La Paradoja de Epiménides 1

Por Rafael Félix Mora Ramirez

Resumen

En el presente artículo defino a la paradoja lógica de tal manera que abarque tanto a las paradojas auténticas como a las paradojas aparentes. Para ello relaciono los conceptos de aporía, antinomia y paradoja. Luego, expongo y explico las familias del Mentiroso, las familias de Russell y las paradojas matemáticas. Pero mi mayor interés estará concentrado en ‘disolver’ formalmente la supuesta paradoja de Epiménides. Demostraré que esta paradoja no tiene razones suficientes para tener el nombre de ‘paradoja’, sino que más bien se trataría de una cuasiparadoja y también de una seudoparadoja. Finalmente, discuto y desarrollo los criterios para elaborar un cuadro clasificatorio que englobe a la mayoría de argumentos considerados paradójicos, tomando en cuenta anteriores clasificaciones de las paradojas.

Palabras clave: paradoja lógica, paradoja tipo oración y paradoja tipo argumento, familias de Russell, familias del Mentiroso, paradoja de Epiménides, seudoparadojas, cuasiparadojas, criterio fuerte-débil.

Abstract

At the present paper I define the logical paradox in such a way that on one hand it involves to the real paradoxes as well as the apparent paradoxes. For this I related the concepts of aporia, antinomy and paradox. Then, I show and explain the Liar’s families, Russell’s families and the mathematical paradoxes. But my main interest is focused on to dissolving formally the suppoused Epimenides paradox . I’ ll show that there is not enough reason to call it like that ‘paradox’. It would rather be a quasiparadox and also a pseudoparadox. Finally, I discuss and develop the criteria to elaborate a classifying chart that would englobe most of the arguments considered “paradoxical”, taking into account former classifications of paradoxes. Keywords: logical paradox, sentence type paradox and argument type paradox, Russell’s families, Liar´s families, Epimenides paradox, pseudoparadox, quasiparadox, criterion strong-weak.

1 Este texto contiene los principales argumentos de mi trabajo de investigación científica La Paradoja de Epiménides: Propuesta de Clasificación de Paradojas. UNMSM, 2008, y además es la ponencia que tuve la oportunidad de presentar en el XI Congreso Nacional de Filosofía celebrado en la ciudad blanca de Arequipa.

1

1. Definición de paradoja lógica

Los términos ‘aporía’ y ‘antinomia’ guardan cierta relación conceptual con las

paradojas lógicas que tratamos de definir. Según el artículo de Robert S.

Tragesser aparecido en “A Companion to Epistemology” (1992, p. 18), cualquier

problema difícil que se plantea cuando estamos tratando de ampliar nuestro

conocimiento de un asunto, y que amenaza seriamente obstaculizar nuestro

mayor progreso se llama aporía en especial cuando parecen ser igualmente

fuertes tanto argumentos a favor como argumentos en contra de cualquier

solución. En cambio, Jonathan Vogel define a la paradoja algo vagamente,

escribiendo que una paradoja (Dancy y Sosa, 1992, p. 324) es un argumento de

premisas indiscutibles pero con una conclusión inaceptable; más estrictamente,

una paradoja se especifica mediante una oración que es verdadera si y sólo si es

falsa. Por último, según Tragesser, la antinomia (Dancy y Sosa, 1992, p. 17) se da

cuando somos capaces de defender, o demostrar, tanto una proposición como su

contradictoria, pero en ella no podemos hallar error de demostración alguno.

Esperamos a la larga poder resolver la antinomia, a través de una cuidadosa

reflexión y análisis, ya sea por algún error o por ambos motivos. En este sentido,

por un lado, la aporía y la paradoja lógica son argumentos originados por dilemas

y contradilemas construidos para comenzar investigaciones y para finalizar la

demostración de la inconsistencia de ciertas teorías, respectivamente. Pero, por

otro lado, la paradoja lógica y la antinomia son oraciones que dan lugar a

contradicciones relevantes que son subsanadas mediante la negación de ciertos

2

supuestos implícitos en la metateoría. Estos dos conceptos (aporía y antinomia)

señalan dos aspectos importantes en las paradojas: su aspecto argumental u

oracional. Siguiendo la etimología, y ayudándonos de términos extraídos de la

Poética de Aristóteles2, podemos decir que la ‘paradoja’ tiene dos significados: la

posibilidad inverosímil (como sustantivo) y lo falaz (como adjetivo). Además, hay

dos formas de definir la paradoja lógica, una considera dicho constructo como una

expresión de dos términos del mismo tipo; y la otra lo considera como una

expresión de términos de tipos diferentes. Pero no puedo escoger la primera forma

de definición, ya que si lo hiciera la paradoja lógica podría ser definida como un

teorema de lógica formal o como una conjunción de opuestos (u oxímoron).

