La matemtica y el mbito conceptualJAVIER de LORENZO

(Universidad de Valladolid)

1. A mediados del s. XIX se produce, en el hacer matemtico, una in-flexin. De la creencia en la certeza absoluta, en la no arbitrariedad de laMatemtica, se pretende la bsqueda de un fundamento para la misma.Kant haba escindido la Matemtica de la Lgica de tal mido que la pri-mera tena unos modos propios de razonamiento, ajenos a la Lgica: lasproposiciones de esta ltima eran analticas a priori mientras que las pro-posiciones aritmticas, por ejemplo, eran sintticas a priori. Ello implica-ba la no reduccin del hacer matemtico a la Lgica. Reflejaba, de estamanera, el sentir de los matemticos de manejar objetos, fenmenos, enun sentido semejante a como lo hacan los fsicos respecto a la naturaleza.Sin embargo, el desarrollo del Anlisis, la aparicin de geometras no-eucldeas, entre otros, conducan al hacer matemtico a una posicin enque lo deductivo iba cobrando un papel cada vez ms importante. Nobastaba tener fe en los productos de la razn, haba que demostrarlos. Y.en esta lnea, la Aritmtica va a tomar el papel relevante de fundamentarlos restantes haceres, papel que haba correspondido, hasta ese momento,a la Geometra. Un paso ms, y la pregunta se har sobre qu soporta laTeora de nmeros. Aun admitiendo la certeza y la no arbitrariedad delhacer matemtico. se har problema el de los ltimos fundamentos delmismo.

Y esa bsqueda de fundamentacin va a conllevar un proceso reduc-cionista: en el interior de la Matemtica teora de conjuntos o cantoris-mo, formalismo hilbertiano.... en el exterior de la misma teora del re-flejo, abstraccin inductivista, formalismo linglstico sintctico, logicismocon su intuicin de estructuras y objetos pertenecientes a un mundo eid-lico real....

A partir del s. XIX se hace problemtico el fundamento de lo que, has-ta ese momento, se estimaba como una certeza, una seguridad. Seguridadque, por otro lado, la Matemtica transmite y soporta a otras disciplinas, aotros haceres bien como apoyatura lingstica mediante el empleo de fr-mulas, bien como arquetipo incluso de lenguaje donde no hay opinioneso pareceres sino mera presencia demostrativa de lo verdadero y me re-

Revista de Fitosofia. 3a poca, vol. 1(1987-88), pgs. 43-53. Editorial Complutense. Madrid

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fiero, entre otros, a Spinoza porque adoptando el estilo more geometricose desea no disputar o convencer mediante el ropaje literario sino mostrarla verdad con un mtodo ante el cual nicamente cabe el asentimiento, yello por el total de las gentes.

2. Cabe observar, sin embargo, que la bsqueda de fundamento lti-mo no es propia de slo el hacer matemtico, sino mostracin, en este ha-cer particular, de algo ms profundo y existencial humano. Es la manifes-tacin del deseo de lo que puede calificarse como principio minimal deestabilidad.

La bsqueda de la verdad, de la seguridad es inherente al espritu hu-mano en cualesquiera circunstancias, independiente a pocas y lugares.Algo que se refleja en el principio de identidad de Fichte, en la razn ab-soluta de Hegel, en la utopa marxiana..., en la plasmacin de Burbujas oAmbitos como la Simblica donde lo religioso, lo mstico, lo mgico, pue-de proporcionar, en algn momento, dicho fundamento absoluto. Es loque refleja la fe del cientfico en elementos como la simplicidad y la sime-tria considerndolas inherentes a la naturaleza y, como tales, reflejablesen las leyes de la misma, y que le ha conducido a buscar conceptos mni-mos pero unificadores que den cuenta de la realidad y es el xito de laFsica al partir de la idea de que las leyes fsicas son invariantes bajo rota-ciones del espacio, por ejemplo, as como a la incesante bsqueda, enestos aos, de una teora unificada de fuerzas como pretensin de una ex-plicacin definitiva de las leyes fsicas...

