La geometría dinámica como herramienta para desarrollar ...

La geometría dinámica como herramienta

para desarrollar competencias de

modelización en el Bachillerato

Philippe R. Richard

Introducción

Noción de competencia

Hacia una competencia de modelización

1. Modelización y matematización

2. Obstáculos en el ciclo de modelización

3. Dos cambios metamatemáticos en el proceso de matematización

4. Papel de la geometría dinámica

5. Representación de conocimientos y modelización intramatemática

6. Conclusión

Bibliografía y referencias

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Philippe R. Richard

INTRODUCCIÓN

NOCIÓN DE COMPETENCIA

La noción de competencia, como idea reciente en el mundo educativo, ha permitido dejar de lado

que el aprendizaje del alumno se produzca con la consecución de unos objetivos pedagógicos. Es

decir, que ya no se presta tanta atención a la meta como tal, sino al cómo se puede llegar a ella. Asimismo,

pensar en términos de competencias es apartar la tendencia en segmentar conocimientos de referencia

y, consecuentemente, a evaluar el nivel de apropiación de unos segmentos, herencia de una concepción

específica de los antiguos corpus de objetivos. Es que acaso, ¿el todo es la suma de sus partes? Sin entrar

en un debate sobre los aspectos holísticos del aprendizaje, recordemos que el alumno actúa cuando ejer-

cita o mejora sus conocimientos, y que lo hace progresivamente a lo largo de los problemas que se

plantea o sabe resolver. Lejos de querer subordinar los conocimientos a una nueva posición sistémica

(por competencias), se trata de enfocar la mirada en el saber-actuar del alumno para su búsqueda del

sentido a los conocimientos de referencia, su uso del razonamiento en la estructuración de estos cono-

cimientos y su participación en situaciones que resultan ser auténticos desafíos para él. Dicho de otro

modo, el alumno ya no estudia matemáticas, sino que se forma en matemáticas. Si esta disposición pone

de manifiesto un cierto relativismo en el contenido de formación, no significa que el orden en que se in-

troducen los conocimientos matemáticos sea secundario. Continúa estando en el primer plano de la pla-

nificación docente, pero no con el afán de prescribir una evolución naturalista del contenido involucrado

o de reproducir una “historia” presupuesta, sino para facilitar la adquisición de conocimientos coherentes

y estables durante el desarrollo de competencias matemáticas que sirven de herramienta para actuar y

reflexionar.

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Competencias matemáticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales

HACIA UNA COMPETENCIA DE MODELIZACIÓN

Las tipologías de competencias matemáticas varían según el grado de generalidad que se les presta. Si qui-

siéramos alcanzar un máximo nivel de generalidad y así obtener un solo tipo, se puede considerar que la

resolución de problemas es la competencia mayor. Como nos lo recuerda Brousseau (1998), la única manera

de “hacer” matemáticas es buscar y resolver algunos problemas específicos y, para este fin, plantearse nue-

vas preguntas. Aun así, resulta práctico cuando las tipologías afinan un poco más, mostrando qué relación

a los conocimientos las competencias quieren privilegiar y cómo se orienta la ambición de centrarse en la

formación del pensamiento y el desarrollo de la autonomía. En la Figura 1 destacamos tres tipologías que

nacen de un consenso institucional y que se diferencian entre sí por su contexto de aplicación. La primera

proviene del Ministère de l’Éduction des Loisirs et du Sport du Québec (MÉLS, 2006, 2007), la segunda del

proyecto europeo Tuning Educational Structures (TUNING, 2003) y la tercera del Programa Internacional

OCDE/PISA (PISA, 2006), que ha optado por recurrir a ocho competencias que, en su forma actual, se basan

en la obra de Niss (1999, 2002) y sus colegas daneses.

En las dos últimas tipologías se aprecia una competencia de modelización, pero en TUNING (2003) está

formulada para estudiantes universitarios y en PISA (2006) se restringe a un marco de evaluación, aunque

se destina a un alumnado cercano al Bachillerato. Por otro lado, entre las dos primeras tipologías se puede

apreciar una lógica evolutiva desde lo preuniversitario hasta lo universitario, acercando resolver una situa-

ción-problema con resolver problemas con técnicas matemáticas, desplegar un razonamiento matemático

con concebir demostraciones y, hasta un cierto punto, comunicar con el lenguaje matemático con modelizar

matemáticamente una situación. Pero si la modelización sobreentiende una traducción de lo real al lenguaje

matemático, comunicar y modelizar siguen siendo dos actividades diferentes. ¿Podemos concluir que en

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Philippe R. Richard

MÉLS Programa de formación en matemáticas

Etapa 12-17 años

TUNING Programa de formación en matemáticas

Nivel licenciatura

PISA Evaluación de conocimientos y habilidades en matemáticas

Etapa 15-16 años

• Resolver una situación-problema. • Desplegar un razonamiento matemático. • Comunicar con el lenguaje matemático.

• Concebir demostraciones. • Modelizar matemáticamente una situación. • Resolver problemas con técnicas

matemáticas.

• Pensamiento y razonamiento. • Argumentación. • Comunicación. • Construcción de modelos. • Planteamiento y solución de problemas. • Representación. • Utilización de operaciones y lenguaje

técnico, formal y simbólico. • Empleo de material y herramientas de

apoyo.

FIGURA 1. Tres tipologías de competencias matemáticas

PISA hay una voluntad en dar cuenta de una competencia de modelización, pero que en los programas ac-

tuales esta competencia sólo aparece a un nivel de formación alto? En todo caso, pocos planes de estudio

preuniversitario, o mejor dicho, planes de formación, contemplan explícitamente el desarrollo de una com-

petencia de modelización. Y cuando se habla de modelización parece más una habilidad entre otras que

el reconocimiento de una competencia clave.

