LA RECTA La recta, o línea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una

dimensión y contiene infinitos puntos, se puede representar como un vector; está

compuesta de infinitos segmentos. El segmento es el fragmento más corto de

una linea que une dos puntos. La recta también se describe como la sucesión

continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, sin mostrar ni

principio ni fin. También existe la recta numérica que es de las mismas

características pero esta representando el orden de los numero.

UNA LINEA RECTA

Analíticamente, es una ecuación lineal o de primer grado en dos variables.

Recíprocamente, la representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación

sea de primer grado en dos variables es una recta.

Una recta queda determinada completamente si se conocen dos condiciones, por

ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o coeficiente

angular), etc.

La pendiente de una recta corresponde al cambio en Y dividido el cambio en X la

cual corresponde a la ecuación:  .

Cuando la recta se inclina hacia arriba de izquierda a derecha, se dice

que esta recta tiene pendiente positiva.

Cuando la recta se inclina hacia abajo de izquierda a derecha , se dice

que esta recta tiene pendiente negativa.

Cuando la recta es horizontal , la pendiente de la recta es 0.

Cuando la recta es vertical, la pendiente de la recta no esta definida.

Características de la Recta

La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.

La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría

euclidiana.

La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos

planos.

Ecuaciones de la Recta

Tomados dos puntos de una recta, la pendiente m es siempre constante. Se

calcula mediante la ecuación: 

Ecuación General de la Recta

Ecuación de la Recta (vertical)

Ecuación de la Recta (horizontal)

Ecuación de la Recta (punto-pendiente)

 

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente. 

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se

conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se

conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta

conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la

tangente de la recta con el eje de abscisas X.

Ejemplo 

Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto A (4, -8) y que tiene

una pendiente de 3/2 al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente: 

 

 

 

 

 

 

 

De esta forma hallamos la ecuación general de la recta la cual es de la forma: 

Ecuación de la Recta (pendiente-intersección)

Si se conoce m (pendiente) , y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas

es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación punto pendiente de la

recta,  : 

 

 

 

Esta es la ecuación de la recta pendiente-intersección o pendiente intercepto. 

Se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos

b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la

ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Solución para problemas en que la Recta pasa por un punto

Determinar las rectas del plano que pasan por el punto (x0,y0).

La ecuación de la recta ha de ser, como ya se sabe:

Y ha de pasar por el punto (x0,y0), luego tendrá que cumplirse:

Despejando b, tenemos esta ecuación:

Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:

Ordenando términos:

Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto (x0,y0),

el valor de m es la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz,

m puede tomar un valor real cualesquiera.

Distancia entre puntos

- Esta ecuación parte de tener dos puntos cualesquiera en el plano, llamándoles

(x1, y1) y (x2, y2) la cual es una aplicación del teorema de Pitágoras siendo la

distancia entre los puntos de cada uno de sus respectivos ejes los catetos, y la

hipotenusa la distancia final.

- La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = P1P2, entre valor

absoluto esta dada por:

Demostración:

Punto Medio de una recta

Rectas Paralelas

Son Paralelas al eje cuando ambas rectas tienen la misma pendiente 

Rectas Perpendiculares

Son Perpendiculares entre ellas cuando el producto de ambas pendientes es -1 

Angulo entre Rectas

Mediatríz

La mediatríz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en el punto

medio 

Los puntos de la mediatríz están a igual distancia de los extremos del segmento. 

Problemas

Ejemplo #1

Encontrar la ecuación de la mediatríz del segmento formado por los puntos A(4,2)

y B(-2,10). 

Ejemplo #2

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 

Ejemplo #3

encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto A( -1, 3) y es paralela a

la recta 2y -6x = 10

Ejemplo #4

Halle la ecuación de la recta que pasa por   y es paralela

a   

Ejemplo #5

Halle la ecuación de la recta que pasa por   y es perpendicular

a 

Ejemplo #6

Encontrar la ecuacion de la recta que pasa por x el punto P(5,-7) en la recta que

es paralela a

 

Ejemplo #7

Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (3,2),(4,3)

Ejemplo #8

Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (5,1),(8,3)

Ejemplo #9

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B (-2, 1).