Lo que se tiene, en el fondo, es que el hombre. mera naturaleza, se haforjado como hombre mediante la constmccin de una naturaleza trans-formada, mediante la elaboracin de un mbito enfrentado a aquello queha estimado siempre como irregularidades, como caos; enfrentado comonaturaleza a la naturaleza que le entorna. Frente al caos, frente al pasodel tiempo, ha construido la forma como elemento compensatorio, comoelemento que le posibilita evitar los desajustes entre los elementos no ho-mogneos de la naturaleza. Forma frente a caos, frente a irregularidad,frente a temporalidad. De ah la importancia de la Geometra eucldea co-mo creacin de un espacio homogneo, isotropo, ilimitado, atemporal... enlo estrictamente conceptual, geometra acusada de modo permanente deestatismo; de ah la importancia de lo arquitectnico manifestado en laconstruccin del monumento cuya permanencia se convierte en el ele-mento aglutinador morfolgico de lo urbano, sea de identidad paraquien vive, para quien pasa realmente un instante, en su entorno.

Bsqueda de absoluto frente a un medio que manifiesta, en su concre-cin diaria, todo lo contrario. Con una permanente contradiccin, aliena-dora: ese absoluto es, siempre, una utopa porque no slo lo que entorna

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al hombre es irregular, temporal, inseguro, sino que es el propio hombreel que se muestra, constitutivamente, como una radical inseguridad tem-poral. Es el hombre el que sufre, enferma, sc transforma fisiolgicamente,vivencialmente, muere. Y busca un asidero en todo lo contrario. Y en esabsqueda plasma lo que no es. plasma lo absoluto. Absoluto como idealque ha de establecerse como ideal, como meta a superar para evitar esaradical inseguridad intrnseca, para no caer en el caos o dispersin de unanaturaleza siempre camb-inte y amenazadora, y a la que, por ese ideal,hay que dominar y transformar. Ideal cambiante, a su vez, segn momen-tos y pocas pero. en cada caso, entraando el logro de una estabilidad,que a su vez es tensin para dicho logro, bien del individuo, bien de la so-ciedad, bien de la subespecie en la que ese individuo se encuentra.

3. En esa bsqueda de utopas estables, la razn conceptual, constitu-tiva, creadora, ha construido uno de los recursos humanos para la conse-cucin de una Burbuja o Ambito conceptual donde refugiarse y, a la vez,transformar el caos mediante la elaboracin de unas formas estables, conla ilusin de su validez para todo tiempo y lugar. Razn instrumental,ciertamente, pero razn constructora de formas. Razn que, sin embargo,y es contradiccin inherente, requiere a su vez de un fundamento, de unaseguridad frente al proceso, frente a: caos y al azar.

En esa creacin de formas estables, desde el mbito de lo conceptual,el hombre ha creado el Ambito de la Matemtica. Ambito que muestra,desde mi punto de vista, desde una mirada al interior, diversos rasgos se-gn sean los planos con los cuales se enfoque y que, a su vez, entraandistintas cuestiones problemticas.

4.1. Intrnseco. Como creacin conceptual, el matemtico elabora unosconstructos en planos diferentes que suponen, cada uno, un salto concep-tual respecto a los restantes y unos niveles de abstraccin distintos:

Como objetos individuales: As, el tringulo con sus propiedades in-trnsecas; la curva que si viene dada por una expresin analtica en formaexplcita entraa el estudio de sus variaciones y su representacin geom-trica; la estructura algebraica de grupo; una ecuacin diferencial... En estecaso, se los maneja como individuos, como objetos que poseen, o no, unasdeterminadas propiedades.

Como estructuras: Los objetos, cuando se los enfoca no en su indivi-duacin concreta sino como formando parte de una coleccin o agregado,responden a unas estructuras determinadas, en las cuales se coordinan y alas que dan contenido; en ellas pierden su particularidad concreta y son

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meros elementos de un nivel conceptual superior que es el que, como nue-vo objeto, constituye, ahora, el constructo a estudio. Estructuras que pue-den ser las estructuras madre o combinaciones de las mismas...