A continuación subrayamos la importancia de la modelización en la formación preuniversitaria, con raíces

en la epistemología de las ciencias y en el ejercicio de las matemáticas en clase. Intentamos mostrar que

la actividad de modelar aparece bastante más a menudo de lo que se cree normalmente y que, por esto,

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hablar de una competencia de modelización llega a ser una estrategia didáctica. Pero antes que nada ne-

cesitamos definir qué entendemos por “modelización”, utilizando la geometría dinámica como medio eficaz

entre el universo del espacio y las formas y el mundo matemático.

1. MODELIZACIÓN Y MATEMATIZACIÓN

Emplear las matemáticas para modelizar el mundo, o algunos de sus aspectos, está en el centro de la ac-

tividad del matemático aplicado. La palabra “modelo” se entiende aquí en un sentido de representación:

los objetos matemáticos desempeñan el papel de objetos reales, y de su conocimiento se espera sacar in-

formación acerca del propio mundo real1. Cuando la modelización es correcta el estudio del modelo ma-

temático proporciona información sobre la situación, el objeto o las estructuras perseguidas por el modelo.

Esta información puede proceder del estudio del modelo matemático o de su utilización para desarrollar

programas informáticos que, cuando funcionan, simulan la situación, el objeto o la estructura modelizada.

En este sentido, se puede modelizar el mundo físico por un espacio euclidiano de dimensión tres (o cuatro

para tener en cuenta el tiempo) y, luego, la posición de un satélite alrededor de la Tierra por un punto

cuyas coordenadas varían continuamente en función del tiempo, etc. Según PISA (2006) el ciclo de mode-

lización se esquematiza en cinco pasos (Figura 2) 2:

1 Por “mundo real” entendemos la “práctica de la existencia”, es decir, aquello que produce efectos, que actúa (opuesto a aparente, ficticio),

que existe en la actualidad (opuesto a posible) y que es concreto (opuesto a abstracto).

2 Para asegurar la coherencia de nuetro texto tuvimos que cambiar “ciclo de matematización” y “modelización” (original, PISA 2006) por “ciclo

de modelización” y “matematización”. La tradición anglo-sajona del texto primitivo, al contrario de la tradición francesa en que nos basamos,

utiliza estos términos de forma opuesta. Por tanto, más que una reproducción del punto de vista del OCDE, presentamos aquí una adaptación

que recoge, eso sí, sus puntos claves. Se puede consultar el texto fuente en http://www.pisa.oecd.org/dataoecd/59/2/39732471.pdf.

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Philippe R. Richard

FIGURA 2. El ciclo de modelización según PISA (2006)

1. Se inicia con un problema que nace de una situación real.

2. Se organiza el problema en función de conceptos matemáticos.

3. Se va abstrayendo progresivamente el problema de la realidad mediante una serie de procesos, como

la elaboración de hipótesis, la generalización y la formalización, cuyo objetivo consiste en destacar las

características matemáticas de la situación y transformar el problema del mundo real en un problema

matemático que reproduce adecuadamente la situación.

4. Se resuelve el problema matemático.

5. Se interpreta la solución matemática en términos de la situación real, a la vez que se explora su dominio

de aplicación —posibles limitaciones de la solución o determinación de su espacio de validez.

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La modelización comporta, en primer lugar, la traducción del problema real a un problema matemático y

alcanza, en términos de aprendizaje, los típicos problemas de transferencia (por ejemplo, situación de la

vida cotidiana que implica una transferencia de la experiencia escolar) y descontextualización (por ejemplo,

dar cuenta de entornos complejos y dinámicos de la vida cotidiana con el razonamiento). El proceso de

modelización incluye diversas operaciones, como:

— Identificar los elementos matemáticos pertinentes al problema del mundo real.

— Representar este problema de una manera distinta y, en particular, organizarlo de acuerdo con el plan-

teamiento de las hipótesis apropiadas y los conceptos matemáticos pertinentes.

— Comprender las relaciones existentes entre el lenguaje del problema y el lenguaje formal y simbólico

que se necesita para su entendimiento en términos matemáticos.

— Encontrar regularidades, relaciones y patrones.

— Reconocer los aspectos que son isomorfos respecto a otros problemas conocidos.

— Traducir el problema en términos matemáticos, es decir, matemátizarlo.

Después de esta traducción, el proceso puede continuarse esencialmente en el ámbito matemático, recu-

rriendo a las habilidades, los conceptos y los procesos matemáticos de que dispone el alumno. Se trata de

desarrollar el problema matematizado, adaptarlo, establecer regularidades, identificar conexiones y crear

una argumentación matemática. Esta parte del proceso de modelización suele conocerse como la parte de-

ductiva del ciclo. Aun así, conviene señalar que en esta fase pueden intervenir procesos que no son pro-

piamente deductivos, como el uso y la coordinación de varios tipos de representación, el empleo de unas

herramientas tecnológicas o la reflexión metamatemática acerca de los modelos que están en juego, incluso

los modelos implícitos. Volveremos a hablar de ello un poco más adelante.

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Philippe R. Richard

En fin, la resolución del problema consiste en reflexionar en el conjunto del proceso de modelización y los

resultados obtenidos, para interpretar éstos con espíritu crítico y validar la modelización. Esta reflexión se

puede dar en todas las fases del proceso, pero en este punto final tiene especial importancia. Algunos de

los aspectos de este proceso de reflexión y validación son:

— La comprensión del alcance y los límites de los conceptos matemáticos.

