La Fisica Del Ping-pong EspaNol

La fsica del ping-pong

[email protected] Pere Vives Vich, Igualada Facultat de Fsica de la Universitat de Barcelona

Ricard Alert Zenn

Trabajo de investigacin de Bachillerato Dirigido por Ernest Fabregat Soler Cursos 2005-2007

Introduccin El rebote El efecto Conclusiones y perspectivas

ndice general

1

Introduccin El rebote Dinmica del rebote vertical unidimensional Dinmica del rebote horizontal bidimensional Cinemtica del rebote vertical unidimensional El efecto Contacto con una supercie Trayectoria en el aire. Efecto Magnus Conclusiones y perspectivas

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Ricard Alert Zenn



Captulo

1


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Ricard Alert Zenn



Objetivos y motivacin. Qu hacer y por qu

Objetivos Descripcin fsica del juego Motivacin Combinacin de dos de mis aciones Originalidad (hoy ya se ha tratado el tema al menos en dos trabajos de investigacin ms, en su da era indito) Especial incidencia de la fsica en el ping-pong:

tamao y masa de la pelota = grandes velocidades (translacin) i efectos (rotacin) cantidad, diversidad y complejidad de los materiales involucrados dicen que es el deporte no motorizado ms rpido del mundoRicard Alert Zenn La fsica del ping-pong


Objetivos y motivacin. Qu hacer y por qu

Objetivos Descripcin fsica del juego Motivacin Combinacin de dos de mis aciones Originalidad (hoy ya se ha tratado el tema al menos en dos trabajos de investigacin ms, en su da era indito) Especial incidencia de la fsica en el ping-pong:

tamao y masa de la pelota = grandes velocidades (translacin) i efectos (rotacin) cantidad, diversidad y complejidad de los materiales involucrados dicen que es el deporte no motorizado ms rpido del mundoRicard Alert Zenn La fsica del ping-pong


Metodologa. Cmo hacerlo

Reduccionismo 1 Deteccin de los mecanismos bsicos y sencillos que gobiernan un fenmeno fsico complejo 2 Descripcin de estos mecanismos bsicos 3 Integracin de los mecanismos bsicos para explicar el fenmeno complejo En el caso de la fsica del ping-pong, los mecanismos bsicos son slo dos: el rebote y el efecto. Mtodo de investigacin 1 Experimento o hecho emprico a explicar 2 Teora (varios aspectos de la mecnica clsica newtoniana) 3 ConclusionesRicard Alert Zenn La fsica del ping-pong


Metodologa. Cmo hacerlo

Reduccionismo 1 Deteccin de los mecanismos bsicos y sencillos que gobiernan un fenmeno fsico complejo 2 Descripcin de estos mecanismos bsicos 3 Integracin de los mecanismos bsicos para explicar el fenmeno complejo En el caso de la fsica del ping-pong, los mecanismos bsicos son slo dos: el rebote y el efecto. Mtodo de investigacin 1 Experimento o hecho emprico a explicar 2 Teora (varios aspectos de la mecnica clsica newtoniana) 3 ConclusionesRicard Alert Zenn La fsica del ping-pong


Dinmica del rebote vertical unidimensional Dinmica del rebote horizontal bidimensional Cinemtica del rebote vertical unidimensional

Captulo

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Seccin

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Experimento

Procedimiento Medida de la altura de la pelota en funcin del tiempo en rebotes verticales sucesivos en cada libre (pelota Nittaku*** sobre una supercie de caucho sinttico) Instrumentacin Sensor de posicin MultiLog Pro (25 Hz ) Programario MultiLabRicard Alert Zenn La fsica del ping-pong



Experimento

Resultados70 60 50 y (cm) 40 30 20 10 0 0 0.5 1 1.5 2 t (s ) 2.5 3 3.5 4

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Teora

Disipacin de energa en el rebote Friccin del aire despreciable (se comprueba que es una muy buena aproximacin) Disipacin energtica asociada casi totalmente al choque inelstico Propuesta de un modelo simple zEi = Ef ; z factor de conservacin energtico z (Ui + Ti ) = Uf + Tf (1) (2)

h zmghi = mghf = z = f (3) hi Limitaciones del modelo: se observa dependencia z = z (Ei )Ricard Alert Zenn La fsica del ping-pong