Determine el intercepto de la recta con el eje y.

 

Ejemplo #10

Del segmento formado por los puntos A(5,2) y B(-2,12), encontrar la

mediatriz

Ecuación de la rectaPara entrar en esta materia y para entender lo que significa la Ecuación de la Recta es

imprescindible estudiar, o al menos revisar, lo referido a Geometría analítica y Plano

cartesiano.

La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son

también el punto y el plano).

La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una

única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal,

vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).

La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que

nos entrega la misma línea  (par de coordenadas para A y par de

coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos

encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa

misma recta.

El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a

una recta dada se denomina Ecuación de la Recta.

Para comprender este proceder es como si la misma línea solo se cambia de ropa

para que sepan de su existencia pero expresada en términos matemátiicos (como

una ecuación).

Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la

representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer

grado.

Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan

de la  línea recta que se quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay

varias formas de representar la ecuación de la recta.

1.– Ecuación general de la recta

Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.

De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una

línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano

cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y).

Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano

cartesiano pues la Ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un

Plano cartesiano.

 

Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan

incluidas en la ecuación

Ax + By + C = 0

Que también puede escribirse como

ax + by + c = 0

y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente:

Teorema

La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B,

C pertenecen a los números reales( );  y en que A y B no son

simultáneamente nulos, representa una línea recta.

2.– Ecuación principal de la recta

Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta.

Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente:

Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de

coordenadas, siendo x el valor de la abscisa (horizontal) e y el valor de la ordenada

(vertical).

(x, y) = (Abscisa , Ordenada)

Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5.

Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la

ecuación.

Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface la

ecuación y = x – 5, ya que al reemplazar queda

2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.

Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un

punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con

la fórmula

y = mx + n

que considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m) y el punto de

intercepción en la ordenada (n), y es conocida como ecuación principal de la

recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego).

Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos

nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos

elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y

elpunto de intercepción (también llamado intercepto) en el eje de las ordenadas (y).

Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda,

m representa la pendiente de la recta y permite

obtener su grado de inclinación (en relación a la

horizontal o abscisa),  y n es el coeficiente de

posición, el número que señala el punto donde la

recta  interceptará al eje de las ordenadas (y).

Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta

corta al eje de ordenadas es (0, b) (corresponde a n en

la fórmula principal ya vista), podemos deducir,

partiendo de la ecuación de la recta de la forma 

y − y1 = m(x − x1)

y – b  = m(x – 0)

y – b = mx

y = mx + b

Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama

también forma explícita de la ecuación) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la

ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a

la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación

para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual

indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7).

Conocida la fórmula de la ecuación principal (simplificada o explícita, como quieran

llamarla) de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos

den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede

ser el intercepto.

Esto significa que si te dan esa información se puede conseguir una ecuación de la

forma y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas. Nótese que la ecuación y =

mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo tanto, 

la bcorresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada y).

Ejemplo 1:

Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.

Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.

Usamos la información que tenemos:

m = 3  y  b = 10 y sustituimos en la ecuación

y = 3x + 10.

La ecuación que se pide es y = 3x + 10.

Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla

como una ecuación general:

y – 3x – 10 = 0, la cual amplificamos por –1, quedando como

– y + 3x + 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar

3x – y  +  10 = 0  

Ejemplo 2

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5.

Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.

Usamos a información:  m = – 5 y sustituimos en la ecuación:

y = – 5x + b

Ahora tenemos que buscar la b; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por

lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que buscamos. Se sustituyen esos

valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estamos buscando: 2 = – 5 (1) + b

Despejamos la variable b en:

2 = – 5 (1) + b

2 = – 5 + b

2 + 5 = b

b = 7

Sustituimos el valor de b en la ecuación que buscamos: y = – 5x + 7

La ecuación en su forma principal (simplificada o explícita) es y = – 5x + 7.

La cual también podemos expresar en su forma general:

y = – 5x + 7

y + 5x – 7 = 0

la cual ordenamos y queda

5x + y – 7 = 0

 

Pendiente de una Recta

Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados:

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene

pendiente m = – 3.

Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas.

Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene

pendiente 1/5.

Además:

Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si n =

0 la recta pasa por el origen.

Determinar la pendiente

Aprendido lo anterior es muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y

tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto

(1, 3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y nos quedaría:

3 = 2 · 1 + n,

y despejando n, queda n = 1.

Por lo tanto, la ecuación de esa recta será:

y = 2x + 1.

Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1, 3) y (2, 5), sólo tenemos

que sustituir estos valores en la ecuación principal y obtendremos dos

ecuaciones con dos incógnitas:

3 = m · 1 + n,

5 = m · 2 + n.

Ahora, observemos el gráfico de la derecha: Cuando se tienen dos

puntos de una recta P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), la pendiente, que es

siempre constante, queda determinada por el cuociente entre la

diferencia de las ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las

abscisas de los mismos puntos, o sea, con la fórmula

Entonces, a partir de esta fórmula de la pendiente se puede también

obtener la ecuación de la recta, con la fórmula:

y – y1 = m(x – x1)

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su

pendiente y las coordenadas de uno solo de sus puntos.

Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (x1,  y1)  y tiene la pendiente

dada m,  se establece de la siguiente manera:

y – y1 = m(x – x1)

Ver: PSU: Matemáticas,

Pregunta 36_2010

Pregunta 15_2006

 

Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente

de  – 1/3

Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:

y – y1 = m(x – x1)

y – (–4) = – 1/3(x – 2)

3(y + 4) = –1(x – 2)

3y + 12 = –x + 2

3y +12 + x – 2 = 0

3y + x + 10 = 0

x + 3y + 10 = 0

Volviendo a la ecuación general de la recta (Ax + By + C = 0), en ella la pendiente (m) y el

coeficiente de posición (n) quedan determinados por:

 

 

Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x – 6y + 3 = 0?

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos de una recta. Sobre la base de estos dos puntos

conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.

Para ello tomemos un tercer punto R(x, y), también perteneciente a la recta.

Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma

pendiente. O sea

 

    y   

Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

 

que también se puede expresar como

 

 

Ejemplo 1:

Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)

 

 

 

y – 2 = x – 1

y – x + 1 = 0

Ejemplo 2:

Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P1(4, 3) y P2(–3,  –2)

Sabemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

 

Reemplazamos los valores:

–2 – 3     =  y – 3

–3 – 4        x – 4

 

–5    =   y – 3

–7        x – 4

 

y – 3  = x – 4 (–5 /–7)

 

y – 3 =  –5 x   + 20

                    –7

 

–7 (y – 3) = –5 x + 20

 

–7y +21 + 5x – 20 = 0

 

5x – 7y + 1 = 0

 

Que se corresponde con una ecuación de la forma general

Ax + By + C = 0

Donde

A = 5

B = 7

C = 1

 

Ecuación de la recta dados punto–pendiente (se conoce un punto y se conoce la

pendiente)

Por lo ya visto, y por los ejemplos anteriores, sabemos que la ecuación de la recta que

pasa por  dos puntos está determinada por

pero

Luego, si reemplazamos en la ecuación anterior obtenemos

 

despejando, llegamos a:

y – y1 = m(x – x1)

Ejemplo:

Determina la ecuación general de la recta de pendiente –4 y que pasa por el punto (5, –3)

y – y1 = m(x – x1)

y – (–3) = –4(x – 5)

y + 4 = –4x + 20

Luego la ecuación pedida es  4x + y – 16 = 0.

Ejercicios para obtener la ecuación general de la recta dados un punto y la

pendiente

Recuerde que la fórmula inicial es  y – y1 = m(x – x1)