— La reflexión sobre las argumentaciones matemáticas y la explicación y justificación de los resultados ob-

tenidos.

— La comunicación del proceso y su estructuración escrita (solución).

— La crítica del modelo, de su alcance y sus límites.

2. OBSTÁCULOS EN EL CICLO DE MODELIZACIÓN

Se puede calificar el ciclo de modelización de la Figura 2 de una aproximación extramatemática clásica.

Aunque su valor pedagógico es bastante oportuno, tiene el inconveniente de subestimar:

— la importancia de la modelización intramatemática para la búsqueda del sentido y la representación de

los conocimientos matemáticos;

— el papel de la simulación informática que, de por sí, integra modelos matemáticos en la representación

interna de los conocimientos, su comunicación a la interfaz y su control durante el tratamiento;

— la reflexión metamatemática, como distinguir entre una hipótesis empírica (supuesto o conjetura admitida

provisionalmente antes de estar controlada por la experiencia) y una hipótesis matemática (hecho, base

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de la demostración de un teorema), o entre el tipo de racionalidad que se emplea para controlar un

proceso inductivo frente a un proceso deductivo.

Dado que la consideración de estos puntos resulta ser determinante para el desarrollo de una competencia

de modelización completa, es decir, que va más allá de un enfoque extramatemático, dedicamos a los dos

últimos puntos una sección específica y al primero un apartado. Pero para facilitar el entendimiento del

cómo estos procesos intervienen en el ciclo de modelización empezamos esta sección con el problema del

alumbramiento:

El ayuntamiento ha decidido colocar una farola en un pequeño jardín triangular para que alumbre este jardín

en su totalidad. ¿Dónde debería colocarse?

La realidad que sitúa presumidamente el problema es el mundo del espacio y las formas. Si lo planteamos

junto con el uso de un software de geometría dinámica se ofrecerá, indirectamente, una premodelización en

este mundo. De lo contrario, puesto que el problema se presenta en tres dimensiones, haría falta tratar la

altura de la farola y su efecto sobre la intensidad luminosa —que disminuye según la inversa del cuadrado

de la distancia (ver Figura 3). Es decir, que se necesitaría también una consideración en el mundo del cambio

y las relaciones que se suele matematizar con el análisis y el álgebra. Al proponer de antemano un dibujo

(Figura 4), se indica también que la forma del alumbramiento es una circunferencia, no una elipse ni otra

forma, además de abstraer unos datos como el espesor de la farola misma —representada aquí por un punto,

como si éste fuese el caso degenerado de un cilindro, un cono troncado o un prisma. Asimismo, aunque sea

un poco más sutil, la propuesta de una figura dinámica en un medio informático comporta una discretización

del problema que no es la misma que en el contexto del problema. Es razonable pensar, con el enunciado,

que uno se puede satisfacer de una precisión al centímetro, mientras que la variación del radio de la circun-

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Philippe R. Richard

ferencia con el software, en función del deslizador r, es de 0,1 cm (Figura 4) —siempre que no se cambie el

enfoque de ventana inicial o que se ajuste el deslizador a escala, con referencia a un sistema de ejes. Por

tanto, la realidad aquí es una realidad premodelizada que crea, como en muchos ejemplos en física, un riesgo

de confusión entre modelo y realidad. Pero por otro lado engendra un auténtico espacio matematizable.

FIGURA 3. Ilustración del principio de la inversa del cuadrado. Las

líneas representan un haz de luz que emana de una fuente puntual S.

La densidad del haz disminuye proporcionalmente a medida que

aumenta la distancia, como en tres homotecias de centro S y de radio

r, 2r y 3r respectivamente3.

FIGURA 4. Representación a priori del problema del alumbramiento

con GeoGebra (v3.2). Los puntos A, B, C y F se pueden desplazar

libremente en el plano. De modo que el aspecto del triángulo ABC

varía según la localización de sus vértices y la circunferencia móvil de

centro F disminuye o aumenta en función del deslizador r. Este último

varía entre 0 y 5, con un incremento de 0,1 respecto a la unidad

determinada por el software

3 Imágen procedente de http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_la_inversa_del_cuadrado.

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Ahora bien, antes de llegar a una matematización del problema, que consistiría en traducirlo en “localizar el

centro de una circunferencia que circunscribe un triángulo”, se puede experimentar con el software para en-

contrar al menos una configuración satisfactoria. Es decir, colocar F en el triángulo y determinar el radio co-

rrespondiente a la circunferencia para que todo el jardín esté iluminado. En nuestra figura dinámica, con un

radio máximo de 5 cm, funciona con casi cualquier punto F dentro del triángulo. ¿Acaso había un condicionante

económico en el enunciado para alumbrar todo el jardín, sin sobrepasar sus vértices? Para un profesor que

controla una actividad de modelización resulta fácil decidir hasta qué punto quiere dar cuenta o adecuarse a

la realidad. No es así para el alumno que desarrolla sus competencias, ya que su capacidad en involucrarse

en el contexto real o su conocimiento de las posibilidades del sistema informático es insuficiente. Se necesitan

conocer las condiciones didácticas en que se presenta el problema para que su modelo, que es forzosamente

una simplificación de la realidad, tenga las características suficientes para ser aceptable y transferible en pro-

blemas conexos. Por tanto, ¿haría falta añadir más condiciones en el enunciado, estrechando aún más la pre-

modelización? Si se hiciese, el problema se acercaría a un problema matemático, algo aún más lejos de una

modelización extramatemática. Un enunciado se acerca a la realidad en la medida en que las estructuras ma-

temáticas que esconde permanecen confusas y mal definidas, aceptando que cualquier precisión forma parte

del ejercicio de matematización. En este aspecto, la modelización se acerca a la resolución de problemas ma-

temáticos y a lo que Brousseau (1998) llama la devolución del problema. Es decir, el profesor se tiene que

asegurar que el alumno trabaje en la misma situación que la que es propuesta.

