365

88 Cf. Nicom. Ar. I 17.2 ss., y el tratamiento filosófico de la noción de rela-

ción en Arist. Cat. 6a36 y Metaph.1020b25; vid. además Theo Sm. 80.15 ss. Proba-

blemente Ptolomeo tenía in mente la consideración matemática de la misma noción,

por ejemplo Euc. Elementa VII 11 (o(/loj pro\j o(/lon), que según Szabó (op.cit.,

p.139) es equivalente a los términos de Aristóteles.

89 Los términos (o(/roi) de la relación se establecen, según Theo Sm. 80.16,

e)n e)laxi/stoij kai\ prw/toij a)llh/louj a)riJmoi=j, lo que en otras fuentes es llamado

puJme/nej (Plat. R. 546c). Cf. Porph. in Harm. 113.3.

90 Emmelh/j es la cualidad de aquello que guarda las leyes propias del me/loj

(cf. S. Michaelides, The Music of Ancient Greece. An Encyclopaedia, London 1978,

p.96): cf. Aristox. Harm. 14.4-6, (...) pro\j to\ xwri/sai th\n e)mmelh= ki/nhsin th=j

fwnh=j a)po\ tw=n a)/llwn kinh/sewn (“...para distinguir el movimiento melódico de la

voz de sus otros movimientos”). Esta ki/nhsij e)mmelh/j está relacionada con la

ki/nhsij diasthmatikh/, en la que los tonos están bien definidos; es decir, guardan

una relación; sólo se da en música, no en el habla normal. Éste es el sentido de

e)mmelh/j en Aristóxeno. De ahí que lo e)mmele/j sea precisamente lo que caracteriza

al me/loj, el movimiento interválico de los sonidos (como en Ptolomeo) o de la voz

(como en Aristóxeno). En las fuentes hay variaciones, pero la dirección es la mis-

ma: Ti. Locr. 220, 9, a( de\ a)/taktoj te kai\ a)/logoj [fwnh\] e)kmelh/j te kai\

a)na/rmostoj; los pasajes citados de Trasilo (ap. Theo Sm. 47.18-24), con el equiva-

lente e)narmo/nioj; Arist. Mu. 399a17, a(rmoni/an e)mmelh=; Nicom. Exc. 274.15-18,

e))kmelh/j, a)na/rmostoj; Porph. in Harm.32.23 ss., etc. Esta concepción, según Dü-

ring (op.cit., p.174) es acústica y diferente de la de I, 7 a pesar de Schönberger

(op.cit., p.67): para Düring, e)mmelh/j se refiere a todos los sonidos que son utiliza-

bles en la melodía. El problema que se intentó resolver desde C. Stumpf (Geschich-

te des Consonanzbegriffes, I: die Definition der Consonanz im Altertum, München

1897, p.61 ss.) es la diferencia de uso del término e)mmele/j (así como de su/mfwnoj)

en este capítulo y en I 7. Allí, un intervalo e)mmele/j designa a todo el situado bajo

la consonancia de cuarta. Hay un uso especializado (y propio de Ptolomeo) de

e)mmelh/j, pero participa del significado anterior en que esos intervalos también son

“utilizables” y por tanto “melódicos”. La distinción de Düring akustisch-

366

harmonisch se apoya en el uso ptolemaico de e)mmele/steroi (19.10), comparativo

que designa la propiedad de aquellas relaciones más cercanas a la igualdad, sobre

todo en el lo/goj e)pimo/rioj: Ptol. Harm. 15.8, de/on de\ e)n lo/goij e)pimori/oij eiÅnai ta\

e)mmelh=; pero entre los dos matices de Düring hay algo en común, que es en realidad

una cuestión de grado: lo e)mmele/j acústicamente es lo “interválico” en general, lo

“utilizable” dentro del me/loj (diasthmatiko/n; cf. Aristox. Harm. 33.4). Pero estos

intervalos utilizables son diferentes (lo/goi superparticulares, múltiples o superpar-

tientes) y su disposición es un hecho “armónico”, de modo que para Ptolomeo lo

más “melódico” es la relación superparticular (15.8), pero dentro de esa gradación,

que distingue o(mofwni(ai y sumfwni/ai, hay intervalos “utilizables” más allá de la

consonancia primigenia (hacia abajo), los intervalos bajo la consonancia de cuarta.

De ahí que el par e)kmele/j-e)mmele/j no tenga un doble significado en la Harmónica

de Ptolomeo, sino que este uso específico de I 7, al quedarse las sumfwni/ai en el

intervalo de cuarta, engloba con intención clasificatoria todos aquellos intervalos

que ya eran “melódicos” pero que no alcanzan el grado de su/mfwnoi; de ahí que

este uso de e)mmelh/j parezca diferente o más técnico que el primero de I 4, pero en

esencia es el mismo: según Porph. in Harm. 89.6-8, no todos los sonidos e)mmelei=j

son su/mfwnoi, pero sí al contrario (Porph. ib.113.19-21). La clave está en que Pto-

lomeo no habla de “intervalos”, sino de “sonidos”; esta sutil distinción hace que no

haya que ver lo consonante como vertical y lo e)mmelh/j como horizontal, sino sim-

plemente una gradación en la que los últimos grados no reciben un nombre especí-

fico, más bien el término en su acepción no marcada; ahora bien, aquí entra la no-

ción de “consonacia” de dos sonidos como fusión de sonidos, y es esto lo que para

Ptolomeo reordena los intervalos en homofonías, consonancias e intervalos melódi-

cos (aquellos superparticulares que no pertenecen a ninguna de las dos clases pre-

cedentes: así en I 7); esta interpretación se basa en la similitud del pasaje ptolemai-

co con la doctrina de Adrasto (ap.Theo Sm. 50), para quien los sonidos a)/logoi kai\

e)kmelei=j serán notas propiamente dichas si se expresan en razones múltiples, su-

perparticulares o de “número a número”, pero dentro de los sonidos, son sólo

su/mfwnoi los múltiples y superparticulares; por lo que se puede pensar que esta

categoría está dentro de los e)mmelei=j.

367

El sentido general de e)mmelh/j (como englobador, entonces, de la triple

distinción, cf. Porph.in Harm.113.12) lo vemos también en Gaud. Harm. 337.5,

quien divide los sonidos e)mmelei=j en homófonos, disonantes, consonantes y

paráfonos, pero todos bajo la expresión común: tw=n de\ e)mmelw=n fJo/ggwn oi( me/n

e)stin o(mo/fwnoi, oi( de\ su/mfwnoi, ktl., “de entre las notas melódicas, unas son

homófonas, otras consonantes, etc...”. En el tercer rango ptolemaico de los sonidos

a)niso/tonoi, los e)mmelei=j de I 7, caerían reunidos “los tonos y restantes de tal clase”

(Harm.18.3-4 y 19.7). Éstos serían, según algunos autores (F. A. Gevaert, Histoire

et théorie de la musique de l’Antiquité, Gand 1875-1881, vol. I, p.100; Michaelides,

op.cit., p.56), los dos tipos de tonos, mayor (9:8) y menor (10:9), el semitono

(16:15), la tercera mayor (5:4, producto de 9:8.10:9, que ya tiene cabida en el sis-

tema), y la tercera menor (6:5); no hay que pensar que Ptolomeo salve consciente-

mente las terceras como “les plus douces parmi les diaphonies” al decir de Gevaert,

sino en cuanto que su relación sigue siendo superparticular (cf. Stumpf, op.cit.,

p.57, n.1). Sin embargo, Porfirio (in Harm. 118.1-2 y 28-30) hace un recuento de

las razones superparticulares que son “melódicas”, en tanto que por debajo de la

sesquitercia 4:3; razones que se podrían llevar e)p’ a)/peiron, pero que son las que

aparecerán más adelante en las divisiones del tetracordio. Estas superparticulares

serían las e)pite/tartoi (5:4), las e)pi/pemptoi (6:5), las e)pi/ektoi (7:6), las e)pie/bdomoi

(8:7), las e)po/gdooi (9:8) y demás (kai\ a)/lloi plei/ouj), como 10:9, 11:10…(vid. I

16). El comentario de Porfirio es más exacto dentro de la perspectiva adoptada por

Ptolomeo, con la ventaja de incorporar razones como 12:11 ó 28:27 (cf. Harm. II,

14) que no tienen fácil parangón en el sistema actual; lo que ocurre es que para no-

sotros una razón e)pi/pemptoi es una tercera menor. Bajo los e)kmelei=j, por su parte,

caerían la sexta mayor (5:3) y la menor (8:5), la séptima mayor (15:8) y la menor

(9:5), así como el tritono y la quinta disminuida (64:45 y 45:32, respectivamente).

Porfirio, además (op.cit., 113.25-26), apunta que todos los e)kmelei=j son dia/fwnoi,

pero no al contrario.

91 Antes de referirnos a las consideraciones de Ptolomeo sobre las consona-

cias, es pertinente dibujar un breve panorama de la noción de sumfwni/a en la trata-

dística musical. Si nos retrotraemos hasta Aristóxeno, éste no definió qué es una

consonacia, porque no debió de sentir esta necesidad; tan sólo le interesaría cuál es

368

el mayor y el menor intervalo consonante (Harm. 25.11 ss.), con criterios pertinen-

tes como las posibilidades de emisión y percepción. En 21.15, la nómina de las

consonancias (según su magnitud) tiene un límite por abajo en la cuarta (“la propia

naturaleza de la melodía define la cuarta como el menor intervalo consonante”);

ahora bien, si vamos hacia arriba, “el máximo se halla limitado, en cierto modo, por

nuestra capacidad”. Éstas son la cuarta –consonancia mínima–, la quinta, la octava,

la octava más cuarta, la octava más quinta, la doble octava, doble octava más cuarta

y doble octava más quinta. Más allá de éstas, dependerá de la edad y las posibilida-

des de la voz (27.4-5), descubriéndose así la triple octava e incluso la cuádruple

octava. Una ley para Aristóxeno es que si un intervalo consonante se suma a la oc-

tava, el total resultante es también consonante (25.19-20 y sobre todo 56.11-12);

por ello no hay límite hacia el agudo, como se ha visto, aunque cualquier intervalo

menor que la cuarta es disonante. Este criterio de la magnitud (me/geJoj) en combi-

nación con las posibilidades de la voz es lo que determina la nómina de las conso-

nancias (Harm. 25.11-13, “parece que el menor intervalo consonante es determina-

do por la propia naturaleza de la melodía, pues se usan en la melodía muchos inter-

valos menores que la cuarta, pero todos son disonantes”). En 56.1 ss. dice: “sean

ocho los tamaños de las consonancias. La menor es la de cuarta”, a la que siguen la

quinta y (como suma de las dos primeras) la octava. En conformidad con esto,

Anon. Bellerm. 74 distingue entre consonancias simples (a)su/nJetoi) y compuestas

(su/nJetoi): simples son las que no están formadas por ninguna otra, como la cuarta

y la quinta; compuestas, todas las demás a partir de la octava.

Después de Aristóxeno, lo normal es, fuera del ámbito pitagórico, una defi-

nición de consonancia basada en la sensación de mezcla de dos sonidos, con un

efecto estético determinado: kra=sij, mi=cij, i)so/thj o e(no/thj, ya desde Arist. Me-

taph.1043a10: o)ce/oj kai\ bare/oj mi=cij toia/de. Esta “mezcla” de sonidos, para que

constituya una consonancia, debe conseguir una unión total de las notas –que por sí

son diferentes–, y serán tanto más consonantes éstos cuantas menos pulsaciones

haya y menos destaquen entre sí: es un criterio basado en la ai)/sJhsij y por ello

esta idea de consonancia basada en la noción de “mezcla” no deja de ser subjetiva.

De tal manera se expresa, por ejemplo, Ps.Arist.Pro. XIX 38 (99.10-11) sumfwni/a?

de\ xai/romen o(/ti kra=sij e)sti lo/gon e)xo/ntwn e)nanti/wn pro\j a)/llhla “nos gusta la

369

consonancia porque es una mezcla de opuestos que tienen una relación entre sí”,

siendo la octava la consonancia más hermosa (kalli/sth sumfwni/a, Pro. XIX.35

[95.14]). Esos sonidos que se mezclan expresan su relación mediante una diferencia

de altura, lo que es igual, de tensión, como dice Cleónides (187.19 ss.): e)/sti de\

sumfwni/a me\n kra=sij du/o fJo/ggwn o)cute/rou kai\ barute/rou, “la consonancia es

una mezcla entre dos notas, una aguda y otra grave” (lo mismo dice Porfirio citando

a Eliano [in Harm. 96.11-12]). De otra forma se expresa Nicómaco (Harm. 262.1-

5): su/mfwna me\n e)peidh\ oi( perie/xontej fJo/ggoi dia/foroi t%= mege/Jei o)/ntej, a(/ma

krousJe/ntej h)\ o(/mwj pote\ h)xh/santej e)gkraJw=sin a)llh/loij ou(/twj, w(/ste e(noeidh=

th\n e)c au)tw=n fwnh\n gene/sJai kai\ oiÂon mi/an, “son consonantes cuando las notas

que lo contienen (sc. un intervalo) son diferentes en magnitud, pero al ser golpeadas

o sonar simultáneamente, se mezclan entre sí de tal modo que el sonido resultante

tiene el aspecto de unidad y como si fuera uno” (cf. e((no/thj en Gaudencio [Harm.

337.12] como cualidad de la consonancia, y Ptol. Harm. 18.13-14; según Porfirio

(op.cit., 104) fueron los seguidores de Arquitas los que afirmaron que todas las

consonancias (y no sólo la octava) daban la sensación de un único sonido). Esta

idea de la “mezcla” la recoge Ptolomeo en este su primer acercamiento a la conso-

nancia, en 12.13-15, sumfw/nouj (...) o(/soi th\n o(moi/an a)nti/lhyin e)mpoiou=si tai=j

a)koai=j, “son consonantes (...) cuantas proporcionan una percepción uniforme a los

oídos”. Por otra parte, hay definiciones diferentes, que no estudian la consonancia

como “mezcla” sino como producto de una cierta “afinidad” que además produce

placer: así, Adrasto (ap. Theo Sm. 50.22-51.4) afirma que sumfwnou=si de\ fJo/ggoi

pro\j a)llh/louj, wÂn Jate/rou krousJe/ntoj e)pi/ tinoj o)rga/nou tw=n e)ntatw=n kai\ o(

loipo\j kata/ tina oi)keio/thta kai\ sumpa/Jeian sunhxei=.

En general, los autores no varían este concepto de consonancia como mez-

cla, pero en época tardía se establecen distinciones. Por ejemplo, Trasilo (ap. Theo

Sm. 48.17-25) hace una diferenciación propia en consonancias kat’ a)nti/fwnon (la

octava y doble octava), kata\ para/fwnon (cuarta y quinta), junto a los intervalos

“no consonantes” y kata\ sune/xeian (tono, diesis), que adelanta la triple partición

ptolemaica en homofonías, consonancias e intervalos melódicos de I 7; la segunda

aparición del término “consonancia” en Ptolomeo, en I 7, ofrecerá una distinción

diferente entre intervalos su/mfwnoi, quedándose como especícamente “consonan-

370

tes”, en virtud de haber excluido la octava (y razones múltiples compuestas por

ella) como o(mofwni/a, entre los sonidos a)niso/tonoi los intervalos de cuarta y de

quinta, más los compuestos de ellos (esto es, octava más cuarta y octava más quin-

ta). En 17.24-25 la definición clásica de consonancia como “mezcla” pasa a ser la

de la o(mofwni/a, oi( me\n kata\ th\n su/myausin e(no\j a)nti/lhyin. Ello ha hecho pensar

que la definición de intervalo su/mfwnon de 12.13 ss. sea provisional, en tanto que

es explicado como más adelante la homofonía.

Otros autores tardíos también establecen distinciones similares; así, Arísti-

des Quintiliano (10.1), que reconoce unos sonidos “mutuamente consonantes, otros

disonantes y otros homófonos”. Consonantes son aquéllos cuya mezcla es perfecta,

disonantes cuando en la unión se reconoce cada sonido, y homófonos “cualquiera

de los sonidos que presentan una potencia distinta de la voz, pero la misma altura

tonal”. La última división de los intervalos consonantes�la hace Gaudencio (Harm.

337.5 ss.). Él distingue sonidos su/mfwnoi, aquéllos que al sonar a la vez producen

una mezcla perfecta; sonidos dia/fwnoi, cuando esta identidad no llega a producirse,

como sucedía también en Arístides Quintiliano; sonidos o(mo/fwnoi, cuando no se

diferencian ni en gravedad ni en agudeza (como “unísono”, cf. N.Tr. 135); y soni-

dos para/fwnoi, cuando son intermedios (me/soi) entre los consonantes y los diso-

nantes, pero que al vibrar parecen consonantes, como el dítono y el tritono.

La versión pitagórica de la consonancia pasa por el cálculo matemático del

intervalo y su expresión en una razón, lo/goj. Son consonantes aquellos sonidos

cuyas velocidades sean cercanamente conmensurables, expresables mediante razo-

nes lo más simple posibles (con los cuatro primeros números de la tetraktu/j) y en

razones múltiples ([mn]:n) o superparticulares ([n+1]:n): así, la octava (razón 2:1),

la quinta (3:2), la cuarta (4:3), octava más quinta (3:1) y la doble octava (4:1). La

octava más cuarta representa una aporía en el sistema, pues sus términos se salen de

la tetraktu/j (8:3, pero sí la acepta Ptolomeo, cf. infra, Harm. 17.1 ss.). Serán más

consonantes cuanto menores sean sus términos: de este modo, la consonancia pri-

mera no es la cuarta, como lo era para Aristóxeno, sino la octava, pues sus números

son los más bajos (cf. Euc. Sect. Can.148-149). El procedimiento típico pitagórico

para hallar el orden de consonancia en los intervalos construidos mediante la te-

371

traktu/j, es el llamado de “los similares y disimilares” (Porph. in Harm. 107.15 ss;

Ptolomeo los comenta refutándolos infra en I 7). El modus operandi ptolemaico es,

por supuesto, pitagórico, pero nuestro autor maneja, de acuerdo con su doctrina de

los krith/ria th=j a(rmoni/aj, una noción de consonancia basada en la percepción,

como se ha visto, que luego se traduce en expresión numérica, aunque sin llegar a

conclusiones encontradas por haber aceptado postulados rígidos como hacen los

pitagóricos, según Ptolomeo en I 7-8. Precisamente la posición de Ptolomeo es

ecléctica porque intenta superar ambas ideas sobre la consonancia, en una teoría

que dé cuenta de hechos físicos (acústicos) y de percepción, expresables mediante

un lenguaje matematizado.

La diafwni/a�es en general una discordancia, un desacuerdo; en la termino-

logía gramatical es sinónimo de a)nwmali/a, “desigualdad”, además de tener el sen-

tido de falta de relación entre lenguaje y pensamiento (cf. Bécares Botas, op.cit., pp.

59-60). Esta falta de consonancia o de correspondencia tiene el sentido, en música,

de disonancia entre dos sonidos: el sentido primitivo de diafwni/a pudo ser, según

Lohmann (op.cit., p.21) el opuesto de o((mo/tonon, con el significado de “diferente

sonido”. La idea moderna de disonancia se forma, según Düring (op.cit., p.174) a

partir de Boecio.