El estudio de estos constructos, en sus niveles propios, da paso a teo-ras que tambin se escinden en distintos planos. Y as puede estudiarse laTeora de grupos y la estructura de grupo aparece como objeto en sus re-laciones con otros grupos, por ejemplo, ola Teora de grupos abelianos,o el Clculo diferencial o integral de una variable real, o la Geometra di-ferencial, o la Geometra eucldea... O esta ltima enfocada desde lo sint-tico o bien considerada como la manifestacin de unas transformacionesque dejan invariantes unos grupos algebraicos determinados. O bien unateora de teoras por decirlo as, como el Algebra universal.

En un momento un constructo puede presentarse como elemento indi-vidual y puede estudiarse como tal en cuanto a sus componentes que loarticulan como dicho objeto o bien puede enfocarse como miembro deuna estructura. Anlogo con las teoras, que pueden enfocarse como teo-ras en si o como formando los elementos de otra teora. Por unosejemplos:

Un nmero real puede establecerse como la clase de equivalencia detodas las sucesiones de nmeros racionales equivalentes entre s mdulouna sucesin racional nula, o bien puede estimarse como un algo absolu-to, elemento de un determinado conjunto real;

Un subeonjunto de los nmeros reales puede estimarse como un in-tervalo cerrado con unas propiedades intrnsecas, que pueden culminarcon la establecida en el teorema de Bolzano-Weierstrass, o bien puede con-siderarse como miembro de una familia de cerrados que se estructura co-mo una topologa, o bien cabe aceptar dicho cerrado instrumentalmentecomo dominio para el estudio de una funcin de variable real;

Los nmeros naturales pueden estudiarse en s y ello en distintosniveles: planteamiento de una conjetura como la de Golbach, resolucinde ecuaciones diofnticas, divisibilidad..., o como subestruetura de losnmeros reales y, en este caso, con propiedades analticas y no aritmti-cas, o como subeonjunto amorfb incluido en el conjunto de los realescon lo que aparece el problema de la cardinalidad y las cuestiones relacio-nadas con los cardinales transfinitos, o algebraicamente y aparecen comoun semianillo eucldeo abeliano bien ordenado...

Como objeto en s. como miembro de. Dos enfoques que, por supues-to, plantean en cada caso cuestiones diferentes y obligan a mtodos de tra-tamiento tambin diferentes ya que en un nivel pueden relacionarse unoscon otros y tratar las propiedades que reflejan tales relaciones de modoaxiomtico y a otro nivel como apoyatura para otros conceptos, y a un ter-cer nivel como problema intrinseco e. incluso, mero juego. En cada nivel,los objetos matemticos creados por el matemtico muestran una realidadabsoluta, pero su configuracin intrnseca vara segn el nivel en el que se

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manejan y el mismo objeto puede mostrar distintos aspectos, distintasrealidades.

Es lo que Skolem, desde otro enfoque, puso de manifiesto al indicar quetrminos como finito, infinito.., slo tienen sentido definido en el inte-rior de una determinada teora axiomtica y no son, por decirlo as, con-ceptos con una definicin absoluta, pudiendo ser un conjunto finito enuna teora axiomatizada e infinito en otra; depender del nivel en el queese conjunto, como objeto, sea adoptado.

5. La escisin en distintos niveles de los objetos matemticos impideque el hacer total de la matemtica pueda formalizarse en un lenguajenico asociado a una determinada lgica. El reduccionismo, en cualquie-ra de sus versiones, falla precisamente por no reconocer y aceptar la exis-tencia de estos diferentes niveles y querer formar un cuerpo de compleji-dad nica con todo el hacer matemtico que se muestra, por la existenciade estos niveles, con una complejidad y estructuracin diferentes de lapretendida por los reduccionistas. Y es complejidad que podra ponerse enanaloga a la de un cuerpo enfocado biolgicamente...