Teora

Coeciente de restitucin Reformulacin en trminos del coeciente de restitucin de un choque () |ps ,CM | (Newton) (4) |pe ,CM | v Choque unidimensional pelota-Tierra = = s (5) ve Conservacin de la energa mecnica en el aire2 mve = mghi , 2

mvs2 v2 hi = mghf = e = = = z 2 vs2 hf

(6)

i z aportan la misma informacinRicard Alert Zenn La fsica del ping-pong



Conclusiones

Caractersticas de la pelota. Modelo elstico Mayor prdida de energa a mayor dimetro (justicacin del aumento de tamao para la ralentizacin del juego) Modelo elstico del choque pelota-supercie (ley de Hooke) F=L dp = YS k L dt L

(7)

Y mdulo de Young (propiedad intrnseca de los materiales) Consideremos:

Dos pelotas de tamao distinto que caen desde la misma altura (igual p ) Tiempo de parada en el choque (t ) independiente del tamao de la pelota (L) Supercie de contacto S independiente del tamao de la pelotaRicard Alert Zenn La fsica del ping-pong



Conclusiones

Caractersticas de la pelota. Modelo elstico Mayor prdida de energa a mayor dimetro (justicacin del aumento de tamao para la ralentizacin del juego) F= dp p dt t=

independiente del tamao= Lgrande > Lpequea

(8) (9) (10) (11)

Lgrande

Lgrande

Lpequea

Lpequea

F k ( L)2 = L Ee = Ei Ef = mg (hi hf ) = 2 2 Ee ,grande > Ee ,pequeaRicard Alert Zenn La fsica del ping-pong



Conclusiones

Caractersticas de la pala. Modelo elstico Mayor prdida de energa a mayor grosor de la esponja: aumento de L Menor prdida de energa con las antiguas colas rpidas: aumento de Y Mayor prdida de energa a mayor exibilidad de la goma: dismunicin de Y (sistemas como el High Tension de Buttery tratan de minimizar este efecto) Mayor control a mayor exibilidad de la goma y/o mayor grosor de la esponja: proporcionado por la mayor deformacin L Se precisa un balance entre los distintos aspectosRicard Alert Zenn La fsica del ping-pong



Seccin

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Experimento

Procedimiento Medida de la velocidad antes i despus del choque asumiendo movimiento rectilneo uniforme en la dcima de segundo anterior y posterior al choque

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Experimento

Instrumentacin Sensor de posicin MultiLog Pro Programario MultiLab Resultados ve ,x = 0.21 0.07 m/s , vs ,x = 0.20 0.07 m/s ,|ve ,y | = 83 2o , |ve ,x |Ricard Alert Zenn

ve ,y = 1.63 0.07 m/s vs ,y = 0.92 0.07 m/s

(12) (13) (14)

= 0.57 0.04

i = arctan

r = arctan

|vs ,y | = 78 4o (15) |vs ,x |




Teora

ngulos de incidencia y de reexin El ngulo de reexin no coincide con el de incidencia (r = i ) debido a la inelasticidad del choque La relacin ve ,x vs ,x encontrada experimentalmente lleva a pensar en determinar r a partir de para un cierto i|vs | = = |ve | |vs ,x | 1 + tan2 r = 2 2 |ve ,x | 1 + tan2 i ve ,x + ve ,y

vs2,x + vs2,y

1 + tan2 r 1 + tan2 i (16) (17)

1 r arctan (1 + tan i ) 1 ; > 1 + tan2 i Cabe notar que r ( = 1) = i tal como se esperaba2 2