3. DOS CAMBIOS METAMATEMÁTICOS EN EL PROCESO DE MATEMATIZACIÓN

La organización del problema en conceptos matemáticos y su traducción a una estructura matemática, es decir

la consecución de los pasos 2 y 3 en la Figura 2, constituye un auténtico reto para el alumno porque el contexto

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Philippe R. Richard

enfrenta un enfoque experimental a un modo matemático de aproximarse a la realidad. Esta cuestión era típica

en el Siglo de las luces, cuando los grandes maestros utilizaban consideraciones físicas para motivar propiedades

geométricas que, luego, demostraban con razonamientos matemáticos. Como lo mostramos en Richard, Meavilla

y Fortuny (2009), el matemático Alexis Claude Clairaut (1713-1765) hacía descubrir algunas propiedades mate-

máticas mediante una experimentación que pudimos transponer fácilmente en un entorno de geometría diná-

mica. Aun sin esta tecnología, Clairaut concluía elegantemente que “esta inducción lleva con ella su demostra-

ción”. ¿Podemos intuir algo parecido con el problema del alumbramiento? No es nada seguro, porque la

“inducción” de Clairaut proviene de un experimento mental a raíz de un texto que contiene figuras, cuyo dina-

mismo lo proporciona el razonamiento del lector. Mientras que la localización de la farola puede verse de un vis-

tazo, desplazando los objetos con el ratón y suponer que, con una configuración satisfactoria, ya se ha encontrado

el punto deseado. El ayuntamiento puede estrenar farola, sólo hace falta determinar la distancia que la separa

de los lados del jardín con un dibujo a escala. Si comparamos cada proceso en términos de concepción, en lugar

de operar con el discurso y controlar los conocimientos con el razonamiento, se opera en la acción y se controla

con la apariencia visual, dejando al software la responsabilidad de gestionar el dinamismo de las figuras. Así, la

transformación en un problema matemático no es un ejercicio de conversión entre dos estructuras (mundo real

y mundo matemático) que se diferencian en su modo de expresión. Si se habla de traducción es porque se pro-

ducen cambios con respecto al estatuto de los conocimientos (posibles o establecidos) y la lógica de cada enfoque

(experimental y matemático), incluso cuando la realidad es un mundo premodelizado.

4. PAPEL DE LA GEOMETRÍA DINÁMICA

En un cierto modo la geometría dinámica es una especie de primera física. Se pueden construir y manipular

objetos que conservan su coherencia durante el desplazamiento. Si hubiéramos dejado al alumno la res-

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ponsabilidad de representar la situación a la interfaz

del software, puede que el riesgo de confusión en-

tre el mundo real y su representación hubiera sido

más tenue. Aun así, la premodelización resultaría de

una simplificación imperfecta que, por necesidad,

hubiera conservado algunas características de la

rea lidad, olvidando aspectos esenciales como la

consideración de la tercera dimensión, la intensidad

luminosa o la solución más económica. Además, la

simulación informática provoca una ilusión de con-

tinuidad, tanto en el desplazamiento de las figuras

como en el uso de los números reales. En este úl-

timo caso la discretización plantea problemas de re-

dondeo y es, a menudo, una fuente de resultados

falsos y sin significado porque no tienen su contra-

partida en la realidad. Pero este problema no es propio de la informática, aparece en el estudio matemático

mismo. Por ejemplo, manipular números reales para modelizar el tiempo puede dar la ilusión de una divi-

sibilidad infinita de las duraciones que no tiene sentido en física. Seguramente se trata de una regla general:

aunque las modelizaciones hechas en física con los reales sean cómodas y muy potentes, llevan el peligro

de atribuir al artificio abstracto del infinito, propiedades que los objetos del mundo real no poseen.

FIGURA 5. Estudio de la farola “lejana” con GeoGebra (v3.2). En el

caso de un triángulo obtusángulo, no solamente se tendría que colocar

la farola fuera del jardín, sino que generaría una iluminación

desproporcionado entre el jardín y su exterior

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Por otra parte, al permitir exploraciones “instantáneas”, el alumno puede sacar conclusiones que no son

evidentes en el entorno lápiz-papel y que subrayan la complejidad de la modelización. Suponemos aquí

Philippe R. Richard

FIGURA 6. Localización de la farola con Cabri 3D (v2.1.2). Cuando el jardín

está rodeado de edificios, el alumbramiento podría ser molesto para los

vecinos que están situados por debajo de las hipérbolas (intersección del

cono de luz con las paredes verticales) o la elipse (ídem con las paredes

oblicuas). El medio informático hace aparecer propiedades que son difíciles

e imaginar o visualizar sin su ayuda

que llegó a matematizar la idea del circuncentro.

Durante su búsqueda de regularidades puede des-

cubrir, con un triángulo rectángulo, que la farola

está en medio de la hipotenusa, lo que resultaría

útil para despejar el interior del jardín o conectarse

a la red eléctrica exterior sin estropear la flora. Pero

con un triángulo obtusángulo, el alumno notaría

que la farola debe colocarse fuera del jardín, a ve-

ces bastante lejos de sus lados y con una pérdida

de iluminación tan importante que comprometería

el uso de una sola farola (Figura 5). Sin olvidar, una

vez más, que la intensidad luminosa varía propor-

cionalmente a la inversa del cuadrado de la distan-

cia… ¿Qué pasaría si el jardín estuviera en el centro

de Madrid? Puede que los edificios que le rodean

impidan la colocación de la farola o, sencillamente,

producir un alumbramiento inadecuado (Figura 6).