Ahora bien, tal disonancia, como opuesta al término su/mfwnoj, tiene más de

una acepción. Para Aristóxeno (Harm. 21.21) la distinción entre consonancia y di-

sonancia es uno de los rasgos que definen los intervalos así como los sistemas. El

tarentino no ofrece una definición cierta de estas cualidades, pero Cleónides (Harm.

188.1) la define como el rechazo de dos notas a combinarse, y equivalente es la

definición de Gaudencio (Harm. 337.13 ss). Arístides Quintiliano (10.1), que dis-

tingue sonidos consonantes, disonantes y homófonos, llama disonantes a aquéllos

que “al ser tocados a la vez se produce el me/loj específico de cada uno de los dos

sonidos”, mientras que en los consonantes son aquéllos en los que hay una mezcla

total. Los intervalos homófonos son los que, teniendo una misma altura tonal, tie-

nen una du/namij�distinta de la voz. En Gaudencio (loc.cit.), los intervalos dia/fwna

no llegan a producir una mezcla (mhdemi/an kra/sin).

372

Para Aristóxeno es disonante (dia/fwna) cualquier intervalo menor que la

cuarta (cf. Harm. 25.13-14). Eso implica que el dítono del género enarmónico es

disonante, aunque más tarde la teoría armónica lo retome entre las consonancias (al

pasarse durante el Renacimiento de la afinación pitagórica a la entonación justa).

Esta consideración particular de consonancia / disonancia tiene que ver, pues, con

la magnitud, el me/geJoj de un intervalo (Aristox. Harm. 25.9 ss.): el criterio para el

menor intervalo que no sea disonante es la voz. Cleónides (Harm.187.14), dentro de

la tradición aristoxénica, enumera entre los intervalos disonantes “todos los meno-

res que la cuarta y todos aquéllos comprendidos entre los intervalos consonantes

por su magnitud”; menores que la cuarta son la diesis, el semitono, el tono y el dí-

tono, mientras que los que se encuentran metacu\ tw=n sumfw/nwn son el tritono, el

tetratono, el pentatono y similares. De nuevo aquí el criterio es el me/geJoj del in-

tervalo.

Para la escuela pitagórica, la disonancia tiene que ver, naturalmente, con la

expresión matemática de los intervalos. Según Euclides (Sect. Can.148-149), una

razón será más disonante cuanto mayores sean sus números (se alejen más de la

tetraktu/j) y no estén expresados mediante proporciones múltiples o superparticu-

lares. De ahí que la octava sea el intervalo más consonante (2:1) seguido de la quin-

ta (3:2) y la cuarta (4:3): cf. por ejemplo Adrasto ap. Theo Sm. 58.11-59 o S. E. M.

VII 94-5.

Centrándonos ahora en el pasaje de Ptolomeo que nos ocupa, el problema de

la conexión entre el par e)kmele/j-e)mmele/j y su/mfwnoj-dia/fwnoj fue revisado por

Schönberger (op.cit., p.69), quien criticó la interpretación de Stumpf (op.cit., p.60)

de los pasajes que aluden a las consonancias en Harm. I 4 y I 7:

Anisotone Ekmelische Emmelische

Symphone Diaphone

Ptol.Harm.I 4, según Stumpf (op.cit., p.60).

Schönberger aduce que el esquema de Stumpf, que engloba consonan-

cia/disonancia bajo la etiqueta de e)mmelh/j, permitiría la inclusión del tritono de-

ntro de lo melódico, a pesar de que en Grecia era considerado un intervalo e)kmele/j.

Y está en lo cierto al definir los dos pares mencionados de opuestos como indepen-

373

dientes entre sí; pero mientras que el primero (e)kmele/j-e)mmele/j) se referiría a un

orden horizontal, el segundo (su/mfwnoj-dia/fwnoj) lo sería vertical. A nosotros, por

nuestra parte, nos parece que del texto de Ptolomeo no se desprende en absoluto la

relación de inclusión que propuso Stumpf, además de que ya hemos supuesto que

no hay un uso diferente (como piensa el autor germano) de e)mmelh/j en el tratado.

Por supuesto que la presente noción de su/mfwnoj-dia/fwnoj no se corresponde a la

de I 7, siendo ésta de I 4 la más cercana a la clásica de las fuentes; a esas fuentes, es

decir, a los demás teóricos, se refiere el verbo fasi\n del texto, que deslinda esta

definición de la posterior más integrada en el sistema total ptolemaico. Esta o(moi/an

a)nti/lhyin, en este contexto, remite a las definiciones clásicas de consonancia como

“mezcla” ya vistas, y mientras que aquí, como en la tratadística, define sumfwni/a,

en 17.24 encontramos la definición que Ptolomeo da a los intervalos o(mo/fwnoi (y

sólo a ellos), los más bellos, pues son oi( kata\ th\n su/myausin e(no\j a)nti/lhyin

e)mpoiou=ntej tai=j a)koai=j; es decir, el atributo de la sumfwni/a de I 4 pasa a serlo de

la o(mofwni/a de I 7. De modo que podemos decir que la “percepción de un solo so-

nido”, la “mezcla”, es para Ptolomeo el resultado de la mayor cercanía a la i)sotoni/a

en la relación entre los sonidos, cosa que es particular de la razón doble (2:1), y por

tanto de la octava. Si ésta es la definición de los o(mo/fwnoi, en 18.1 ss. Ptolomeo

define los intervalos consonantes (su/mfwnoi) como los más cercanos a los homófo-

nos, es decir, quinta y cuarta y sus compuestos (octava más quinta, octava más

cuarta), en tanto que también son los que dividen la octava de modo más cercano a

la igualdad (cf. Sect. Can. prop.6). Esta restricción terminológica de sumfwni/a a los

intervalos de cuarta y quinta es común en los autores que establecen distinciones

más complejas, como Trasilo (ap. Theo Sm., loc.cit.) quienes llama a estos interva-

los su/mfwna kat’ para/fwnon, o las diferencias de Baquio (Harm. 305.7 ss.) en

diafwni/a, o(mofwni/a y parafwni/a, y de Gaudencio (Harm. 337.5 ss.), en o(mofwni/a,

sumfwni/a, diafwni/a y parafwni/a. Tenemos aquí, entonces, no una clasificación

provisional, como quiere Stumpf (ib., p.63), sino un testimonio, de lo que “dicen”

otros (y por nuestra revisión de las fuentes en la primera parte de esta nota, Ptolo-

meo no se equivoca), pues parece que la aparición de los términos e)kmele/j-

e)mmele/j lleva casi indefectiblemente a la sumfwni/a y la diafwni/a, de alguna mane-

ra asociados para Ptolomeo con aquéllos como una tipología. Aunque la noción de

374

su/mfwnoi yo/foi ofrecida aquí no sea extraña a la que más tarde desarrollará Ptolo-

meo, en puridad el párrafo de 12.13-15 no es sino una cita, y ni siquiera es un ade-

lanto de su doctrina de I 7; para él, la clasificación tradicional entre melódicos / no

melódicos o consonantes / no consonantes es pertinente aquí en tanto se ha dejado

establecido ya el carácter de relación (pro/j ti) de las notas en el sistema. Sólo en el

desarrollo lógico posterior del discurso ptolemaico, la clasificación de los intervalos

sólo puede ser posible una vez refutadas las doctrinas aristoxénica y pitagórica.

92 En la inclusión en el tratado de las diferentes escuelas musicales para su

crítica, los capítulos 5-8 se ocupan de la doctrina pitagórica, y forman una unidad

de discurso independiente. En primer lugar, el capítulo 5 presenta la doctrina pita-

górica que se puede leer en Sect. Can., en Nicómaco o en Arquitas, entre otros

(consonancia y lo/goi matemáticos). A partir de ahí, el capítulo 6 muestra sus inco-

herencias, que aparecen cuando sólo se aceptan lo/goi múltiples o superparticulares,

o cuando se especula con los términos de la relación matemática (los a)no/moia). A la

vista de estas incongruencias (es decir, enfrentamiento entre los datos de los senti-

dos y su lenguaje matemático), Ptolomeo presentará en I, 7 una clasificación propia

en gradación de los intervalos (o(mo/fwnoi, su/mfwnoi y e))mmelei=j), bajo el criterio de

la mayor cercanía a la i)sotoni/a. Por último, el capítulo 8 es la corroboración empí-

rica mediante un instrumento de la conveniencia de las correcciones establecidas.

De esta manera, queda salvado el lenguaje armónico básico de los pitagóricos, al

ser corregido en sus deficiencias.

93 Aquí aparece por primera vez en Ptolomeo to/noj aplicado al intervalo

sesquioctavo (9:8). El intervalo de tono se definía genéricamente como la diferen-

cia entre la consonancia de quinta y la consonancia de cuarta ([3:2]:[4:3]=[9:8]; cf.

Porph.in Harm.116.17-18): en esto, Ptolomeo sigue la tradición y acepta tal defini-

ción. Así lo define Aristóxeno (Harm. 27.15, [y 57.1]: �Esti dh\ to/noj h( tw=n

prw/twn sumfw/nwn kata\ me/geJoj diafora/; cf. Ptol. Harm. 23.11, diafora\ du/o

fJo/ggwn e)po/gdoon periexo/ntwn lo/gon, que recuerda a Filolao [vid. infra] y 41.15-

17, o( e)pi\ h’ eu(/rhtai kaJ’ au(to\n perie/xwn to\n to/non e)k th=j u(peroxh=j tw=n du/o

prw/twn sumfwniw=n, más cerca de Aristóxeno). Esta versión del tono es válida no

sólo para los aristoxénicos: la misma aparece en el conocido fragmento de Filolao

375

(DK 44B6), quien llama a la cuarta su/llaba y a la quinta di’ o)cei=an: to\ de\ di’

o)cei=an mei=zon ta=j sullaba=j e)pogdo/wi. Otro texto pitagórico que presenta el mis-

mo tratamiento es la euclidiana Sectio Canonis, que en su proposición 13 define

este intervalo como el resto producto de sustraer un intervalo sesquitercio (la cuar-

ta) a uno sesquiáltero (la quinta). Este tono, pues, diferencia de las dos primeras

consonancias (9:8 o 204 cents), puede ofrecer problemas de afinación si se sigue a

Aristóxeno en su visión de la cuarta como el conjunto exacto de dos tonos y medio

(Harm. 70.3 ss.; ver la crítica ptolemaica en I 10). Lo que establece Aristóxeno es,

si lo expresamos mediante un sistema moderno, un tono temperado de 200 cents y

una cuarta también temperada de 500 cents, en su idea de operar mediante el oído y

no las matemáticas. Éstas demuestran (según queda expuesto en la Sectio Canonis y

en Filolao, DK 44B6) que un tono de razón 9:8 no se puede dividir en dos partes

iguales –pues una razón superparticular no es divisible en dos-, con lo que la cuarta

está formada, para los cálculos pitagóricos, por dos tonos y un “residuo” o lei=mma

cuya razón es 256:243. Esta es la prueba de que los “intervalos menores que un

semitono” de los que habla Aristóxeno (Harm. 57.1-12) no se han de ver como sec-

ciones matemáticas sino como “aproximaciones del oído” (vid. M. L. West, Ancient

Greek Music, Oxford 1992, p.167). De cualquier forma, este tono sesquioctavo es

el normal en la teoría griega; no obstante, posteriormente Ptolomeo trabaja con el

“tono menor” en sus cálculos de los ge/nh (II 15), de razón 10:9, que se diferenciaba

del tono sesquioctavo por la llamada “coma sintónica” de razón 81:80.

94 Adrasto, al que cita Teón de Esmirna (63.25 ss.) nos informa de que en la

tratadística podemos encontrarnos hasta un espacio de triple octava más tono (en

Platón, Ti. 35b-36b, cuádruple octava más quinta y tono) para las necesidades de

representación tonal (cf. Aristox. Harm. 26.5-6 con el límite humano de doble octa-

va más quinta). Pero el pasaje más cercano a éste de Ptolomeo es Gaud. Harm.

338.8 ss.: sumfwni/ai de/ ei)sin e)n t%= telei/% susth/mati to\n a)riJmo\n e(/c (cuarta,

quinta, octava, octava más cuarta, octava más quinta, doble octava, igual que

Bacch. Harm. 293.11-14); podría haber más combinaciones de consonancias, pero

hay que quedarse en los límites de la extensión de los instrumentos y de la voz

humana (cf. Gaud. Harm. 339.4-7; aunque ya hemos visto que los instrumentos

pueden ser capaces de una extensión mayor). El caso de Ptolomeo es un posición

376

sistemática y no práctica, pues su modelo no requiere más de dos octavas, como

señala Barker (op.cit., p.284, n.45).

95 Barker (SPH, pp.60-67) ha dividido el capítulo 5 en tres partes, corres-

pondiendo a tres argumentaciones diferentes que proceden, según Ptolomeo, de la

tradición pitagórica en torno a los intervalos y sus razones matemáticas. El primero

de esos argumentos es el que se inicia aquí (13.1-14.3) y tiene como punto de parti-

da (a)rxh/) la teoría cuantitativa que quedó establecida en I 3, y que es a partir de

ahora manejada en forma de números, esto es, las diferencias entre sonidos diferen-

tes son expresables en forma de números diferentes; esto es un eco de las discusio-

nes habidas entre los teóricos acerca de las nociones de lo/goj, dia/sthma y u(peroxh/,

en las que, además de la confusión entre tales términos, para algunos autores como

Eratóstenes estaba claro que el intervalo, dia/sthma, se estableció entre dos térmi-

nos (o(/roi) desiguales, mientras que el lo/goj era lo contrario, cf. Theo Sm. 81.17

e)peidh\ lo/goj me/n e)sti du/o megeJw=n h( pro\j a)/llhla poia\ sxh=sij: gi/netai d’ au(/th

kai\ e)n <a)>diafo/roij (...) dia/sthma de\ e)n diafe/rousi mo/non, cf. igualmente Euc.

Elementa, def.3.

Una vez asignados los diferentes números a aquéllas (cf. la distinción de

11.14 ss. entre sonidos i)so/tonoi y a)niso/tonoi), el postulado entonces es que la natu-

raleza de las distintas relaciones matemáticas (i.e., racionales) entre tales números

reflejan totalmente la naturaleza de las distintas relaciones sonoras, de modo que si

las relaciones entre sonidos “consonantes” son las más hermosas perceptiblemente,

esto ha de tener su contrapartida “racional” en sus respectivas razones matemáticas,

en este caso los lo/goi e)pimo/rioi y pollapla/sioi (13.4-9). A pesar de que Barker

(op.cit., p.61) señala que este modo de proceder parece tener su origen en una ela-

boración del propio Ptolomeo, es posible ver en Sect. Can.149.8-16 un antecedente

claro. Allí, el autor establece que todo “lo compuesto de partes” (ta\ e)k mori/wn

sugkei/mena) ha de expresarse en relaciones numéricas; por tanto éste es también el

caso de las notas, expresadas en lo/goi. Inmediatamente pasa a enumerar los tipos

de lo/goi musicales, pollapla/sioi, e)pimo/rioi y e)pimerei=j (simplificando el número

de relaciones, simplificación que también recoge Ptolomeo), cuyas relaciones es

posible decirlas “con una palabra”, e(ni\ o)no/mati (149.15), es decir, lo/goi capaces de

377

ser nombrados sin tener que recurrir a expresar los dos números (vid. Zanoncelli,

op.cit., p. 63, n.5). Esta capacidad no explica, sin embargo, por qué las razones

múltiples y superparticulares son las mejores, como ya aceptaba Sect. Can., y vuel-

ve a repetir Ptolomeo (y reajustará en 18.7 ss.). El alejandrino declara en 13.8 que

la excelencia de un lo/goj se establece por la “simplicidad de la comparación”, ka-

ta\ th\n a(plo/thta th=j parabolh=j, sobre todo entre las múltiples y las superparticu-

lares, pues es más simple la comparación –el exceso– en aquéllas que en éstas. Ésta

es la interpretación de 13.8, au(/th, como lo/goj pollapla/sioj, 13.8 th=j e)kei/nwn

como lo/goi e)pimo/rioi, y que es como lo han entendido todos los comentaristas.

Nosotros seguimos tal interpretación basándonos en el siguiente argumento: si su-

pusiésemos au(/th (13.8) como la diafora\ tw=n e)pimoriw=n te kai\ pollapla/siwn y

th=j e)kei/nwn como la diafora\ tw=n legome/nwn e)pimerw=n kai\ w(j a)riJmo\j pro\j

a)riJmo/n (13.6-7; el plural está justificado pues hemos interpretado h( tw=n lego-

me/nwn e)pimerw=n kai\ w(j a)riJmo\j pro/j a)riJmo/n como “la de las llamadas superpar-

tientes y de número a número”, y no como una sola categoría), estaríamos, cierta-

mente, ante tal a(plo/thj th=j parabolh=j de 13.9 como la verdadera causa de discri-

minación entre razones matemáticas, pues tal a(plo/thj abarcaría tanto a me/roj

a(plou=n de la razón superparticular como to\ e)/latton me/roj (13.9-10) de la multiple.

Pero entonces el alejandrino no compararía acto seguido (ib.) las múltiples con las

superparticulares, sino el grupo formado por este par de tipos con el grupo formado

por las superpartientes y número a número. Ptolomeo vuelve a repetir por qué la

razón doble es la mejor (13.15, a)/ristoj) más adelante, en correspondencia a las ya

conocidas virtudes perceptibles de la octava: se debe a que “produce un excedente

igual a lo excedido” (13.16, th\n u(peroxh\n i)/shn poiei=n t%= u(peroxome/n%). Aunque

en opinión de Barker (SPH, p.62) la analogía entre las excelencias de la octava

perceptiblemente y las características de la razón doble sean “vague and elusive”,

representa el esfuerzo que hace Ptolomeo en hallar la debida homogeneidad entre

los datos fenoménicos y su modelo matemático, consecuentemente con su teoría de

los krith/ria. En cuanto a la ordenanción jerárquica de los lo/goi matemáticos, Pto-

lomeo postuló como explicación racional al intervalo consonante tan sólo la des-

cripción de los lo/goi matemáticos que les correspondía, e hizo de esas característi-

cas –explicitadas en 13.8-10– una virtud matemática, siendo como eran un rasgo

378

neutro, como se ve en 13.16 (cf. la clasificación de Tetr. I 14, 2-3). Pero la crítica

ha señalado el valor apriorístico de tal jerarquía (cf. SPH, pp.60-61), y sólo queda

ser conscientes del procedimiento ptolemaico de equiparación de los datos fenomé-

nicos con el modelo matemático que ha de proponerse: la redefinición de los lo/goi

múltiples y superparticulares dando preeminencia al tipo de “exceso”, u(peroxh/,

entre sus términos, frente a descripciones como las de Teón de Esmirna (70.8,

76.21, etc.) o Nicómaco (Ar. I 17.7 ss.), descripciones éstas de Ptolomeo que con-

tribuirán al principio de “cercanía a la igualdad” de I 7 (18.11 ss.) para la gradación

de intervalos homófonos y consonantes.