Ambas posibilidades son inaceptables: la primera es criticada por Marino Llanos

(2003, p. 385) quien sostiene que no hay paradojas que se produzcan dentro de

los sistemas lógicos afines al esquema de axiomas de Principia Mathematica; la

segunda cae por su propio peso ya que es imposible definir algo mediante

opuestos tales como calientemente frío o altamente bajo y esto sucedería si

leyéramos ‘paradoja lógica’ como la unión de dos adjetivos en donde ‘paradoja’

alude a lo falto de consecuencia lógica por ser falaz, mientras que ‘lógica’ alude a

lo racional, lo que forma parte del sentido común estándar. Por lo tanto, la

paradoja lógica solo puede ser definida si es entendida como un constructo de dos

términos de diferente tipo: ‘paradoja’ es sustantivo y ‘lógica’ es adjetivo.

Estrictamente, la paradoja lógica es la posibilidad increíble capaz de ser

expresada, formalizada y estudiada mediante el lenguaje lógico. Técnicamente, la

2 “Se debe preferir lo imposible verosímil a lo posible increíble (…)” (Aristóteles, 1992, p. 223).

3

paradoja lógica se define como aquel argumento válido cuya conclusión es una

contradicción del tipo p&¬p o del tipo V(p)↔F(p). Pero, si solo hay una premisa,

dicha oración también será llamada paradoja lógica. 3

Basándome en las declaraciones de los filósofos, he encontrado que las

paradojas lógicas pueden ser entendidas en dos niveles. Por un lado, está el nivel

argumentativo 4 y por otro lado, el nivel oracional 5. Si reduzco el argumento de la

paradoja a la oración esencial “a” gracias a la cual derivamos que V(a)↔F(a),

puedo decir que una paradoja oracional tiene las propiedades de autorreferencia

infundada (directa o indirecta), circularidad y contradicción 6. Por ejemplo, la

oración del Mentiroso “Esta oración es falsa” tiene la propiedad de autorreferencia

directa. Y el sistema de oraciones de la Tarjeta de Jourdain: “La siguiente oración

es verdadera: “La anterior oración es falsa” ” tiene la propiedad de circularidad (o

3 Consideramos que las oraciones que forman parte de una sucesión susceptible de generalización son en realidad una sola oración universal que ha sido desdoblada en sus ejemplificaciones universales. Por ejemplo, el sistema (S1) “(1) La oración 2 es verdadera (2) La oración 3 es verdadera (3) La oración 1 es falsa”puede generalizarse mediante la siguiente fórmula. Oración Genérica de (S1)(W) La oración ((-3/2)W2+(11/2)W-2) tiene la propiedad de ser Z, donde si W=1 y W=2, Z es el predicado ‘verdadero’, pero si W=3, Z es el predicado ‘falsa’.4 Russell (1983) habla de las paradojas como falacias. Northrop (1949) habla de paradojas como razonamientos en un cierto lenguaje. Y Hart (2007), asume que todas las paradojas son argumentos. 5 Popper (1945) trata a las paradojas como oraciones. Kripke (1997) habla de oraciones paradójicas. García Zárate (2007) sugiere definir a la paradoja como la proposición cuya verdad implica su falsedad y viceversa.6 Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad Politécnica de Madrid. Juegos de Lógica. En esta página Web se caracteriza a la paradoja como autorreferente, circular y contradictoria. Sin embargo, no toda autorreferencia da lugar a paradojas, por ejemplo, “Esta oración tiene cinco palabras” es verdadera de sí misma. Solo la autorreferencia infundada será la responsable de la aparición de paradojas lógicas.

4

autorreferencia indirecta) al igual que todo otro paradójico sistema de 3 o más

oraciones. Esta tendencia a autorreferirse de la paradoja lógica explica que la

‘Tarjeta de Jourdain’, el ‘Libro Antinómico de Tarski’, la paradoja de Yablo (1993),

etc. que son sucesiones de oraciones con una forma lógica generalizable sean

consideradas por mí como las únicas premisas de sus respectivos argumentos.