En el hacer matemtico, por ejemplo, aun cuando los intentos de fox-malizar la Matemtica en una Lgica de primer orden se han visto aboca-dos al fracaso, el reduccionismo insiste al sostener que puede aceptarseuna Lgica de orden dos para dicha formajizacin, una lgica donde loscuantificadores acten sobre conjuntos o clases para expresar las pro-piedades topolgicas. por ejemplo. Una Lgica de segundo orden quecarece globalmente de las propiedades de la de primero: Completitud respecto a una axiomtica cannica y Compacticidad teorema deLwenheim-Skolem-Tarski. El reduccionismo admite que estas notascaracterizan, precisamente, a la Lgica de orden uno.

Al hacer esta afirmacin, el reduccionismo no ve lo que yo en ella afir-mo: al dar esas dos notas como caractersticas de la Lgica de orden unose ha dado un salto conceptual y se est enfocando dicha lgica como ob-jeto individual y no como teora o sistema ms o menos ordenado de pro-posiciones; inversin epistemolgica por la cual esa lgica, como totali-dad, como sistema cerrado, se ha convertido en objeto individual que pue-de caracterizarse por unas propiedades, que se encuentran ausentes de lasrestantes lgicas enfocadas ahora, igualmente, como objetos nicos, indi-viduales. Pero si se da esta inversin epistemolgica, este salto conceptual,y de nivel, y la lgica se convierte en objeto con unas notas caractersticasen relacin con otros objetos individuales, es imposible que dicho objetofundamente otro objeto perteneciente a un nivel distinto; ms an, es im-posible que fundamente el propio tratamiento en el cual se lo est mane-jando como objeto. Podr utilizarse para un estudio determinado, pero

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ello no implica que sea el fundamento de aquello para lo cual se utiliza.Con el ltimo parrafo he indicado, igualmente, la existencia de un pro-

ceso por el cual la razn matemtica se manifiesta como elaboradora deobjetos, formas y estructuras. Y lo en ella producido da un conocimientoque no es estrictamente formal o tautolgico. Conocimiento que se estrati-fica en distintos niveles segn el contenido del mismo. Insisto, existe uncontenido en s del hacer matemtico, contenido que es expresin de uncierto tipo de racionalidad, diferente a la racionalidad nomolgica o ala simblica.

6. 2. Extrnseco. Y es el terreno, siempre discutido, de la relacin quetiene el hacer matemtico con otros haceres. Lo primero que se me pre-senta es que la Matemtica puede enfocarse en dos campos diferenciados:simblico racional.

a. Simblico. Desde este enfoque, los elementos matemticos que seconsideran son nmeros y figuras que, mediante la ley de corresponden-cia simblica, se enlazan con los elementos csmicos de forma que se car-gan de simbolismo y se hacen, en su interioridad, smbolos. As, el cuborepresentar la materia, la Tierra, mientras la esfera constituir la mani-festacin de lo celeste... Se hablar de lo par o impar, de las direcciones...Un Norte-Sur como la verticalidad o axis-mundi y una horizontalidadEste-Oeste como oposicin de luz y tinieblas... Un nmero como el 9. re-presentacin de la perfeccin con su raz, el 3, smbolo de la divinidad....

Matemtica simblica que condicionar la armona celeste, la organi-zacin social de ciertos pueblos, los mdulos arquitectnicos. pictricos ymusicales, la estructuracin de algunas obras literarias..., incluso la bs-queda de unas relaciones de carcter nomolgico en la ciencia fsica conla aparicin de algunos nmeros como esencia de dichas relaciones. LaMatemtica como un hacer simblico que tendra en los Elementos de Eu-clides una de sus mximas elaboraciones si tal obra se interpreta, comoquera Proclo, en el sentido de plasmar las intuiciones platnicas y ser elmero reflejo de la construccin de los cuerpos platnicos construccinque cierra precisamente la obra de los Elementos, cuerpos como elemen-tos con los que el Demiurgo compuso el universo.