Compárese el tratamiento del alejandrino con el de Arístides Quintiliano,

para quien la excelencia de las razones de la cuarta y quinta se debe a que sus rela-

ciones geométrica y aritmética dan 12 y 35 respectivamente, números de importante

significado en la especulación neoplatónica, cf. Aristid. Quint. 103.10 y Plut. an.

procr. in Ti. 1018B.

96 Gr. e)pimerh/j, razón matemática “superpartiente” entre dos sonidos, del

tipo (n+m):n, siendo m>1. En métrica esta razón es la de los po/dej llamados

do/xmioi, y están fuera de los r(uJmoi\ o)rJoi/ (vid. Luque Moreno, op.cit., p.20). Para

la tradición pitagórica (cf., por ejemplo, Sect. Can.149.13 ss.) no entra en las razo-

nes que expresan una consonancia; el principio ptolemaico busca la mitad más

aproximada en una razón, lo cual es posible sobre todo en múltiples y superparticu-

lares, pero no lo adopta como axioma, lo que posibilitará la clasificación de I 7

donde tiene cabida una razón superpartiente como 8:3. Por su parte, el axioma de

Sectio Canonis (149.15) es la posibilidad de nombrar la razón con “un solo nom-

bre” (e(ni\ o)no/mati), cf. Ptol. Harm. 16.9 e(no\j ei)/douj o)/ntoj. La doctrina matemática

(Theo Sm. 78.6) la describe como aquel lo/goj, o(/tan o( mei/zwn o(/roj a(/pac e)/xv to\n

e)la/ttona kai\ e(/ti plei/w me/rh au)tou= [tou= e)la/ttonoj], ei)/te tau)ta\ kai\ o(/moia ei)/te

e(/tera kai\ dia/fora.

97 A veces se suele identificar las razones e)pimerei=j con las de a)riJmo\j

pro\j a)riJmo/n, (cf. Plat. Ti. 36b y Porph. in Harm. 117.14) pero Teón las explica

como diferentes (78.6-23 y 80.7-14 respectivamente), siendo la de “número a nú-

mero” aquella en que no se cumple ninguna de las circunstancias que se dan en las

379

demás razones. De ahí nuestra traducción de kai\ w(j como “y”, en vez de la disyun-

ción de todas las traducciones.

98 Esta razón matemática (gr. e)pimo/rioj), “superparticular” y expresable

como (n+1):n es descrita por la matemática dentro de los lo/goi mei/zonej, y es el

tipo de razón en que se encuentran las consonancias de quinta y de cuarta. Teón de

Esmirna (76.21 ss.) dice de ella: e)pimo/rioj de/ e)sti lo/goj o(/tan o( mei/zwn o(/roj a(/pac

e)/xv to\n e)la/ttona kai\ mo/rion e(/n ti tou= e)la/ttonoj, toute/stin o(/tan o( mei/zwn tou=

e)la/ttonoj tau/thn e)/xv th\n u(peroxh/n, h(/tij tou= e)la/ttonoj a)riJmou= me/roj e)sti/n.

Junto a las razones múltiples, es susceptible de ser nombrada mediante un solo tér-

mino, y de expresar consonancias (Sect. Can.149.23-24, Theo Sm. 74.23-75.7);

según Ptolomeo incluso (Harm. 15.8), en ella debería encontrarse ta\ e)mmelh=. No

puede ser dividida en dos de manera análoga (Sect. Can. prop.3), por lo que, por

ejemplo, un tono se divide en dos semitonos desiguales, o seis tonos son mayores

que una octava. La definición de Ptolomeo es mucho más simple que la de Teón y a

la vez más exacta, pues explica qué es ese mo/rion e(/n ti tou= e)la/ttonoj; esto es, se-

gún Ptolomeo, “una parte simple”, me/roj a(plou=n, que no es exactamente “one

unit”, la unidad, como considera Solomon (op.cit., p.17, n.87), sino, como dice Bar-

ker (op.cit., p.60, n.4), “an integral factor”, de modo que podamos equiparar, por

ejemplo, 4:3 con 8:6 (pues de otra manera no habría una explicación aceptable para

19.11). La definición de Ptolomeo es diferente a la de Teón y no es casual (también

lo es en el caso de la múltiple, cf. Harm. 13.8), pues tiende a la explicación que el

alejandrino dará de la gradación de consonancias en I 7, según el principio de la

“cercanía a la igualdad” (ib. 18.11, tv= pro\j ta\j i)so/thtaj e)ggu/thti, y sobre todo

19.10 ss.).

99 Razón (m.n):n, “múltiple” (gr. pollapla/sioj). Para Ptolomeo y el pita-

gorismo en general, la mejor razón (cf.13.8: a)mei/nwn ... kata\ th\n a(plo/thta th=j

parabolh=j); sus propiedades matemáticas las desarrolla la euclidiana Sectio Cano-

nis (propp.1 y 2). Para Teón de Esmirna (76.8) existe cuando o( mei/zwn o(/roj pleo-

na/kij e)/xv to\n e)la/ttona, toute/stin o(/tan o( mei/zwn o(/roj katametrh=tai u(po\ tou=

e)la/ttonoj a)partizo/ntwj. La menor de las razones múltiples (ib.77.24) es la doble

(dipla/sioj), 2:1, que es la razón de la octava, y por tener una u(peroxh/ menor –más

380

cercana a la igualdad– es, según Ptolomeo (13.15), a)/ristoj, como la octava es ka-

lli/sth. Esta razón múltiple está formada por las dos mayores sesquitercias, 3:2 y

4:3 (quinta y cuarta respectivamente). Otras múltiples son la octava más quinta

(3:1, tripla/sioj o “triple”) y la doble octava (4:1, tetrapla/sioj o “cuádruple”), cf.

Ptol. Harm. 13.24 ss., Sect. Can. prop.7 o Theo Sm. 77.23 ss.

100 La causa de las preferencias se explica a través de la a(plo/thj th=j para-

bolh=j (cf. Harm. 37.20 pari/souj y 19.9-10, di/xa e)/ggista (...) e)mmele/steroi; vid.

Solomon, op.cit., p.61), principio que como hemos visto determina la definición

que da Ptolomeo de las razones superparticular y múltiple, y en correspondencia

con el orden estético de las consonancias, empezando por la octava (entre los pita-

góricos, una a(rmoni/a, cf. Philol. DK 44B6). Este tipo de ordenación es apriorística

como también lo era en Sect. Can. para desdeñar la superpartiente (149.14-16,

tou/twn de\ oi( me\n pollapla/sioi kai\ e)pimo/rioi e(ni\ o)no/mati le/gontai pro\j

a)llh/louj). Hay significativas proximidades con pasajes aristotélicos: cf. Arist.

Sens. 439b31-440a3, ta\ me\n ga\r e)n a)riJmoi=j eu)logi/stoij xrw/mata, kaJa/per e)kei=

ta\j sumfwni/aj, ta\ h(/dista tw=n xrwma/twn eiÅnai dokou=nta (...) ta\\ de\ mh\ e)n a)riJmoi=j

taÅlla xrw/mata, mezclando bien proporcionado con no en números. La “simplici-

dad” de la comparación entre los términos es una explicación desarrollada en I 7,

donde las mejores razones son las que dividen más aproximadamente igual, y por

tanto la diferencia entre las mitades es mínima. Se puede comparar la expresión de

Adrasto ap. Theo Sm. 50.19-21, wÂn ou) me\n a)/lloi mo/non h(rmosme/non (aquí se

encuentran las razones e)pimerei=j) oi( de\ kata\ tou\j prw/touj kai\ gnwrimwta/touj kai\

kuriwta/touj lo/gouj pollaplasi/ouj te kai\ e)pimori/ouj h)/dh kai\ su/mfwnoi. Adrasto

actúa como Ptolomeo, con la asignación de los intervalos consonantes a las razones

superparticulares y múltiples, aunque admite que lo e)mmele/j también se exprese en

razones de “número a número” (igualmente Adrasto ap. Theo Sm. 50.18). El hecho

de que lo más consonante para Ptolomeo sea lo que más se acerca a la igualdad

recuerda los adjetivos que se atribuyen al número 1 de la tetraktu/j en Theo Sm.

100.2 ss., así como al método que tiene este autor para generar las consonancias

múltiples en la p.108. No obstante, este concepto está muy cerca de la noción de

consonancia como “mezcla” (kra=sij, e(no/thj) donde ésta está, en la doctrina ptole-

maica, indisolublemente unida a los números. Dada la comparación establecida al

381

principio del capítulo por Ptolomeo entre números y notas y sus relaciones entre sí,

y puesto que estamos tratando con intervalos, diasth/mata, y no con unísonos (que

serían la razón 1:1), la mayor cercanía a la igualdad posible es la de la octava como

ejemplo de kra=sij o e(no/thj, y por ello su razón (2:1) es la que tiene, como explica-

rá Ptolomeo en 18.11, la simplicidad mayor. Ptolomeo ha hallado así un precioso

medio –si es que ésta es la explicación que tenía in mente– para cualificar las distin-

tas razones matemáticas, ordenándolas según el criterio de la u(peroxh/, y en corres-

pondencia con la gradación que en el terreno sensorial privilegiaba la octava sobre

la cuarta y la quinta (cf. por ejemplo Sect. Can.149.11 ss, Panecio ap. Theo Sm.

66.30 ss., Ps.Arist. Pro. XIX 35). La “belleza” perceptiva tendría su correlato, en-

tonces, en la “cercanía a la igualdad” (vid. GMW, p.285, n.49).

Fuera del ámbito matemático, la razón física es que las razones numéricas

que expresan una consonancia en Grecia reflejan las longitudes de las cuerdas, y no

el número de vibraciones (como señala Gevaert, op.cit., vol. I, p.305, n.2), por lo

que la simplicidad de la comparación surge de la simplicidad de la sucesión geomé-

trica, que en el caso de la razón doble es más pequeña. De ahí que 2:1 establezca

una comparación más simple que, por ejemplo, 4:3.

101 La razón de la octava, “doble”, 2:1 (= [3:2]·[4:3], quinta más cuarta), de

tipo múltiple.

102 Literalmente “el todo y la mitad”, gr. h(mio/lioj. En métrica es el lo/goj

que mantiene el ge/noj paiwniko/n según la teoría rítmica aristoxénica (cf. Rhyth. II

26.6; vid. Luque Moreno, op.cit., p.19 ss.), con una razón de 3:2. En música, la

misma razón es la que mantiene la consonancia de quinta (cf. Sect. Can. prop.6,

Anon. Bellerm. 72) y por ello también su razón recibe esa denominación; Teón de

Esmirna (78.2-3) la explica así: o(/ti dh\ kai\ to\ h(/misu me/roj prw=ton kai\ me/giston

kai\ e)gguta/tw t%?= o(/l%. Dicha razón (compuesta de tres tonos y un leima), junto con

la de la octava (2:1, doble) y la de la cuarta (4:3, sesquitercia) ya fue descubierta

por los pitagóricos quizás incluso antes de Filolao, para lo que hay toda una serie de

leyendas sobre experimentos con discos de bronce o vasos. La relación sesquiálte-

ra, de la quinta, es producto de la sustracción a la octava de una cuarta

([2:1]:[4:3]=[3:2]), cf. Philol. DK 44B6 y Nicom. Harm. cap.8.

382

Además de su aplicación en la clasificación de los lo/goi, el término será

aplicado también a uno de los géneros de la melodía, el cromático (xrw=ma); éste

tiene una variedad (“coloratura”, xro/a) llamada h(mio/lion (cf. Aristox. Harm. 63.9

ss. o Cleonid. Harm. 189.9). Dicha variedad se caracteriza por una sucesión de dos

intervalos de tres octavos de tono (Anon. Bellerm. 53 lo expresa como “pycnón de

semitono y diesis enarmónica”) más un intervalo de siete cuartos de tono (o lo que

es igual, un tono más tres cuartos de tono). Más claro se ve esta microtonalidad si

echamos mano de la división de la cuarta en 30 partes iguales (cf. Aristid. Quint.

18.1-3), según la cual la interválica sería de 4 ½, 4 ½, 21.

103 Es la razón de la cuarta, 4:3, “el total y un tercio” (e)pi/tritoj); es una ra-

zón matemática del tipo superparticular. Hace, junto a la sesquiáltera de la quinta

(3:2) la razón doble de la octava (2:1), y constituye la segunda superparticular ma-

yor (cf. Theo Sm. 78.3-4, Ps.Arist. Pro. XIX 41). En métrica es esta razón conocida

como ge/noj e)pi/triton (3/4), a su vez en los r(uJmoi\ e)pimo/rioi, tres largas y una bre-

ve.

La correspondencia cuarta = razón sesquitercia, y quinta = razón sesquiálte-

ra, y en general las demás, quedan establecidas, además de en toda la tratadística,

desde la matemática (Sect. Can.158 ss., S. E. M IV 6 ss., VII 95 ss.); Ptolomeo se

refirirá a lo mismo en Tetr. I 14.

104 Cf. 14.4, grammikw/teron. Los dos modos de presentación de la doctrina

pitagórica.

105 En el fondo, ambas participan de lo mismo: la octava es la más hermosa

por ser lo más próximo a la igualdad de tono (el criterio fundamental de Ptolomeo

para la clasificación de las razones armónicas), que es lo mismo que decir que es un

intervalo cuyos términos están, en un cierto sentido, lo más cerca numéricamente

(2:1), como prueba Theo Sm. 83.16 ss., gi/netai de\ a)riJmo\j me\n e)k mona/doj,

grammh\ de\ e)k stigmh=j, lo/goj de\ kai\ a)nalogi/a e)c i)so/thtoj, tro/pon de\ ou) to\n au)to\n

e(/kaston tou/twn ktl., y 84.1-3, dio\ kai\ sumbai/nei th\n stigmh\n mh\ eiÅnai me/roj

grammh=j mhde\ th\n i)so/thta lo/gou, th\n me/ntoi mona/da a)riJmou=; de otra manera en-

tenderíamos “proximidad a la igualdad de tono” como la proximidad entre dos gra-

383

dos conjuntos de la escala. Por su parte, la razón doble produce un excedente “igual

al sobrepasado” de forma que la aproximación a la igualdad siempre se podrá redu-

cir a 1 (además de ser la razón múltiple menor; cf. la crítica de 16.15 ss.). El trata-

miento peripatético de la cuestión lo leemos en Ps.Arist. Pro. XIX 35a y 39; se lla-

ma, al igual que lo hace Ptolomeo, a la octava la consonancia kalli/sth (cf. ib.

95.14 y 100.9, h(di/sth). La hipótesis de este carácter podría residir en que sus tér-

minos son o(/loi, “enteros” a diferencia de los superparticulares de la cuarta o quinta;

o bien, el hecho de estar constituida por las dos superparticulares mayores y su me-

dida (96.7-9): h)\ o(/ti telewta/th e)c a)mfote/rwn ouÅsa kai\ o(/ti me/tron th=j mel%di/aj

ktl. Pro. XIX 39b (99.16) guarda relación con la teoría de los impactos desiguales

(cf. Aud. 803b-804a) en conexión con la teoría acústica pitagórica y reflejando un

hecho psicológico en las performances corales: no olvidemos el significativo texto

de Ps.Arist. Pro. XIX 43, donde se explica que es más hermosa la unión de auló y

voz que la de ésta con lira por su causa de su igualdad (h( me\n ouÅn %)dh\ kai\ o( au)lo\j

mi/gnuntai au(toi=j di’ o(moio/thta, 105.8-9), extrayéndose de tal hecho una norma:

poiw=n de\ diafora\n tv= ai)sJh/sei hÂtton h(du/nei (ib., 105.12-13); el concepto de la

o(moio/thj es, pues, tanto matemático como estético.

Aristides Quintiliano (III 4) explica la excelencia de las razones 3:2 y 4:3 en

el hecho de que sus respectivas relaciones geométricas y aritméticas dan las cifras

12 y 35, números muy importantes en la teoría armónica: cf., por ejemplo, Aris-

tid.Quint. 103.10 y Plut. an.procr. 1018B.

106 El caso de la octava más cuarta (8:3) ofrece problemas para su inclusión

entre las consonancias desde el punto de vista pitagórico, pues no sólo no se expre-

sa en una razón múltiple o superparticular, sino que sus términos escapan a la te-

traktu/j pitagórica, 8:3 (= [2:1]·[4:3]), aunque Adrasto (ap. Theo Sm. 56) retrotrae

el descubrimiento de la razón de esta consonancia –como las demás– al propio Pi-

tágoras. Sin embargo para Ptolomeo está claro que es una consonancia a partir de

uno de los krith/ria, el de la percepción, como afirma de manera categórica en

15.12-16. Significativo es el pasaje de Sect. Can. prop.11 (159.2 ss.): to\ a)/ra ag /

dia/sthma (intervalo 16:9) di\j dia\ tessa/rwn o)/n e)sti dia/fwnon (como veremos

después, Aristóxeno [Harm. 25.18-20, también otros como Adrasto ap. Theo Sm.

384

52] entiende la producción de consonancias como la suma de cualquiera de ellas a

la octava): dos cuartas producen una séptima y dos quintas una novena, que ya des-

de el punto de vista estético no son consonancias, como tampoco numéricamente:

cf. Pro. XIX 41 (p.102) con semejante argumento. La razón 8:3 está, pues, expresa-

da en forma superpartiente conforme a Ptolomeo (cf. Porph. in Harm. 117.12-13) y

por ello no debe parecer, ni siquiera a los oídos, una sumfwni/a (cf.Arist. Sens.

439b19, donde las consonancias, como los colores, han de estar e)n a)riJmoi=j

eu)logi/stoij para resultar ta\ h(/dista). Desde el punto de vista aristoxénico, que

opera con una noción de consonancia alejada de la matemática, no hay contradic-

ción alguna, pues una consonancia sumada a una octava produce otra consonancia:

cf. Harm. 56.10-12, prw=ton me\n ouÅn lekte/on o(/ti pro\j t%= dia\ pasw=n pa=n su/mfwnon

prostiJe/menon dia/sthma to\ gigno/menon e)c au)tw=n me/geJoj su/mfwnon poiei=; así, la

nómina de consonancias se eleva a ocho: ib. 27.12-13, o(/ti d’ o)ktw\ mege/Jh

sumfw/nwn diasthma/twn sumbai/nei gi/gnesJai r(#/dion sunidei=n. Si Aristóxeno ad-

mite las consonancias mediante la percepción (Harm. 42.8 ss.), la octava más cuarta

debe ser una consonancia de las o)ktw\ mege/Jh: recordemos el pasaje de Dídimo

(Porph. in Harm. 26.20-25).

Teón de Esmirna (79.15 ss.; también Adrasto, ib. p.56), que ofrece con más

detalle una relación de lo/goi matemáticos, incluye la razón 8:3 en las razones po-

llaplasiepimerei=j (“múltiple-superpartientes”, [mn]+x:n, [2.3]+2:3), o(/tan o(

mei/zwn o(/roj di\j h)\ pleona/kij e)/xv to\n e)la/ttona kai\ du/o h)\ plei/w tina\ me/rh au)tou=

ei)/te o(/moia ei)/te dia/fora; la llama dipla/sioj kai\ di\j e)pi/tritoj. En la tratadística

musical tardía, Gaudencio (Harm.339.26-27) llama a esta razón diplasiepi-

di/moiroj, de forma equivalente a la expresión de Teón (8:3, 8 = [2·3]+[(2:3)·3]). La

aporía se resolverá teóricamente con Zarlino en el siglo XVI al sustituir la tetrak-

tu/j por el senario, y distinguir entre consonanza propriamente detta y consonanza

comunemente detta (cf. J. J. Goldáraz Gaínza, Afinación y temperamento en la mú-

sica occidental, Madrid 1992, pp.33-34).