Pero, si bien la autorreferencia no está presente en el caso de las paradojas de

Russell, la propiedad de infundación sí que lo está. Esta propiedad consiste en

poder construir sin restricciones fórmulas cuyos términos no han sido esclarecidos

ni delimitados y se relaciona con la autorreferencia cuando ésta da lugar a

paradojas. La infundación consiste en que existan un conjunto B y una secuencia

infinita de conjuntos A, A’, A’’, ... tales que AB, A’A, A’’A’, etc. (Sartorio, 2000,

p. 114) Estos datos sucesivos en los que B abarca a A que abarca a A’, que a su

vez abarca a A’’, no tendrán asignado un valor de verdad dependiendo de

instancias no sintácticas; toda la expresión conjuntista cobra sentido en virtud de

su sola construcción. La propiedad de la circularidad de las paradojas está

representada por la presencia de conceptos circulares tales como ‘verdad’ que

aparece en las paradojas del Mentiroso y otros como ‘inclusión’, ‘pertenencia’,

‘autorelación’ y ‘autodenotación’ que aparecen en las paradojas de Russell. Dichos

conceptos no tienen una extensión a las que se apliquen de inmediato, ellos

deben esperan a que se les asigne una extensión hipotética para que no produzca

inconsistencia. Pero, la circularidad que se construye como un círculo vicioso tiene

la siguiente forma lógica. Si a es una oración paradójica, entonces dentro de una

lógica n-valente: V1(a)→V2(a) & V2(a)→V3(a) … & Vn-1(a)→Vn(a) & Vn(a)→V1(a).

5

Luego, por ‘n’ silogismos hipotéticos concluimos ‘n’ círculos viciosos: V1(a)→V1(a),

V2(a)→V2(a), V3(a)→V3(a), etc.

Como ya hemos dicho respecto a su definición, la paradoja lógica entendida

como un argumento tiene la forma lógica: P→(Q&¬Q) o P→(Q↔¬Q). En este tipo

de paradojas, la clasificación de Quine expuesta en The Ways of Paradox (1976)

de las paradojas en verídicas y falsídicas (dejando de lado a las antinomias) tiene

una aplicación interesante. La paradoja verídica se constituye como una reducción

al absurdo (propia o trivial) 7 que, en el caso de la primera forma lógica, culmina en

¬P. La paradoja falsídica se relaciona con la falacia porque también su ‘prueba’ se

construye en base a una desafortunada relación de consecuencia lógica, pero se

diferencia de ésta en que la matriz lógica de la paradoja falsídica es inválida (de

hecho, es contradictoria) y en ella se concluyen sólo cosas falsas mientras que la

matriz lógica de la falacia es contingente (Ferrater Mora, 1994, p. 2693). Además,

la paradoja falsídica también puede ser una oración o un argumento no paradójico,

mientras que la falacia es solo un mal argumento.

2. Familias de paradojas

7 La reducción al absurdo es propia cuando la premisa adicional en forma de negación que se hace ingresar al cuerpo de premisas participa de modo activo en el desarrollo de la prueba mediante deducciones logradas con su ayuda. La reducción será trivial cuando dicha premisa adicional no participe en ninguna forma en el desarrollo de la prueba.

6

Existen muchas clases de paradojas lógicas tradicionales. Todas ellas se

construyen como pruebas, es decir, con sucesiones de oraciones de la forma

p →…→ q que representa la tríada: premisas-pasos deductivos-conclusión. Si la

forma de q es “R&¬R”, ello permite que por reducción al absurdo podamos

concluir ¬p. En el caso de la familia argumental de Russell (paradoja del barbero,

de los catálogos, de los alcaldes, de Grelling (1943) y de Berry) y las paradojas

matemáticas (paradoja de Cantor, de Burali-Forti, de Richard y de Russell) dicha

fórmula sirve para terminar la prueba por reducción al absurdo. Pero, también la

forma de q puede ser R↔¬R. En este caso, puede tratarse tanto de una paradoja

oracional como de una argumental. Por ejemplo, las familias oracionales de

Russell (paradoja de las clases, de las propiedades y de las relaciones) y el

Mentiroso (Versión de Haack (1982) , versiones de Quine (Hofstadter, 1987),

Tarjeta de Jourdain, Libro antinómico de Tarski (2000), Paradoja de Yablo (1993))

