La integral de RiemannVamos a dar una definición precisa de la integral de una función definida en un intervalo. Este

tiene que ser un intervalo cerrado y acotado, es decir [a,b] con a< b ∈R, y la definición que daremosde integral solo se aplica a funciones acotadas, y no a todas, sino a las funciones que llamaremosintegrables.

Una partición de un intervalo [a,b] es un conjunto finito de puntos de [a,b] queincluye a los extremos. Una partición P la representamos ordenando sus puntos de menor a mayor,comenzando en a y terminando en b:

P= {xi}ni=0 ≡ {a= x0 < x1 < x2 < .. . < xn−1 < xn = b}.

El conjunto de las particiones de [a,b] lo indicamos con P([a,b]). Una partición como la indicadadivide el intervalo [a,b] en n subintervalos [xi−1,xi], cada uno de longitud xi− xi−1.

Sea f una función acotada definida en [a,b], y seaP([a,b]), P≡ {a= x0 < x1 < x2 < .. . < xn−1 < xn = b}. Sean, para cada i= 1, . . . ,n,

Mi = sup{ f (x) : x ∈ [xi−1,xi]}; mi = ı́nf{ f (x) : x ∈ [xi−1,xi]}.

La suma inferior de f asociada a P se define como

L( f ,P) =n

∑i=1

mi(xi− xi−1),

y la suma superior de f asociada a P es

( f ,P) =n

∑i=1

Mi(xi− xi−1).

1

(Suma inferior y superior)

a x1 x2 . . . xn−1 b

f (x)

Suma inferior asociada a una partición

a x1 x2 . . . xn−1 b

f (x)

Suma superior asociada a una partición

U

Definición 1.1

Definición 1.2.P ∈

1

P ∈P([a,b])

Sea f una función acotada en un intervalo cerrado y acotado [a,b]:

Si P y Q son particiones de [a,b] y P⊆ Q entonces:

Proposición (Propiedades de L y U)

1)

≤L( f ,P) ( f ,Q)

para cualquier

2)

a)

b)

L

≤U( f ,Q) ( f ,P)U

≤L( f ,P) ( f ,P)U

Si P y Q son particiones de [a,b] entonces:

≤L( f ,P) ( f ,Q)

3)

U

cualesquiera,

sup{ ( f ,P) : P ∈P([a,b])},

ı́nf{ ( f ,P) : P ∈P([a,b])}.

Existen los números4)

L

U

a x1 x2 . . . xn−1 bSuma inferior y suma superior para particiones distintas

Nota (relación entre la integral y la medida de áreas). Supongamos que f es una función nonegativa y consideremos la región que delimita su gráfica con las rectas y= 0, x= a y x= b. Si el áreade dicha región es A, entonces

≤ A≤

ya que las respectivas sumas son las áreas que obtenemos si cambiamos f en cada [xi−1,xi) por mi oMi, y los hemos definido de forma quemi≤ f ≤Mi (de hecho hemos tomado los valores más ajustadosque cumplen dichas desigualdades).

a x1 x2 . . . xn−1 b

Suma superior, área y suma inferior

L( f ,P) ( f ,P)U

2

Definición 1.3. Dada f acotada en [a,b], se define su integral inferior en [a,b] como

∫ b

af =

y su integral superior en [a,b] como

∫ b

af =

Notemos que, como consecuencia de la proposición previa, la integral inferior y la superior sonvalores reales perfectamente definidos para cualquier función acotada en un intervalo cerrado y aco-tado. No es difícil adivinar que la integral inferior es siempre menor o igual que la superior, pero lademostración de este hecho es menos trivial de lo que parece a simple vista.

Definición 1.4. Una función f acotada en [a,b] es integrable-Riemann en [a,b] (en el sentido deDarboux), o simplemente integrable, si se cumple que

∫ b

af =

∫ b

af .

En tal caso, al valor común de dichas integrales se le llama la integral (de Riemann) de f en [a,b], y

se escribe∫ b

af .

A veces es cómodo escribir la integral como∫ b

af (x)dx, expresando la función mediante su va-

lor f (x) en la variable x. En tal caso, es indiferente la letra empleada: el mismo significado tiene∫ b

af (y)dy,

∫ b

af (z)dz,

∫ b

af (t)dt, etc.; todos estos símbolos representan la integral de la función f en

el intervalo [a,b].

sup{ ( f ,P) : P ∈P([a,b])},

ı́nf { ( f ,P) : P ∈P([a,b])}.

L

U

Teorema Si f es una función acotada en [a,b], entonces su integral inferior es siempre menoro igual que su integral superior: ∫ b

af ≤

∫ b

af

Teorema (condición de integrabilidad de Riemann). Una función f acotada en [a,b] es integrableen dicho intervalo si y solo si para cada ε > 0 existe una partición P= Pε de [a,b] tal que

( f ,P) − ( f ,P) < ε.L U

Convenio. Si a> b y f es integrable en [b,a], escribimos

∫ b

af =−

∫ a

bf .

Si a= b, escribimos∫ ba f = 0.

3

Teorema

monótona en

Propiedades básicas de la integral de Riemann

Teorema Sean f y g funciones integrables en [a,b] y sea α un número real. Entonces

a) α f es integrable y∫ b

a(α f ) = α

∫ b

af .

b) f +g es integrable y∫ b

a( f +g) =

∫ b

af +

∫ b

ag.

Teorema Sea f una función definida en un intervalo cerrado y acotado [a,b]. Dado c ∈ [a,b],son equivalentes:

a) f es integrable en [a,b];

b) f es integrable en [a,c] y en [c,b].