Ciertamente este enfoque del hacer matemtico ha condicionado elpensamiento humano y ha permitido la elaboracin de gran parte de sucultura. Pertenece, sin embargo, a lo que califico con el trmino de Burbu-ja o Ambito simblico, no conceptual. Burbuja simblica que, pese a laeleccin realizada por una rama dc la especie humana a partir del Rena-cimiento, y pese a los intentos de su desaparicin por parte de todo tipo depositivismos, permanece en esa especie. en los individuos que la compo-

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nen, e incluso condiciona, de modo indirecto, la adopcin del segundo en-foque, ya racional, del hacer matemtico.

b. Instrumental El segundo enfoque pretende la supresin de cual-quier elemento simblico del hacer matemtico. Este se mostrar comoun hacer demostrativo, ajeno aparentemente a la naturaleza. Y desde estaposicin se pretender su aplicacin, a travs de otras ciencias, a la natu-raleza, de la que no forma parte intrnseca. En tal aplicacin se muestracomo un hacer instrumental bsicamente para la cuantificacin, para lametrizacton.

En este punto suele cometerse un error de base. De hecho, puedeadoptarse una frmula, un algoritmo para un uso inmediato; pero ello noes aplicar la Matemtica o emplearla como slo instrumento. Cuando sesuman dos limones con dos limones, se obtienen cuatro limones, pero lafrmula de la suma de naturales no siempre es correcta: basta sumar dosgotas de un iquido con dos gotas del mismo liquido para no obtener cua-tro gotas. En la aplicacin de una frmula hay que hacer, previas, unassuposiciones, en general implcitas, que es donde clava su raz, precisa-mente, la aplicacin de la Matemtica.

Si se pasa de frmulas aritmticas o procesos simples de medidacomo el que requiere medir esta mesa en la que me encuentro a teorascompletas como el Clculo diferencial o integral, el de Probabilida-des... se observa que muy pocas disciplinas pueden hacer uso de talesinstrumentos. Cuando Carlos Marx pretende obtener las leyes econmi-cas en su formulacin matemtica no hace ms que poner de relieve elfracaso de tal aplicacin directa. Cuando en Qumica se ha intentado laexpresin matemtica de la interaccin entre dos molculas algo comple-jas lo que se ha obtenido es la manifestacin de que esa interaccin noadmite una formulacin matemtica precisa... Y una cosa es el empleo derecetas matemticas como se viene haciendo en Economa, Sociologia.Biologa. Etologa... y otra es obtener una autntica matematizacin delas disciplinas en cuestin. Y creo que la equivocacin se centra en pensarque la Matemtica se aplica, por modo nico, en lo cuantificable y siem-pre a posteriori de la disciplina que la emplea, y de aqu que se adopte co-mo criterio cientfico, casi por modo exclusivo, la cuantificacin y se lle-gue a sostener que slo los conceptos cuantitativos son los conceptos au-tnticamente cientficos.

El hacer matemtico es algo ms que lo estrictamente cuantificable olo estrictamente operacional. No es slo la plasmacin de un cierto tipode universo racionat que exige su propia configuracin sgnica. El hacermatemtico slo ser aplicable all donde se muestre como un hacer cons-titutivo. y no meramente regulativo, para una determinada concepcincientfica. Quiero decir, el hacer matemtico es creador de los marcos devalidez, de los espacios conceptuales en los que puede establecerse una

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determinada ciencia emprica. Y de tal manera que condicionar lo queen ella hay que observar y, consecuentemente, lo que hay que medir ocuantificar. No como algo extrnsecamente aadido sino como algo con-dicionado por esa constitucin que, por serlo, entraa los principios regu-ladores, siempre posteriores.

Adoptar la Matemtica como marco constitutivo de la Ciencia empri-ca no es algo inocuo como pretende el objetivismo cientfico: supone laadmisin de una serie de consecuencias esenciales para esa ciencia.

Cuando la especie humana cre el espacio antiperceptivo de la Geo-metra euclidea y ese espacio se adopt como el espacio real, el de la natu-raleza, oblig a escindir las cualidades de los cuerpos en dos categoras:primarias y secundarias. Slo las primarias se podan convertir en objetoscientficos porque eran la manifestacin tanto de la forma geometrizablecomo de las relaciones y proporciones que pudieran establecerse entreesas formas. Slo en un espacio antiperceptivo como el eucldeo. con susnotas de homogeneidad, isotropa, ilimitacin es decir, en un espaciouniforme, poda constituirse una disciplina como la Fisica, la ciencianueva. En este espacio la materia slo podr estar en reposo o en movi-miento y, por su uniformidad, la cantidad de energa o de movimiento to-tal habrn de ser constantes, verificndose la ley de inercia. Por tal unifor-midad. las leyes de la naturaleza tendrn que ser invariantes por despla-zamientos o rotaciones y. a la vez, se tendr un principio de relatividadcomo el de Galileo...

