LA INTEGRAL INDEFINIDA

PRIMERA SEMANA

ANTIDERIVADA E INTEGRALES INDEFINIDAS

1. INTRODUCCIÓN

En el estudio de Cálculo se ha tratado esencialmente de determinar una derivada a partir de una función:

Ejemplos:

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = 5x3

Resolución:

f´(x) = 3.5 x3-1

f´(x) = 15 x2

Sin embargo, muchas aplicaciones importantes del cálculo, guardan relación con el problema inverso; es decir:

Dada la derivada de una función, hallar tal función: f´(x) =4. Ahora el problema es hallar f(x), dicha función se puede hallar de la siguiente manera:

Esta operación de determinar la función original a partir de su derivada es la inversa de la derivación y lo llamaremos cálculo de la función primitiva o antiderivada.

f(x) = 4x puesto que f´(x) =4

2. LA ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Dada una función f definida en un intervalo I, encontrar una función F cuya derivada sea la función f, es decir:

F´(x)=f(x), ∀ x ∈ I

DEFINICIÓN

Sea I un intervalo y f: I → R una función. Una función y F: I → R tal que F´(x)=f(x), ∀ x ∈ I, se denomina primitiva o antiderivada de f en I y se escribe:

F(x)=Ant (f(x)), ∀ x ∈ I

Ejemplo:

Sea f(x) = 5x4, ∀ x ∈ R, la función F(x)= x5, para x∈R es la antiderivada de f(x) puesto que:

F(x) = x4 → F´(x)= 5x4 = f(x)

Análogamente, otras antiderivadas de f(x) son por ejemplo:

F1 = x5 – 4 F2= x5+4π F3= x5+ a

Donde a es una constante cualquiera, puesto que su derivada es igual a f(x).

En general, si F(x) es una antiderivada de f(x) es decir que F´(x)= f(x), por lo tanto F(x)+ c, también es una antiderivada de f(x) para cualquier constante c, puesto que su derivada es igual a la función f(x), es decir: (F(x)+ c)´ = F´(x)= f(x).

3. LA ANTIDERIVADA GENERAL

DEFINICIÓN

Si la antiderivada de f(x) es F(x) sobre I. Entonces la función G(x) = F(x) + c, se denomina la antiderivada general de f(x).

El significado geométrico de la antiderivada F(x) de f(x), es que cualquier otra antiderivada de f(x) es una curva paralela al gráfico de y = F(x).

OBSERVACIÓN

Resulta claro que el cálculo de antiderivadas o primitivas no determina una única función, sino una familia de funciones, que difieren entre sí en una constante.

El proceso del cálculo de antiderivadas primitivas se suele denominar integración y se denota por el símbolo ∫, llamado signo de integración, el símbolo ∫ f(x)dx se llama integral indefinida de f(x).

4. LA INTEGRAL INDEFINIDA

DEFINICIÓN

Sea F(x) una antiderivada de f(x) definida en el intervalo I. La integral indefinida de f(x) es el conjunto de todas las antiderivadas de f(x) definidas en dicho intervalo y se representa mediante el símbolo:

∫ f(x)dx = F(x) + c

Donde C es una constante real que se denomina constante de integración.

La función f(x) se halla integrando, f(x)dx es el elemento de integración, x variable de la integral y el símbolo ∫ se denomina símbolo de la integral. La expresión ∫ f(x)dx se lee “integral de f(x)con respecto a x” o “integral indefinida de f(x) diferencial x”.

∫ fxn dx = xn+1

n+1 + c n ∈ R

n ≠ -1

Observe que la regla nos indica que es igual a: xn+1(“el exponente se aumenta en 1”) y se divide entre (n+1).

Ejemplos:

a) ∫ x2 dx

∫ x2 dx = x2+1

2+1 + c

x3

3 + c

5. PROPIEDADES

De la definición de integral indefinida se tienen las siguientes propiedades:

I.ddx

(∫ f(x)dx) = (∫ f(x)dx)´ = (F(x) + c)´ = F´(x) = f(x) o sea que la “derivada

de la integral indefinida es igual al integrando”, es decir:

II. d(∫ f(x)dx) = (∫ f(x)dx)´dx = f(x)dx o sea que “la diferencial de la integral indefinida es igual a la función integrado por la diferencial de x” es decir:

III. Si f es una función derivable en I, entonces una antiderivada de f´ es f y

IV. Se conoce que d(f(x))= f ´(x)dx, luego de la propiedad (3) se obtiene:

OBSEVACIÓN

De las propiedades (2) y (3), a la integral indefinida también podemos interpretarla como una operación inversa de la diferenciación, puesto que la integral indefinida al actuar en la diferencial d(f(x)) reproduce la función f(x) más la constante de integración.

