CUARTO GRADO

ALUMNOS DE

QUINTO GRADO

ALUMNOS DE

SEXTO GRADO

DEFINICIN

DE FIGURA

GEOMTRICA

Es una figura que

tiene lados y vrtices.

Tambin tiene ngulos

y aristas.

Los vrtices son como

picos donde se une

una recta con un lado.

Son figuras planas

porque no tienen otras

dimensiones como la

profundidad.

Todas tienen ngulos

y vrtices menos el

crculo.

Las que tienen profun-

didad, largo y ancho

se llaman poliedros.

Son figuras

geomtricas porque

tienen vrtices y

ngulos de diferente

medida.

Tambin tienen largo

y ancho, por eso se

puede sacar su rea.

CARACTERSTICAS

DE LAS FIGURAS

GEOMTRICAS

Las figuras son planas

porque no tienen

profundidad y no se

pueden tocar. Si

fueran cuerpos

geomtricos deben

tener largo, ancho y

profundidad para que

se puedan tocar.

Se llaman figuras

planas porque estn en

un plano. Si tuvieran

largo, ancho y

profundo seran

tridimensionales. Se

llaman poliedros pero

tambin se les puede

sacar su rea.

S son planas porque

tienen largo y ancho.

Tienen vrtices y

ngulos que pueden

ser agudos, obtusos o

rectos. Tambin tienen

lados y diagonales.

PROPIEDADES DE

LAS FIGURAS

GEOMTRICAS

Las figuras tienen

lados porque si no,

seran nada ms los

puntos de las esquinas.

Tienen aristas donde

se unen ms lneas y

tambin tienen

ngulos que se miden

con el transportador.

Las figuras tienen

lados, ngulos, vrti-

ces, permetro y rea.

Por eso se pueden

medir con la regla y

trazarlos con el com-

ps. Del crculo salen

las dems figuras.

Algunas figuras tienen

paralelos y

perpendiculares como

el rombo y el

cuadrado.

Tambin se les puede

trazar un vrtice y

sacar su rea.

CONOCIMIENTO

DE LAS FIGURAS

GEOMTRICAS

No s pueden formar

figuras de un lado

porque el tringulo es

el que debe tener tres

lados. Tampoco con

dos rectas porque se

forma un ngulo

chico.

Si hay tres rectas se

llama tringulo y con

otra se forma un

cuadriltero porque

tiene cuatro lados

como el cuadrado y el

rectngulo. Tambin

el rombo y el

romboide tienen

cuatro lados.

Con dos rectas se

forma un ngulo y no

se puede formar una

figura geomtrica. Se

ve como una fecha

pero en realidad son

dos lados. Por eso se

forma un ngulo que

puede ser mayor o

menor a 90.

Los cuadrilteros

tienen cuatro lados.

Hay varios tipos como

el paralelogramo, los

trapecios y el

papalote.

Se puede formar una

figura con un lado: el

crculo.

Las figuras que tienen

tres lados se llaman

tringulos y las de

cuatro se llaman

cuadrilteros.

Con dos rectas no se

pueden formar las

figuras pero si tienen

tres, se forma un

tringulo.

Hay varios tipos de

tringulos como

issceles, escaleno,

rectngulo y

equiltero.

Los trapecios tienen

lados paralelos que

son tambin sus bases.

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SECRETARA DE EDUCACIN

SUBSECRETARA DE EDUCACIN BSICA

DIRECCIN GENERAL DE EDUCACIN PRIMARIA ESTATAL

ZONA ESCOLAR 085 COSCOMATEPEC FORNEAS

ESCUELA PRIMARIA IGNACIO ZARAGOZA

CLAVE 30EPR1055Z

LISTA DE COTEJO PARA LA VALORACIN DEL APRENDIZAJE

Consigna 1: Formen todos los cuadrilteros que puedan combinando las piezas del Tangram. Luego,

dibjenlos en hojas blancas y describan sus caractersticas.

INDICADORES EQUIPOS MULTIGRADO

1 2 3

Las definiciones de cada figura geomtrica son claras y permiten

establecer diferencias entre una y otra.

La construccin de las figuras geomtricas facilita la

argumentacin de sus propiedades.

El trazo de las figuras evidencia un uso pertinente y preciso de los

instrumentos de geometra.

Las descripciones de cada figura permiten identificar el empleo

adecuado de la terminologa matemtica.

El uso del tangram permiti el descubrimiento de nuevas figuras

planas a partir de su reconfiguracin.

La caracterizacin de las figuras geomtricas que trazaron facilita

el desarrollo de una prctica argumentativa de carcter deductivo.

Los dibujos se acompaan de leyendas que permiten justificar la

reconfiguracin geomtrica y precisar sus propiedades.

Los trazos auxiliares favorecieron la deduccin de caractersticas

y propiedades exclusivas de los cuadrilteros.

Las observaciones generadas a partir de la actividad de percepcin

sensorial (uso del Tangram) facilit la explicitacin de

argumentos y conjeturas.

*Marque con una segn corresponda.

ANEXO 4.1. Lista de cotejo (ejemplo).

SECRETARA DE EDUCACIN

SUBSECRETARA DE EDUCACIN BSICA

DIRECCIN GENERAL DE EDUCACIN PRIMARIA ESTATAL

ZONA ESCOLAR 085 COSCOMATEPEC FORNEAS

ESCUELA PRIMARIA IGNACIO ZARAGOZA

CLAVE 30EPR1055Z

FORMATO DE REGISTRO ANECDTICO

ALUMNO

ASIGNATURA FECHA

CAMPO FORMATIVO Pensamiento matemtico GRADO

EJE TEMTICO

COMPETENCIA FAVORECIDA

CONTEXTO

DESCRIPCIN DE LA SITUACIN INTERPRETACION

INDICADORES SEGUIMIENTO Y EVALUACIN

JAIME JESUS ESPIRITU CADENA

NOMBRE Y FIRMA DEL PROFESOR Regresar

ANEXO 4.2. Formato de registro anecdtico (ejemplo).

ANEXO 4.3. Bitcoras COL (Ejemplos).

ANEXO 4.3.1.


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ANEXO 4.3.2.


ANEXO 4.3.3.

La Enseñanza de La Geometría

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