¿Cambiamos la forma del jardín aplicando la ley de desahucio en tiempos de crisis? Si se supone que el

resultado sigue siendo un polígono, el problema se complica con su triangulación —se puede partir un “n-

gono” con n – 2 triángulos, tantas veces como los números Cn+2 de Catalan4. Entonces, ¿cambiamos la

4 El término general de la sucesión de los números de Catalan es Cn = (2n)! / (n! (n + 1)!), por cualquier número natural n. En particular,

Cn es el número de modos distintos de triangular un polígono convexo de n + 2 lados. Para saber más, se puede consultar http://es.wiki -

pedia.org/wiki/Números_de_Catalan.

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forma del haz de luz? Esto es un cambio radical del problema inicial, puesto que una forma triangular es

bastante sugerente.

Si llevamos el caso del triángulo obtusángulo al límite, los modelos implementados en el software nos con-

ducen hacia un desenlace matemático que carece de sentido en el contexto del problema, pero que con-

serva un gran valor informativo sobre estos mode-

los, incluso un valor altamente pedagógico. Así, al

alinear el vértice A con el lado [BC] nos encontra-

mos con algunas sorpresas (Figura 7). Si bien el área

del jardín P llega a ser nulo, el punto F desparece,

las mediatrices se convierten en rectas paralelas y

la circunferencia degenera en una recta perpendi-

cular con las mediatrices. Siguiendo esta lógica,

¿podemos anticipar qué pasa cuando el punto C

coincide con los vértices A o B? En el primer caso

las mediatrices d y e aparecen como rectas paralelas

coincidentes y la circunferencia f como algún objeto

enormemente grande, indefinido —por ejemplo, el

software no indica mediante una ecuación si es o

no una recta. Mientras que en el segundo caso la

recta e y la circunferencia f ya no existen. En ambos

casos el punto F aparece como “indefinido” en la

ventana algebraica.

FIGURA 7. Efecto del triángulo degenerado en tres puntos alineados con

GeoGebra (v3.2). En esta figura, las mediatrices d y e de los lados [AC]

y [CB] respectivamente se cortan en F; f es la circunferencia circunscrita

al triángulo ABC de centro F. Aunque F no aparece en el dibujo, y se

muestra como “indefinido” en la ventana algebraica, está ligado

dinámicamente por la construcción geométrica subyacente. La ventana

del oráculo que está en primer plano desvela la relación de paralelismo

existente entre las rectas d y e

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Philippe R. Richard

No obstante, sabemos que es así por razones diferentes; porque no es lo mismo estar indefinido por falta

de una curva de intersección, que estar indefinido por pertenecer a dos rectas coincidentes. Aunque con

el tratamiento de los casos límites se llega a entender una parte de la lógica que unen los objetos entre

sí, no se puede pretender que los modelos implementados sean isomorfos a los modelos matemáticos de

referencia para el usuario. Por su facilidad de uso y su gran parecido a la geometría tradicional, se piensa

que con un software de geometría dinámica se trabaja con los mismos objetos. Pero se trata de objetos

modelizados cuyo sentido profundo se les escapa hasta a los diseñadores informáticos, ya que éstos no

pueden conocer los efectos de todas las situaciones que han programado: cualquier sistema complejo ad-

quiere unas características emergentes relativamente a los modelos implementados. En cambio la noción

de isomorfismo tiene sentido en matemáticas y se puede aplicar a la modelización intramatemática.

5. REPRESENTACIÓN DE CONOCIMIENTOS Y MODELIZACIÓN INTRAMATEMÁTICA

Cualquier sistema de representación, desde los modelos hasta los sistemas de signos, posee a la vez efectos

productores y reductores sobre la representación de los conocimientos. Es la razón por la cual la actividad

matemática necesita referirse a varios modelos y se expresa con varios sistemas de signos (sistemas semió-

ticos). La utilización conjunta de sistemas de representación plantea, por una parte, la cuestión de la mo-

delización intramatemática y, por otra, la coordinación en el empleo de los signos matemáticos y la lengua

natural. Además, este doble aspecto tiene un valor particular en geometría, como lo subrayamos en Richard

(2004a), porque al ser una forma, un dibujo se representa a sí mismo (propiedades espaciales de los signos

gráficos) tanto como representa a una figura modelizada (propiedades geométricas de los signos figurales).

Por tanto, la confusión entre la realidad y el modelo es muy aparente en la práctica de la geometría, inde-

pendientemente de su realización en el entorno lápiz-papel o con una herramienta informática. Para ilustrar

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las relaciones entre la representación de los conocimientos y el ejercicio de modelización, planteamos el

problema de la piscina:

En un patio triangular, el ayuntamiento quiere construir una piscina rectangular de modo que sea la más grande

posible. ¿Dónde situarla?

Representar esta situación con un dibujo es una tarea

difícil porque supone disponer de antemano de una

configuración satisfactoria. Dada la dificultad de la ta-

rea se puede intentar con una figura dinámica. Así,

se saca experimentalmente una primera restricción

(Figura 8): no se puede inscribir un rectángulo en un

triángulo, a no ser que al menos uno de sus lados se

sitúe en un lado del triángulo. No obstante, el pro-

blema de fondo no era básicamente geométrico, sino

aritmético. Para colocar cuatro puntos en tres lados,

según el principio del palomar5, se sabe que al menos

un lado del triángulo tiene que abarcar dos puntos.