1. m = –1;  punto (–2, 3)

y – 3 =  –1(x + 2) 

y – 3 =  –x – 2 

x + y – 1 = 0

2. m = 2; punto (–3/2, –1)

y + 1 = 2(x + 3/2)

y + 1 = 2x + 3

– 2x + y – 2 = 0

2x – y + 2 = 0

3. m = 0; punto (–3, 0)

y – 0 = 0(x + 3)

y = 0

4. m= –4; punto (2/3, –2)

y + 2 = –4(x – 2/3)

y + 2 = –4x + 8/3

y +2 – 4x –8/3 = 0

y – 2/3 – 4x = 0

4x – y + 2/3 = 0

5. m = –2/5; punto (1,4)

y – 4 = 1(x – 1)

y – 4 = x – 1

y – 4 – x + 1 = 0

y – 3 – x = 0

x – y + 3 = 0

6.  m = 3/4; punto (2,5, –3)

y + 3 = ¾(x – 2,5)

y + 3 = 3/4x – 15/8

y + 3 – 3/4x +15/8 = 0

y + 39/8 – 3/4x = 0

3/4x – y – 39/8 = 0

7. m = ind; punto (0,5)

y – 5 = (x – 5) 

y – 5 – x + 5 = 0

y – x = 0

x – y = 0

8. m = 0; punto (–4, 1/2)

y – ½ = (x + 4)

y – ½ – x – 4 = 0

y – 9/2 – x = 0

x – y + 9/2 = 0

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

1. De la recta r se sabe que pasa por el punto A (2,1) y un vector director es u (-2,4). Determina su ecuación en todas las formas que conozcas,

2. La ecuación implícita de una recta es 2x-3y+1=0. Escribe la ecuación de esta recta en forma continua, punto-pendiente, explícita, vectorial y paramétrica razonando las respuestas.

3. Determinar el área del paralelogramo ABCD, sabiendo que la ecuación del lado AB es x-2y=0, la ecuación del lado AD es 3x+y=0 y las coordenadas del punto C son (3,5). Razona la respuesta.

4. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A (1,-2) y B (3,0). Hallar, también, el ángulo que forma esta mediatriz con el eje de abscisas.

5. La recta 4x-3y=12 es la mediatriz del segmento AB. Halla las coordenadas del punto B, sabiendo que las del punto A son (1,0).

6. Los puntos B (-1,3) y C (3,-3) son los vértices de un triángulo isósceles que tiene el tercer vértice A en la recta x+2y=15, siendo AB y AC los lados iguales. Calcular las coordenadas de A y las ecuaciones y las longitudes de las tres alturas del triángulo.

7. Por el punto A (2,6) se trazan dos rectas perpendiculares a las bisectrices del primer cuadrante y del segundo cuadrante. Hallar las ecuaciones de dichas rectas y las coordenadas de los vértices del triángulo formado por esas dos rectas y la recta de ecuación 3x-13y=8.

8. Hallar las ecuaciones de todas las rectas que pasen por el punto P (2,-3) y formen un ángulo de 45º con la recta 3x-4y+7=0.

9. Determinar el valor de a para que las rectas ax+(a-1)y-2(a+2)=0 y 3ax-(3a+1)y-(5a+4)=0 sean:

paralelas perpendiculares

10. Determinar el valor de m para que las rectas mx+y=12 y 4x-3y=m+1 sean paralelas. Después hallar su distancia.

11. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forma la recta 5x+12y-60=0 con el eje de ordenadas.

12. Dados los puntos A (4,-2) y B(10,0), hallar el punto de la bisectriz del 2º y 4º cuadrantes que equidista de ambos puntos.

13. Dados los puntos A (2,1), B (-3,5) y C (4,m), calcular el valor de m para que el triángulo ABC tenga de área 6.

14. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasando por el punto A (1,-2) distan 2 unidades del punto B (3,1).

15. Un rayo de luz r pasa por el punto de coordenadas (1,2) e incide sobre el eje de abscisas formando con éste un ángulo de 135º. Suponiendo que sobre el eje de abscisas se encuentra un espejo, hallar la ecuación del rayo r y del rayo reflejado en el espejo.

16. Determinar las coordenadas del circuncentro del triángulo ABC, sabiendo que A = (2,-7), B = (5,9) y C = (-2,-7). Hallar también la ecuación de la circunferencia circunscrita y comprobar que dicha circunferencia pasa por los puntos A, B y C.

17. Dados los puntos A (0,-1) y B (1,2), hallar las coordenadas de todos los puntos P situados sobre la recta x+y=2 tales que las rectas PA y PB sean perpendiculares.