107 En contraposición a Harm. 13.1-14.3 (logikw/teron, 13.13). El método

de Sectio Canonis (fasi/ se refiere a los pitagóricos en general, como dice el epígra-

fe del capítulo) pero denostado por Aristox. Harm. 42.11 ss., pues si tv= me\n ga\r

385

a)kov= kri/nomen ta\ tw=n diasthma/twn mege/qh, el geómetra hace todo lo contrario: ou)

ga\r e)/stin w(/sper e)pi\ tw=n diagramma/twn ei)/JisJai le/gesJai: e)/stw tou=to eu)qei=a

grammh\ ktl., aunque el mousiko/j de Aristóxeno debe cultivar su oído.

108 Cf. Ps.Arist. Pro. XIX 41. No se entiende el primer diagrama de la edi-

ción de Düring, pues para que AG sean una doble quinta, la serie 9-12-16 no es vá-

lida ([3:2]·[3:2] = 9:4). Barker y Solomon corrigen estos números en su traducción :

8-12-18, que mantienen entre sí razones sesquiálteras. Desde Pro. XIX.41 sabemos

que la doble quinta no es consonante ([3:2]·[3:2] = 9:4; tampoco Aristóxeno la con-

sideró): cf. ib. p.102.15-17, o)/ntwn de\ h(mioli/wn triw=n e(ch=j a)riqmw=n h)\ e)pitri/twn oi(

a)/kroi pro\j a)llh/louj ou)de/na lo/gon e(/cousin. Por ou)de/na lo/gon hay que entender

una razón múltiple o superparticular conforme a Sect. Can. 149.15. Según el texto

peripatético, la razón resultante no es ni superparticular ni múltiple (9:4, doble

quinta; 16:9, doble cuarta). Es lo correspondiente a Sect. Can. prop.4: e)a\n

dia/sthma mh\ pollapla/sion di\j sunteqv=, to\ o(/lon ou)/te pollapla/sion e)/stai, ou)/te

e)pimo/rion (ib. p.153.5-7). A continuación, según Ptolomeo, al no ser múltiple AG,

tampoco lo es AB. El fundamento de la demostración se basa en Sect. Can. propp.1

y 2. En efecto, si AG hubiese sido múltiple, AB o BG lo hubiesen sido, pues cual-

quier intervalo múltiple tomado dos veces hace otro múltiple, y viceversa. Por re-

ducción la quinta ha de ser superparticular, razón restante para una consonancia.

109 El segundo argumento (frente al de 13.1 ss.) tiene como fuente Sect.

Can. propp.2, 3 y 10. Barker (BPH, p.64) advirtió de la inconsistencia de la primera

parte de esta segunda argumentación, al aislar quizá Ptolomeo una sección de su

fuente: no hay una conexión lógica entre el hecho de que la doble quinta no sea una

consonancia y que su razón no pueda ser múltiple. El hecho, como señala Barker,

es que hay razones múltiples que reflejan intervalos no consonantes para los griegos

(por ejemplo, 5:1); efectivamente, en 16.6 ss., Ptolomeo señala la aporía de identi-

ficar las consonancias con las razones múltiples. Esta incongruencia se debe, según

Barker, al hecho de que para Ptolomeo el argumento más importante y donde centra

su atención el alejandrino es el anterior (13.1-14.3); ocurre simplemente que Pto-

lomeo ha transmitido la parte de la fuente (Sectio Canonis) que le interesaba sin

hacer un examen crítico.

386

Por otra parte, es el caso que la doble octava 4:1 puede ser dividida en par-

tes iguales, de forma tal que su razón no puede ser superparticular en virtud de Sect.

Can. prop.3; si era una consonancia, como mostraba la premisa inicial, entonces es

múltiple; una razón múltiple, en virtud de Sect. Can. prop.2, obtenida de un interva-

lo tomado dos veces, nos lleva a ese intervalo simple también múltiple; como AB

era una octava, la razón de la octava es múltiple (Sect. Can. prop.10).

110 Cf. Euc. Elementa VII 19, Sect. Can. 152.2-3, Nicom. Ar. 126, Theo

Sm. 106.

111 Cf. Euc. Sect. Can. prop.12 (la octava es doble porque ésta es la primera

razón múltiple), y prop.6. El tono está en razón sesquioctava según Sect. Can.

prop.13. Si la octava está formada por los dos intervalos superparticulares mayores

(según Sect. Can. prop.6), la consecuencia es que cualquier intervalo formado por

otros dos superparticulares ha de ser menor que la octava; de ahí que no aceptemos

la traducción de Düring (Die Harmonielehre des Klaudius Ptolemaios, Göteborgs

Högskolas Årsskrift, vol. 36, nº 1, Göteborg 1930 [= PH], p.30) para 15.4-5: “so-

dass die zwei aus anderen überteiligen Verhältnissen gebildeten Verhältnisse klei-

ner sein müssen als das Doppelte”, pues du/o es genitivo (cf. 13.24, 15.3). Que no

hay razón múltiple menor que la doble queda demostrado en Sect. Can. prop.12.

112 El término indica “un total y un octavo del total” (gr. e)po/gdooj, i.e.,

1+1/8). Es la razón del tono mayor, 9:8; el adjetivo también puede significar, por

extensión, “tono” (cf. Hsch., s.v.). Es el sentido de “intervalo” de Cleónides

(Harm.202.6-8). En la clasificación de razones matemáticas, Teón (75.3 ss.) inserta

esta proporción en aquéllas e)n sumfwni/#, junto a la del lei=mma, no siendo ni de las

pollapla/sioi ni de las e)pimo/rioi, sino del grupo de las ou)de/teroi.

113 El término también aparece en muchas fuentes, entre ellas los Anon. Be-

llerm. 52 y 54 como h(mitoniai=on, al igual que to/noj es sinónimo de toniai=oj (cf.

Ptol. Harm. 18.3-4).�Hay dos consideraciones generales sobre el semitono: la aris-

toxénica, que podríamos llamar “temperada” (aunque vid. las reticencias de E. A.

Lippman, Musical Thought in Ancient Greece, London-New York 1964, p.151), y

la pitagórica, más matemática. En Harm. 27.16-18, Aristóxeno explica que el tono

387

“se puede dividir de tres maneras, puesto que su mitad, su tercio y su cuarto se con-

sideran melódicos”, cf. Ptol. Harm. 33.10-11. De otra forma, el tarentino también

divide la consonancia de cuarta en 30 partes iguales, o lo que es igual, el tono en 12

(puesto que una cuarta son dos tonos y medio), en Rhyth. II 23.15. Esta división del

tono no establece diferencia alguna entre ambos semitonos, y como consecuencia se

establece un sistema de sonidos que distan ya un tono, ya medio, pero sin implica-

ciones matemáticas como las de la octava diatónica pitagórica, con un semitono

menor llamado lei=mma (Sect. Can. prop.17, Philol. DK 44B6). La causa reside en

los criterios de Aristóxeno, que se basan en la percepción y no en la razón (además

de considerar el intervalo como un espacio), además del hecho, señalado por Ptol.

Harm. 30.7-9, de que al considerar el intervalo como un espacio (cf. Porph. in

Harm. 95.13) entre dos notas “incorpóreas”, el intervalo no está sujeto a leyes ma-

temáticas: por ejemplo, el caso de la imposibilidad de la división en dos partes

iguales de una razón superparticular (cf. Sect. Can. prop.3). Por ello se considera la

aristoxénica una concepción precursora del temperamento.

Para la teoría pitagórica sobre el semitono es central el pasaje de Sect. Can.

prop.16 que aquí recoge Ptolomeo, o( to/noj ou) diaireJh/setai ei)j du/o iÅsa ou)/te ei)j

plei/w, con lo que se invalida la división aristoxénica. Una forma de división pita-

górica del tono en dos partes es la que exhibe Arístides Quintiliano, 95.19 ss. (tam-

bién Gaud. Harm. 343). Si la razón del tono es 9:8, y no hay ningún número entre

ellos; entonces se duplican éstos, obteniendo así 16 y 18, hallando en medio el 17.

Así pues, habrá un semitono mayor (mei=zon) de razón 17:16, y uno menor (e)/latton)

de razón 18:17; Arístides Quintiliano llama al semitono menor, conforme a sus

fuentes, “resto”, lei=mma. La conclusión que saca de todo esto es que la cuarta no es,

como decía Aristóxeno, dos tonos y un semitono (loc.cit.; también Anon. Bellerm.

71), como demuestra en 96.20. Efectivamente, una cuarta de razón 4:3 menos dos

tonos de razón 9:8 da como “resto” un residuo de razón de 256:243 (Plat. Ti. 36b),

para Arístides Quintiliano símbolo de la precariedad de lo sensible, o de lo irracio-

nal (cf. Sect. Can. prop.15).

114 Cf. Euc. Sect. Can. propp.8 y 13; en prop.16, este tratado demuestra (co-

mo aquí recoge también Ptolomeo con un matiz diferente) que el tono no puede ser

388

ser dividido en dos intervalos iguales; ha de dividirse en lei=mma (256:243) y

a)potomh/ (2187:2048). Barker (op.cit., pp.64-65) llama a este último pasaje “argu-

mento c”, y señala la confusión que es evidente en el texto ptolemaico a la hora de

transmitir la fuente euclidea: en prop.3, Sect. Can.dice que en un intervalo

superparticular no hay una media proporcional (152.1, ou)dei\j me/soj...a)na/logoj),

sin referirse al intervalo de tono; en prop.16, añade que el intervalo de tono no se

puede dividir en dos o más iguales (161.17, o( to/noj ou) diaireJh/setai ei)j du/o iÅsa

ou)/te ei)j plei/w). Lo que hace Ptolomeo es, efectivamente, combinar ambas

demostraciones; esto por lo que se refiere al manejo de la fuente, pues como señala

Barker, Sect. Can. no dice nada de la cualidad de lo “melódico”, y a la vez emplea

intervalos como pasos melódicos que no son superparticulares como el leima

(Ptolomeo se ocupará en I 7 de los intervalos “melódicos”, que para él se expresan

mediante razones superparticulares, intervalos que llegan en tamaño hasta la

cuarta). De ahí que este pasaje ptolemaico haya sido puesto en relación con otras

fuentes: su carácter “no geométrico”, al modo de 14.4 ss., lo acerca más a las

valoraciones de la primera parte de este capítulo (13.1-14.3) según Barker,

proponiendo este autor a Arquitas en la idea de que es completamente achacable a

este pitagórico la idea de la conexión entre superparticulares e intervalos melódicos

(cf. Ptol. Harm. 19.4-13, 34.21-35.1). Barker (op.cit., p.67) se apoya, aparte de la

teoría de las medias proporcionales de Arquitas, en el sugerente razonamiento de

que, por una parte, Ptolomeo identifica de entre los pitagóricos, a uno sólo con su

nombre, Arquitas (34.18); y por otra, Ptolomeo estaría asociando a Arquitas –o la

fuente que él identifica con Arquitas– con tales u(poJh/seij racionales, las de I 5.

Esto haría pensar, por último, que también el argumento de 13.1-14.4 podría tener

un origen en Arquitas, puesto que ambos están evidentemente relacionados al

considerar el tipo de “exceso” (u(peroxh/) entre los términos de una razón. El pasaje

de 15.8 es un avance del tratamiento posterior de este tipo de intervalos en 19.5 ss.

Si las sospechas de Barker son ciertas, la reestructuración ptolemaica de los

intervalos en tres categorías (I 7), aún siendo relativamente original, tiene una

procedencia de Arquitas clara en lo que al criterio de fondo se refiere, el carácter

su/mmetron de los excesos (16.11). 115 Que lo “melódico” (e)mmele/j) se encuentre sólo en las razones superpar-

ticulares no se lee en Sect. Can.; más adelante Ptolomeo lo repetirá en 37.19-20.

389

Quizá esté basada en el hecho de que en las divisiones de los géneros melódicos

que veremos a lo largo del tratado, son las superparticulares prácticamente las úni-

cas utilizadas, pero no son en absoluto las únicas, y esto afecta, como señala Barker

(“Ptolemy’s Pythagoreans, Archytas, and Plato’s conception of mathematics”,

Phronesis 39 [1994], p.128) a Filolao, Sectio Canonis o Platón. Pero que esta pro-

piedad sea lo expresable mediante una relación matemática, proviene del pitago-

rismo y del Perípato: cf. por ejemplo Adrasto (citado por Theo Sm. 50.14 ss, para

quien los sonidos son ya notas bajo las razones múltiples, superparticulares y de

“número a número” (cf. Ptol. Harm. 13.8 ss.), aunque acto seguido reconozca que

las únicas “consonantes” (su/mfwnoi) son las múltiples y superparticulares. Barker

(op.cit., p.129) propone a Arquitas como primer origen verosímil de esta tesis, ba-

sándose en la inclinación especulativa que demuestra este pitagórico; no obstante,

en su cromático observamos (cf. Harm. I 13) lo/goi que no son superparticulares,

aunque admiten una interpretación basada en la cualidad e)pimo/rioj (cf. N.Tr. 265).

Para Barker, un apoyo importante a esta atribución es el aserto de Ptolomeo sobre

el mismo Arquitas, que confirmaría que este pitagórico sólo aceptaba lo/goi

e)pimo/rioi: cf. Harm. 34.21-35.1, w(j oi)kei/ou tv= fu/sei tw=n e)mmelw=n o)/ntoj tou= sum-

me/trou tw=n u(peroxw=n, “en la idea de que es propio de la naturaleza de los intervalos

melódicos la proporcionalidad de los excesos (cf. N.Tr. 261). Esta proporcionalidad

o summetri/a indica precisamente el tipo de relación que deben mantener los térmi-

nos (o(/roi) del lo/goj interválico: cf. Ptol. Harm. 13.9-10, o(/ti me/roj e)sti\n a(plou=n e)n

au)tv= tw=n me\n e)pimori/wn h( u(peroxh/, tw=n de\ pollaplasi/wn to\ e)/latton tou=

mei/zonoj.

No cabe duda, por lo demás, que en el contexto pitagórico en que se desa-

rrolla el capítulo, Ptolomeo se está refiriendo a lo que los pitagóricos entendían

como “semitono”, es decir, el lei=mma (256:243). La razón de tal intervalo es de tipo

e)pimerh/j, de modo que ni siquiera puede ser dividida en dos razones superparticula-

res, al modo en que 2:1 lo es en 4:3 y 3:2. Aunque esta característica matemática

del lei=mma le convierta en e)kmelh/j, quizá con el sentido del término que se puede

leer en Ti. Locr. 220.9 a( de\ a)/takto/j te kai\ a)/logoj e)kmelh/j te kai\ a)na/rmostoj,

sin embargo en I 16 veremos a este intervalo dentro de las divisiones de los géneros

390

de la melodía (en el diatónico ditonal), y en la división del pitagórico Filolao (DK

44B6) aparece con el nombre de di/esij.

116 La “función” de una nota es su relación, pro/j ti, con las que la rodean.

Sólo más adelante, en II 5, establecerá Ptolomeo la denominación de las notas

“funcionalmente”, kata\ du/namin, frente a la denominación “física” o de acuerdo

con su posición en el conjunto de cuerdas de un instrumento, y cuya posición es la

típica del llamado “sistema perfecto”. En lo que a este pasaje respecta, las implica-

ciones no son demasiado importantes, porque incluso sin haber establecido la dife-

rente nomenclatura de II 5, se entiende lo que quiere decir aquí nuestro autor, si

atendemos al importante término de 15.16 eiÅdoj. De nuevo es más adelante (II 3,

especialmente 56.7) donde Ptolomeo introduce la noción de “forma”, eiÅdoj tw=n

sumfwniw=n. Dice el alejandrino que la forma de una consonancia es “una determi-

nada posición de sus razones particulares en sus límites apropiados y en cada géne-

ro (eiÅdoj me\n toi/nun e)sti poia\ Je/sij tw=n kaJ’ e()kaston ge/noj i)diazo/ntwn e)n toi=j

oi)kei/oij o(/roij lo/gwn). De modo que como las consonancias a las que se puede dis-

tribuir en función de sus ei)/dh son la cuarta, quinta y octava, y ésta última está for-

mada por los ei)/dh de las dos primeras (según Ptolomeo, pero cf., de otro modo,

Gaud. Harm. 346.6 ss.), la nota más aguda de una octava es el fin de un eiÅdoj pero

el principio de su repetición, por lo que guarda respecto a la nota más aguda que

ella la misma función que la nota más grave de esa octava respecto a su siguiente

nota. Aquí es ya evidente que los ei)/dh son algo circular, lo que más adelante (58.4)

Ptolomeo llamará a)pokata/stasij, “circularidad” o “periodicidad” en lo que a la

disposición de las escalas o “tonos” se refiere.

Para Ptolomeo, si la octava funciona como el número diez, 10 + 4 es lo

mismo que octava más cuarta en tanto que el número 10 como número base no

cambia la naturaleza de aquello a lo que ha sido añadido (Solomon [op.cit., p.20,

n.104] compara este procedimiento con el sistema de numeración alfabético grie-

go); o bien: dada la octava fa-fa’, el do a una cuarta grave bajo fa tiene la misma

función respecto a fa que respecto a fa’, y lo mismo pasa con una cuarta aguda so-

bre fa (si bemol; de igual modo funciona la armonía moderna). Este carácter de la

octava, desarrollado así por Ptolomeo, ya fue considerado por Aristóxeno, cf.Harm.

391

25.18-26.1 (panto\j ga\r prostiJeme/nou sumfw/nou diasth/matoj pro\j t%= dia\ pasw=n

kai\ mei/zonoj kai\ e)la/ttonoj kai\ i)/sou to\ o(/lon gi/gnetai su/mfwnon, “pues todo inter-

valo consonante añadido a la octava, tanto si es mayor, menor o igual que ésta, da

como resultado una consonancia”), y 56.10-12. Esto sólo es admisible si, como de

hecho afirma Ptolomeo, los dos términos de una consonancia de octava tienen la

misma función; en este caso esta igualdad asegura que cualquier consonancia unida

a la octava resulta una consonancia; de ahí la comparación con el número 10. Este

tópico de la doctrina armónica desde Aristóxeno pero introducido aquí como ele-

mento en la crítica a las consonancias de los pitagóricos, ha de ser retomado de

nuevo más adelante (Ptol. Harm. 67.13-14, 21-24) como elemento fundamental en

su estudio de los “tonos” o escalas. Precisamente, la naturaleza de la octava como

elemento que, añadido a una consonancia, no altera las funciones de ésta, interviene

en el desarrollo de la modulación que Ptolomeo (ib. 63.2-8) llama “de tono”. Efec-

tivamente, si las funciones (duna/meij) no cambian, porque la octava añadida no las

modifica, entonces una escala que se transporte en altura tonal a una octava por el

agudo o por el grave tampoco modificará sus funciones internas, es decir, las rela-

ciones entre las notas y sus intervalos; y por ello resultarán dos octavas idénticas, y

su hÅJoj no variará (63.10), aunque se les denomine con nombres diferentes como

hacen algunos teóricos y Ptolomeo critica en II 9-10.