permiten construir V(a)↔F(a), siendo ‘a’ el nombre de una oración infundada que

puede contener términos circulares y a = {“Esta oración es falsa”, “La siguiente

oración es verdadera: La anterior oración es falsa”, “El conjunto de todos los

conjuntos que no se contienen a sí mismos se contiene a sí mismo”, “La propiedad

impredicable se aplica a sí misma”, “La relación que no guarda consigo mismo un

término la guarda un término consigo mismo”, etc.}. La familia argumental del

Mentiroso (paradoja del Quijote (1995) , dilema de los caníbales, dilema del

cocodrilo, paradoja de Protágoras) puede ser susceptible de reformulación

mediante la construcción de dilemas y contradilemas, además, en esa familia la

7

oración “a” que aparece en V(a)↔F(a) puede verse en una de las premisas en

forma de identidad y a={m, donde m se lee “El pasante será colgado” en el caso

de la paradoja del Quijote; H(e), donde H(e) se lee “El explorador será hervido” en

el caso del dilema de los caníbales; C(k,h), donde C(k,h) se lee “El cocodrilo se

come al niño” en el caso del dilema del cocodrilo; ¬N(e,p), donde ¬N(e,p) se lee

“Evatlo no le paga a Protágoras” en el caso de la paradoja de Protágoras}. Como

podemos notar la díada oración-argumento ha sido la base para reunir estas

paradojas en grupos de familias argumentas u oracionales. Esto permite visualizar

la gran relación entre las paradojas del Mentiroso y las de Russell: ellos tienen los

mismos tipos de familias. Las paradojas matemáticas forman una familia

argumental debido a que tienen la forma de una prueba por reducción al absurdo y

además porque no es posible generalizar sus premisas que son más de una.

3. La paradoja de Epiménides

Hemos visto que las paradojas pueden ser oracionales o argumentales. Sin

embargo, la paradoja de Epiménides (Pablo, 2001, pp. 1193-1194), que a

continuación exponemos, puede ser considerada como una paradoja tipo

argumento y como una paradoja tipo oración, sólo que no es paradójica per se en

ninguno de los dos sentidos.

1. Una expresión es dicha por Epiménides. [P(q)]

8

2. Esta expresión es la frase “Todo lo que es dicho por un cretense, es falso“. [q=y(C(y)→F(y))]

3. Si una expresión es dicha por Epiménides, entonces es dicha por un cretense. [P(q)→C(q)].

POR LO TANTO, lo que Epiménides dice es verdadero si y solo si es falso. [V(q)↔F(q)] 8

La falsa analogía entre esta paradoja y la del Mentiroso nos obliga a probar que si

la oración del Epiménides es verdadera, entonces es falsa y que si la oración de

Epiménides es falsa entonces es verdadera. Pero solamente podemos probar que

V(q)→F(q). Postulemos metalógicamente la siguiente afirmación: “Si tenemos un

consistente cuerpo de premisas “z” entonces podemos afirmar que solo podemos

derivar, o solo la fórmula B, o solo ¬B. Para demostrar la imposibilidad de

demostración de una conclusión ¬B (y, en consecuencia la demostrabilidad de B)

a partir de cierto cuerpo de premisas “z”, bastará con mostrar que sólo se puede

llegar a ¬B por métodos erróneos”. Siguiendo este postulado y haciendo que

¬B=“F(q)→V(q), donde q= “Todos los cretenses son mentirosos” ”, podemos

demostrar la imposibilidad de demostración de F(q)→V(q) a partir del cuerpo de

8 Probar: [P(q) & q=y(C(y)→F(y)) & P(q)→C(q)] .→. V(q) →F(q)1.

2.

3. // 4. // 5. 4 Y (D)* MODUS PONENS6. 2 Y 5 (I) 7. 6 EJEMPLIFICACIÓN UNIVERSAL8. 3 Y 7 SILOGISMO HIPOTÉTICO 9. 1 Y 8 MODUS PONENS 10. 4-9 PRUEBA CONDICIONAL

La anterior demostración ha sido la prueba de la primera “parte” de la conclusión de la paradoja de Epiménides. La siguiente fórmula (D)* : V(a) a se deriva de la fórmula deflacionista (D): V(a) a, donde a es una oración (García Zárate, 2006). (I) es la regla que rige sobre las identidades (Suppes, 1979, p. 144).