18. Los puntos A (3,-2) y C (7,4) son vértices opuestos de un rectángulo ABCD, el cual tiene un lado paralelo a la recta 6x-y+2=0. Hallar las coordenadas de los otros dos vértices del rectángulo y las ecuaciones de sus lados.

19. Hallar las coordenadas del simétrico del punto P (0,6) respecto de la recta y=2x-3.

20. Los puntos A (2,-1) y C (3,6) son vértices opuestos de un rectángulo ABCD. Sabiendo que B está en la recta de ecuación x+4y=0, hallar las coordenadas de los vértices B y D. (Indicación: basta hallar los puntos P sobre la recta tales que PA y PC son perpendiculares).

21. Averiguar si el triángulo de vértices A (2,2), B (4,7), C (9,4) es isósceles.

22. En los tres triángulos siguientes averiguar si son acutángulos, rectángulos u obtusángulos por dos procedimientos distintos: mediante las longitudes de los lados y mediante los productos escalares de los vectores que forman los lados:

A (2,0), B (1,5), C (3,3)

A (2,0), B (6,2√3 ), C (2+√3 ,-2) A (3,-1), B (3,3), C (0,6)

23. De un rombo ABCD se conocen A (1,3), B (4,6), C (4,y). Hallar la longitud de sus diagonales y la medida de los ángulos del rombo.

24. Calcular la distancia de los puntos A (-2,5), B(1,2) y C (1/3,-5/2) a la recta de ecuaciones paramétricas:

r :{x=1+4 ty=2+3 t

25. Hallar los puntos de la recta 7x-y-28=0 que distan 5 unidades de longitud de la recta 3x-4y-12=0.

26. Un cuadrado tiene un vértice en el punto (0,7) y una de sus diagonales sobre la recta de ecuación 3x-2y-6=0. Hallar el área.

27. Un cuadrado tiene un vértice en el origen y un lado sobre la recta de ecuación x-2y+10=0. Hallar el área del cuadrado y la longitud de la diagonal.

28. Un vértice de un triángulo equilátero es el punto (0,0); una de sus medianas está sobre la recta y=2x+5. Hallar el área del triángulo y las coordenadas de los otros dos vértices.

29. Hallar la ecuación de una recta que forma un ángulo de 120º con el semieje de abscisas positivo y que dista 2 unidades del origen.

30. Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta 3x+4y+2=0 que distan 1 unidad de ella.

31. Hallar las coordenadas de un punto P situado sobre la recta x+y-15=0 que equidiste de las rectas y-2=0, 3y=4x-6.

32. Las rectas de ecuaciones 3x+4y-5=0 y px+7y+2=0 forman un ángulo cuyo seno vale 3/5. Hallar p.

33. Averiguar cuáles de las siguientes parejas de rectas pueden contener dos medianas de un triángulo equilátero:

(2+√3 )x+y-1=0 x-y-3=0 x+2y-1=0 2x-y+4=0

34. Dos medianas de un triángulo equilátero se hallan sobre las rectas y=mx e y=2x-5. Calcular m y la ecuación de la otra mediana.

35. Se considera un trapecio rectángulo ABCD cuyo lado oblicuo es CD. Se sabe que A = (1,2), B = (-1,7) y la ecuación de la recta CD es x+y-1=0. Calcular los vértices C y D y el área del trapecio.

36. Determinar las longitudes de los lados y los ángulos del triángulo cuyos lados se ecuentran sobre las rectas 2x+y=2, 5x+2y=10 y el eje de ordenadas.

37. Un hexágono regular tiene su centro en el origen de coordenadas y uno de

sus lados sobre la recta de ecuación √2 x+y-3=0. Hallar su área.

38. Un hexágono regular tiene su centro en el origen de coordenadas y uno de sus vértices es (6,0). Hallar las coordenadas de los demás vértices y las ecuaciones de sus lados.

39. Hallar el área y los ángulos del cuadrilátero de vértices A (0,3), B (3,8), C (8,6), D (8,2).

40. Las rectas mx+y=0 y √3 x-y=1 son medianas de un triángulo equilátero de lado 2. Hallar las coordenadas de sus vértices.