Desde el criterio perceptivo de la consonancia como kra=sij (Cleonid.

Harm. 187.20, Eliano ap. Porph. in Harm. 96.11-12, etc.) la octava es la primera en

excelencia, cosa que no les ocurre a las razones superparticulares (cf. Ps.Arist. Pro.

XIX 41); en Pro. XIX 39a, podemos observar que el hecho de mantener una misma

función no significa lo mismo que un unísono: 100. 7-9, sumfwni/a de\ pa=sa h(di/wn

a(plou= fJo/ggou - di' a(\ de\, ei)/rhtai, kai\ tou/twn h( dia\ pasw=n h(di/sth: to\ o(mo/fwnon

de\ a(plou=n e)/xei fJo/ggon (cf. Ps.Arist. Pro. XIX 42 [103.5], donde se habla de la

o(moio/thj que se puede producir entre las notas u(pa/th y nea/th). Este principio de

igualdad funcional determina los párrafos siguientes del texto. La consecuencia

podemos verla a través del siguiente supuesto: dada una octava AB, una nota más

grave a distancia de cuarta de A, X, y otra nota más aguda que B a distancia de

cuarta, Y, si la nota o extremo más cercano de la octava es A, entonces X-A es una

cuarta; pero respecto al extremo más alejado, si X-A es una cuarta, entonces X-B

392

será la magnitud de octava más cuarta (igual sucede con Y respecto a A, de ahí e)pi\

ta\ au)ta/, Ptol. Harm. 15.17 y Porph. in Harm. 106.1 ss.), y Ptolomeo va a dejar

claro que ambos intervalos (cuarta y octava más cuarta) funcionan igual.

Un razonamiento similar podría hacerse si las distancias X-A e Y-B fueran

quintas, con el resultado de octava más quinta. Esta identidad de funciones se ve

tanto predeterminada como corroborada por la percepción, lo cual es una herencia

de la doctrina aristoxénica de la adición de consonancias a la octava. El punto de

partida para la refutación de la exclusión pitagórica de la octava más cuarta de la

nómina de las consonancias no es una reducción al absurdo de la teoría numérica

pitagórica, sino una asunción de postulados aristoxénicos (cf. la definición que dio

Ptolomeo en 4.3 de a(rmonikh/), y el hecho de partir absolutamente de la percepción,

de acuerdo con el sistema establecido antes por el propio Ptolomeo: la octava más

cuarta es “sin duda” una consonancia para los sentidos (15.12, panta/pasin

e)nargh/j). En este caso Ptolomeo se propone una explicación racional a un hecho

estético indiscutible, como señala Barker (op.cit., p.70) de acuerdo con su sistema

epistemológico, en el que lo perceptible es una forma de expresión de la racionali-

dad (cf. Harm. 6.19-21), a diferencia de los pitagóricos.

Por último, es interesante notar que lo más verosímil en el caso de 15.17

ka)\n lhfJv= tij, es suponer tij (sumfwni/a), de acuerdo con Porfirio (in Harm.

106.3) y con el razonamiento del resto del capítulo y de la tratadística musical. Bar-

ker (GMW, p.287), sin embargo, traduce “note”, sin duda influido por 15.14-15

kata\ th\n du/namin e(no/j y el escolio ad locum (prosupakou/ein dei= tou= fJo/ggou), cf.

Porph. op.cit.104.27.

Porfirio (op.cit. 106.5-25) entiende e)pi\ ta\ au)ta\ toi=j a)/kroij como una adi-

ción de un intervalo consonante (por ejemplo, una cuarta) en la misma dirección

que las notas que bordean la octava central (u(pa/th me/swn, nh/th diezeugme/nwn), es

decir, en ambas direcciones desde ambos extremos. En ese caso, se añadiría una

cuarta hacia el agudo desde u(pa/th me/swn (llegando hasta la me/sh) y desde nh/th

diezeugme/nwn (llegando hasta la nh/th u(perbolai/wn), y viceversa, hacia el grave

393

(u(pa/th me/swn hasta u(pa/th u(pa/twn y nh/th diezeugme/nwn hasta parame/sh). De

cualquier forma, la expresión e)pi\ ta\ au)ta\ puede entenderse, tal y como está expre-

sada, como la adición de una nota a intervalo consonante a partir de cualquiera de

los extremos, sin tener en cuenta la dirección (el resultado no contradice en ningún

caso a Ptolomeo ). Para un uso de e)pi/ más acusativo con este sentido de dirección

en la melodía, cf. por ejemplo Anon. Bellerm. 24, e)pi\ to\ o)cu\ kai\ baru/.

117 El concepto armónico de “forma” (eiÅdoj) lo tratará Ptolomeo en II 3, cf.

56.7 (vid. N.Tr. 391).

118 Gr. #)/dontai, cf. Anon. Bellerm. 69 y 71, mel%dou/menoi con el mismo

sentido.

119 O bien a(plai= según Porph. in Harm. 106.29, en cuanto que “primeras

consonancias”, cf. Aristox. Harm. 56.2 ss. Son “simples” porque no están compues-

tas de ninguna otra consonancia.

120 La sxe/sij es la relación que se da entre los términos (o(/roi) de una razón

(lo/goj) matemática, que expresa un intervalo entre dos sonidos diferentes en ten-

sión. Así lo expresa Euc. Elementa V 3, lo/goj e)sti\ du/o megeJ\w=n o(mogenw=n h( kata\

phliko/teta/ poia sxe/sij (cf. Porph. in Harm. 139.3-4). Nicómaco (Harm. 261.8-

10) la define como lo/goj e)n e(ka/st% diasth/mati metrhtiko\j th=j a)posta/sewj, e

incide en que no es lo mismo que diafora/ (cf. el comentario supra a u(peroxh/ en

N.Tr. 20), como ya puso de manifiesto Eratóstenes (citado por Porph. in Harm. 91.4

ss. y Theo Sm. 81.17 ss.). En la N.Tr. 17 ya se puso de manifiesto la confluencia o

confusión entre estos términos, y por ello no extraña que Trasilo asocie sxe/sij con

dia/sthma, cf. Theo Sm. 48.8-9, dia/sthma de/ fasin eiÅnai fJo/ggwn th\n pro\j

a)llh(louj poia\n sxe/sin, oiÂon dia\ tessa/rwn ktl., sin duda, como dice Porfirio (in

Harm. 92.22), debido a que la mayoría de los pitagóricos dicen dia/sthma en lugar

de lo/goj.

Ahora bien, en 32.20 sxe/sij es utilizada en la definición de ge/noj, allí don-

de toda la tratadística presenta diai/resij (o dia/Jesij), cf. Aristid. Quint.15.21, Cle-

onid. Harm.180.1, Bacch. Harm. 298.3, Gaud. Harm. 331.7 (cf. Nicom.

Harm.282.12): poia\ sxe/sij pro\j a)llh/louj tw=n suntiJe/ntwn fJo/ggwn th\n dia\

394

tessa/rwn sumfwni/an. Según Düring (PPM, p.194), para evitar una confusión con

la definición de eiÅdoj.

121 Explicación en el plano de la ai)/sJhsij. Porfirio (in Harm. 106.26) en-

tiende e)n tv= e)pi\ to\ e)ggu/teron a)/kron (de otra forma, SPH, p.20), mientras que Dü-

ring (PPM, p.31) traduce “ausgehend von dem untersten Ton der Oktave”. Siguien-

do a Porfirio, y al estar formada la sucesión por consonancias, cuarta y quinta por sí

mismas están situadas(en sentido ascendente) en la parte más grave de la octava, y

por eso es la parte “más cercana” al inicio de la octava. Al cantarse la consonancia

de octava más cuarta (u octava más quinta), la cuarta o la quinta añadidas a la octa-

va están ahora en la parte superior o agudo de esta escala, la parte “más alejada” del

inicio. De ahí que, como señala Solomon (op.cit., p.20, n.106) haya homofonía en-

tre las de abajo y las de arriba (una diferencia de octava); de ahí la impresión a los

oídos de 15.24.

122 Una expresión recurrente en Ptolomeo si vemos el inventario de Boll,

(op.cit., pp.177-118): cf.por ejemplo Alm. I 1, 7.11, Geog. I 11, 5.3, etc.

123 Del principio general de que las consonancias se expresan en razones

múltiples o superparticulares no se sigue que las disonancias no se expresen en al-

gunas razones de este tipo, o dicho en otras palabras, hay razones múltiples que no

expresan, en el plano perceptivo, ninguna consonancia. 5:1 es una razón múltiple

que no expresa ninguna consonancia, situada entre la doble octava (4:1) y la doble

octava más cuarta (16:3). Tampoco al restarle cualquier consonancia se obtiene una

razón superparticular. El motivo de la exclusión ha de pasar inevitablemente por

estar operando previamente con consonancias sancionadas por la percepción, y

después racionalizadas.

La razón e)pite/tartoj (5:4) es una razón superparticular (cf.Theo Sm. 78.4)

y no es, en el sentido griego, una consonancia; es la razón de la tercera mayor, es

decir, la suma de un tono mayor y un tono menor (9:8.10:9, algo menor que el díto-

no pitagórico 81:64, 9:8.9:8, pues 5:4 = 80:64, con la diferencia de una coma sintó-

nica); a pesar de su carácter e))kmele/j, aparecerá en los ge/nh enarmónicos de Dídi-

mo, Arquitas y Ptolomeo (cf. infra, Harm. II 14; no en vano, Ptolomeo afirma en

395

28.8-9 que el dítono de razón 81:64 es e)kmele/j). La razón de esta aparición, a pri-

mera vista incongruente, se explica por el procedimiento habitual de dividir en dos

partes desiguales un intervalo superparticular: así, la quinta se divide en una tercera

mayor más una tercera menor, 3:2 = (5:4).(6:5). En cualquier caso, la razón 5:4 está

presente en la geometría pitagórica como relación entre hipotenusa y cateto mayor

de un triángulo de lados 3, 4, 5, como señala M.Vogel (“Harmonie und Mousike im

griechischen Altertum”, Studium Generale, 19 [1966], p.536).

Que este par de razones interválicas no sean expresión de consonancias, re-

presenta una dificultad en cuanto que son generables mediante el procedimiento

explicado por Teón de Esmirna (108-109), y además, situadas al principio de las

tríadas: la razón e)pite/tartoj o sesquicuarta (tras la sesquitercia) surge e)k de\ tw=n

tetraplasi/wn, y la razón pentapla/sioj o quíntuple, entre las múltiples, se produce

relativamente temprano. A este problema alude también, como señala Barker

(GMW, p.214, n.16), Adrasto (ap. Theo Sm. 50.20), cuando dice que las razones

más importantes son las múltiples y las superparticulares, que son “consonantes”,

mientras que las demás tienen la cualidad de lo “armonizado” (h(rmosme/non). De ahí

que el término medio más ajustado a la igualdad sea un criterio de consonancia, y el

procedimiento de Teón desde 108 tiene como resultado en primer lugar la razón

doble, entre las múltiples, seguida de la sesquiáltera y sesquitercia (vid. GMW,

p.387, nn.59-60). Otro procedimiento que, a priori, destaca la tendencia a la media

más cercana a la igualdad, es el que describe ahora Ptolomeo, así como Porph. in

Harm. 107.15 ss.; pero Ptolomeo lo refuta por su inconsistencia matemática. La

corrección a la incongruencia pitagórica la expondrá Ptolomeo en I 7 con su triple

distinción de los sonidos a)niso/tonoi.

124 Cf. Euc. Sect. Can.149.15, e(ni\ o)no/mati. Las fisuras de este apriorismo

las denuncia Porph. in Harm. 107.12. La “sola forma” también se entiende como

generada mediante el logaritmo expuesto por Theo Sm. 108 ss.

125 Según Porfirio (in Harm.107.15 ss.), las fuentes de Ptolomeo para este

pasaje son Arquitas y Dídimo. Los argumentos de estos dos autores citados parecen

juiciosos a la vista de la teoría de las percusiones (GMW, p.35, n.29), aunque, de

396

nuevo, es totalmente apriorístico y basado en la especulación numérica pitagórica

en el marco de la tetraktu/j.

126 Los “primeros números” (tw=n prw/twn a)riJmw=n) son los números más

pequeños que constituyen una razón, también llamados puJme/nej, vid. Philol. DK

44A13, Theo Sm. 68.7, Nicom. Ar. II 19.3, etc.

127 Es decir, octava, 12:6, 12-6 = 6; quinta, 9:6, 9-6 = 3; cuarta, 8:6, 8-6 = 2,

frente a lo que dicen los pitagóricos (16.11 ss.), utilizando los primeros números,

donde tenemos para la octava, 1 (2:1, [2-1]+[1-1]=1), para la cuarta 5 (4:3, [4-

1]+[3-1]=5) y para la quinta 3 (3:2, [3-1]+[2-1]=3). El problema de no basarse en

los números menores (puJme/nej, Porph. in Harm. 107.18), sino en la relación que

mantienen los términos de una relación, ya lo expone también, al igual que Ptolo-

meo, Euclides (Sect. Can. 153.1-3), o(/soi de\ ei)j tou\j e)laxi/stouj me/soi a)na/logon

e)mpi/ptousi, tosou=toi kai\ ei)j tou\j to\n au)to\n lo/gon e)/xontaj a)na/logon

e)mpesou=ntai, cf. Elementa VIII, 8, y Theo Sm. 80.23-25; ya Adrasto (ap. Theo Sm.

69.7 ss.) denunciaba la confusión entre términos de un lo/goj y su diferencia entre

ellos; (cf. Plat. R. 546c y Porph. in Harm.109.8). Entonces, si 2:1 = 12:6 es un ar-

gumento presente en tratados de orientación pitagórica, debemos pensar que Ptolo-

meo intenta alejarse de ese apriorismo pitagórico por absurdo, pero aceptando los

parámetros de la escuela y de algún modo buscando justificaciones alternativas para

el mismo problema, como su idea de mayor consonancia a mayor cercanía a la

igualdad en los términos de la razón. Lo que desmonta Ptolomeo con su refutación

de los a)no/moia no es la gradación pitagórica octava-quinta-cuarta (que acepta en I,

7), sino este procedimiento de Arquitas y Dídimo para llegar a ella, en lo que se

refiere a la elección de los números menores para expresar una razón (BPH, p.72).

Solomon (op.cit., p.21, n.114) ha especificado efectivamente que Ptolomeo no está

en contra de esta gradación ni contra el axioma pitagórico de que la unidad es lo

más perfecto (por ello 1:1 sería lo más perfecto y el alejamiento de ello lleva a la

imperfección); es el sentido de 16.12 u(pe\r th=j e)c a)mfoi=n o(moio/thtoj, donde a)mfoi=n

se refiere a “ambos términos” de la razón, de la que se sustrae una unidad. La

o(moio/thj es lo buscado, porque es lo perfecto, y así se explican los comentarios de

Ptolomeo a las razones superparticular y múltiple en 13.15-16. Lo que aquí preten-

397

de esquivar es la inevitabilidad de expresar las razones interválicas de las conso-

nancias con los números más bajos, como si estuviese esto indisolublemente unido

a los números de la tetraktu/j primitiva (1, 2, 3, 4), en tanto que sistema matriz, y

los números como entidades. Respecto a las interpretaciones anteriores, Solomon

(loc.cit.) remarca que la intención pitagórica era mostrar que la octava es lo más

consonante al acercarse a la unidad total, después la quinta, etc; el absurdo que de-

nuncia Ptolomeo no es esto, sino considerar 2:1 más consonante que 12:6. Los

“desiguales” serían un buen índice de aproximación de la razón a la igualdad si el

resultado fuese siempre el mismo independientemente de los términos de la razón:

ésta es la crítica ptolemaica. Por otra parte, la precisión de Solomon (SPH, p.21

n.114) sobre la sustracción a la fracción de un entero con el resultado de una frac-

ción de términos mayores, pero por ello un lo/goj mayor, es inválida como opera-

ción, pues las operaciones entre razones musicales son logarítmicas.

La serie ptolemaica en la que el número más bajo es 6, en una progresión 6-

8-9-12 (con la ventaja de expresar la razón sesquioctava del tono, 9:8) es un uso de

la tetraktu/j formada por estos números en Nicom. Exc. 279.9 y 282.10 (cf. antes

Platón en el Timeo y Ps.Plut. de Mus. cap.22) , y las magnitudes que empleará Pto-

lomeo para la demostración geométrica en II, 2. El problema de fondo reside en la

elección de la tetraktu/j, la de 1-2-3-4, o bien la de Nicómaco, 6-8-9-12. Recorde-

mos el comentario de E. Goblot (De Musica apud Veteres, Paris 1898, pp.36-37)

que “harmonica igitur tetractys non ex istis numeris, qui cordis adscribuntur, ut

consonent, conficitur, sed ex his numeris, ordine compositis, unde illi detrahi pos-

sint. Nempe illa Nicomachi series 6, 8, 9, 12 non tetractys, sed ipsa harmonia est;

tetractys vero non harmonia, sed harmoniae fons (h( prw/th tetraktu\j th\n tw=n

sumfwniw=n phgh\n e)/xousa [Nicom. Exc. 279.9]”; la segunda sería mucho más re-

ciente.

128 Octava más quinta tiene como “desigual” 2, 3:1 = 2 + 0 = 2. La incon-

gruencia reside en que mediante los números, la octava más quinta resulta más con-

sonante que la quinta o la doble octava. Pero, según Ptolomeo, la quinta es simple y

más pura que la octava más quinta (cf. Aristox. Harm. 56.2 ss.; Porph. in Harm.

111.5-6), y además, teniendo en cuenta lo dicho en 13.5 sobre el carácter particular

398

de la octava, la doble octava es respecto a la octava más quinta igual que la octava

más quinta, cosa que con los a)no/moia no sucede (octava= 1, quinta = 3, octava más

octava = 3, octava más quinta = 2). No es extraño si pensamos en que la teoría de la

consonancia para Ptolomeo se articula sobre la noción acústica de la kra=sij.

129 Es la particularidad de la cuarta y la quinta; cf. supra 15.21 kaJ’ au(ta/j,

y Porph. in Harm. 106.28-29.

130 Este adjetivo su/nJetoj, “compuesto”, se usa tanto en la teoría gramati-

cal (para diversos niveles y categorías gramaticales: fónico, morfológico, etc) como

en la métrica (el pou\j su/nJetoj, como kw=lon�o ko/mma, cf. Luque Moreno, op.cit.,

p.29 ss.).�En la teoría musical griega es uno de los criterios de clasificación para

los intervalos y las consonancias; su opuesto es a)su/nJetoj. Ptolomeo está em-

pleando un terminus technicus anterior y bien establecido; referido a las consonan-

cias, se dice (cf. Anon. Bellerm. 74) que unas son simples y otras compuestas. Las

consonancias compuestas son todas aquéllas formadas a partir de otras consonan-

cias, esto es, la octava (compuesta de las dos consonancias simples, la cuarta y la

quinta, cf. Aristox. Harm. 56.2), la octava más cuarta, la octava más quinta y la

doble octava, doble octava más cuarta y doble octava más quinta, los o)ktw\ mege/Jh

(ib. 56.1); aunque con el criterio de que cualquier consonancia sumada a otra con-

sonancia (ib. 56.10-12) da como resultado otra consonancia, el número de éstas en

la progresión hacia el máximo sólo depende de la capacidad de nuestra voz según

Aristóxeno, pero en teoría no hay límite para su número.