9

tres premisas z = [P(q) & q=y(C(y)→F(y)) & P(q)→C(q)]. Como sabemos la

fórmula F(q)→V(q) puede ser reducida a V(q), y por lo tanto, con el argumento

anterior habremos demostrado la imposibilidad de demostración de V(q), y

derivadamente la demostrabilidad de F(q). 9 Como una oración no paradójica que

es, la de Epiménides es, en términos de la Teoría de Puntos Fijos de Saúl Kripke

(1997), una oración no fundada con valor de verdad en el punto fijo intrínseco, es

decir, la oración de Epiménides es una oración que tiene valor de verdad para la

interpretación que evite la contradicción. Específicamente, dicha oración solo

puede ser consistente, si asumimos su falsedad, pues si suponemos su verdad

concluiremos su falsedad. En este sentido, la débil paradoja de Epiménides resulta

ser una cuasiparadoja al igual que los principios lógicos autorreferidos y el

principio de verificación que se caracterizan por tener un punto fijo intrínseco que

los hacen falsos por reducción al absurdo 10. Asimismo, la débil paradoja de

Epiménides se revela como una seudoparadoja (Stahl, 1971, pp. 94-96 ) por ser

un argumento que cae en una falacia. De este modo, la paradoja de Epiménides

se revela como una falacia informal del continuum (García Damborenea, 2000, p.

236) que comete el falaz proceder de creer que posiciones extremas son lo mismo

(ya que la paradoja de Epiménides no es como la del Mentiroso 11), y es también

9 Cf. pp. 11-12 de este artículo. 10 El término ‘cuasiparadoja’ fue ubicado en la página Web del Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad Politécnica de Madrid cuyo título es Juegos de Lógica. 11 (Ferrater Mora, 1994, p. 2694), (Kripke, 1997, p. 110). Tanto Ferrater Mora como Saúl Kripke identifican la Paradoja de Epiménides y la del Mentiroso. Esto me parece discutible. Pero, la Paradoja de Epiménides tampoco es una variante de la Paradoja del Mentiroso, ni es análoga a la de la Tarjeta de Jourdain o a la de Grelling. Sin embargo, si bien Eduardo Barrio (1998, p. 46) describe la Paradoja de Epiménides como una variante de la del Mentiroso, sólo razona la paradoja partiendo de la verdad de lo dicho por Epiménides para derivar su falsedad, no a la inversa y sólo la menciona como una

10

una falacia formal basada en una errada regla lógica de primer orden también

llamada Falacia de Aristóteles (1998, p. 202, 1012b 15-17) 12 que sostiene que la

negación de “Todos las cosas son verdaderas” es “Todas las cosas son falsas” y

no su correspondiente “Algunas cosas son falsas”. 13

variante de la del Mentiroso por su estrecho parecido lingüístico. 12 “(…) quien afirma que todas las cosas son verdaderas convierte en verdadero también el enunciado contrario al suyo [este enunciado sería “Todas las cosas son falsas”] y, por tanto, convierte el suyo propio en no verdadero (…) ”.13 Enseguida ensayaremos una “prueba” de la segunda parte de la conclusión de la paradoja de Epiménides para luego revisarla y corregirla.Probar: [P(q) & q=y(C(y)→F(y)) & P(q)→C(q)] .→. F(q) →V(q)

1.

2.

3. // 4. // 5. 4 Y (D)** MODUS PONENS6. 2 Y 5 (I) 7. 6 INTERCAMBIO DE CUANTIFICADORES ?

8. 7 DOBLE NEGACIÓN9. 8 EJEMPLIFICACIÓN EXISTENCIAL10. 9 DEF. DEL COND. Y DE MORGAN 11. 10 SIMPLIFICACIÓN12. 11 Y (D)*** MODUS PONENS13. 12 DOBLE NEGACIÓN14. 13 Y (D)**** MODUS PONENS 15. 4-14 PRUEBA CONDICIONAL

Si analizamos con detenimiento el paso 9 de esta última prueba nos daremos cuenta del error en el que se cae inconscientemente al afirmar que la paradoja de Epiménides es verdadera si y solo si es falsa: no podemos emplear constantes al hacer la ejemplificación existencial. Hacer semejante atrocidad lógica sería como deducir que Michifuz es negro, porque algunos gatos son negros y porque Michifuz es un gato. Volviendo al análisis lógico dejado de lado líneas ha, la prueba del segundo argumento la seguiremos despachando desde donde fue notado el desliz, es decir, desde el paso 9 y deduciremos solo lo que se puede deducir.