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Conclusiones

ngulos de incidencia y de reexin La disipacin energtica en el contacto pelota-supercie produce una prdida de ngulo de reexin (se ha estudiado una situacin sobre un plano horizontal, sin accin de la gravedad, y sin efecto) En una pala en reposo la principal fuente de la disipacin es la deformacin elstica en la direccin perpendicular a la pala y no la friccin tangencial Podemos determinar el ngulo de reexin a partir del de incidencia si conocemos el coeciente de restitucin del sistema pelota-supercieRicard Alert Zenn La fsica del ping-pong



Seccin

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Experimento

Procedimiento Medida de la altura de la pelota en funcin del tiempo en rebotes verticales sucesivos en cada libre (pelota Nittaku*** sobre una supercie de caucho sinttico) Instrumentacin Sensor de posicin MultiLog Pro (25 Hz ) Programario MultiLabRicard Alert Zenn La fsica del ping-pong



Experimento

Resultados70 60 50 y (cm) 40 30 20 10 0 0 0.5 1 1.5 2 t (s ) 2.5 3 3.5 4

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Teora

Altura de la pelota en funcin del tiempo y (t ) Cada libre con y0,n = 0 y (t ) = vn (t tn1 ) g t2 g (t tn1 )2 vn tn n 2 2 (18)

y0,n posicin inicial del rebote n vn velocidad inicial del rebote n tn tiempo total transcurrido una vez completado el rebote n tn tiempo transcurrido desde el inicio del rebote n Tenemos que determinar n = n (t ). Calcularemos tn e invertiremos tn =n k =0

Tk ;

Tk duracin del rebote kLa fsica del ping-pong

(19)

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Teora

Altura de la pelota en funcin del tiempo y (t ) Consideremos independiente del rebote, esto es, de la energa Tk = 2 2hk = 2k g 2h0 T0 k g (20)

Suma de la progresin geomtrica tn =n k =0

Tk = T0

1 n+1 1 n = tn1 = T0 1 1

(21)

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Teora

Altura de la pelota en funcin del tiempo y (t ) Invertimos la funcin para encontrar n (t ) n=1 ln 1 (1 ) tn T0

ln

(22)

Si sustitumos tn1 t slo har falta aadir una funcin parte entera (funcin suelo) ln 1 (1 ) t T0 n= ln

(23)

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Teora

Altura de la pelota en funcin del tiempo y (t ) Las velocidades iniciales son vn = n Finalmente y (t ) = gh0 2 (24)

gh0 n g t2 tn n 2 2

(25)

Hemos obtenido una expresin analtica para la altura de la pelota en cualquier instante teniendo en cuenta los rebotes Slo hace falta conocer la altura inicial h0 , la gravedad g y el coeciente de restitucin Ricard Alert Zenn La fsica del ping-pong



Conclusiones

Curva terica de la altura y (t )70 60 50 y (cm) 40 30 20 10 0 0 0.5 1 1.5 2 t (s ) 2.5 3 3.5 4

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Conclusiones

Comparacin teora-experimento de la altura y (t )70 60 50 y (cm) 40 30 20 10 0 0 0.5 1 1.5 2 t (s ) 2.5 3 3.5 4 Datos experimentales Curva terica

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Conclusiones

Curvas tericas de la altura y (t ) y la velocidad v (t )60 40 20 y (cm) 0 -20 -40 -60 0 0.5 1 1.5 2 t (s ) 2.5 3 3.5 4 y (t ) v (t ) 4 3 2 v (m/s ) 1 0 -1 -2 -3 -4

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Conclusiones

Comparacin teora-experimento de la velocidad v (t )3 2 1 v (cm) 0 -1 -2 -3 -4 0 0.5 1 1.5 2 t (s ) 2.5 3 3.5 4 Datos experimentales Curva terica

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Contacto con una supercie Trayectoria en el aire. Efecto Magnus

Captulo

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Seccin

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Experimento

Evidencia emprica Las pelotas con efecto rebotan de forma diferente de las que no llevan Efecto lateral: una pelota con efecto lateral rebota en un plano diferente del de incidencia (se va hacia los lados)