¿Al menos o exactamente uno? Si tornamos al pen-

samiento geométrico veríamos que en cualquier

triángulo rectángulo puede haber dos lados con dos

FIGURA 8. Intento de inscribir un rectángulo en un triángulo cualquiera

con GeoGebra (v3.2). En esta construcción, los puntos D y E están

definidos en la circunferencia del triángulo ABC. El punto F resulta de

la intersección entre el lado [AC] y de la perpendicular a la recta (DE)

que pasa por E, y el punto G es la intersección de las perpendiculares

a las rectas (DE) y (EF) que pasan respectivamente por D y F

5 El principio del palomar, también llamado principio de los cajones de Dirichlet, establece que si n palomas se distribuyen en m palomares,

y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma. Para saber más, se puede consultar http://es.wikipedia.org/wiki/Prin-

cipio_del_palomar.

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puntos. Este ejemplo de ida y vuelta entre modelos, es decir, entre el aritmético y el geométrico, concurren

a establecer la misma restricción. En cualquier caso, tener una piscina con al menos un lado en el borde del

patio resulta bastante práctico para tener un acceso directo a la calle o a los edificios que lo limitan.

Consideramos el problema a partir de estos dos casos (triángulo cualquiera y triángulo rectángulo). Sin em-

bargo, para enriquecer nuestro propósito, trataremos el primer caso en geometría sintética (Figuras 9a y

b) y el segundo en geometría analítica (Figuras 10a y b). De todos modos, si comparamos las configuraciones

de las Figuras 9 y 10, el segundo caso aparece como una reducción del primero.

FIGURAS 9A Y B. Estudio del problema de la piscina en geometría sintética con GeoGebra (v3.2). La configuración de arriba muestra una comparación en dos momentos: cuando el punto P está en medio del lado [AC] (conjetura) y cuando está entre A y “P” —en la figura, P’ es el medio de [AP]. Visualmente, la pérdida de área s1 + r1 (piscina de la conjetura) es más grande que la ganancia de área s2 + r2 (piscina “más pequeña”), lo que se corrobora numéricamente en la ventana de la hoja de cálculo. La configuración de abajo superpone los simétricos de los triángulos CMP y APQ con los lados de la subpiscina PMNQ, de modo a evidenciar un exceso con el triángulo A’NC. Cuando el punto P está en la mitad superior del lado [AC], el exceso triangular aparece a la derecha de la subpiscina.

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El tratamiento en geometría sintética se inspira de una investigación con alumnos reales que resumimos en

Richard (2004b). En la investigación, un alumno conjeturó intuitivamente que la piscina más grande se obtiene

cuando sus esquinas superiores están en la mitad de los lados del patio, modelizando la situación mediante

un esbozo en una hoja de papel, además de una construcción dinámica equivalente a la interfaz del soporte

tecnológico6. Con la descomposición que reproducimos en la Figura 9a, el alumno llegó a mostrar que cuando

el punto P está en medio del lado [AC], el área de la piscina vale la mitad del área del patio. Quería reinvertir

la comparación de triángulos para probar o refutar su conjetura por escrito, pero se encontraba sistemáti-

camente con dos problemas de coordinación entre los modelos representados, es decir, entre el modelo de

las formas y el modelo de las figuras geométricas; y entre el modelo de las figuras tradicionales y el modelo

de las figuras dinámicas. De hecho, cada vez que se quedaba con una configuración particular a la interfaz

veía que, para P’]AP[y P’]PC[, el área del la piscina era inferior al área del resto del patio. Sin embargo, su

argumento procedía esencialmente de una comparación visual, no por una comparación fundamentada en

propiedades geométricas, como por el teorema de Tales o por las propiedades características de las homo-

tecias. Aun así, el alumno podía tener confianza en lo que veía porque era el autor de la construcción dinámica.

Dicho de otra forma, gracias a la figura dinámica que hemos construído no solamente se puede traducir la

variación del fenómeno con la herramienta “desplazamiento”, sino que sabemos que el software devuelve

representaciones de las cuales tenemos algún control. Sin embargo, la lectura de estos casos en la pantalla

no permite reproducir el argumento utilizado para P en medio del lado [AC]. El alumno tuvo que encontrar

un nuevo argumento que representó sobre papel con una secuencia de esbozos significantes. De este modo

consiguió comunicar conjuntamente una multitud de configuraciones “instantáneas” y las propiedades geo-

métricas que se inducen de las formas (ver explicación en Figura 9a).

6 El experimento de origen se realizó con el Cabri-géomètre II (v1.1). En esta version del software no hay hojas de cálculo.

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Por otra parte, ¿por qué el alumno no expresó su argumento con la lengua natural u otros símbolos? En

el enunciado no hay mediciones, se pide implícitamente considerar una figura cualquiera. Esto exige un

nivel de generalización que fomenta referirse a un modelo propiamente geométrico y que se beneficie de

las posibilidades de la simulación informática. Además hubiera podido recurrir a las mediciones y los cálculos

que se ajustan automáticamente durante el desplazamiento, como lo ilustramos en la Figura 9a. Si bien

esto traduciría el uso conjunto de dos modelos, la gestión del modelo numérico se hubiera realizado esen-

cialmente por el software. A veces esta disposición se utiliza intencionalmente en clase para modelizar pro-

blemas más difíciles que de costumbre. No obstante, esto impide profundizar el estudio de las figuras di-

námicas en una perspectiva bien geométrica, como lo consiguió el alumno. De hecho, en la figura 9b,

ofrecemos una solución en la cual el modelo de las formas, junto con el desplazamiento, resulta muy con-

vincente. En la construcción propuesta, los triángulos C’MP y A’PQ son los simétricos de los triángulos CMP

y APQ respecto a los ejes (PM) y (PQ) respectivamente. Ya que los puntos P, A’ y C’ están alineados —se

puede demostrar, por ejemplo, con la aplicación del quinto postulado de Euclides a (PA’) // (PC’) o pasando

por los ángulos complementarios de los triángulos rectángulos—, podemos constatar empíricamente que

los triángulos C’MP y A’PQ cubren siempre el cuadrilátero PMNQ. Asimismo, cuando P está en medio de

[AC] lo cubre sin el exceso del triángulo A’NC. Por lo tanto conjeturamos la propiedad siguiente:

Cuando los triángulos C’MP y A’PQ cubren el cuadrilátero PMNQ sin exceso, entonces el área de la piscina es

máxima.