Además, cuando f es integrable en [a,b] se tiene:∫ b

af =

∫ c

af +

∫ b

cf .

Corolario Sea f : [a,b]→ R acotada, y sean a = c0 < c1 < c2 < .. . < cn = b. Se cumple quef es integrable en [a,b] si y solo si lo es en [ci−1,ci] para cada i= 1, . . . ,n, y en tal caso∫ b

af =

n

∑i=1

∫ ci

ci−1f .

Teorema Sean f y g funciones integrables en [a,b] tales que

f (x)≤ g(x) para cada x ∈ [a,b].

Entonces ∫ b

af ≤

∫ b

ag.

Teorema Si f es integrable en [a,b], entonces | f | es integrable en [a,b] y∣∣∣∣∫ b

af∣∣∣∣≤ ∫ b

a| f |.

[a,b]

Teorema Sean f y g funciones integrables en [a,b]. Entonces:

a) f 2 es integrable en [a,b];

b) la función producto f g es integrable en [a,b].

Sea f : [a,b]→ R acotada

Si f es entonces f es integrable en [a,b]

en [a,b] entonces:

a)

continua en [a,b ]Si f es entonces f es integrable en [a,b]b)

Si f es continua salvo en un número finito de puntos donde es acotada, entonces c)

f es integrable en [a,b]

4

Regla de Barrow (segundo teorema fundamental del cálculo integral)

Teorema (regla de Barrow). Sea f una función integrable en un intervalo [a,b] y supongamosque existe otra función g continua en [a,b], derivable en (a,b) y tal que g′(x) = f (x) para todox ∈ (a,b). Entonces,

f = g(b)−g(a).

Teorema (Primer fundamental del cálculo integral (segundo)).

Sea f una función integrable en [a,b]. Definamos F : [a,b]→ R mediante

F(x) =∫ x

af .

Entonces:

a) F es continua en [a,b];

b) si f es continua en algún x0 ∈ [a,b], entonces F es derivable en x0 y

F ′(x0) = f (x0).

teorema

La regla de Barrow nos dice cómo calcular la integral de una función f integrable entre a y b: si ges continua en [a,b] y es una primitiva de f en (a,b), entonces∫ b

af (x)dx= g(b)−g(a).

La diferencia g(b)−g(a) suele escribirse como g(x)∣∣∣x=bx=a. Es decir:

∫ b

af (x)dx= g(x)

∣∣∣x=bx=a

.

Ejemplo. La función arcsen es continua, luego integrable, en el intervalo [0,1]. Calculando por partesuna primitiva, encontramos la función xarcsenx+

√1− x2, continua en [0,1] y derivable claramente

en el intervalo [0,1), con derivada arcsenx en ese intervalo; menos claro es lo que sucede en el punto1, pero según el teorema 6.3.1 no necesitamos saberlo para garantizar que∫ 1

0arcsenxdx=

[1 · arcsen1+

√1−12

]−

[0 · arcsen0+

√1−02

]=

π2 −1.

Si aplicamos la regla de Barrow para calcular una integral, puede ser conveniente utilizar losresultados empleados en el cálculo de primitivas, como el teorema de integración por partes queacabamos de citar o el teorema de cambio de variable. Ambos tienen su versión para integrales. Vemosprimero la de integración por partes:

5

∫ b

a

Teorema (cambio de variable). Sea u una función derivable en un intervalo abierto J tal queu′ es continua y sea I un intervalo abierto tal que u(J) ⊆ I. Si f es continua en I, entonces f ◦ u escontinua en J y ∫ b

af (u(x))u′(x)dx=

∫ u(b)

u(a)f (t)dt

para cualesquiera a,b ∈ J.

Ejemplo. Calculemos el valor de∫ √

3

−√3

√4− x2 dx.

Ponemos ∫ √3

−√3

√4− x2 dx=

∫ √3

−√32√1− (x/2)2 dx=

∫ √3

−√34√1− (x/2)2 12 dx

(hacemos el cambio de variable t = x/2 según la fórmula (6.3), de izquierda a derecha)

=∫ √

3/2

−√3/24√1− t2 dt

(ahora hacemos el cambio de variable t = seny según la fórmula (6.3), de derecha a izquierda)

=∫ π/3

−π/34√1− sen2 ycosydy=

∫ π/3

−π/34|cosy|cosydy=

∫ π/3

−π/34cos2 ydy

=∫ π/3

−π/32(1+ cos2y)dy= (2y+ sen2y)

∣∣∣y=π/3

y=−π/3=4π3 +

√3.

6

Apéndice: cálculo de áreas, longitudes y volúmenes

Área de una figura plana

a b

y= f (x)

El área de la figura es∫ ba f (x)dx,

si f (x)≥ 0 para todo x ∈ [a,b]

a

b

y= f (x)

El área de la figura es∫ ba | f (x)|dx

ab

y= f (x)y= g(x)

El área de la figura es∫ ba | f (x)−g(x)|dx

Longitud de una curva plana

a

b

y= f (x)

La longitud de la curva es∫ ba

√1+ f ′(x)2 dx

Volumen de un cuerpo de revolución

a

b

y= f (x)

El volumen del cuerpo generado al girar la figuraalrededor del eje x es

∫ ba π f (x)2 dx

a

b

y= f (x)

El volumen del cuerpo generado al girar la figuraalrededor del eje x es

∫ ba 2πx| f (x)|dx, si a,b≥ 0

x

área S(x)

El volumen de la figura es∫ ba S(x)dx, donde S(x) es

el área de la sección perpendicular al eje en x

Área de una superficie de revolución

a

b

y= f (x)

El área de la superficie generada al girar la curvaalrededor del eje x es

∫ ba π f (x)2 dx