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Experimento

Evidencia emprica Efecto cortado: una pelota cortada rebota en un ngulo de reexin mayor que el de una pelota sin efecto (se eleva en contactar con la mesa hasta conseguir el retroceso y se va abajo en contactar con la pala)

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Experimento

Evidencia emprica Efecto liftado: una pelota liftada rebota en un ngulo de reexin menor que el de una pelota sin efecto (se va abajo en contactar con la mesa i se eleva en contactar con la pala)

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Teora

Modelo de la rodadura Consideremos una pelota con efecto que cae verticalmente sobre una supercie En el momento del contacto, el efecto crea una asimetra en la presin que recibe la regin de contacto de la pelota. El origen de esta asimetra es la respuesta viscoelstica de los materiales, que se deforman ms rpidamente que recuperan su forma inicial (histresis elstica)Ricard Alert Zenn La fsica del ping-pong



Teora

Modelo de la rodadura La fuerza resultante FR est desplazada del punto central del contacto= crea un momento de fuerza Mrel Mrel = r FR FR sin

2

= + x

= N x (26) = FR cos x

La componente tangencial de FR crea una pequea friccin= Ff = FR sin y

N = N tan y N y (27) sin y cos La fsica del ping-pong

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Teora

Modelo de la rodadura Un momento de fuerza M produce un cambio en el momento angular L dL (28) M= dt Separacin del momento angular L=N i =1

ri pi =N

N i =1

rCM + ri

mi vCM + vi

=

=i =1

ri pi + rCM pCM Lrel + LCMLa fsica del ping-pong

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Teora

Modelo de la rodadura El momento de fuerza Mrel modica el momento angular Lrel (es interno) Lf Lirel + Mrel (30) rel tiempo de contacto

Momento de inercia I de la pelota (cscara esfrica) Lirel = I i = Lf rel 2mR 2 i x 3 (31) (32)

2mR 2 2mR 2 + N x i x f x 3 3La fsica del ping-pong

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Teora

Modelo de la rodadura La pelota rebota con menor efectof i

3 N 2mR 2

(33)

El momento angular total se conserva de manera aproximada Li = Lirel Lf = Lf + Lf CM rel

(34)

La pelota rebota con un momento angular orbital que la desva hacia la direccin observada empricamente Lf N x CMRicard Alert Zenn La fsica del ping-pong

(35)



Conclusiones

Caractersticas de la pelota Menor efecto a mayor dimetro (justicacin del aumento de tamao para la ralentizacin del juego) Si contactamos la pelota tangencialmente con una fuerza durante un tiempo (coordenadas cilndricas de la F = Ft pelota) M =r F = dL = L = dt0

dt = RFt z RFt z

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Momento de inercia I de la pelota (cscara esfrica) L= 2mR 2 3 Ft = = z 3 2mRLa fsica del ping-pong

(37)

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Conclusiones

Caractersticas de la pala Mayor efecto a mayor exibilidad de la goma y/o mayor grosor de la esponja: aumento del coeciente de rodadura Mecanismos de accin de las gomas de picos:

disminucin de la supercie de contacto = menor adherencia = menor efecto (ms pronunciado a menor supercie de los picos) deformacin asimtrica de los picos, aplastados en el lado de ataque pero doblados en el lado contrario. La restitucin elstica de esta deformacin puede invertir el efecto (ms pronunciado a mayor longitud de los picos)

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Experiment

Procedimiento Medida directa del ngulo de desviacin de una pelota con efecto suspendida en un pndulo en un ujo de aire (trigonometra y escala sobre una fotografa), d Medida del ngulo de desviacin de una pelota con efecto suspendida en un pndulo en un ujo de aire segn la teora de Magnus, tMedida de la velocidad del aire (anemmetro), u Medida de la velocidad de rotacin de la pelota (vdeo), v

Instrumentacin Cuerda, hilo de nylon, pinza Ventilador Cmera fotogrca y de vdeoRicard Alert Zenn La fsica del ping-pong



