BOGOTA

2015

LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA Y SUS

PROBLEMAS

Periodización utilizada en este trabajo

Problemas de conteo y reparto. Problemas con magnitudes constantes. Problemas con magnitudes variables. Problemas con objetos abstractos.

La Historia de las Matemáticas está vinculada a la resolución de ciertos problemas. Puede hacerse esta afirmación desde cuatro puntos de vista:

1°. Algunos problemas están en el origen del desarrollo de las Matemáticas.

2°. La resolución de ciertos problemas ha motivado la aparición de nuevas ramas de las Matemáticas.

3°. Otros problemas han provocado rupturas epistemológicas.

4°. Hay problemas que han abierto crisis en los fundamentos de las Matemáticas.

Problemas vinculados a la vida socio-económica.

Los Tres Problemas Clásicos de la Matemática Griega

PROBLEMAS EN EL ORIGEN DEL DESARROLLO DE LAS MATEMÁTICAS

Los Tres Problemas Clásicos

1. La cuadratura del círculo

2. La duplicación del cubo.

3. Trisección de un ángulo.

La respuesta de éstos, tuvo que esperar más de 2200 años para demostrar que eran insolubles utilizando únicamente regla y compás.

PROBLEMAS MOTIVADORES DE LA APARICIÓN DE NUEVAS RAMAS DE

LAS MATEMÁTICAS

Los 7 Puentes de Königsberg. El problema de estimación del volumen de

los toneles (problema del aforo). La construcción de tangentes y la

determinación del área. Los juegos de azar. Los 23 Problemas de Hilbert en 1900. El Teorema de Fermat.

PROBLEMAS QUE HAN PROVOCADO RUPTURAS EPISTEMOLÓGICAS

La inversión (1827).i) Hallar la solución para la ecuación

general de 5º grado.ii) Las Geometrías No-euclídeas.

La abstracción (1875).

i) La unificación de las geometrías.

ii) Los números reales.

iii) Las curvas algebraicas.

El paso a las estructuras (1930).

Las fundamentales, cuya combinación da lugar a las restantes, son las algebraicas, las topológicas y las de ordenación, que recogen las ideas de operación, proximidad y continuidad. Aparece el Álgebra de Categorías.

PROBLEMAS QUE HAN ABIERTO CRISIS EN LOS FUNDAMENTOS DE

LAS MATEMÁTICAS

Los inconmensurables. La suma de series infinitas. El Problema del V Postulado. El CALCULUS. La Teoría de Conjuntos Infinitos. El Teorema de los 4 Colores.

Pitágoras(580-520 a.C.)

"Todas las cosas accesibles al conocimiento poseen un número,

puesto que sin el no podemos comprender ni conocer nada"

Zenón de Elea(490-430 a.C.)

"En este mundo caprichoso nada es más caprichoso que la fama póstuma. Una de las más notables víctimas de la falta de juicio de la posteridad es Zenón, el eleático. Habiendo inventado cuatro argumentos, todos inmensamente sutiles y profundos, la tosquedad de filósofos posteriores lo declaró a él un mero prestidigitador ingenioso y todos y cada uno de sus argumentos sofismas. Después de dos mil años de continuas refutaciones, esos sofismas fueron restablecidos y constituyeron la base de un renacimiento matemático"

1.El tiempo como suma de instantes.2.Suma de puntos.3.Movimiento como suma de pasajes de un lugar a otro.

I. Aportó a la matemática recursos de orden lógico, metodológico y hasta técnico.II. Su proceso dicotómico se usa como recurso de demostración y el método de reducción al absurdo, es una consecuencia del principio de contradicción, eje de sus raciocinios.III. Desecha la concepción monádica de los pitagóricos.

1. Argumento dicotómico

2. Paradoja de Aquiles.

T t0=0 t1 t2 t3

A x0=0 x1 x2 x3 x4

tn = xn/v, (1)

tn = (xn+1- x1 )av; (2)

xn+1 = L +axn. (3)

Lema 1. En cualquier momento tk la ventaja que la tortuga

conserva sobre Aquiles está dada por la fórmula: xk+1 - xk = ak L. (4)

Lema 2. La sucesión {xn} es fundamental (o de Cauchy).

Teorema. Aquiles alcanza la tortuga en el instante t=L/(1-a)v y el lugar dado por x=L/(1-a).

Euclides de Alejandria(365-300 a.C.)

[Postúlese] Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los [ángulos] menores que dos rectos.

Algunas formulaciones equivalentes del V

Postulado 1. La suma de [las medidas de] los ángulos de

cualquier triángulo es igual a [la sume de las medidas de] dos ángulos rectos. (Elementos I 32) Proposición ya conocida en tiempos de Aristóteles.

2. Las rectas paralelas son equidistantes (atribuido a Posidonio).

3. Dos rectas paralelas guardan entre sí una distancia finita (Proclo).

4. Por un punto exterior a una recta sólo cabe trazar una paralela (Tolomeo). Ésta es, sin duda, la formulación más conocida del postulado. Tanto es así que es muy frecuente encontrar libros en los que se dice que es éste el quinto postulado de Euclides.

Sobre una recta finita siempre se puede construir un triángulo semejante a un triángulo dado (Wallis, 1663).

Existe un par de triángulos no congruentes, pero semejantes (Saccheri, 1733).

En todo cuadrilátero que contenga tres ángulos rectos, el cuarto ángulo también es recto (Clairaut, 1741).

Se puede construir un triángulo cuya área sea mayor que cualquier área dada (Gauss, 1799).

No hay patrón métrico absoluto de longitud (Gauss, 1816).

Dados tres puntos no alineados, siempre será posible construir un círculo que pase por todos ellos (Legendre, 1824).

Nikolai Ivanovich Lobachevsky(1792-1856)

“Un punto dado, no situado en una recta dada, es el extremo de exactamente dos semirrectas no alineadas, que no cortan a la recta, pero que todas las semirrectas situadas entre ellas cortan a la recta”.

B

. A C

“Un estudiante me pidió que le diera un argumento sobre un hecho que yo ni siquiera sabía que era un hecho, ni lo sé aún ahora. El estudiante dice que si uno toma una figura (plana) cualquiera y la divide en compartimentos pintados con diferentes colores, de manera tal que dos adyacentes no tengan un color en común, entonces él sostiene que cuatro colores son suficientes”

Cualquier mapa geográfico puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no haya regiones adyacentes con el mismo color.

"En un plano o en una esfera no se necesitan mas de cuatro colores para colorear un mapa de manera que dos regiones vecinas, es decir, que compartan una frontera y no únicamente un punto , no queden coloreadas del mismo color"

Pero existen otros problemas...

El problema P contra NP. La hipótesis de Riemann. La teoría de Yang-Milis. Las ecuaciones de Navier-Stokes. La conjetura de Birch y

Swinnerton-Dyer. La conjetura de Hodge. La conjetura de Poincaré.

Perelman, Grisha (11 de noviembre de 2002)-“The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications”, http://arxiv.org/abs/math/0211159 Perelman, Grisha (10 de marzo de 2003)-“Ricci flow with surgery on three-manifolds”, http://arxiv.org/abs/math/0303109 Perelman, Grisha (17 de julio de 2003)-“Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifold”, http://arxiv.org/abs/math/0307245

Dr. Juan E. Nápoles Valdes

Universidad Nacional del NordesteAve. Libertad 5650 (3400) Corrientes

Argentinajnapoles@exa.unne.edu.ar

 UTN-FRR

French 414(3500) Resistencia

ChacoArgentina

jnapoles@frre.utn.edu.ar