Para averiguar esta propiedad tenemos que generar una multitud de casos con el software y ver cuál es la

tendencia. Con el desplazamiento efectivo de P en cualquier lugar de [AC], nada indica que la tendencia

no se mantiene, discretización aparte. Así, con las configuraciones no satisfactorias (C’MP y A’PQ cubren

el cuadrilátero PMNQ con exceso), podemos reconocer un invariante por inducción sobre las figuras diná-

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micas, por tanto, la propiedad sería necesaria como lo es en ciencias experimentales. Mientras que con una

configuración satisfactoria concluimos matemáticamente, al leer la figura (tradicional), que el área máxima

ocurre cuando la piscina ocupa la mitad del patio. Dijimos “una configuración satisfactoria” porque sólo

hay una conclusión posible, pero hubiéramos podido escribirlo en plural debido al carácter cualquiera de

la figura. Porque sí quisiéramos convencernos aún más de ello podríamos engendrar unas familias de con-

figuraciones e inducir que la lógica de nuestra construcción, o dicho de otro modo, que el dinamismo de

la figura, mantiene la necesitad de la conclusión. ¿Hay un truco? No, porque se supone que los modelos

implementados en el software se refieren a los mismos modelos matemáticos que invocamos. Lo que pasa

es que de vez en cuando tenemos sorpresas, porque como lo explicamos en la sección Papel de la geometría

dinámica, los modelos informáticos no pueden ser isomorfos a los modelos matemáticos, por muy “fieles”

que parezcan.

Nuestra propuesta en geometría analítica pone de relieve el rol de la modelización intramatemática. Cons-

tituye un ejemplo clásico de un problema que se plantea en geometría y que se soluciona con el análisis

funcional. Sin embargo, en lugar de operar con representaciones analíticas de la función de área, empleamos

las representaciones gráficas y tabular de configuraciones dinámicas. El problema se traduce, por una parte,

en una aproximación numérica (Figura 10a) y se beneficia, por otra, del pensamiento geométrico (Figura

10b). En el primer ejemplo, al introducir la figura en un sistema de ejes, las nociones métricas de distancia

y área se relacionan también con las coordenadas de los puntos. Cuando el origen del sistema coincide

con el ángulo recto del patio y que la piscina se ubica en esta esquina, las coordenadas del punto P son

suficientes para matematizar el cambio del área de la piscina en función de la posición de P sobre [AB].

Puesto que xP = OM y yP = ON el área se obtiene directamente con el producto de estas coordenadas.

Dicho de otro modo, el producto cartesiano OM × ON, que engendra la superficie de la piscina como mag-

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Philippe R. Richard

nitud, se modeliza por la multiplicación de las coordenadas de P, lo que asocia un área analítica a la superficie.

Por tanto, el área de la piscina podría tomar valores negativos según el cómo se presenta el patio en el

sistema de ejes, lo que ocasionaría dificultades, como de interpretación en el contexto del problema; o de

cálculo, en la comparación numérica de áreas. Ahora bien, al emplear un nuevo modelo se puede expresar

el problema con sus sistemas de representación y así mostrar propiedades que pasarían desapercibidas en

el primer modelo. En la Figura 10a se define el punto D con xD = xP y yD = xPyP. Cuando se activa el registro

de las coordenadas de D y su rastro, al cambiar la posición del punto P, se genera una representación

tabular en la hoja de cálculo y una representación gráfica en la ventana geométrica. Según los valores que

toman la función de área o la forma que adopta el rastro, se aproxima a la configuración optima. Al constatar

con el desplazamiento de P que la tendencia se mantiene, el valor máximo sería 3 por un antecedente si-

tuado en el intervalo [1,44; 1,56]. Coordinando esta información con el rastro (o viceversa), parece ser que

el valor máximo se alcanza exactamente por xP = 1,5. De hecho, reconocemos que la forma del rastro es

una parábola y que, por su propiedad de simetría, se puede determinar las coordenadas de su vértice a

partir de la media aritmética de sus raíces en xO y xB. Puesto que xA = xO, no hay que extrañarse de que

el punto medio de la hipotenusa coincide con el vértice de la parábola. La trayectoria de P es lineal y la

piscina de área máxima se encuentra en el medio de las configuraciones límites (P en A y P en B).