Ejemplo:

A. ∫ ( x2+3 x+2 ) dx

(∫ f(x)dx)´ = f(x)

d (∫ f(x)dx) = f(x)dx

∫ f ´ (x )dx = f(x)+c

∫ d¿¿ = f(x)+c

∫ d ( x3

3+ 3

2x2+2 x)

x3

3+3

2x2+2 x+c

6. FÓRMLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

6.1. PRIMERAS FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN

Sean f, g funciones derivables, k y c son constantes, entonces:

1.º.∫ dx=x+c

2.º.∫ kf (x ) dx=k∫ f ( x )dx

3.º.∫ d ( f ( x ) )=f ( x )+c

4.º.∫ xn dx= xn+1

n+1+c ,n≠−1

5.º.∫ ( f ( x )± g ( x )) dx=∫ f ( x ) dx∫ g(x )dx+c

Sea u = f(x) una función diferenciable en x

6.º.∫undu=¿ un+1

n+1+c , n≠−1¿

7.º.∫ duu

=ln⃒� u⃒�+c

8.º.∫ eu du=eu+c

9.º.∫ au du=¿ au

ln a+c ,a>0 , a ≠ 1¿

6.2. SEGUNDAS FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN

En estas fórmulas básicas van a considerarse los casos en que el integrando es una raíz cuadrada de una expresión cuadrática.

Sea u = f(x) una función diferenciable en x, entonces:

NOTA.- Las integrales de este tipo se calculan completando cuadrados

1. ∫ du

√a2−u2=arcsen( u

a )+c

2. ∫ du

√u2+a2=ln⃒�u+√u2+a2 �+c

3. ∫ du

√u2−a2=ln⃒�u+√u2−a2 �+c

4. ∫√a2−u2 du=¿ u2

√a2−u2+ a2

2arcsen ( u

a )+c ¿

5. ∫√u2−a2 du=u2

√u2−a2−a2

2ln⃒�u+√u2−a2 �+c

6.3. TERCERAS FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN

En estas fórmulas básicas vamos a considerar a las funciones trigonométricas, para esto tenemos una función u=f(x) diferenciable en x, entonces:

6.4. CUARTAS FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN

En estas fórmulas básicas vamos a considerar a las funciones trigonométricas, para esto tenemos una función u=f(x) diferenciable en x, entonces:

1.º.∫ senu . du=−cosu+c

2.º.∫cos u . du=senu+c

3.º.∫ tan u . du=l secn⃒� u⃒�+c

4.º.∫ ctgu .du=l senn⃒� u⃒�+c

5.º.∫ sec u .du=l secn⃒� u+tanu⃒�+c

6.º.∫ cscu . du=l cscn⃒� u−ctgu⃒�+c

1.º.∫ senhu . du=−coshu+c

2.º.∫cosh u . du=senhu+c

3.º.∫ tanh u .du=l sechn⃒� u⃒�+c

4.º.∫ ctghu . du=l senhn⃒� u⃒�+c

5.º.∫ sec h2u . du=tanhu+c

6.º.∫ csc h2u . du=−¿ctghu+c¿

7. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

7.1. INTEGRALES DE FUNCIONES QUE CONTIENEN UN TRINOMIO CUADRADO

Se trata de las integrales de la forma siguiente:

7.2. INTEGRALES DE ALGUNAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLOCAS

Recordemos las siguientes identidades

∫ dx

ax2+bx+c ∫ (ax+b ) dx

√cx2+dx+e

∫ dx

√ax2+bx+e∫ dx

√ax2+bx+e

1. Sen2u + cos2u =12. sec2u - tan2u=13. csc2u - cot2u=1

4. sen2u =1−cos2 u

2

5. cos2u =1+cos2 u

26. cosh2u - senh2u=1

7. sech2u - tanh2u=1

8. coth2u - csch2u=1

9. senh2u = cosh2 u−1

2

10. cosh2u = cosh2 u+1

2

Estas identidades son muy importantes en los artificios para resolver ciertos tipos de integrales de funciones trigonométricas hiperbólicas.