9. 8 EJEMPLIFICACIÓN EXISTENCIAL10. 9 DEFINICIÓN DEL CONDICIONAL11. 10 DE MORGAN12. 11 SIMPLIFICACIÓN13. 12 Y (D)*** MODUS PONENS14. 13 DOBLE NEGACIÓN

11

Pero, sólo en un caso especial podemos decir que “Todos los cretenses son

mentirosos” es verdadera y falsa a la vez (como la oración del Mentiroso), si

asumimos que sólo existe un único cretense, a saber, Epiménides. Esto sucederá

debido a que si sólo existe un cretense, podemos suponer falsa a la oración de

Epiménides y esto no impediría que también la negación de la oración del profeta

“Algunos cretenses son honestos” sea verdadera por la sencilla razón de que si el

referente de “algunos” y “todos” es único, v. g. Epiménides, entonces pasar de una

premisa existencial a una universal no representaría falacia alguna. Sin embargo,

el dato de que Epiménides es el único habitante de su isla altera el esquema

original de premisas y cambia el argumento de Epiménides por otro muy distinto.

4. Paradojas débiles y clasificación total

Como ya se ha dicho, existen varias clases de paradojas con forma

argumental u oracional. Sin embargo, las falsas apariencias de paradoja de una

oración y un argumento pueden ser suficientes motivos para tratarlas como

paradojas débiles. En este sentido, las cuasiparadojas y las seudoparadojas se

muestran débiles porque han fracasado en su plan de semejarse a una paradoja

auténtica. Las cuasiparadojas son oraciones no paradójicas que tienen dos de las

tres propiedades de toda paradoja oracional. A la luz de la Teoría de Puntos Fijos

de Saúl Kripke éstos entes pueden ser de dos clases: oraciones con punto fijo

15. 9 Y (D)**** MODUS PONENS16. 15 GENERALIZACIÓN EXISTENCIAL17. 4 -16 PRUEBA CONDICIONAL

12

intrínseco o con punto fijo máximo (Kripke, 1997). Las oraciones con punto fijo

intrínseco (tautologías lógicas, principio de verificación, paradoja de Epiménides)

se caracterizan por tener las propiedades de autorreferencia y contradicción. La

ausencia de la circularidad se explica porque si A es una oración con punto fijo

intrínseco, entonces o bien V(A)→F(A) o bien F(A)→V(A). Este tipo de oraciones

pueden ser verdaderas o falsas, exclusivamente. Las oraciones con punto fijo

máximo (El honesto, bucles finitos, bucles infinitos) se caracterizan por tener las

propiedades de autorreferencia y circularidad. La ausencia de la contradicción se

justifica debido a que si B es una oración con punto fijo máximo, entonces

V(B)→V(B) y F(B)→F(B), es decir, V(B) F(B). Este tipo de oraciones pueden ser

verdaderas o falsas, inclusivamente. Las seudoparadojas (paradoja de Aquiles y la

Tortuga (Kirk, Raven y Schofield, 1983), primera antinomia de Kant (1984),

paradoja de Galileo (1945), paradoja de Epiménides (Pablo, 2001) son

argumentos no paradójicos en lenguaje natural cuya prueba está basada en una

falacia y se caracterizan por derivar en una contradicción positiva entre el

pensamiento científico y protocientífico.

Pero de nada serviría romper con los prejuicios que se tienen con respecto a

la paradoja de Epiménides, si no propongo una clasificación que ubique a dicha

paradoja donde le corresponde. Con este fin, cito y discuto los criterios

clasificatorios de 6 filósofos que se han pronunciado al respecto. Comenzaré con

la tradicional clasificación de Ramsey (1931) de las paradojas en lógicas y

semánticas. Esta resulta defectuosa en vista del utilizado criterio poco convincente

13

de la solucionabilidad. Dicho criterio supone que las paradojas son falacias bien

disfrazadas. Pero, ya hemos dicho que la paradoja no es una apariencia sino una

realidad: ella es la posibilidad increíble reconstruible en términos formales.