Referido a los intervalos, éstos pueden ser su/nJeta�o a)su/nJeta según

Aristox. Harm. 21.22 ss. La su/nJesij tiene en la teoría musical el sentido de “colo-

cación de intervalos”. En esta acepción se habla de “intervalos compuestos” o “di-

visibles”, diasth/mata su/nJeta, cuando tal intervalo está compuesto de pasos me-

lódicos (e))mmelei=j) reconocidos: por ejemplo, en el género enarmónico el pycnón

está formado por un semitono que es un intervalo “compuesto” por dos diesis en-

armónicas (cf. Cleonid. Harm. 188.10 o Aristox. Harm. 62.14-18), pero el mismo

semitono sería un intervalo “simple” en el género diatónico, porque dicho intervalo

no es divisible en menores pasos melódicos. El mismo Cleónides (ib. 188.8-10) da

una definición de diafora\ su/nJetoj: su/nJeta de\ ta\ u(po\ tw=n mh\ e(ch=j, oiÂon me(shj

399

kai\ parupa/thj, me/shj kai\ nh/thj, parame/shj kai\ u(pa/thj. La definición de Cleó-

nides es clara porque ejemplifica con sonidos entre los que hay muchos otros que

constituyen pasos melódicos. Pero para tener más claro el concepto de “composi-

ción”, hay que leer Harm. 76.4-6, donde Aristóxeno decía que “la indivisibilidad

(a)su/nJeton) de un intervalo no se determina por su tamaño, sino por las notas que

lo limitan”. Hay que diferenciar, pues, magnitud de intervalo, pues según el tarenti-

no no todo intervalo entre notas sucesivas es una magnitud simple, y notas sucesi-

vas no pueden ser definidas por referencia a magnitudes simples (cf. GMW, p.172,

n.11). Esta distinción se ve más claramente en el ejemplo siguiente: un intervalo de

semitono en el género enarmónico es compuesto, pues hay dos pasos melódicos,

dos diesis enarmónicas de cuarto de tono; la misma magnitud en el género diatóni-

co es simple, pues el intervalo no está compuesto de ningún paso melódico; se ha

alcanzado así la misma altura tonal de dos maneras diferentes. Al contrario, el díto-

no es simple en el enarmónico pero compuesto (por dos intervalos de tono) en el

diatónico. En Harm. 28.8 Ptolomeo establece que el dítono a)su/nJeton (el del géne-

ro enarmónico, por ejemplo) es e)kmele/j debido a la razón que lo expresa, 81:64,

que no es ni múltiple ni superparticular (cf. Ptol. Harm. 11.15 y en general, I 7).

Eso implica que este dítono ha de ser rebajado hasta una tercera mayor de razón

5:4, cf. Ptol. Harm. 16.9.

131 Según lo dicho en 15.11-20.

132 La prueba de que (octava + octava) + (octava + quinta) = octava + quin-

ta es (4:1)·(3:1) = 4:3, y (2:1)·(3:2) = 4:3 en función de lo dicho por Ptolomeo supra

en 13.5. Cuanto más consonante es la octava que la quinta, resulta octava más octa-

va que octava más quinta, pues la misma razón tiene la cuádruple respecto a la do-

ble que la triple respecto a la sesquiáltera es decir, la diferencia de una octava); cf.

Aristox. Harm. 56.10-12.

133 Una vez descubiertos los problemas que conlleva la consideración de los

lo/goi por parte de los pitagóricos, Ptolomeo expondrá ahora su propia ordenación

de las razones interválicas y los criterios empleados. De acuerdo con su teoría de

los krith/ria, las consonancias son un hecho acústico indiscutible gracias a que la

a)koh/ es una vía de conocimiento (contra la opinión pitagórica, vid. Porph. in Harm.

400

26.20 ss.; si la a)koh/ es tal, la doctrina pitagórica adolecerá de la ausencia de criterio

estético). Esto en cuanto a la percepción; pero el otro criterio, el lo/goj, es el que

confirma los datos fenoménicos, de modo que, según Ptolomeo, el problema está en

el modelo explicativo, las u(poJe/seij, que no han sido bien planteadas (pues llevan

a resultados absurdos, cf. Harm. 16.14 ss.). Las hipótesis no son específicamente

enumeradas por Ptolomeo, pero se pueden rastrear ya desde I 6, y que para Ptolo-

meo, como veremos en este capítulo, establecen la expresión superparticular de los

intervalos melódicos así como la ordenación jerárquica de los lo/goi según su “cer-

canía a la igualdad”.

Es posible ver antecedentes a la doctrina de los intervalos ptolemaica, como

por ejemplo Trasilo (ap. Theo Sm. 48.17 ss.), con una oposición entre octava / do-

ble octava y las consonancias de cuarta y quinta (vid. infra). Otras disposiciones

para articular los intervalos se leen en Sexto Empírico (M. VI 42-44), tw=n de\

fJo/ggwn oi( me/n ei)sin o(mo/fwnoi, oi( de\ ou)x o(mo/fwnoi, kai\ o(mo/fwnoi me\n oi( mh\ dia-

fe/rontej a)llh/lwn kat¡ o)cu/thta kai\ baru/thta, ou)x o(mo/fwnoi de\ oi( mh\ ou(/twj

e)/xontej. tw=n de\ o(mofw/nwn, w(j kai\ tw=n o(mofw/nwn, tine\j me\n o)cei=j tine\j de\ barei=j

kalou=ntai, kai\ pa/lin tw=n o(mofw/nwn oi( me\n dia/fwnoi prosagoreu/ontai oi( de\

su/mfwnoi, kai\ dia/fwnoi me\n oi( a)nwma/lwj kai\ diespasme/nwj th\n a)koh\n kinou=ntej,

su/mfwnoi de\ oi( o(malw/teron kai\ a)meri/stwj, y en Gaud. Harm. 330.11-13, tw=n de\

diasthma/twn ta\ me/n e)stin e)mmelh=, ta\ d¡ e)kmelh=.. tw=n de\ e)mmelw=n ta\ me\n

su/mfwna, ta\ de\ a)su/mfwna.

134 Sobre la distinción entre sonidos sunexei=j y diwrisme/noi, cf. supra

11.19 ss.; para los i)so/tonoi y a)niso/tonoi, cf.11.14 ss.

135 Puesto que todos los intervalos múltiples y superparticulares han sido

reunidos bajo el epígrafe de e)mmelei=j (al ser “utilizables” en el me/loj, cf. supra

12.11 y Porph. in Harm. 113.13 ss.), podríamos esquematizar la teoría ptolemaica

como sigue, variando el diagrama de Stumpf (op.cit., p.64), quien incluía los inter-

valos homófonos y consonantes de I 7 entre los e)mmelei=j de I 4, y los e)mmelei=j de I

7 entre los dia/fwnoi de I 4, teniendo que suponer otros sonidos e)kmelei=j para justi-

ficar tal reparto (corresponderían entonces a los intervalos disonantes sobre la cuar-

ta).

401

Nuestra justificación en la desvinculación de ambos repartos de sonidos

a)niso/tonoi (I 4 y 7) se basa en que el uso de los términos en I 4 es el correspondien-

te a la tradición anterior y aún no han sido reconvertidos por Ptolomeo para su pro-

pia ordenación; por tanto, no se pueden disponer en el mismo esquema. La clasifi-

cación, pues, para I 7 sería la expuesta en el cuadro siguiente, no debiendo ser sor-

prendente que Ptolomeo no se ocupe de los e)kmelei=j, pues son inutilizables dentro

del me/loj; no vemos, por ello, sostenible que, como establece Stumpf, haya sonidos

e)mmelei=j y menos e)mmelei=j, todos bajo los dia/fwnoi, pues ello haría entrar interva-

los disonantes sobre la cuarta cuya formulación está ausente en la Harm. Hay una

clara intención de establecer una nueva ordenación e incluso una nueva nomencla-

tura, como se desprende de 17.22-24.

a)niso/tonoi e)mmelei=j

dia/fwnoi su/mfwnoi e)kmelei=j en su sentido antiguo y

general e)mmelei=j

en su sentido nuevo y

restringido

e)mmelei=j en grado rebajado

o(mo/fwnoi en su

sentido nuevo y

restringido

su/mfwnoi en su sen-tido nuevo y restringi-

do

Articulación de I 4 y 7 según Stumpf, op.cit. p.64

a)niso/tonoi Doctrina tradicional (I 4; cf. 12.13

fasi/n) Nueva clasificación de Ptolomeo (I 7)

Diferenciación entre sonidos e)mmelei=j y e)kmelei=j

Diferenciación entre sonidos su/mfwnoi y dia/fwnoi

o(mo/fwnoi su/mfwnoi e)mmelei=j

Nuestra propuesta

Porfirio define los intervalos recurriendo al texto del propio Ptolomeo en

12.11-15, donde se encuentran las definiciones de e)mmele/j-e)kmele/j, y su/mfwnoj-

dia/fwnoj, que después van a ser modificadas. Así, en 113.13 ss., define los interva-

los homófonos como aquéllos capaces de e(no\j poiei=n tai=j a)koai=j th\n a)nti/lhyin,

según Ptol. Harm. 17.24, oi( kata\ th\n su/myausin e(no\j a)nti/lhyin e)mpoiou=ntej tai=j

a)koai=j (cf. 15.24, kata\ th\n du/namin e(no\j); los consonantes, los que o(moi/an au)tw=n

ai)/sJhsin a)perga/zesJai, según 12.14-15, o(/soi th\n o(moi/an a)nti/lhyin e)mpoiou=si

tai=j a)koai=j (la definición general, como se vio, de “consonancia”); y los intervalos

402

e)mmelei=j, que dividen el intervalo sesquitercio, son definidos por Porfirio con las

palabras que Ptolomeo emplea para referirse a los sonidos “melódicos” en general,

“utilizables en el me/loj”, común a la tratadística, de 12.12, eu)/foroi pro\j a)koh/n

(pro\j a)nti/lhyin en Porfirio). Cada uno queda englobado en el anterior (en el senti-

do de que cada uno está compuesto por los demás), pero no al revés (Porph. in

Harm. 113.19-21).

136 En los tratados musicales griegos, la o(mofwni/a es el unísono, mientras

que para la octava se reserva el término a)ntifwni/a. Como “unísono” aparece en

Ps.Arist. Pro. XIX 39a (100.3), opuesta a la “correspondencia” de la octava,

a)nti/fwnoj (Dia\ ti/ h(/dio/n e)sti to\ a)nti/fwnon tou= o(mofw/nou;); igualmente para Arísti-

des Quintiliano (10.1 ss.) tiene también el sentido de “unísono”, oi(/tinej du/namin

me\n a)lloi/an fwnh=j, ta/sin de\ i)/shn e)pe/xousin, es decir, notas con funciones diferen-

tes pero de igual altura, como parípate del tetracordio medio diatónica y lícano del

tetracordio medio enarmónica (cf. GMW, p.409, n.59); Porfirio (in Harm. 113.29,

114.9 ss.) afirma que según los antiguos, la o(mofwni/a era entendida como i)sotoni/a.

Referido a la octava, en Pro. XIX 14 el autor percibe la octava como algo cercano a

lo que es el unísono: dia\ ti/ lanJa/nei to\ dia\ pasw=n kai\ dokei= o(mo/fwnon eiÅnai;.

Ambos términos, o(mofwni/a y a)ntifwni/a, están muy cerca (hay un estudio más deta-

llado de las características de la a)ntifwni/a en Pro. XIX 13), pero se distinguen: en

Pro. XIX 39a se establece la diferencia entre ambos términos: la homofonía es sim-

ple, y la octava es la más bella consonancia: sumfwni/a de\ pa=sa h(di/wn a(plou=

fJo/ggou - kai\ tou/twn h( dia\ pasw=n h(di/sth: to\ o(mo/fwnon de\ a(plou=n e)/xei fJo/ggon.

Así mismo más adelante, sin la noción dinámica de Arístides Quintiliano, se

leen definiciones similares en Baquio (Harm. 305.10) y Gaudencio (Harm. 337.5;

cf. Nicom. Harm. 259.12 y Exc. 275.11). Por su parte, Trasilo (ap. Theo Sm. 48.17

ss.) cuenta como intervalos consonantes, en primer lugar, ta\ kat’ a)nti/fwnon, oiÂo/n

e)sti to\ dia\ pasw=n kai\ to\ di\j dia\ pasw=n; también los que llama para/fwnoi, los de

quinta y cuarta.

Ptolomeo, por su parte, expresa la idea de “unísono” con el término

i)so/tonoj (Harm. 11.15; cf. Porph. in Harm. 113.29-33); por ello, el término y el

significado de o(mofwni/a es reubicado entre los sonidos a)niso/tonoi (Harm. 18.4-5).

403

Se trata del primero de los tres tipos de intervalos (aunque Ptolomeo habla de “no-

tas”, fJo/ggoi). El término o(mo/fwnoj es equivalente al uso de a)nti/fwnon visto en los

Problemata y en Trasilo, y corresponde a la octava e intervalos múltiples como

doble octava y sucesivos (al igual que Trasilo en este aspecto); según Gevaert

(op.cit., vol. I, p.100), también el unísono de razón 1:1, en tanto que o(mo/fwnon tenía

esta acepción en Pro. XIX 39a; pero según lo dicho anteriormente respecto a los

sonidos i)so/tonoi, el término o(mo/fwnoj cae dentro de los a)nisoto/nouj kai\ diwris-

me/nouj, por lo que la razón 1:1 está fuera de lugar. Estamos entonces ante un uso de

o(mo/fwnoj original en Ptolomeo como intervalo de octava; para ésta, hemos visto, se

utilizaba el término a)ntifwni/a, o bien sumfwni/a (Aristox. Harm. 25.18-26.2); antes

de la presente clasificación, Ptolomeo también llamó sumfwni/a a la octava (13.14),

pero allí sumfwni/a contenía la acepción tradicional de la tratadística, como vimos

al final de I 4. La elección del término por parte de Ptolomeo no es desafortunada,

si revisamos su doctrina armónica general. El compuesto o(/moioj y fwnh/ remite a la

“similitud” del sonido, lo que quiere decir que una nota es igual o equivalente a la

nota que está a octava de ella. Por tanto, en el término se mantiene la ley que dice

que cualquier intervalo consonante sumado a una octava también es consonante (cf.

Harm. 15.11 ss.), pues las dos notas que contienen la octava son funcionalmente

idénticas; y aún más, en la teoría de los to/noi del libro II, cualquier to/noj a octava

del primero de ellos será equivalente a éste, pues si las dos notas a octava son

equivalentes, éstas harán la misma forma de octava (es decir, habrá una repetición

del mismo orden interválico).

Estos intervalos se distinguen del resto a)reth=j e(/neka (17.21), “por su vir-

tud”, conforme a una larga tradición anterior que privilegiaba la octava: cf. Ps.Arist.

Pro. XIX 16, 35 y 39 sobre la belleza y virtudes de la a)ntifwni/a respecto a los

demás intervalos, consonantes y unísono. Esta virtud en el intervalo representa para

Ptolomeo, desde el punto de vista del lo/goj, la máxima cercanía a la i )sotoni/a en

los términos de la relación (cf. Ptol. Harm. 13.15-16), y desde la a)koh/, por su parte,

aquello que caracteriza en la tratadística griega a la sumfwni/a: la “mezcla”, kra=sij

o e(no/thj (según Porph. in Harm. 115.19-21, el lo/goj testifica que lo más cercano a

la i)so/thj es la razón doble, y la ai)/sJhsij, que la octava es lo más cercano a la

i)sotoni/a). Por eso dice (Harm. 18.13-14) que la octava es e(nwtikw/taton kai\

404

ka/lliston (cf. Gaud. Harm. 337.12, e(no/thj). Efectivamente, para los intervalos

o(mo/fwnoi Ptolomeo da la versión normal de la consonancia en su acepción tradicio-

nal como percepción de “mezcla”, oi( kata\ th\n su/myausin e(no\j a)nti/lhyin

e)mpoiou=ntej tai=j a)koai=j (17.24-25), donde ese e((no/j es la kra=sij habitual. Así

pues, o(mo/fwnoi son los intervalos de octava y todos aquellos de razón múltiple, se-

gún 19.13-14, o(/ te prw=toj pollapla/sioj kai\ oi( u(p’ au)tou= metrou/menoi; por ejem-

plo, doble octava (4:1), y sucesivos. Este pasaje continúa al de 13.14 ss., donde la

octava es la consonancia “más hermosa” (cf. infra 67.11, h( prw/th kai\ kuriwta/th)

como hecho perceptivo y por su cercanía a la igualdad de tono, lo que es una pro-

piedad de la razón doble; no olvidemos que esto también vale por la de doble octa-

va, pues una octava funciona como el número 10 (cf. supra I 6).

137 El griego dice exactamente “las notas que están entre sí a intervalo de

octava”.

138 Cf. el comentario a 12.13-15. De los su/mfwnoi, Ptolomeo establece dos

grupos: los primeros, la cuarta y la quinta por dividir de la forma más igual a la

octava, y los segundos, los intervalos compuestos de aquéllos dos más la octava: en

15.23-26 Ptolomeo estableció que la quinta y cuarta por sí solas tenían la misma

impresión para los oídos que la quinta más octava y la cuarta más octava respecti-

vamente. Si esto es así en el plano perceptivo, estos intervalos, en la clasificación

racional, deben estar en el mismo grupo.

En el caso de la cuarta y la quinta, vienen a continuación de la octava no por

la relación propia que entre los términos de estos lo/goi e)pimo/rioi se establezcan

(como en el caso de la octava), sino por ser la media geométrica de la doble 2:1,

como ha señalado Barker (BPH, p.77), en la recomendación o necesidad de que las

razones sean superparticulares (15.8). La relación entre los lo/goi matemáticos es

geométrica y no aritmética, por lo que es imposible dividir en dos partes iguales la

razón doble, y por ello uno de los intervalos resultantes será mayor. Igualmente,

según la gradación que el mismo Ptolomeo establece en 19.11, quinta y cuarta irían

justo después de la octava en cuanto a su carácter melódico, en virtud de su tipo de

u(peroxh/, pero él prefiere vincularlas a la octava como el producto de la división en

405

partes casi iguales de ésta, quizá, como sugiere Barker (op.cit., p.80), por estar estas

dos consonancias simples demasiado asociadas a la primera división de la octava.

139 Cf. el comentario a 12.11-15. Los intervalos por debajo de la cuarta

nunca fueron considerados consonantes, pues el primer y sin duda central intervalo

en la teoría musical griega es la cuarta. Ya antes dijo Aristóxeno (Harm. 25.13-15)

que eran “disonantes”: mel%dei=tai me\n ga\r tou= dia\ tessa/rwn e)la/ttw diasth/mata

polla/, dia/fwna me/ntoi pa/nta. El principal de estos intervalos es 9:8, pero también

hay que incluir, como se ve en las divisiones de los géneros melódicos en el tratado,

otros intervalos como 10:9, 11:10, etc.