De modo anlogo, slo cuando se crearon otras geometras, como lasdiferenciales sobre superficies o las denominadas no-euclideas. se tuvo laposibilidad de transformar la idea de geometra y, consecuentemente.de espacio para convertirla en la manifestacin de la Teora de grupos.Y desde este enfoque, son los grupos de transformacin los que permitentratar de la invariancia de las traslaciones o rotaciones o simetras espa-ciales, con lo cual las propiedades de homogeneidad, isotropa e ilimita-cin se establecen mediante la invariancia de las traslaciones o giros res-pecto a grupos algebraicos determinados. Y con ello se pasa a considerarque las leyes de la naturaleza han de ser invariantes por desplazamientoen el tiempo o por cambios de orientacin en el espacio; as, han de ser in-variantes la cantidad de movimiento por traslacin espacial, la energapor traslacin temporal, el momento angular por rotacin espacial... Prin-cipios de invariancia que se ligan a simetras y stas se estudian a travsde la Teoria de grupos. Y se pasa al establecimiento de teoras como la dela relatividad o las cunticas. Cambio de enfoque por el que se posibilitala bsqueda de partculas elementales, por ejemplo, al aceptar que lasmismas han de constituir un grupo que deja invariante una determinadacualidad espacial...

Con todo ello estoy indicando que el marco constitutivo matemtico esel que condiciona automticamente las leyes fsicas que se adoptan tan-

La matemtica y el mbito conceptual 51to en sus principios bsicos como en sus derivados. Lo que estoy afirman-do es que la Matemtica condiciona la creacin de teoras fsicas y de talmanera que no es algo exterior de lo que se tomen unas frmulas, una he-rramienta parcial e inocua, sino que es su base constitutiva. Es el hacermatemtico el que da el mareo imprescindible sin el cual esa teora cient-fica carece de toda posibilidad de construccin. Marco que no puede en-focarse como fundamento nico y ltimo, sino como aquel que posibilitaunas reglas de juego y que, por lo indicado, pueden ir variando. Marco alque, una vez creado, hay que agregar otra serie de caractersticas, de reglasde juego como la creencia tambin constitutiva del hacer fsico en lainvariancia cosmolgica de las leyes de la naturaleza, o la invariancia queregula los aparatos de instrumentalizacin experimentaL..

7. Y an ms, un hecho que no he visto suficientemente discutido: elque la Matemtica no slo condiciona. como elemento constitutivo, lacreacin de una disciplina cientfica como la Fsica, sino que condicionalo propio perceptivo del hombre. Y ello porque obliga a crear como fen-menos hechos anteriormente no existentes, fenmenos que pasan a serhechos a partir de la creacin del nuevo marco conceptual. Al aceptar quela naturaleza estaba escrita en lenguaje matemtico, Galileo obligaba a laconstitucin de un tipo nuevo de fsica: en ella lo observable no poda serya la cualidad sensorial como el olor, el sabor, el tono, la textura... quemostraban cada uno una infinidad de matices, sino que lo nuevo observa-ble tena que ser lo geomtrico, la forma, la posicin y, con ellos, el reposoy el movimiento... Cualidades matematizables no slo cuantificables,que aparecen propiedades relacionales y topolgicas. Con ello. el espa-cio geomtrico-fsico creaba sus propios fenmenos, sus propios observa-bles y condicionaba, a su vez, nuevos modos de percepcin. Lo que habaque observar de un cuerpo era su masa o peso en Galileo, acelera-cin, posicin... Se obligaba a percibir lo no directamente perceptible y. ala vez, a no percibir lo directamente perceptible. Un mismo experimentocobraba un sentido nuevo desde la ciencia nueva, muy diferente al quepudiera tener desde otra Burbuja. Se obligaba, as, a una ampliacin de laBurbuja o Ambito perceptivo condicionada, siempre. al marco constituti-vo en el cual se manejaba.

