La fórmula secreta de la Coca Cola -...

La fórmula secreta

de la Coca Cola

por José Luis Gómez Muñoz

http://www.globalcomputing.com.mx/

Graficando y modificando funciones

Los siguientes comandos sirven para para definir una función f HxL = x2, graficándola de 0 a 1

In[1]:=

f@x_D := x2;Plot@f@xD, 8x, 0, 1<D

Out[2]=

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Para que el eje horizontal y el vertical tengan la misma escala, debemos añadir la opción:

AspectRatioÆAutomatic

adentro del comando Plot:

In[3]:=

f@x_D := x2;Plot@f@xD, 8x, 0, 1<,AspectRatio → AutomaticD

Out[4]=

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

2 CocaColaPiecewiseTextureExport.nb

Aquí cambiamos un poco la función subiéndola 0.5 unidades, y además ponemos la opción

AxesOriginÆ{0,0}

La cual forza a Mathematica a dibujar los ejes cruzándose en el origen, que es lo que usualmente

hacemos en un dibujo a mano:

In[5]:=

f@x_D := 0.5 + x2;

Plot@f@xD, 8x, 0, 1<,AspectRatio → Automatic,

AxesOrigin → 80, 0<D

Out[6]=

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

CocaColaPiecewiseTextureExport.nb 3

Cambiamos un signo en la función, haciendo que abra hacia abajo:

In[7]:=

f@x_D := 0.5 − x2;

Plot@f@xD, 8x, 0, 1<,AspectRatio → Automatic,


Out[8]=

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-0.4

-0.2

0.2

0.4


Volvemos a cambiar la función, moviéndola 0.4 unidades a la derecha:

In[9]:=

f@x_D := 0.5 − Hx − 0.4L2;Plot@f@xD, 8x, 0, 1<,AspectRatio → Automatic,


Out[10]=

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Ahora hacemos que la variación en alturas sea menor multiplicando por 0.3:

In[11]:=

f@x_D := 0.5 − 0.3 Hx − 0.4L2;Plot@f@xD, 8x, 0, 1<,AspectRatio → Automatic,


Out[12]=

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


Ahora graficamos de 0 a 2:

In[13]:=

f@x_D := 0.5 − 0.3 Hx − 0.4L2;Plot@f@xD, 8x, 0, 2<,AspectRatio → Automatic,


Out[14]=

0.5 1.0 1.5 2.0

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Superficies de Revolución

Los siguientes comandos sirven para para definir la función g HxL = x2, graficandola de 0 a 0.5

In[15]:=

g@x_D := x2;Plot@g@xD, 8x, 0, 0.5<,AspectRatio → Automatic,


Out[16]=

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25


A continuación usamos la función g (que fue definida arriba) para graficar la ecuación x = y2

In[17]:=

ParametricPlot@8g@yD, y<, 8y, 0, 0.5<D

Out[17]=

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


Reemplaza "ParametricPlot" con "RevolutionPlot3D" y se obtiene la superficie generada por la

rotación de la curva x = y2 alrededor del eje y:

In[18]:=RevolutionPlot3D@8g@yD, y<, 8y, 0, 0.5<D

Out[18]=


Una pieza de ajedrez

Supón que queremos fabricar un juego de ajedrez. Por ejemplo para crear un peón se puede generar

al girar la siguiente función alrededor del eje. Aquí x y f(x) están dadas en centímetros:

f(x)=

1- x2

0 § x § 1

12

1 < x § 3

34- Ix- 7

2M2 3 < x § 4

Primero definimos la función peon(x) usando el comando Piecewise, y la graficamos:

In[19]:=

peon@x_D := PiecewiseB:

:1 −x

2, 0 < x < 1>,

: 12, 1 < x < 3>,

: 34

− x −7

2

2

, 3 < x < 4>

>F;Plot@peon@xD, 8x, 0, 4<,AspectRatio → Automatic,


Out[20]=

1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Usamos la función peon(x) (que fue creada en el comando anterior) y el comando ParametricPlot para

graficar la ecuación x=peon(y)

In[21]:=ParametricPlot@8peon@yD, y<, 8y, 0, 4<, PlotRange → AllD

Out[21]=

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1

2

3

4


Reemplaza "ParametricPlot" con "RevolutionPlot3D" y se obtiene la superficie generada por la

rotación de la curva x = peon HyL alrededor del eje y

In[22]:=RevolutionPlot3D@8peon@yD, y<, 8y, 0, 4<, PlotRange → AllD

Out[22]=


Con la opción MeshØNone se puede obtener la superficie sin la malla:

In[23]:=

RevolutionPlot3D@8peon@yD, y<, 8y, 0, 4.05<,PlotRange → All, Mesh → NoneD

Out[23]=


Imagen en la superficie

El comando FileNames permite mostrar las imágenes JPG que están en el folder "Mis documentos" de

esta computadora.

El resultado de este comando será diferente en tu computadora.

