Angulo de inclinación y pendiente de una recta

Intersecciones de la recta con dos ejes coordenados

Angulo formado por dos rectas que se cortan

Rectas paralelas y perpendiculares

Ecuación de la recta a partir de sus elementos (punto pendiente, dados dos puntos (m), pendiente ordenada al origen)

Ecuación general de la recta

Formula simétrica de la ecuación de la recta

Forma normal de la ecuación

Reducción de la ecuación de la recta de la forma general a la normal

Distancia entre el origen y la recta

D i s ta n ci a en tre el pu n to y u n a recta

Distancia entre dos rectas paralelas

Aplicaciones

Angulo de inclinación y pendiente de una recta

𝒎 = 𝐭𝐚𝐧 𝜷 𝒎 =𝒚𝟐− 𝒚𝟏

𝒙𝟐− 𝒙𝟏

(𝒙𝟏, 𝒚𝟏) (-3 ,3 ) (3 ,-3 ) (𝒙𝟐 ,𝒚𝟐 )

𝒎 =−𝟑− 𝟑

𝟑−(−𝟑)=

−𝟔

𝟔= −𝟏

tan 𝛽 = 1

𝛽 = tan−1 1=45º

𝛽 = 180° − 45° = 135°

𝛽 = 135°

INTERSECCIONES DE LA RECTA CON LOS EJES COORDENADOS

2.- Encuentra los ángulos interiores de los triángulos cuyos vértices son: A (−1, −1), B (7, 5)

y C (2, 7).

Y

B(-3,5)

∝

𝑚1 =

−2

3

𝑚2 =

−7

2

X

𝜃

C(-1,-2) 𝛽 A(6,-1)

𝑚3 =

1

7

𝑭𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂: 𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

Para 𝑚1= A (6,-1) y C (-1,-2) 𝑚1= −1−5

6−(−3)=

−6

9=

−2

3

Para 𝑚2= A (6,-1) y B (-3,5) 𝑚2= −2−5

−1−(−3)=

−7

2

Para 𝑚3= B (-3,5) y C (-1,-2) 𝑚3=−1−(−2)

6−(−1)=

1

7

𝑭𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂: Tan 𝜃 = 𝑚2 − 𝑚1

1 + (𝑚2 )(𝑚1)

Para ∝ 𝑚1 = −2

3 ; 𝑚2= −7

2

Tan ∝ = −2

3 −(

−7

2)

1+( −2

3)(

−7

2)

=

−2

3 +

7

2

1

1 +

14

6

=

−4+21

6

6 +14

6

= 17

20

Tan ∝ = 17

20 ∴ ∝ = 𝑡𝑎𝑛−1

17

20= 40.36°

Para 𝛽 𝑚2 = −7

2 ; 𝑚3 =

1

7

Tan 𝛽 = −72 − 1

7

1 + ( −72

)( 17

)=

−72 − 1

7

11 − 7

14

= −49 − 2

14 14 − 7

14

= −517

Tan 𝛽 = −517

∴ 𝛽 = 𝑡𝑎𝑛−1 −517

= 97.82°

Para 𝜃 𝑚3 = 1

7 ; 𝑚1 =

−2

3

Tan 𝜃 = 1

7 − (

−2

3)

1 + ( 1

7)(

−2

3)

=

1

7 +

2

3

1

1 −

2

21

=

3 + 14

21

21 − 2

21

=17

19

Tan 𝜃 = 17

19 ∴ 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1

17

19= 41.82°

∑ ∝ + 𝛽 + 𝜃 = 180° 40.36° + 97.82° + 41.82° = 180°

Rectas paralelas y perpendiculares

Se tiene que la rectas r: pasa por los puntos A (6, -5) y B (1, 5) y la recta s: pasa por los

puntos P (5, 2) y Q (7, −2) determina si r y s son paralelas o perpendiculares.

𝑭𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂: 𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

𝑚1 =5 − (−5)

1 − 6=

10

−5= −2

𝑚2 =−2 − 2

7 − 5=

−4

2= −2

“Las rectas son paralelas”

A (6,-5) P(5,2)

B (1,5) Q (7,-2)

Ecuación de la recta a partir de sus elementos (punto pendiente, dados dos puntos (m), pendiente ordenada al

origen).

𝑦 − 𝑦1=𝑚(𝑥 − 𝑥1)

P (4,-7) y m=2 𝑦 − (−7) = 2(𝑥 − 4)

𝑦 + 7 = 2𝑥 − 8

(−2𝑥 + 𝑦 + 7 + 8 = 0) − 1

Punto pendiente: 2𝑥 − 𝑦 − 15 = 0

(−𝑦 = −2𝑥 + 15) − 1

Pendiente ordenada al origen: 𝑦 = 2𝑥 − 15

Ecuación general de la recta

1.-Hallar la ecuación de la recta que pasa por A (1,5) y cuya pendiente es m= -

2

Formula: 𝑦 − 𝑦1 = m (x-𝑥1)

𝒚 − 𝟓 = −𝟐 (𝒙 − 𝟏)

𝒚 − 𝟓 = −𝟐𝒙 + 𝟐

𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟕 = 𝟎

Forma simétrica de la ecuación de la recta

𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎: 𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏 = 1

Halla la formula simétrica de la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada

en el origen son -11 y 7, respectivamente.