140 Es el mismo “principio” que en 13.1.

141 Cf. supra 13.1 ss.

142 Éste es uno de los principios fundamentales o hipótesis que caracterizan

el modelo matemático ptolemaico de los intervalos o lo/goi (cf. BPH, p.83). Ptolo-

meo expresa esta “simplicidad de comparación” con las expresiones di/xa e)/ggista

(19.9) y pari/souj (37.20); esto es sinónimo de “más melódico” (cf.15.8). Atañe a la

relación entre los dos términos del intervalo, y tiene importantes consecuencias en

la gradación de los intervalos desde los homófonos a los melódicos; igualmente,

está relacionado con la simplicidad de la relación establecida entre tales términos.

Es éste un principio que el mismo Ptolomeo entiende deriva del modelo pitagórico

(en 18.6-8), pues la diferencia de tensión se entiende como desigualdad en el núme-

ro asignado. Así, la relación 1:1 sería la total igualdad o i)sotoni/a, y en términos

matemáticos es la relación doble, 2:1, la que más cerca está por la calidad del exce-

so entre ambos términos (la u(peroxh/), según 13.8 ss. La “casi igualdad” entonces

aparece en su mayor grado en la octava, como ya quedó claro (13.14-16), y de ahí

que perceptivamente sea el intervalo más hermoso (cf. 13.15, a)/ristoj): su exceso o

u(peroxh/ es la más simple, como es lo característico de la razón doble (13.10). La

cercanía a la igualdad no es la diferencia mínima entre los dos términos de una ra-

zón, sino el especial tipo de exceso entre ambos, de acuerdo con las precisiones de

13.8 ss. (cf. BPH, pp.86-87).

406

143 Abunda en la idea ya expresada supra en 13.14 (h( dia\ pasw=n e)sti ka-

lli/sth). En este caso el superlativo es e(nwtikw/taton, que se refiere directamente al

carácter del intervalo: Ptolomeo dijo ya en 12.13-15 que los intervalos su/mfwnoi

(en su sentido general) eran aquéllos que producían “una percepción uniforme a los

oídos”, o(/soi th\n o(moi/an a)nti/lhyin e)mpoiou=si tai=j a)koai=j, y justo en 17.24-25 que

los homófonos son aquéllos que “dan la percepción de una sola cosa para los oídos,

oi( kata\ th\n su/myausin e(no\j a)nti/lhyin e)mpoiou=ntej tai=j a)koai=j. La octava como

intervalo perceptivo es aquél cuyas dos notas componentes dan la impresión de la

óptima mezcla, la e(nw/thj. La razón, entonces, como krith/rion, debe elaborar la

u(po/Jesij adecuada que ofrezca un correlato racional a esto y lo sitúe, en la mate-

mática, en el grado de excelencia que tiene en la ai)/sJhsij. Para ello Ptolomeo se

sirve explícitamente de la a)rxh/ de la que partían los pitagóricos, la correlación en-

tre números y notas, números desiguales a notas desiguales y viceversa; quedará

por estudiar entonces qué tipo de relación se establece entre ambos números, sin

perder de vista que la ai)/sJhsij entiende como lo más placentero (y de ahí lo mejor

estéticamente) la fusión total o mezcla perfecta. Si esto es así, en el terreno racional

el desideratum en la relación entre dos números es la igualdad, la i)so/thj entre am-

bos, 1:1. Ahora bien, es necesario la desigualdad –aunque sea mínima– para que

haya un intervalo, la u(po/Jhsij inicial y la que inicia el proceso de gradación entre

homófonos, consonantes y melódicos es esa “cercanía a la igualdad”, 18.11 tv= pro\j

ta\j i)so/thtaj e)ggu/thti que ya adelantó en 13.13-16. Cuando se quiere explicitar

qué significa esa “cercanía a la igualdad” es cuando cobran sentido las explicacio-

nes de Ptolomeo a las razones superparticulares y múltiples en 13.9-10. La “mínima

diferencia” entre ambos términos de la razón no consiste tan sólo en que disten una

unidad, sino en la relación entre término y término, como ha puesto de relieve Bar-

ker (op.cit., p.80): de ahí la gradación, basada en un único criterio (una u(po/Jhsij)

inicial (de otra forma 9:8 sería tan consonante como 3:2). En el caso de la razón

asociada a la octava, el mejor es un múltiplo del menor, siendo en el caso concreto

de la doble 2:1 el factor mínimo. La “cercanía a la igualdad” está, consecuentemen-

te, más presente en un intervalo de octava que de segunda: los oídos lo perciben así

y Ptolomeo le intenta buscar un modelo racional.

407

144 Efectivamente, Ptolomeo no ha establecido como hipótesis nada de tal

clase, pero dijo antes (15.8) que lo melódico se hallaba en lo superparticular. Por

eso hay que buscar la razón de la coherencia de tal intervalo en sus constituyentes,

toda vez que Ptolomeo está aquí precisamente insistiendo en el carácter compuesto

de la octava más cuarta ([2:1]·[4:3]). Ya Gaffurio, en el Renacimiento, se sorpren-

día de que Ptolomeo aceptase 8:3 y no otros intervalos de la afinación justa (vid.C.

V. Palisca, Humanism in Italian Renaissance Musical Thought, Yale University

Press, 1985, p.222, n.104). Barker (op.cit., p.80) ha elaborado una elegante

interpretación sobre la base de que, a pesar de que parece que Ptolomeo pasa

rápidamente sobre este espinoso asunto, es necesario buscar la explicación sobre los

constituyentes de 8:3 (hay que advertir que el alejandrino siempre ha considerado

este intervalo como compuesto e inserto en una gradación de intervalos, donde su

excelencia no se establece por sí mismos, sino por su relación mutua y sus

u(peroxai/): en 19.9-10 establece la gradación melódica con el criterio de que el

intervalo será “más melódico” (e)mmele/steron) cuanto más simple sea la diferencia

entre los términos de la razón: en 2:1 la diferencia o u(peroxh/ es igual al término

menor y en 4:3 es un tercio; dice Ptolomeo (19.11-13): “esto [sc. una parte simple

mayor que lo que es excedido] está más próximo a la igualdad (como la mitad lo es

de un todo), después el tercio y a continuación cada uno de los demás”. La

fundamentación general de este aserto la adelantó Ptolomeo en 5.12-6.2.

La suma de las diferencias de los intervalos constituyentes de 8:3 se enten-

dería, según Barker, como una operación sencilla y tendente a la “cercanía a la

igualdad” (cf. supra 5.7-6.4), pues teniendo presente 19.12-13, según Barker, de 3 a

8 sólo hay que doblar el primer número y después añadirle un tercio de él; no ten-

dríamos entonces más que un par de comparaciones (parabolai/, 5.12-15).

Recuérdese que Boecio (Mus. II 27; cf. V 7) menciona que los pitagóricos

no aceptaban 8:3 pues, establecidos los términos 8, 6, 3 (8:6 es una cuarta y 6:3 una

octava), el 8 contiene dos veces 3 más sus dos tercios (2 = 2/3 de 3); además, afir-

ma que entre 2:1 y 3:1 no cabe razón múltiple alguna.

145 En matemáticas, este adjetivo posee el significado de “conmensurable”

y es lo opuesto a a)/logoj: cf. Theo Sm., 117.7 ss.; pasa al dominio técnico de la mú-

408

sica en la matemática pitagórica, cf. Aristid. Quint. 11.4-5 (r(hta/-a)/loga). Ya Eliano

(ap. Porph. in Harm.35.31) anticipa el uso de summetri/a como proporción adecua-

da en la mezcla de dos sonidos cuando compara la sumfwni/a con la mezcla propor-

cionada del oi)no/meli (ib. 35.29-32), summetri/a que deviene del hecho de mh\

e)pikratei=n ton\ oiÅnon mh/te to\ me/li. Esta proporción adecuada en el ensamblaje de

dos sonidos tiene una consecuencia según Eliano, e(/n ti e(/teron eiÅdoj Jfo/ggou

a)potelei=n par’ e)kei/nouj [sc. tou\j fJo/ggouj sugkrousJe/ntaj] (ib. 35.28). Referido

ahora a la expresión matemática de un intervalo, el adjetivo su/mmetroj (referido a

u(peroxh/ o lo/goj) significa en la obra de Ptolomeo la forma superparticular de un

intervalo, (n+1):n. Los excedentes “conmensurables” son aquéllos donde la dife-

rencia es una parte simple de cada término, en la forma superparticular de un inter-

valo, (n+1):n. Ésta es la “virtud”, a)reth=j e(/neka (Ptol. Harm. 17.21) y kat’ a)reth/n

(ib. 19.6-7). De aquí que no se acepte por Ptolomeo el dítono pitagórico 81:64 y sí

en cambio la tercera 5:4 como e)mmele/j ya que esta conmensurabilidad es más fácil

de aprehender por la percepción. Este tipo de razón es la que expresa mejor lo me-

lódico: cf. Harm.15.8, de/on de\ e)n lo/goij e)pimori/oij eiÅnai ta\ e)mmelh=. En 13.8-9 se

nos dice que las razones múltiples y superparticulares son mejores que las de otro

tipo por la “simplicidad de la comparación”, kata\ th\n a(plo/thta th=j parabolh=j (la

comparación de sus dos o(/roi); al participar del carácter reduccionista respecto al

tratamiento más complejo de Teón o Nicómaco, Ptolomeo de alguna manera sigue

a la tradición pitagórica de Sectio Canonis. Como ya hemos visto, la causa de las

preferencias se explica a través de la a(plo/thj th=j parabolh=j (13.9) y en corres-

pondencia con el orden estético de las consonancias, empezando por la octava (en-

tre los pitagóricos, una a(rmoni/a, cf. Philol. DK 44B6). Este tipo de ordenación es

apriorística como también lo era en Sectio Canonis para desdeñar la superpartiente

(149.14-16, tou/twn de\ oi( me\n pollapla/sioi kai\ e)pimo/rioi e(ni\ o)no/mati le/gontai

pro\j a)llh/louj). Hay significativas proximidades con pasajes peripatéticos: cf.

Arist. Sens. 439b31-440a3, ta\ me\n ga\r e)n a)riJmoi=j eu)logi/stoij xrw/mata, ka-

Ja/per e)kei= ta\j sumfwni/aj, ta\ h(/dista tw=n xrwma/twn eiÅnai dokou=nta...ta\ de\ mh\ e)n

a)riJmoi=j taÅlla xrw/mata, mezclando bien proporcionado con no en números. Se

puede comparar la expresión de Adrasto ap. Theo Sm. 50.19-21, wÂn ou) me\n a)/lloi

mo/non h(rmosme/non [aquí se encuentran las razones e)pimerei=j] oi( de\ kata\ tou\j

409

prw/touj kai\ gnwrimwta/touj kai\ kuriwta/touj lo/gouj pollaplasi/ouj te kai\

e)pimori/ouj h)/dh kai\ su/mfwnoi. Adrasto actúa como Ptolomeo, con la asignación de

los intervalos consonantes a las razones superparticulares y múltiples, aunque admi-

te que lo e)mmele/j también se exprese en razonones de “número a número”.

146 En esta precisión está implícito que los intervalos melódicos han de ser

superparticulares, de acuerdo también con 15.8. Barker (op.cit., p.79) señala que, si

bien Ptolomeo recurre de nuevo aquí al criterio de “mayor cercanía a la igualdad”

en la división (19.9-10) que hemos visto ya en este capítulo, no está aquí, sin em-

bargo, referido como en el caso de la quinta y cuarta (18.19), sino que sirve para la

gradación de lo “más melódico” y lo “menos melódico”: así, se establece que si la

razón tiene términos menores, el intervalo será más melódico, pues la diferencia

entre ambos es mayor, y en la comparación –parabolh/– es más próximo a la igual-

dad (como dice a continuación) la parte simple mayor –de acuerdo con 4.10-5.4–,

pues es la relación entre dos números lo que el oído capta, y cuanto menor es la

parte simple, más lejana está de la simplicidad la relación o comparación: y así será

5:4 (exceso: cuarto) más consonante que 6:5 (exceso: un quinto). De modo que ca-

da intervalo no es más consonante o menos consonante –en general– por sí mismo,

sino en virtud de la relación con los demás. La diferencia entre los lo/goi se ve sólo

en su relación, en el pro/j ti (cf. 12.9), reflejándose así en el modelo racional-

matemático la gradación existente en el ámbito de la percepción (vid. BPH, p.81).

Barker pone esta característica junto a la de la cercanía a la e)ggu/thj; ya fue previs-

ta, además, por Ptolomeo en 13.8-9. Ambos elementos, cercanía a la igualdad y

simplicidad, están estrechamente conectados, y uno determina al otro.

147 Cf. N.Tr. 115.

148 Un término éste (gr. e)na/rgeia) que usa también nuestro autor con un

sentido similar en Iudic. 17.19, ta\ me\n ouÅn a)polelume/na kai\ prw=ta krith/ria

xwri\j lo/gou tino\j au)to/Jen e)sti\ katalhptika\ kai\ mh\ deo/mena kata/ ge th\n

e)na/rgeian au)th\n e(te/raj a)rxh=j. Cf. Boll, op.cit., p.99.

149 Cf. posteriormente la misma idea en 75.16-17, o(po/te mhde\ e)pi\ tw=n

au)lw=n kai\ tw=n suri/ggwn to\ toiou=ton a)kribou=tai. De todas formas, Ptolemaide

410

(Porph. in Harm.23.1-4; cf. Plut. Quaest. conviv. 657B-E, oi( peri\ lu/ran kanonikoi/)

señalaba que los kanonikoi/ también asociaban el estudio de lo/goi y Jewrh/mata a

estos instrumentos: kanonikh/n ge/ toi kalou=si kai\ th\n e)pi\ suri/ggwn kai\ au)lw=n

kai\ tw=n a)/llwn pragmatei/an, kai/toi tou/twn mh\ kanonikw=n o)/ntwn, a)ll’ e)pei\ au)toi=j

oi( lo/goi kai\ ta\ Jewrh/mata e)farmo/zousi, kanonika\ kai\ tau=ta prosagoreu/ousi.

Igualmente aquí aparece paradei/ceij, en 75.18 e)ndei/ceij.

El capítulo I 8 representa la confirmación experimental de la propuesta pto-

lemaica sobre el canon, de conformidad con la doctrina expuesta en I 1 sobre los

criterios en música. Ptolomeo ejemplificó en I 3 con aulós, cuerdas y balanzas su

doctrina de que sonidos más agudos se producen en extensiones menores, y vice-

versa. Mientras que allí hay una ejemplificación acústica general, en I, 8 se trata de

hallar exactamente (e)pi\ to\ a)kribe/steron) las razones aceptadas desde los capítulos

anteriores; pero ahora entran en juego, para Ptolomeo, factores que contribuyen a la

inexactitud y a resultados poco fiables. No hay contradicción entre I 3 y I 8 si se

piensa que en cada uno de ellos los instrumentos citados juegan un papel diferente,

ante objetivos distintos (se trata de la comprobación de la o(mologi/a tou= lo/gou pro\j

th\n ai)/sJhsin de 75.3). Pero sí hay que notar que en I 8 encontramos un pensamien-

to sobre los instrumentos que parece nuevo. Toda la escuela pitagórica cuenta en su

tradición el haber descubierto las razones matemáticas de los intervalos por medio

de experimentos, en muchas ocasiones atribuidos legendariamente a Pitágoras. Es

en los experimentos con pesos suspendidos o con discos broncíneos donde según la

tradición fueron por primera vez establecidos los lo/goi de las consonancias (expe-

rimentos de dudosa fiabilidad, pues en el último caso las razones se hallan mediante

las raíces cuadradas de los pesos); y no en la exactitud del canon, sin mención algu-

na de las deformidades o inexactitudes de su confección. Más bien reside en la dis-

cusión posterior sobre los criterios de conocimiento en música el hecho de rechazar

o no la investigación acústica en tales instrumentos, procedentes de la tradición

legendaria.

Hay que incidir, de todas maneras, en que la recomendación del uso del ca-

non, muy clara en algunas fuentes y atribuida al mismo Pitágoras, no ha implicado

el rechazo de la organología tradicional; a este respecto, mencionemos por ejemplo

a Adrasto (citado por Theo Sm. 57), quien, además de referirse al eu(reth/j, cita (ib.,

411

59.7 ss.) a Laso de Hermíone y a Hípaso de Metaponto, que habrían establecido la

velocidad del movimiento a través de vasos (experimento que también hallamos en

fuentes peripatéticas, como Ps.Arist. Pro. XIX 50; el mejor testimonio de esta es-

cuela sobre las razones interválicas y los instrumentos es Pro. XIX 23); éste Hípaso

es a quien se atribuye experimentos con discos de bronce de diferente grosor (cf.

schol. Plat. Phd. 108d2). Después de citar estos instrumentos, también Adrasto (ib.

57.11) pasa al canon para la demostración (dhlw=sai), aunque no hace mención de

los problemas que presenten los demás instrumentos. Pero sobre todo mencionemos

un pasaje interesante, la cita que hace Porfirio (in Harm. 22.22-23.2) de la obra de

Ptolemaide PuJagorikh\ th=j mousikh=j stoixei/wsij. En ella se dice que la pragma-

tei/a kanonikh/ es propia de los pitagóricos, pero no llamada así por el kanw/n; al

contrario, llaman kanonikh/n también a th\n e)pi\ suri/ggwn kai\ au)lw=n kai\ tw=n a)/llwn

pragmatei/an (ib. 23.1-2), aunque éstos no sean “canónicos”. Esta salvedad está en

el camino de Ptolomeo. Hay, por tanto, un reconocimiento de que tales instrumen-

tos no aportan, como podría esperarse, to\ o)rJo\n tou= lo/gou (22.28), pero no es me-

nos cierto que son empleados por la escuela (el pasaje platónico de Phlb. 56c 4-6

podría ser un antecedente de esta “inexactitud” en la música: Qw=men toi/nun dixv=

ta\j legome/naj te/xnaj, ta\j me\n mousikv= sunepome/naj e)n toi=j e)/rgoij e)la/ttonoj

a)kribei/aj metisxou/saj). Como consecuencia de todo esto, está el hecho de que

Ptolomeo se cuida mucho de procurar que tales irregularidades (a)nwmali/an) no

afecten al canon (20.21-25) eliminando toda posibilidad de azar.

Panecio (un autor estoico del siglo I a.C.cuya obra Peri\ tw=n kata\ gewme-

tri/an kai\ mousikh\n lo/gwn kai\ diasthma/twn es citada por Porfirio [op.cit., 66.10

ss.]), es un caso cercano a Ptolomeo al advertir de que, dadas las exactas condicio-

nes de relación cuantitativa que subyacen a las consonancias, es difícil aceptar que

la vista o el tacto puedan garantizar –en tanto que vías de la ai)/sJhsij– la exactitud

de los pesos: ib., 66.7 ss., o(/ti ou)/te th=j o)/yewj i)sxuou/shj kri/nein ta\ su/mmetra tw=n

megeJw=n ... ou)/te th=j a(fh=j i)sxuou/shj kri/nein th\n kata\ ta\ ba/rh su/gkrisin. Por

eso, según él, el oído sólo puede captar las consonancias mediante el canon (66.12);

de otra manera se está lejos de la verdad. De ahí su recomendación , similar a la de

Ptolomeo (Harm. 20.19 ss.) de desechar tales instrumentos a favor del canon

(a)/topon de\ dokei= th\n a)koh\n polu\ a)sJeneste/ran u(pa/rxousan th=j o)/yewj xwri\j

412

me/trou tinoj kai\ kano/noj kri/nein ta\ su/mfwna tw=n diasthma/twn). Incluso Aris-

tóxeno había dejado una puerta abierta para el uso de un instrumento más fiable:

afirmaba que como mínimo la ciencia harmónica no puede ser fundada sobre los

aulós, lo que no implica que todos los instrumentos sean rechazados: Harm. 54.7-9

ou)/t’ ei)/ tij %)h/Jh dei=n ei)j o)/rgano/n ti poiei=sJai th\n a)nagwgh/n, ei)j tou\j au)lou\j hÅn

poihte/on.