Quiero decir, la Matemtica como marco constitutivo para el hacer f-sico, ciertamente; pero tambin condicionadora de un cambio en lo per-ceptivo humano. Porque, como elemento constitutivo, provoca una infle-xin en lo que denominar realidad, y se propicia la aparicin de nuevosniveles tanto conceptuales como sensoriales, totalmente distintos a los ca-ractersticos tanto de la Burbuja perceptiva como de las Simblica yTecnolgica.

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g. y unas observaciones: haber confundido el papel constitutivo de laMatemtica en Ja Ciencia nueva con el xito que la acompa, con los re-sultados de ese xito, es lo que ha entraado la equivocacin en cuanto ala instrumentalizacin del hacer matemtico respecto a otras disciplinas.Debo advertir que, aun siendo el mareo constitutivo no es la nica creen-cia que se superpone en la creacin de la ciencia nueva. Y tambin insistiren la existencia de distintos niveles que la Matemtica puede mostrar en suhacer una vez que ha dado el marco previo; esos niveles vienen condicio-nados por los prncipios regulativos que habr que ir adoptando en cadacaso. Y es lo que justifica el que pueda aplicarse una frmula simple enunos casos, una expresin linglstica estrictamente matemtica, un algo-ritmo, una teora completa... en otros.

Adoptar un cuadro constitutivo como la Matemtica para la creacinde la Ciencia nueva no implica adoptar el punto de vista ontolgico deque el espacio material tenga 3 4 dimensiones, que en l las acciones en-tre los cuerpos se hagan a distancia mediante un fluido o mediante lneasde fuerza... Un Galileo, un Minkowski, por ejemplo, sostendran que el es-pacio real es el matemtico; un Euler, un Mach sostendran que uno esel espacio perceptivo, con sus tres dimensiones, y otro es el espacio con-ceptual, cientfico, con posiblemente un nmero de dimensiones mayor.Pero este es otro tipo de problemtica enlazada, ciertamente, con lo aquexpuesto.

Quiz por no tener en cuenta estas observaciones, estos matices, se haintentado la instrumentalizacin matemtica en disciplinas a un nivelque no era el adecuado como en el caso de la Biologa cuando se la hapretendido enfocar, en analoga con la Fsica, desde un espacio constituti-yo eucldeo, mientras que pareca ms adecuado enfocarlo desde un mar-co constitutivo dinmico donde las cuestiones centrales son la establili-dad, nudos, puntos de bifurcacion...

Desde el mareo eucldeo uno de los instrumentales bsicos viene dado,en un nivel operatorio, por la integracin de sistemas de ecuaciones dife-renciales lineales, con su carga de determinismo asociada, mientras quelos sistemas dinmicos exigen, desde ese mismo enfoque instrumentaloperatorio, el manejo de sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales,de ecuaciones diferenciales con argumento desviado, por ejemplo. Y no setrata de que estos ltimos sistemas de ecuaciones diferenciales sean mscomplejos en cuanto a su integracin prctica porque, de hecho. Poincardemostr que el sistema de ecuaciones diferenciales lineales caracterza-dor, en la Mecnica clsica, del problema de los n cuerpos en particu-lar, el problema de la estabilidad del sistema solar no era integrable. Delo que se trata es del punto de partida metodolgico, del enfoque del pro-pio problema donde el xito obtenido en la creacin de la Fsica ha con-ducido a tomar su mareo constitutivo como el nico posible para la elabo-

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racin de otras disciplinas, cuando en el interior del hacer matemticoexisten \uchas otras posibiliades para su distinta instrumentalizacion.

Y todo esto no implica la afirmacin de que esa Matemtica sea el ni-co instrumento del que dispone la razn conceptual, el nico hacer pro-pio del mbito o Burbuja conceptual.