A=-11 B=7

𝑭𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒔𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂: 𝐱

−𝟏𝟏+

𝐲

𝟕= 𝟏

− 𝐱

𝟏𝟏+

𝐲

𝟕= 𝟏

Pendiente, Ordenada y Angulo de inclinación

1.-Determina la pendiente y la ordenada en el origen (intersección con el eje

y) de la recta 4x – 10y + 16 =0.

Formula: 𝑚 =−𝐴

𝐵 𝑦 𝑏 =

−𝐶

𝐵

A partir de la ecuación general Ax + By + C = 0, tenemos que A=4, B=-10 y C=16. Por tanto:

𝑚 =−𝐴

𝐵 𝑚 =

−(4)(−10)

=−4

−10

Luego: m = 4

10

La pendiente de la recta 4x – 10y + 16 = 0 es m = 4

10.

Hallemos a continuación la ordenada en el origen (b):

b = − 𝐶

𝐵 𝑏 =

−(16)

(−10)=

−16

−10

Luego: b = 16

10

De aquí que: m = 4

10 y b =

16

10

Forma normal de la ecuación

Halla la forma normal de la ecuación de la recta cuya distancia al origen es 9 y β= 74º.

Formula:𝒙𝟏=𝑷 𝐜𝐨𝐬 𝜷

𝒚𝟏=𝑷 𝐬𝐢𝐧 𝜷 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝜷 + 𝒚 𝐬𝐢𝐧 𝜷 − 𝒑 = 𝟎

P=9

d=9 β=74º

𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟕𝟒º + 𝐬𝐢𝐧 𝟕𝟒º − 𝟗 = 𝟎

74º (𝟎. 𝟐𝒙 + 𝟎. 𝟗𝒚 − 𝟗 = 𝟎)𝟏𝟎

𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍: 𝟐𝒙 + 𝟗𝒚 − 𝟗𝟎 = 𝟎

Reducción de la ecuación de la recta de la forma general a la normal

Halla la forma normal de la ecuación de la recta 40x + 42y + 5 = 0

K =1

±√𝐴2+𝐵2 K =

1

±√402+422 =

1

√3,364 =

1

58

40𝑥

58+

42𝑦

58+

5

58= 0

Distancia entre el punto y una recta

1.-Halla la distancia dirigida del punto Q (-4,-2) a la recta 6x – 8y – 24 = 0

Formula: 𝑑 =𝐴𝑥 +𝐵𝑦+𝐶

±√𝐴2+𝐵2 (B< 𝟎) -1

(6x – 8y – 24 = 0) -1 x = -4 y = -2

-6x + 8y + 24 = 0

𝑑 =−6(−4)+8 (−2)+24

±√(−6)2+82=

32

√100=

16

10=

8

5

𝑑 =8

5

Distancia entre dos rectas paralelas

𝒅 =𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪

±√𝑨𝟐 + 𝑩𝟐

Halla la distancia no dirigida entre las rectas paralelas

4𝑥 + 6𝑦 − 18 = 0 Y 4𝑥 + 6𝑦 + 7 = 0

4(0) + 6𝑦 − 18 = 0

6𝑦 = 18

𝑦 =18

6= 3

𝒅 =𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟕

±√𝟒𝟐 + 𝟔𝟐

𝒅 =𝟒(𝒐) + 𝟔(𝟑) + 𝟕

±√𝟒𝟐 + 𝟔𝟐

=𝟐𝟓

√𝟓𝟐

Aplicaciones

1.- El valor comercial de un automóvil que tiene 10 años de uso es de $65 000. Cuando

tenía 6 años de uso su valor era de $95 000. Si dicho valor varia linealmente con el tiempo,

determina:

a. La ecuación particular que expresa el valor del automóvil en términos del tiempo de uso:

𝑥1 = 6 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑦1 = $95 000

𝑥2 = 10 años 𝑦2 = $65 000

𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1=

65 000 − 95 000

10 − 6=

− 30 000

4= − 7500

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 95 000 = − 7500(𝑥 − 6)

𝑦 = −7500𝑥 + 45 000 + 95 000

𝑦 = −7500𝑥 + 140 000

𝑣 = −7500𝑡 + 140 000

b. El valor del automóvil cuando era nuevo.

𝑣(0) = −7500 (0) + 140 000

𝑣(0) = $140 000.00

c. El valor del automóvil cuando tenga 10 años de uso.

𝑣(10) = −7500 (10) + 140 000

𝑣(10) = −75 000 + 140 000

𝑣(10) = $65 000.00

d. A los cuantos años de uso el automóvil ya no tendrá valor comercial.

V = 0 −7500𝑡 + 140 000 = 0 𝑡 =140 000

−7500= 18.6 años