Además, es insuficiente con respecto a las paradojas de Grelling (1943) y de

Richard que son, erróneamente, consideradas ‘semánticas’. La clasificación de

Russell (1983) de las paradojas busca la unidad de todas las paradojas pero (de

nuevo) a través del concepto de solucionabilidad. Además, esta clasificación

resulta más abierta y más abarcadora ya que considera que la paradoja también

puede ser una falacia que viola el principio del círculo vicioso. No puedo aceptar el

criterio de la solucionabilidad para hacer una clasificación de las paradojas más

adecuada, porque, de acuerdo a Popper (1962), la paradoja lógica puede ser

mejor entendida en su significado no-riguroso de tal manera que abarquemos el

mayor número de referentes. La clasificación de Northrop (1949), basada en la

naturaleza del lenguaje utilizado para formular las paradojas, se divide en:

paradojas del lenguaje natural (variantes del Mentiroso) y paradojas del lenguaje

formal (paradojas matemáticas). Esta clasificación tiene la virtud de explicar la

“matematicidad” de la paradoja de Richard. La clasificación de Quine (1976) de las

paradojas las divide en: antinomias, paradojas verídicas y paradojas falsídicas.14

Las antinomias son contradicciones que sirven para desechar falsos presupuestos

metateóricos, las paradojas verídicas son argumentos que funcionan por

reducción al absurdo y las paradojas falsídicas son falacias con apariencia de

paradoja. Modificaremos esta clasificación tripartita y la utilizaremos como criterio

14 En este artículo cf. p. 3 para la antinomia y cf. pp. 6-7 para las paradojas verídicas y falsídicas.

14

en nuestra propuesta de clasificación de paradojas. La clasificación de Tarski

(2000) de las paradojas las divide en tres especies: las paradojas positivas que

condicionan el avance de la ciencia, las paradojas que son falacias o sofismas y

las que tienen ambas características, es decir, las “enfermedades inmunizadoras”.

Este último tipo de paradojas corresponden a las antinomias quineanas. La

clasificación de Thomson de las paradojas, según el criterio de la correspondencia

o falta de correspondencia, las divide en fundamentadas y sin fundamentar

resaltando más las semejanzas que las diferencias. Kripke (1997) en base a estos

estudios pudo determinar la infundamentación semántica de ciertas oraciones.

Finalmente, la clasificación que se presenta en este trabajo divide a las paradojas

lógicas en un primer nivel, según el criterio fuerte-débil. Elegimos este par de

términos contradictorios para poder encontrar relaciones entre las paradojas y las

malas imitaciones de ellas y además porque nuestro objetivo es el de lograr la

mayor abarcabilidad posible a fin de reunirlo todo en un uno. En un segundo nivel,

según el criterio de las clasificación de Quine, las paradojas fuertes serán

antinomias o paradojas verídicas; y las paradojas débiles serán paradojas

falsídicas. En un tercer nivel, siguiendo el criterio de la díada oraciones-

argumentos, las antinomias serán paradojas oracionales; las paradojas verídicas

serán paradojas argumentales; y las paradojas falsídicas estarán constituidas

tanto por seudoparadojas como por cuasiparadojas. Las seudoparadojas son

argumentos no paradójicos. Las cuasiparadojas son oraciones no paradójicas.

Veamos el siguiente diagrama de árbol que resume lo dicho.

15

5. Observaciones Finales.

- La paradoja es un argumento valido que deriva en contradicciones. Además, este

argumento puede ser sintetizado por medio de una oración breve que es

infundada (o autorreferente, si es una paradoja tipo mentiroso), circular y

contradictoria.

- Las familias de Russell y del Mentiroso son de dos tipos: oracionales y

argumentales.

- La paradoja de Epiménides es una seudoparadoja (un argumento no paradójico)

y una cuasiparadoja (una oración no paradójica).

16

Paradojas lógicas

Paradojas fuertes Paradojas débiles

Antinomias Paradojas verídicas Paradojas falsídicas

Familia oracional del Mentiroso

Familia oracional de Russell

Familia argumental del Mentiroso

Familia argumental de Russell

Cuasiparadojas

SeudoparadojasParadojas matemáticas

Paradoja de Epiménides

Paradoja de Epiménides

- La clasificación de las paradojas en débiles y fuertes aplica el criterio de la mayor

abarcabilidad y se nutre de la propuesta de Quine, así como de la forma

argumental y oracional de las paradojas y las no-paradojas.