En el segundo ejemplo, el uso del sistema de ejes es relativo, incluso contingente. Hasta poder decir que

es el sistema de ejes que se introduce a la figura, reforzando así el carácter de realidad a la construcción

dinámica. En la Figura 10b la consecución del punto D no deja al software la responsabilidad de conseguir

sus coordenadas mediante un cálculo interno. Se sitúa en la intersección de dos objetos geométricos (rectas)

que, a su vez, se apoyan en una construcción geométrica para multiplicar las dimensiones de la piscina (te-

orema de Tales). Puesto que la lógica del dinamismo es fruto del usuario, la gestión del software se limita

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a situar D cuando P se desplaza. Se podría activar el rastro como en el primer ejemplo, pero aquí se cons-

truyó el lugar geométrico del punto D en función del dominio de definición del punto P. El sistema de ejes

ayuda en interpretar el lugar geométrico como si fuera una representación gráfica en el entorno lápiz-papel,

pero no lo determina. Aunque es el software que representa este lugar, el control sobre la figura dinámica

es más grande por parte del usuario que en la Figura 10a. Sin embargo, con esta construcción, se añade

un nuevo modelo en la representación de los números que puede pasar desapercibido. Porque como lo

FIGURAS 10A Y B. Estudio del problema de la mediapiscina en geometría analítica con GeoGebra (v3.2). La configuración de arriba consiste en una aproximación numérica donde la abscisa del punto D se define con xP y su ordenada por el producto xP yP. El rastro del punto D y el registro de sus coordenadas en la hoja de cálculo están activados, de modo que se crea una curva de píxeles y una lista de coordenadas con el desplazamiento del punto P. La configuración de abajo muestra una construcción geométrica. El punto D se define con la intersección de dos paralelas a los ejes del sistema ortonormal, la primera pasa por el punto M y la segunda por el punto C, resultado de una construcción de Tales para obtener el producto OM × ON. La curva parabólica está definida como el lugar geométrico del punto D cuando P se desplaza sobre su dominio, es decir la hipotenusa [AB].

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hacían lo antiguos griegos, a partir del segmento unidad con la regla y el compás, el punto D se determina

según los números constructibles. Recordemos que, en este modelo, se puede operar geométricamente

con la suma, el producto, sus inversos respectivos, además de extraer cualquier raíz a la 2n por todo n

natural, aunque las otras raíces, y cualquier número transcendente, escapen al modelo. Si ya había agujeros

en la representación de los números reales, por la necesidad informática de discretización, ahora se crean

más agujeros con el modelo pero, eso sí, todos los decimales son constructibles.

6. CONCLUSIÓN

Al analizar algunos aspectos que están en juego, durante la resolución de problemas de modelización sen-

cillos, nos puede sorprender la complejidad que se desprende de ello. Si quisiéramos mostrar hasta qué

punto los planteamientos instrumentados por la geometría interactiva no son fieles representaciones de la

realidad, no era para desacreditar su uso o militar a favor de la resolución lápiz-papel en exclusiva. La dis-

tinción realidad-modelo en la actividad matemática no es tan clara como se cree a menudo y como se

puede esperar al emplear un medio informático, ya que la programación de los modelos matemáticos en-

gendra nuevas realidades. Al contrario, consideramos que en el ciclo de modelización la simulación infor-

mática aparece tanto una herramienta potente, como una fuente de motivación para el alumno, además

de un catalizador para el diseño de situaciones didácticas. Aun así, pasar de una realidad a otra, sobre todo

a una realidad modelizada, es un ejercicio típico de la actividad científica que comporta su conjunto de

obstáculos, como lo es con la movilización de varios modelos a la vez. Sabemos que del mismo modo que

la lógica no es el manual de usuario de las matemáticas, éstas no lo son respecto a la informática o la física.

Si bien existen relaciones de constitución entre estas ciencias, cada una funciona con sus problemáticas e

intenta aportar su punto de vista cultural para dar cuenta de la realidad. Por tanto, la tarea de matemati-

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zación es únicamente un paso en ciclo modelización, no su objetivo. Asimismo, podemos llamar la atención

sobre la naturaleza dinámica de las relaciones de constitución con las matemáticas, lo que sobreentiende

un equilibrio entre relaciones de “fuerzas” en movimiento. De aquí un corolario pedagógico: puede que

desarrollar una competencia de modelización consista en buscar equilibrios entre relaciones coherentes de

“fuerzas”, tanto reales como modelizadas, aunque provengan de otras ciencias o se materialice con un si-

mulador. Así, la geometría interactiva es un punto de unión entre realidad y modelo.

BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS

RICHARD, P.R., MEAVILLA, V. y FORTUNY, J.M. (2009). “Textos clásicos y geometría dinámica: estudio de un aporte mutuo para el aprendizaje de la geometría”. Enseñanza de las Ciencias. (En publicación).

RICHARD, P.R. (2004a). Raisonnement et stratégies de preuve dans l’enseignement des mathématiques. Berne: Peter Lang.

RICHARD, P.R. (2004b). L’inférence figurale: un pas de raisonnement discursivo-graphique. Educational Studies in Mathematics, 57, 229-263.

BROUSSEAU, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble: La Pensée Sauvage.

MÉLS (2006, 2007). Programme de formation de l’école québécoise, enseignement secondaire 1er cycle (2006) et enseignement secondaire 2e cycle (2007). Publicación del Gouvernement du Québec.

NISS, M. (1999). “Kompetencer og Uddannelsesbeskrivelse” (Competencies and subject description). Uddanneise, 9, 21-29.

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Philippe R. Richard

NISS, M. (2002). Mathematical competencies and the learning of mathematics: the Danish KOM project. Recupe-rado el 17 de julio de 2006 en: http://www7.nationalacademies.org/mseb/mathematical_competencies_ and_the_learning_of_mathematics.pdf.

PISA (2006). Marco de la evaluación PISA 2006 — Conocimientos y habilidades en Ciencias, Matemáticas y Lectura. Publicación de la Organización de Cooperación y Desarrollo Económicos.

TUNING (2003). Tuning Educational Structures in Europe. Informe final. Fase Uno. Publicación de la Commissión europea en el marco del prógrama Socrates (editados por González, J. y Wagenaar, R.). Bilbao: Universidad de Deusto y Universidad de Groningen.

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La geometría dinámica como herramienta para desarrollar ...

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