Levin (op.cit., p.221), sin embargo ha hecho notar que Ptolomeo es un caso

aislado en el rechazo de la experimentación pitagórica con estos instrumentos. Los

argumentos de Ptolomeo son los siguientes: en primer lugar, en el caso de los aulós

y siringas, la indeterminación producida por la falta de perfección en las magnitu-

des, así como por la fuerza del soplido (cf. Ptol. Harm. 75.16-18 donde en estos

instrumentos se realizan los intervalos, pero no se pueden comprobar). En segundo

lugar, el caso de los pesos suspendidos, al margen de las razones hallables en las

raíces de los pesos, la imposibilidad de obtener certeza en la igualdad de condicio-

nes para las cuerdas, pues la tensión y el grosor definen la tensión, y el peso sus-

pendido puede aumentar la longitud de la cuerda (esto no lo tuvo en cuenta Nicó-

maco [Harm. 247.4-12] en su informe sobre los pesos colgantes de cuatro cuerdas,

que habría suspendido el propio Pitágoras de una barra transversal; vid. A. Meriani,

“Un ‘esperimento’ di Pitagora (Nicom. Harm.ench. 6, pp.245-248 Jan)”, en B. Gen-

tili-F. Perusino [eds.], Mousike. Metrica, ritmica e musica greca in memoria di

Giovanni Comotti. Pisa-Roma 1995, pp.77-92, esp. pp.91-92). Y por último, con las

esferas, discos y platos, la imposibilidad de conseguir la uniformidad en sus

condiciones.

En contraste, el canon proporciona medios para prevenir irregularidades, así

como la posibilidad de localizar con exactitud los límites de las pulsaciones

(oi)kei/aj te kai\ dh/laj e)/xv ta\j a)rxa/j, cf. Porph. in Harm.122.4-5). Sólo encon-

tramos, antes de Ptolomeo, un argumento semejante en Panecio (citado por Porph.,

op.cit., .66.10, vid. infra).

150 En Porph. in Harm. 119.13-29 somos informados de cómo algunos

pitagóricos trabajaron en el establecimiento de los lo/goi de las consonancias con

los aulós; incluso Nicómaco (Harm.248.15-17) dice que los resultados que

Pitágoras halló en el experimento con pesos suspendidos los trasladó con igual

413

halló en el experimento con pesos suspendidos los trasladó con igual éxito a otros

instrumentos como aulós y siringas. En esto también coincide el informe de Ptole-

maide visto en la nota anterior; igualmente los pasajes del probable contemporáneo

de Ptolomeo, Eliano (citado por Porph. op.cit. 33.31-34.28), Ps.Arist. Pro. XIX 23,

19.50, Plut. An. procr. 1021a, etc. Las quejas ptolemaicas sobre el auló ya vienen

de antiguo: Aristóxeno (Harm. 52.15-20), en su rechazo de las disciplinas concer-

nientes al me/loj que caen fuera de la a(rmonikh/ (ib. 49.1-5, los te/lh th=j a(rmonikh=j),

ya afirmó que el hecho de la respiración era algo decisivo en contra de la exactitud:

kai\ ga\r (oi( au)lhtai/) a)fairou=ntej kai\ paraba/llontej kai\ t%= pneu/mati

e)pitei/nontej kai\ a)nie/ntej kai\ tai=j a)/llaij ai)ti/aij e)nergou=ntej. No hay que basar

el estudio del me/loj en este instrumento: sxedo\n dh\ fanero\n o(/ti di’ ou)demi/an

ai)ti/an ei)j tou\j au)lou\j a)nakte/on to\ me/loj, ou)/te ga\r bebaiw/sei th\n tou=

h(rmosme/nou ta/cin to\ ei)rhme/non o)/rganon...e)peidh\ ma/lista plana=tai kai\ kata\ th\n

au)lopoi�an kai\ kata\ th\n xeirougi/an kai\ kata\ th\n i)di/an fu/sin (ib., 54.5-10). Esto

sirve, por deducción, no sólo para el auló, sino también los instrumentos de cuerda

(cf. ib. 53.32). Para Aristóxeno, es la percepción (ai)/sJhsij) quien afina los instru-

mentos, no ellos a sí mismos (53.16-18). El tarentino y Ptolomeo tienen, no obstan-

te, objetivos distintos que alcanzar: mientras que para Aristóxeno lo cambiante en

el instrumento imposibilita establecer el “orden de la afinación” (th\n tou=

h(rmosme/nou ta/cin), para Ptolomeo su rechazo a la organología tradicional, aunque

nueva desde un punto de vista pitagórico, está de acuerdo con su doctrina de los

krith/ria establecida en I 1; allí quedó claro que la percepción necesita de un ins-

trumento que le ayude a distinguir con exactitud lo que aquélla no distingue por su

pequeñez. Precisamente de Ptolomeo (Harm. 6.11-19) se puede inferir la adecuada

utilización de la organología como ejemplificación de la teoría acústica en I 3; pero

la “preservación de los fundamentos racionales” (6.14) sólo se puede hacer super-

ando estos instrumentos mediante la exactitud del canon. Sin duda el rechazo de

Ptolomeo se pudo apoyar además en un examen detenido y cercano de los instru-

mentos en cuestión, en el que tendría la oportunidad de observar que la distribución

de agujeros no era uniforme y que los límites (pe/rata; 10.14), entendidos como la

embocadura son difíciles de definir (cf. GMW, p.291, n.73). Sería entonces la cons-

tatación de la imperfección y variedad notorias en esos instrumentos lo que para

414

Ptolomeo sería prueba de la virtual incompetencia en las ejecuciones, llevándole a

desconfiar de la tradición establecida vista en los textos aducidos y que al parecer

era retomada una y otra vez sin certidumbre material, y situándose así en una posi-

ción singular en la tratadística, como señala Levin (op.cit., p.221). 151 Efectivamente, los aulós conservados no responden a un patrón común.

El número de truph/mata (agujeros) varía significativamente, así como la longitud

del tubo (bo/mbuc) y la presencia de elementos externos añadidos al auló (cf. Arc.

(Hrwdianou= 213.12-16; vid. K. Schlesinger, The Greek Aulós, London 1939, p.74 y

Mathiesen, op.cit., pp.191-192); pero el desdén de Ptolomeo por los aulós, concre-

tamente, no se debería al diferente número de truph/mata (pues la lira también vio

modificado el número de sus cuerdas) sino a las diferentes distancias entre ellos, lo

que repercutía en los intervalos. De otra manera se refiere a esto Platón en un pasaje

del Filebo (56a):

En primer lugar, pues, está lleno de eso el arte de tocar la flauta, porque no ajusta

sus armonías por medida, sino por práctica de la conjetura, y toda modalidad de

música que busque la medida de la cuerda pulsada por conjetura, tiene en conse-

cuencia un importante ingrediente de inseguridad y escasa seguridad.

Aquí, medida (me/tron) significa la altura tonal de cada nota respecto a las

que le rodean, y cuerda equivale a nota, según A. Barker, “Text and Sense at Phi-

lebus 56a”, CQ 37 (1987), p.106; según este intérprete, Platón hace referencia al

momento de la ejecución del auleta, cuya melodía depende de factores más azaro-

sos que en el caso de la citarística. Cf. igualmente Aristox. Harm. 52.9-21; no obs-

tante, West (op.cit., p.97) sospecha un diseño consciente de distancias entre los

agujeros: cf. Ps.Arist.Pro. XIX 23.

Otros factores asociados a las variaciones de las notas tienen que ver con la

habilidad del auleta en el manejo de la lengüeta (pues podía modificar la altura to-

nal en función del punto en que la presionase con los labios) o la obturación de los

truph/mata. Todo esto tiene que ver más con la destreza del intérprete que con el

establecimiento seguro de leyes acústicas y armónicas, que fuesen siempre obser-

vables y controlables.

415

152 Gr. pneu=ma, frente a a)h/r. Como término técnico, pneu=ma es el aire en

movimiento productor de sonido, mientras que a)h/r es el aire estático: vid .J. G.

Landels, Music in Ancient Greece and Rome, New York 1999, p.140; cf. Ps.Arist.

Aud. 800a7-8, o(/tan to\n e)fech=j a)e/ra plh/cv to\ pneu=ma to\ e)mpi=pton au=t%=, o( a)h\r

h)/dh fe/retai bi/#.

153 Fuentes sobre la experimentación con pesos suspendidos de cuerdas son

Nicómaco (Harm. cap.6) y Arístides Quintiliano (III 1). Las razones resultantes de

este tipo de experimentos no son las que arrojaría correctamente un canon, pues en

el caso de los pesos depende de las raíces cuadradas de éstos; sin embargo, Ptolo-

meo no parece haberse percatado de esto, y centra su atención en la deformación de

las cuerdas como producto del peso suspendido. Al margen de esto, Levin (op.cit.,

pp. 222-225) sostiene que el texto ptolemaico aquí es un argumentum ad hominem,

verosímilmente contra Nicómaco, en la constatación de que la refutación material

expuesta por el alejandrino (Porfirio [in Harm. 121.2-10] da la razón en esto a Pto-

lomeo basándose en la escasa calidad de las cuerdas)está referida no a la tradición

musicográfica en general, sino a Nicómaco en particular, pues hay ecos verbales

entre Nicom. Harm. 246.22-247.1 y Ptol. Harm. 20.6-8, al decir de Levin:

Nicom. Harm. 246.22-247.1 Ptol. Harm. 20.6-8

kai\ a)po/ tinoj e(no\j passa/lou dia\ gw/nwn e)mpephgo/toj toi=j toi/xoij, i(/na mh\ ka)k tou/tou diafora/ tij u(pofai/nhtai h)\ o(/lwj u(ponoh=tai passa/lwn i)diazo/ntwn parallagh/ (…) e(ka/sthn e)f’ e(ka/sthj e)ch/rtesen

e)pi/ te tw=n e)captome/nwn tai=j xordai=j barw=n mh\ dias%zome/nwn a)paralla/ktwn a)llh/laij panta/pasi tw=n xordw=n, o(po/te kai\ pro\j au(th\n e(ka/sthn ou(/twj e)/xousan eu(rei=n e)/rgon

Evidentemente se puede pensar que Ptolomeo conocía el texto de Nicómaco

y que puso en práctica el experimento, notando que, antes de mostrar las razones

interválicas, los pesos suspendidos afectaban de manera irregular a las cuerdas, con

lo que el experimento quedaba invalidado; a este respecto Solomon (op.cit., p.25,

n.130) señala que los ataques de Ptolomeo están dirigidos claramente a una escuela

o autor, siempre identificados. Las críticas de Ptolomeo se insertan en su obra, no

obstante, dentro del programa general y responden a motivos metodológicos defini-

dos; los ecos verbales que encuentra Levin pueden indicar entonces un intento real

de Ptolomeo de experimentar more Pythagorico, y una contestación al autor que

416

más detalladamente había expuesto el mecanismo del experimento, en este caso

Nicómaco, sin que el propio Ptolomeo sintiese la necesidad de citar el nombre de

este pitagórico, al no tratarse de una refutación de una teoría principal, sino de un

elemento de la tradición incontestado que a juicio de Ptolomeo se desmontaba con

sólo intentar ponerlo en práctica: las cuerdas, al serles suspendidos pesos diferentes,

varían su longitud, y con ello la tensión; éstos son elementos entonces que cuentan

en las razones interválicas, además de los pesos (Ptol. Harm. 20.13-14), y sería in-

verosímil, según Levin, pensar que Pitágoras pensase en las longitudes adecuadas

de cada cuerda antes del experimento (cf. Ptol. Harm. 20.12). Cabría la posibilidad,

también, de que al depender las razones postuladas de las raíces cuadradas de los

pesos suspendidos –y no de sí mismos–, y por tanto no ser halladas mediante el

experimento, Ptolomeo achacase a las variaciones en las cuerdas tal imposibilidad,

cuando quizá las variaciones, en buenas condiciones de experimentación, fuesen

insignificantes; pues del texto se desprende que Ptolomeo varió las condiciones de

grosor y material de las cuerdas (Levin, op. cit., p.228), y aun así persistía la ano-

malía: como Levin apunta, si sólo quedaba cambiar la proporción de los pesos para

que las razones previamente establecidas tuviesen lugar, el experimento quedaba

entonces invalidado. Ptolomeo habría estado así muy cerca del descubrimiento de la

verdadera relación entre los pesos y la altura tonal, cosa que quedaba para V. Gali-

lei y M. Mersenne (quien, como recuerda Levin, experimentó no con cuerdas de

igual longitud, sino de longitud en proporción a las razones musicales).

154 El verbo e)farmo/zein se empleará en II 11 para la asignación a una cuer-

da del canon de 8 cuerdas de la nota cuya du/namij será mese.

155 Cf. supra 9.1-3, kai\ e)/sti tou= me\n o)cute/rou peripoihtika\ to\ pukno/teron

kai\ to\ lepto/teron, tou= de\ barute/rou to\ mano/teron kai\ to\ paxu/teron. De cualquier

forma, en pesos suspendidos de cuerdas, las razones interválicas resultan de sus

raíces cuadradas.

156 Sobre estos experimentos con discos de bronce sabemos de las pruebas

de Hípaso de Metaponto (cf. Schol. Plat. Phd. 108d4 y Theo Sm. 59.4-21); cf. tam-

bién Ps.Arist. Pro. XIX 50. Glauco de Regio se asocia también a la experimenta-

417

ción con discos (cf. Aristox. fr.90) y Laso de Hermíone con vasos (Ps.Plut. de

Mus.1141B-C, Theo Sm. 59.4-21).

157 Las razones para la construcción del instrumento de medición han de

ponerse en relación con Alm. V 12 (I.1, 403.2-8), h(mei=j de/, i(/na mhde\n tw=n a)dh/lwn

ei)j th\n toiau/thn e)pi/skeyin paralamba/nwmen, kateskeua/samen o)/rganon, di¡ ouÂ

dunhJei/hmen a)\n w(j e)/ni ma/lista a)kribw=j thrh=sai, po/son kai\ a)po\ phli/khj tou=

kata\ korufh\n a)posta/sewj h( selh/nh paralla/ssei w(j e)pi\ tou= dia\ tw=n po/lwn tou=

o(ri/zontoj kai\ au)th=j grafome/nou megi/stou ku/klou. En el caso de la Harmónica, el

descontrol de las variables es lo que confiere a los experimentos anteriores poco

status científico, al contrario de lo que ocurre con el canon; además, la experimen-

tación con estas variables fuera de control es lo que introduciría “motivos de des-

acuerdo” (20.1) entre los investigadores (cf. Levin, op.cit., p. 226). El experimento

de Pitágoras que nos transmite Nicómaco (Harm. 246) intenta alcanzar la exactitud

mediante el control de determinados factores en el proceso, pero el nivel ptolemai-

co va mucho más allá: cf. Nicom. Harm. 246.20-21, shkw/mata a)kribw=j e)klabw\n

kai\ r(opa\j i)saita/taj tw=n r(aisth/rwn pro\j e(auto\n a)phlla/gh. Por ejemplo, Ptolo-

meo es consciente de que la magnitud del peso aplicado a la cuerda hará variar su

densidad (Ptol. Harm. 20.12-14), lo que no parece que tuviera en cuenta Pitágoras

(ni Nicómaco).

158 Cf. el verbo ya/llein con el significado de “pulsar” un instrumento de

cuerda, ya con plectro ya con los dedos, y a)poya/llein (= ti/llein, Hsch. s.v.), con

significado similar: cf. Philostr. VS 2, 553.31 ó Heraclit. All. XII 3, 2. No vemos,

entonces, un uso del verbo en la tratadística, sino fuera de ella; la atención especial

que dedica Ptolomeo a la experimentación con el canon en todo el tratado puede

haber provocado la búsqueda de un término que, sin embargo, no tiene un signifi-

cado claro: en el canon, los a)poya/lmata son los puntos, entre dos límites definidos

(Harm. 20.25, ta\ pe/rata), en los que las pulsaciones van a tener lugar para el esta-

blecimiento de las razones interválicas; en el modelo de I 8, estarían situados entre

E y H (cf. 21.11). Sin embargo en 87.5 parece referirse (según GMW, p.367, n.16)

al “punto de contacto entre puente y cuerda”; pero también delimita el “punto desde

el que” se establecen o comprueban las razones.

418

159 Frente a lo que le ocurre a los aulós y siringas en los límites que estable-

cen las longitudes, los cuales son totalmente irregulares, cf. 20.3.

160 Es el “puente” o pieza (según Porph. in Harm. 121.23, de hueso) colo-

cada bajo una o más cuerdas determinando un segmento de pulsación entre dicho

puente y el extremo de la cuerda, u otro puente. El término designa precisamente el

puente que hay en los instrumentos de cuerda estableciendo un tipo de tensión en la

cuerda (cf. Hsch, s.v. maga/j: sani\j tetra/gwnoj u(po/kufoj dexome/nh th=j kiJa/raj

ta\j neura\j kai\ a)potelou=sa to\n fJo/ggon). En el canon, que ahora describe Ptolo-

meo, estos puentes son fijos en los extremos del canon, y tienen forma circular en

su superficie; aunque la cuerda se curva cuando atraviesa este puente por encima,

Ptolomeo establece el punto de contacto de la cuerda con los dos puentes (puntos

que delimitan la zona de pulsación o a)poya/lmata) en E y H por la perpendicular

entre la cuerda y la base del canon, que es también diámetro del círculo que forma

cada puente (EZB, HQG). Maga/j es el puente fijo, pero otras denominaciones que

también aparecen en la Harmónica, tales como maga/dion, u(pagwgeu/j, u(pagw/gion,

u(pagwgi/dion, se refieren en general a los puentes más pequeños insertos bajo las

cuerdas, y para los que Ptolomeo no establece diferencias.

161 La perpendicularidad y el ángulo de 90º que implica establece el punto

de contacto entre cuerda y puente fijo que sirve como límite para las mediciones en

cada extremo de la cuerda. Si el kano/nion va a situarse junto a la cuerda, debajo de

ella, las líneas EZB y HQG debían de estar, de alguna manera, visibles en la superfi-

cie del puente, en forma de dos señales (E y H) porque ahí es donde se establecen

los límites del kano/nion, y es precisamente el control de las longitudes de la cuerda

lo que el canon persigue.

162 “Simétrica” o, lo que es igual, de la misma medida que las distancias

previamente diseñadas AEHD.

163 Se entiende EH paralela a BG (EB = HG).

164 Es decir, E y H.