Bibliografía

ARISTÓTELES. (1992) Poética, Madrid: Gredos.

………………… (1998) Metafísica, Madrid: Gredos.

BARRIO, Eduardo Alejandro. (1998) La Verdad Desestructurada. Buenos Aires:

Eudeba.

CERVANTES SAAVEDRA, Miguel de. (1995) El Ingenioso hidalgo Don Quijote de

la Mancha. Madrid: Ediciones Cátedra.

DANCY, Jonathan (y) SOSA, Ernest. (comp.) (1992)

A Companion to Epistemology. Massachussets: Blackwell.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA, FACULTAD DE INFORMÁTICA

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID. (2008) Juegos de lógica.

Disponible en:

http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/matrecreativa/juegosdelogica/enunciados.html

FERRATER MORA, José. (1994) Diccionario de filosofía. Barcelona: Ariel.

17

GALILEI, G. (1945) Diálogos acerca de dos nuevas ciencias. Buenos Aires:

Losada.

GARCÍA DAMBORENEA, Ricardo. (2000) Uso de razón. Diccionario de falacias.

Madrid: Biblioteca Nueva.

GARCÍA ZÁRATE, Óscar Augusto. (2006) Deflacionismo y Minimalismo. Tesis

doctoral. Ciudad Universitaria: UNMSM.

……………………………………….. Lógica. (2007) Lima: UNMSM.

GRELLING, Kurt. Teoría de los conjuntos. (1943) México: Logos de México.

HAACK, Susan. Filosofía de las lógicas. (1982) Madrid: Cátedra.

HART, Wilbur. (2007) “Les Liaisons dangereuses”. En: Philosophy of Mathematics

(A. Irving, editor), Ámsterdam, North-Holland/ Elsevier, (en prensa).

HOFSTADTER, Douglas R. (1987) Gödel, Escher, Bach: Un Eterno y Grácil Bucle.

Barcelona: Tusquets.

KANT, Inmanuel. (1984) Crítica de la Razón Pura. Buenos Aires: Orbis.

KIRK, G. S., RAVEN, J. E. (y) SCHOFIELD, M. (1983) Los Filósofos Presocráticos.

Madrid: Gredos.

KRIPKE, Saúl. (1997) “Esbozo de una teoría de la verdad”. En: Teorías de la

verdad en el siglo XX. (J. Nicolás Marín, et al., editores), Madrid: Tecnos

pp. 109-143.

LLANOS, Marino. (2003) Lógica Jurídica. Lima: Logos.

MORA, Rafael. (2008) La Paradoja de Epiménides: Propuesta de Clasificación de

Paradojas. Lima: UNMSM. (inédito)

NORTHROP, Eugene. (1949) Paradojas Matemáticas. México: UTEHA.

18

PABLO. (2001) “Carta a Tito”. En: Sagrada Biblia. Barcelona: Cultural S.A.,

pp. 1193-1194.

POPPER, Karl. (1945) “La Defensa del Racionalismo”. En: Popper. Escritos

Selectos. (1997) (David Miller, comp.) México: FCE, pp. 32-48.

………………… (1962) La Lógica de la Investigación Científica. Madrid: Tecnos.

QUINE, Willard Van Orman. (1976) "The Ways of Paradox". En: The Ways of

Paradox and Other Essays, Cambridge-Mass: Harvard University Press,

pp. 1-18.

RAMSEY, Frank Plumpton. (1931) “Foundations of Mathematics”. En: The

Foundations of Mathematics and others Logical Essays (R. B. Braithwaite,

editor), New York: Harcourt Brace & Company.

RUSSELL, Bertrand. (1983) Los principios de la matemática. Madrid: Espasa-

Calpe.

SARTORIO, Ana. (2000) Conjuntos e Infinitos. Buenos Aires: Eudeba.

STAHL, Gerold. (1971) Al explorar lo infinito. Santiago de Chile: Universitaria.

SUPPES, Patrick. (1979) Introducción a la Lógica Simbólica. México: CECSA.

TARSKI, Alfred. (2000) “Verdad y Prueba”. En: Tópicos en epistemología

(L. Piscoya, editor), Lima: UIGV, pp. 191-230.

YABLO, Stephen. (1993) “Paradox without Self-Reference”. En: Analysis 53

pp. 251-152.

19