Experimento

Resultados Medida directa x +R = 3.4 0.2o a (38) x separacin del pndulo de la vertical a longitud del pndulo Medida indirectad = arcsin

u = 2.5 0.1 m/s = 2.00 0.06 HzRicard Alert Zenn

(39) (40)La fsica del ping-pong

Cargando



Teora

Efecto Magnus Teorema de Kutta-Joukowsky: resolucin del problema de un cuerpo cualquiera sometido a un ujo u bidimensional ideal, estacionario, incompresible y con vorticidad (sigue siendo potencial o irrotacional) FM = u Fuerza de Magnus sobre el cuerpo densidad del uidoRicard Alert Zenn La fsica del ping-pong

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Teora

Efecto Magnus Interpretacin fsica: agarre del uido al cuerpo =diferencia de velocidad =diferencia de presin P =fuerza Teorema de Bernoulli P+ u 2

2

= 0 (42)

Turbulencia en la capa lmite = disminucin del agarre = disminucin del efecto Magnus y de la resistencia aerodinmica (pelotas de golf)Ricard Alert Zenn La fsica del ping-pong



Conclusiones

Trayectoria de las pelotas con efecto

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Conclusiones


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Conclusiones


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Conclusiones

Comparacin teora-experimento Adherencia v+ = u + v , v = u v ;P =

v = R = 2 R (43) (44) (45) (46)

Teorema de Bernoulli Fuerza de Magnus Dinmica del pndulo

2

2 2 v+ v = 2uv

FM = S P = R 2 P = 2uvR 2t = arctan

FM = 4.3 0.6o mg

Resultado compatible con d = 3.4 0.2o La teora de Magnus describe mnimamente bien incluso cuantitativamente la desviacin de origen aerodinmico de las pelotas con efectoRicard Alert Zenn La fsica del ping-pong


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Conclusiones generales

Satisfaccin de los objetivos Hemos podido describir los mecanismos fsicos bsicos que gobiernan los distintos fenmenos que se dan en el transcurso de las jugadas de ping-pong El rebote

Prdida de energa en el rebote y su relacin con las principales caractersticas de la pelota y de la pala Prdida de ngulo de reexin en el rebote Cinemtica de una sucesin de rebotes verticales Trayectorias que toman las pelotas con efecto al rebotar y su relacin con las caractersticas de la pelota y de la pala Trayectorias que toman las pelotas con efecto al desplazarse por el aireRicard Alert Zenn La fsica del ping-pong

El efecto


Trabajos posteriores

La mgia dels efectes (La magia de los efectos) Autor: Albert Martnez Vall Instituto: Collegi Sant Miquel dels Sants, Vic Curso de presentacin: 2009 Director: Miquel Padilla Muoz Trata nicamente el tema del efecto pero con ms detalle en el terreno experimental Se hacen experimentos de rebote bidimensional parecidos a los de nuestro trabajo pero con pelotas con efecto liftado y cortado y se comparan Se hacen simulaciones de la aerodinmica de la pelotaRicard Alert Zenn La fsica del ping-pong


Trabajos posteriores

La fsica i el tennis taula (La fsica y el tenis de mesa) Autor: Oriol Abante Alert Instituto: Collegi La Merc, Martorell Curso de presentacin: 2011 Director: Josep Anton Garrido Alarcn Tratamiento genrico ms enfocado a la vertiente deportiva (materiales y tcnica del ping-pong) Hay un apartado dedicado a la biomecnica del ping-pong Se hacen experimentos sobre la resistencia de las gomas a la traccin Contiene una encuesta y dos entrevistasRicard Alert Zenn La fsica del ping-pong


Propuestas de estudio

Algunos temas susceptibles de ser tratados Mejora de la precisin y de la cantidad de todos los experimentos Profundizacin en el estudio de las propiedades elsticas de los materiales Vericacin experimental cuantitativa del modelo de la rodadura Estudio detallado de los mecanismos de accin de las gomas de picos Profundizacin en el estudio de la aerodinmica de la pelota incluyendo el efecto de las turbulenciasRicard Alert Zenn La fsica del ping-pong

Muchas gracias!

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