Si obtienes como resultado una lista vacía, obtén una imagen JPG de internet y guárdala en la carpeta

(folder) donde Mathematica busca archivos (Usualmente es "Mis documentos" si tu computadora usa

Windows)

In[24]:=FileNames@"∗.jpg"D

Out[24]=8ambassadors.jpg, lennablue.jpg, lenna.jpg<

Selecciona una de las imágenes JPG que aparecieron en tu computadora, y guárdala en la variable

imagen, como se muestra abajo:

In[25]:=

imagen = Import@"ambassadors.jpg"D

Out[25]=


A continuación la imagen alrededor del peón. La función peon[y] fue definida más arriba en este

documento, y la imagen fue guardada en imagen en el comando anterior (EN MATHEMATICA

PUEDES GIRAR LA IMAGEN EN 3D CON EL RATÓN). La figura tridimensional se guarda en la

variable peonsolido, como se muestra abajo:

In[26]:=peonsolido = RevolutionPlot3D@8peon@yD, y<, 8y, 0, 4.05<,

Mesh → None, PlotStyle → Texture@imagenDD

Out[26]=


Volumen de la pieza de ajedrez

La siguiente fórmula permite calcular el volumen de un sólido de revolución:

volumen=Ÿyiniyend

p ◊ Hf @yDL2 „ y

A continuación se usa el comando NIntegrate para calcular el volumen del peón:

In[27]:=

NIntegrateAπ ∗ Hpeon@yDL2, 8y, 0, 4<EOut[27]=

4.81711

Este número significa que, si el peón va a ser fabricado de plata, contendrá 4.8 centímet-

ros cúbicos de plata. Si tenemos el costo de un centímetro cúbico de plata, podemos

multiplicarlo por 4.8 para conocer el costo del material necesario para fabricar este peón.

Exportando la figura final

A continuación se guarda el dibujo del perfil del peón en la variable peonplano:

In[28]:=

peonplano = Plot@peon@xD, 8x, 0, 4<,AspectRatio → Automatic,


Out[28]=

1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


A continuación se juntan la figura tridimensional peonsolido, la figura peonplano y la función peon[x] (las

tres fueron definidas más arriba) en una figura llamada final, la cual será exportada más abajo en un

archivo JPG. En la etiqueta PlotLabel pon tú número de estudiante (matrícula), como se

muestra abajo:

In[29]:=final = GraphicsGrid@

88 peon@xD, peonsolido <,8 peonplano, SpanFromAbove<

<,Frame → All,

PlotLabel → "ESTUDIANTE: A00123456",

ImageSize → LargeD

Out[29]=

Abajo exportamos la figura llamada final, que fue definida arriba, que contiene el peón y su función, y

que tiene en la etiqueta tú número de matrícula en un archivo JPG:


In[30]:=

Export@"peon.jpg", final,

ImageSize → LargeDOut[30]=

peon.jpg

El comando FileNames[“*.jpg”] muestra la lista de archivos JPG en el directorio (carpeta, folder)

donde Mathematica busca y guarda archivos. Este directorio suele ser “Mis Documentos” en

Windows. La lista de archivos JPG puede ser diferente en tu computadora de la lista que se muestra

abajo:

In[31]:=

FileNames@"∗.jpg"DOut[31]=

8ambassadors.jpg, lennablue.jpg, lenna.jpg, peon.jpg<

Primer ejercicio: La fórmula secreta de la Coca Cola

a) Construye la expresión de una función seccionada (usando Piecewise) tal que cuando

sea rotada alrededor del eje genere una botella de Coca Cola, como se muestra en la

imagen abajo. Tu botella de Coca Cola debe tener 18 centímetros de alto.

b) Calcula el volumen de tu botella con la siguiente fórmula para calcular el volumen:

volumen=Ÿ018p ◊ Hf @yDL2 „y

Usa el comando NIntegrate, como se hizo con el peón, mas arriba en este documento

El volumen de tu botella de Coca Cola debe ser cercano a los 237 centímetros cúbi-

cos (237 mililitros), que es el volumen de una botella real de 18 centímetros de alto.

c) Ponle una imagen (etiqueta) a tu botella de Coca Cola

d) Exporta tu Coca Cola tridimensional con etiqueta, junton la función que usaste para

crearla, en un archivo JPG con tu número de matrícula. Envía ese archivo JPG al instruc-

tor mediante el programa o red social que él o ella te haya indicado.


Segundo ejercicio: El florero

Construye la expresión de una función seccionada (usando Piecewise) tal que cuando sea

rotada alrededor del eje genere una superficie que se vea exactamente como el siguiente

florero. Usa el comando Texture para ponerle una imagen en la superficie, como se hizo

con el peón.


Autor: José Luis Gómez Muñoz

http://www.globalcomputing.com.mx/

In[32]:=

$Version

Out[32]=9.0 for Microsoft Windows H64−bitL HJanuary 25, 2013L


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